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第二章插值法习题及解答

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一、填空题：

1． 满足aafxx，bbfxx，ccfxx的拉格朗日插值余项为

。

答：3!abcfRxxxxxxx

2．已知函数fx的函数值0,2,3,5,6fffff，以及均差如下

00,0,24,0,2,35,0,2,3,51,0,2,3,5,60fffff

那么由这些数据构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数是

答： 1

二、选择题

1. 通过点0011,,,xyxy的拉格朗日插值基函数01,lxlx满足（ ）

A．00lx＝0，110lx B． 00lx＝0，111lx

C．00lx＝1，110lx D． 00lx＝1，111lx

答：D

2．. 已知等距节点的插值型求积公式3520kkkfxdxAfx，那么30kkA（ ）

A．1 B. 2 C. 3 D. 4

答：C

3．过点(x0,y0), (x1,y1)，…，(x5,y5)的插值多项式P(x)是( )次的多项式。

(A). 6 (B).5 (C).4 (D).3．

答：B

三、证明题

1. 设 f (x) = (x-1) (x-2) .证明对任意的x有： f [1, 2, x)]= 1

证明:f [1, 2] = [f (1) – f (2)]/ (1 – 2)

= [0 – 0]/ (-1)

= 0,

对任意的x有

F[2, x] = [f (2) – f (x)]/ (2 – x)

= [0 – (x-1) (x-2)]/ (2 – x)

= (x-1),

所以 f [1, 2, x] = [f (1, 2) - f (2, x)]/ (1 – x)

= [0 - (x-1)]/ (1 – x)

= 1

2.设在上具有二阶连续导数，且，求证：

解：由，则在的线性插值多项式为：

，于是由

，可得：

3． 试利用差分性质证明：

证明：记：

可以证明：，

又： 故：.

四、计算题：

1.．已知数值表

x 0.5 0.6 0.7

fx 0.47943 0.56464

0.64422

试用二次插值计算0.57681f的近似值，计算过程保留五位小数。（要写出二次插值多项式）

答： 过0.5,0.447943，0.6,0.56464，0.7,0.64422作二次插值多项式

20.60.70.50.70.479430.564640.50.60.50.70.60.50.60.7xxxxPx

0.50.60.644220.70.50.70.6xx （5分）

所以

20.576810.60.576810.70.576810.576810.479430.50.60.50.7fP 0.576810.50.576810.70.564640.60.50.60.7

0.576810.50.576810.60.644220.70.50.70.6 （9分）

0.002860.009460.001780.479430.564640.644220.20.10.10.10.20.1

0.068560.534280.057380.54546 （15分）

2.用已知函数表

求抛物插值多项式，并求1()2f的近似值。

解答：作差商表：

ix iy 一阶差商 二阶差商

0 1

1 2 1

2 5 3

1

2210011Nxxxxx

21151.25224fN

3. 已知函数211yx的一组数据：

求分段线性插值函数，并计算1.5f的近似值.

解答 解 0,1x， 1010.510.50110xxLxx

1,2x，210.50.20.30.81221xxLxx

所以分段线性插值函数为

10.50,10.80.31,2xxLxxx 10分 x 0

1 2

y 1 2 5

ix 0 1 2

iy 1 0.5 0.2 1.50.80.31.50.35L 12分

4． 试给出样条函数：

的分段表达式. 解：由的定义可得：

5. 求一次数小于等于三次多项式，满足如下插值条件： ，，， 解：，其中为二次多项式，满足插值条件： ，， 可求得：. 由

得：.() 故：.

6.设：

求之值，.这里互异

解：利用差商的性质： ，.

可得：

，得：

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数值分析参考答案第二章

数值分析参考答案第二章

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数值分析参考答案（第二章）

第二章插值法

1.当兀= 1—2时,/（%） = 0-3,4^/（%）的二次插值多项式。

解：

X。= I/】=—l,x2 = 2, /Uo) = 0,/(^) = -3,/(X2) = 4;

一丄(兀+i)(一2)

Oo — xJOo — xJ 2

加）=（_兀）（—心=丄（一 1）（ 一 2）

（兀一兀）（州一呂）6

(A-.VoX.V-Vj l(Y_1)(x+1)

(x2-xQ)(x2-xt) 3

则二次拉格朗口插值多项式为

2

厶⑴=£）恥）

k=0

= -3/0(X) + 4/2(X)

1 4 = --U- 1)(A—2) + -(x-l)(x + 1)

5 r 3 7 =-X" +—x-- 6 2 3

2.给岀/（x） = liix的数值表

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

111X -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144

用线性插值及二次插值计算1110.54的近似值。 解：由表格知，

x0 = 0・4，兀=0.59X2 = 0.6, x3 = 0.7,x4 = 0.8; f(xQ) = -0.916291,/(xj = -0.693147 /(A) = —0.510826,/a)= -0.356675 /(x4) =-0.223144

若采用线性插值法计算hiO.54即/(0.54),

则 0.5 <0.54 <0.6 ，0（人）= 2 / 19

数值分析参考答案（第二章）

/1(x) = ^—^ = -10(.v-0.6) 人一无

X—X /.(%) = -__ =-10(x-0.5)

厶⑴=/U1XW + /(x2)/2(x)

=6.93147(x — 0.6) - 5・ 10826(.— 0.5)

・・・厶(0.54) = -0.6202186 « -0.620219

李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社

李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社

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数值分析是一门研究数值计算方法的学科，它应用于各个领域，解决了许多实际问题。《李庆扬数值分析第五版习题答案》是一本为读者提供数值分析习题解答的参考书，由清华大学出版社出版。

第一章 误差

1.1 绝对误差与相对误差

在数值计算过程中，由于测量、取近似值和舍入误差等原因，我们常常会得到与真实值有一定偏差的结果。绝对误差和相对误差是描述数值计算结果与真实值之间误差大小的衡量标准。绝对误差表示实际值和计算值之间的差别，相对误差则是绝对误差与实际值之比。

1.2 舍入误差与有效数字

在数值计算中，由于计算机底层的二进制表示以及计算机在表示无穷和无法精确表示的数字时需要进行近似，会导致舍入误差。有效数字是用来表示浮点运算结果的一种方式，能够控制舍入误差的影响。

第二章 插值与多项式逼近

2.1 插值问题的提出

插值问题是在有限数据点的基础上，构造一个与这些数据点足够接近的函数。插值的目的是通过已知数据点之间构造一个函数，使得通过这个函数计算的结果近似于真实的未知数据点的值。 2.2 拉格朗日插值法

拉格朗日插值法是通过构造一个基于已知数据点的多项式函数，来实现对未知数据点的预测。它通过对每个数据点进行加权，以使得插值多项式通过这些数据点。

2.3 牛顿插值法

牛顿插值法是通过使用差商的概念，构造一个多项式函数来进行插值。差商是指由数据点的函数值所决定的差分系数。

第三章 数值积分与数值微分

3.1 数值积分的基本思想

数值积分是通过将区间进行离散化，将连续变量转化为离散变量的和，从而实现对曲线下面积的近似计算。

3.2 复合求积公式

复合求积公式将整个区间分割为若干子区间，对每个子区间进行积分，并将结果相加得到最终的数值积分结果。通过增加子区间的数量，可以提高数值积分的精确度。

3.3 数值微分的基本思想

数值微分是通过利用离散数据点之间的差值，来近似计算函数在某个点处的导数。

数值分析课后习题和解答

数值分析课后习题和解答

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学习指导参考资料 课后习题解答

第一章 绪论

习题一

1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有

已知x*的相对误差满足，而，故

即

2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得

有5位有效数字，其误差限，相对误差限

有2位有效数字，

有5位有效数字，

3.下列公式如何才比较准确？ 完美WORD格式编辑

学习指导参考资料 （1）

（2）

解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1）

（2）

4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。

5.计算取，利用 ： 式计算误差最小。

四个选项：

第二、三章 插值与函数逼近

习题二、三

1. 给定的数值表

用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限.

解： 仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值 完美WORD格式编辑

学习指导参考资料

误差限，因，故

二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值

误差限，故

2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?

财务管理学课后习题答案解析-人大版

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精品.资料 《财务管理学》课后习题——人大教材

第二章 价值观念练习题

1. 解：用先付年金现值计算公式计算8年租金的现值得：

V0 = A×PVIFAi，n×（1 + i） = 1500×PVIFA8％，8×（1 + 8％）= 9310.14(元)

因为设备租金的现值大于设备的买价，所以企业应该购买该设备。

2. 解：（1) A = PVAn／PVIFAi，n = 1151.01（万元）

所以,每年应该还1151.01万元。

(2）由PVAn = A·PVIFAi，n得：PVIFAi，n =PVAn／A

则PVIFA16％，n = 3.333

查PVIFA表得:PVIFA16％,5 = 3.274,PVIFA16%,6 = 3.685，利用插值法： 年数 年金现值系数

5 3。274

n 3.333

6 3.685

由以上计算，解得:n = 5。14(年）

所以，需要5。14年才能还清贷款。

3. 解：（1）计算两家公司的预期收益率:

中原公司 = K1P1 + K2P2 + K3P3= 40％×0.30 + 20%×0.50 + 0％×0.20= 22% 南方公司 = K1P1 + K2P2 + K3P3= 60%×0。30 + 20％×0.50 +（—10％）×0。20 = 26%

（2）计算两家公司的标准差： WORD格式.分享 精品.资料 中原公司的标准差为：

（40%22％)20。30(20％22%）20.50(0%22％)20.2014％ 南方公司的标准差为:

（60％26%)20.30(20%26％)20.20(10％26％）20。2024。98％