《高考数学第一轮复习课件》第48讲两个原理与排列组合的基本问题

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年 级 高三 学 科 数学 版 本 通用版

课程标题 高考第一轮复习——排列组合与二项式定理

编稿老师 胡居化

一校 林卉 二校 李秀卿 审核 王百玲

一、学习目标：

1. 理解排列、组合的有关概念，排列与组合的区别及分步计数原理和分类计数原理的含义。

2. 掌握排列数、组合数的公式及排列与组合的性质，并能进行简单的计算和解决简单的实际问题。

3. 理解二项式定理的内容、其通项公式的概念及其简单的应用。

4. 体会方程的数学思想、等价转化的数学思想、化归与类比的数学思想、分类讨论的数学思想及赋值法、待定系数法等数学思想方法的应用。

二、重点、难点：

重点：（1）排列、组合的知识及两个原理的简单应用

（2）二项式定理的简单应用

难点：利用排列与组合的知识解决实际问题。

三、考点分析：

新课标高考对排列、组合及二项式定理的考查以基础知识为主，应重点理解排列、组合及二项式定理的有关概念、简单的运算。考查的题型以选择、填空题为主，题目难度较小，易得分。

一、两个原理，排列、组合的有关基础知识：

1. 分类计数原理与分步计数原理：

（1）分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类方法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法，即N=nmmm21.

（2）分步计数原理：做一件事情，完成它需要n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法。即N=nmmm21

2. 排列的有关基础知识

（1）排列的定义：一般地，从n个不同的元素中取出m（)nm个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

注：（i）排列的定义中包括两个基本内容：一是取出元素，二是按一定的顺序排列。

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高考理科数学第一轮总复习排列组合、二项式定理、概率

第十二章 排列组合、二项式定理、概率

高考导航 考试要求 重难点击 命题展望 排列 、 组合 1.理解并运用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题； 2.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题； 3.能用计数原理证明二项式定理； 会用 二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

本章重点：排列、组合的意义及其计算方法，二项式定理的应用. 本章难点：用二项式定理解决与二项展开式有关的问题. 排列组合是学习概率的基础，其核心是两个基本原理.高考中着重考查两个基本原理，排列组合的概念及二项式定理. 随机事件的概率 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别； 2.了解两个互斥事件的概率加法公式和相互独立事件同时发生的概率乘法公式； 3.理解古典概型及其概率计算公式；会计算一些随机事件所包含的基本事件的个数及事件发生的概率； 4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率，了解几何概型的意义.

本章重点：1.随机事件、互斥事件及概率的意义，并会计算互斥事件的概率；2.古典概型、几何概型的概率计算. 本章难点：1.互斥事件的判断及互斥事件概率加法公式的应用；2.可以转 化为几何概型求概率的问题. 本部分要求考生能从集合的思想观点认识事件、互斥事件与对立事件，进而理解概率的性质、公式，还要求考生了解几何概型与随机数的意义.在高考中注重考查基础知识和基本方法的同时，还常考查分类与整合，或然与必然的数学思想方法，逻辑思维能力以及运用概率知识解决实际问题的能力. 离散型随机变量 1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性； 2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用； 3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题；

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1 / 7 高三数学第一轮复习：排列、组合

【本讲主要内容】

排列、组合

分类计数原理、分步计数原理、排列、排列数公式、组合、组合数公式

【知识掌握】

【知识点精析】

1. 两个原理

（1）分类计数原理

做一件事，完成它可以有n类办法，在第1类办法中有m1种不同方法，在第2类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有N=mmmn12…种不同方法。

（2）分步计数原理

做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同方法，做第2步有m2种不同方法……做第n步有mn种不同方法，那么完成这件事共有Nmm12……mn种不同方法。

说明：两个原理的运用、理解须注意的几点：

（1）必须搞清楚两个原理的条件和结论，分清它们的异同，分类完成用分类计数原理，即独立事件相加；分步完成用分步计数原理，即相连事件相乘。

（2）处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准是什么。因此，在解题时必须认真审题，搞清楚题目的条件、结论。

（3）对于一些比较复杂的既要运用分类计数原理，又要运用分步计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题的分析更直观、清楚，积累解决实际问题的经验。

框图和树形图是解决这类问题的有效的直观形象工具。

（4）分类计数原理与分步计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列数公式、组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想方法。

2. 排列

（1）排列、排列数公式

①排列：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

其中，“一定的顺序”指每一次取出的元素与它所排的“位置”有关，两个排列相同，不但所有元素相同，而且排列顺序也要相同。

②排列数公式：从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Anm表示，其中Ann是全排列。

专题48 排列与组合

（1）理解排列、组合的概念.

（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.

（3）能解决简单的实际问题.

1．排列

（1）排列的定义

一般地，从n个不同元素中取出()mmn个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

（2）排列数、排列数公式

从n个不同元素中取出()mmn个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示.

一般地，求排列数Amn可以按依次填m个空位来考虑：

假设有排好顺序的m个空位，从n个元素12,,,naaaL中任取m个去填空，一个空位填1个元素，每一种填法就对应一个排列，而要完成“这件事”可以分为m个步骤来实现.

根据分步乘法计数原理，全部填满m个空位共有(1)(2)[(1)]nnnnmL种填法.

这样，我们就得到公式Amn(1)(2)(1)nnnnmL，其中,mnN，且mn.这个公式叫做排列数公式.

n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中mn，即有A(1)(2)321nnnnnL，就是说，n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用!n表示.所以n个不同元素的全排列数公式可以写

成A!nnn.另外，我们规定0!1.

于是排列数公式写成阶乘的形式为Amn!()!nnm，其中,mnN，且mn.

注意：排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指“按照一定的顺序排成一列”，它是具体的一件事，排列数是指“从n个不同元素中取出()mmn个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数.

2．组合

（1）组合的定义

一般地，从n个不同元素中取出()mmn个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

（2）组合数、组合数公式

从n个不同元素中取出()mmn个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示.