高等代数《行列式》部分习题及解答

第二章队列式习题解答1.决定以下 9 级摆列的逆序数，进而决定它们的奇偶性：1）5；解：，偶摆列；2）4；解：，偶摆列；3）1；解：，偶摆列 .2.选择与使1）成偶摆列；解：与一个为3，另一个为8，而是奇摆列，由对调的性质所以有；2）成奇摆列.解：与一个为3，另一个为6，而是奇摆列，所以有.3.写出把摆列变为摆列的那些对调.解：4.决定摆列的逆序数，并议论它的奇偶性.解：1 与其余数组成个逆序， 2 与其余数组成个逆序 ,与其他数组成 2 个逆序，与组成1个逆序，故.当或（为正整数）时，摆列为偶摆列；当或（为正整数）时，摆列为奇摆列.5.假如摆列的逆序数为，摆列的逆序数是多少解：中随意两个数码与必在并且仅在两个摆列或中之一组成逆序，个数码中任取两个的不一样取法有个，所以两个摆列的逆序总数为，所以摆列的逆序数为.6.在 6 级队列式中，这两项应带有什么符号解：，所以项带正号；，所以项带正号 .7.写出四级队列式中所有带有负号并且包括因子的项.解：由于，所以所求的项为.8.按定义计算队列式：1）；2）；3）.解：1）该队列式含有的非零项只有，带的符号为，值为，所以原队列式等于.2 ）该队列式含有的非零项只有，带的符号为，值为，所以原队列式等于.3）该队列式含有的非零项只有，带的符号为，值为，所以原队列式等于.9.由队列式定义证明：.证明：队列式的一般项为，列指标只好在 1,2,3,4,5中取不一样值，故中起码有一个要取3,4,5 中之一，而进而每一项中起码包括一个零因子，故每一项的值均为零，所以队列式的值为零 .10.由队列式定义计算中与的系数，并说明原因.解：队列式元素中出现的次数都是1次的，所以含项每一行都要取含的 ,所以含项仅有，其系数为2，符号为正，的系数为 2.近似的含项仅有，其系数为1，符号为负，的系数为.11.由，证明：奇偶摆列参半 .证明：队列式每一项的绝对值为 1，队列式的值为零，说明带正号项的个数等于带负号项的个数 .由定义，当项的行指标按自然次序摆列时，项的符号由列指标摆列的奇偶性所确立，奇摆列时带负号，偶摆列带正号.所以奇偶摆列参半 . 12.设，此中为互不同样的数 .1）由队列式定义，说明是一个次多项式；2）由队列式性质，求的根.解： 1）在队列式中只有第一行含有，出现最高次数为次，由为互不同样的数可得其系数不为零，所以是一个次多项式；2 ）用分别代，均出现了两行同样，所以队列式为0.即为的所有根 .13.计算下边的队列式：1）；2）；3）；4）；5）；6）.解： 1）该队列式中每行元素的和为 1000 的倍数，第 2 列与第三列相差 100，所以能够先把第 2 列和第 3 列分别加到第 1 列，而后第 2 列减去第 3 列后可得..3）4）.5）明显当或时均有两行元素同样，所以队列式为0.当时6）.14.证明：证明：15.算出以下队列式的所有代数余子式：1)；2）.解： 1）.2）16.计算下边的队列式1）17.计算以下级队列式：1）；2）3）；4）；5）.解 1）按第一列睁开得也能够按定义计算，非零项只有两项及值分别为和，符号分别为和，所以原队列式=2）解：当时，队列式等于；当时原队列式；当时，从第二列起，每一列减去第一列得：原队列式 =3）解：从第二列起，每一列都加到第一列而后提取因子得4）解：从第二行起每一行减去第一行，而后互换1,2 两行后化为三角形得：.也能够除第 2 行外，每一行都减去第 2 行，而后化为三角形计算.5)解：从第 2 列起每一列都加到第 1 列，而后按第一列睁开获得：.18.证明：1）证明：从第 2 列起，每一列的倍加到第一列即可得：2.证明：当时结论明显建立，当时，第一行的加到第二行，而后第二行的加到第三行，挨次类推可得：证法二：按最后一列睁开即可得.证法三：按第一行睁开再联合数学概括法证明.证法四：从最后一行起，每一行乘以加到上一行，而后按第一行睁开可得：3）解:原队列式按第一行睁开得:.所以有,即是以为首项,以为公比的等比数列.所以有.近似有.当时,解得.证法二：按第一行睁开找到递推关系，再联合数学概括法加以证明.4）证明：对队列式的级数用第二数学概括法证明.当时，，所以结论建立.假定当级数小于时结论建立，对级队列式按最后一行睁开得：由数学概括法，结论建立.注意：由于主对角线上第一个元素为，其余主对角线上元素为，本队列式按第一行睁开获得的初级数队列式与原队列式形式不一样，没法获得与之间的递推关系，而按最后一行可获得递推关系.5）证明：从第二行起，每一行减去第一行先化为爪形队列式，一再角化19.用克拉默法例解以下线性方程组：1）2）3）4）解： 1）系数队列式故方程组的解为：2.故方程组的解为：3）故方程组的解为：4）,20.设是数域中互不同样的数，是数域中任一组给定的数，用克拉默法例证明：存在独一数域上的多项式使证明：设，由得：把它当作对于的线性方程组，其系数队列式为一范德蒙品德列式，由互不同样可得系数队列式不为0，由克拉默法例，方程组解唯一，即知足的多项式独一 .21.设水银密度与温度的关系式为由实验测定得以下数据：th求时水银密度（正确到小数 2 位） .解：将实验数据代入关系式得：整理后得知足的方程组为：系数队列式.故当，当时，。

一、二元一次方程组和二阶行列式例1.求二元一次方程组的解。

【答疑编号12010101】解：应用消元法得当时。

得同理得定义称为二阶行列式。

称为二阶行列式的值。

记为。

于是由此可知。

若。

则二元一次方程组的解可表示为：例2【答疑编号12010102】二阶行列式的结果是一个数。

我们称它为该二阶行列式的值。

二、三元一次方程组和三阶行列式考虑三元一次方程组希望适当选择。

使得当后将消去。

得一元一次方程若，能解出其中要满足为解出。

在（6），（7）的两边都除以得这是以为未知数的二元一次方程组。

定义1.1.1 在三阶行列式中，称于是原方程组的解为;类似地得这就将二元一次方程组解的公式推广到了三元一次方程组。

例3 计算【答疑编号12010103】例4 （1）【答疑编号12010104】（2）【答疑编号12010105】例5 当x取何值时，？【答疑编号12010106】为将此结果推广到n元一次方程组。

需先将二阶、三阶行列式推广到n阶行列式。

1.1.2 阶行列式的定义定义1.1.2 当n时，一阶行列式就是一个数。

当时，称为n阶行列式。

定义（其所在的位置可记为的余子式的代数余子式。

定义为该n阶行列式的值。

即。

容易看出，第j列元素的余子式和代数余子式都与第j列元素无关；类似地，第i行元素的余子式和代数余子式都与第i行元素无关。

n阶行列式为一个数。

例6 求出行列式第三列各元素的代数余子式。

【答疑编号12010107】例7（上三角行列式）【答疑编号12010108】1.2 行列式按行（列）展开定理1.2.1（行列式按行（列）展开定理）例1 下三角行列式＝主对角线元素的乘积。

【答疑编号12010201】例2 计算行列式【答疑编号12010202】例3 求n阶行列式【答疑编号12010203】小结1.行列式中元素的余子式和代数余子式的定义。

2.二阶行列式的定义。

3.阶行列式的定义。

即。

4.行列式按行（列）展开的定理和应用这个定理将行列式降阶的方法。

专升本行列式习题及答案专升本行列式习题及答案行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

对于专升本考试来说，行列式也是一个重要的考点。

本文将介绍一些专升本行列式的习题及答案，帮助考生更好地掌握这个知识点。

一、基础习题1. 计算行列式的值：|2 1||3 -1|解答：根据行列式的定义，有|2 1||3 -1| = 2*(-1) - 1*3 = -52. 计算行列式的值：|1 2 3||4 5 6||7 8 9|解答：根据行列式的定义，有|1 2 3||4 5 6||7 8 9| = 1*(5*9 - 6*8) - 2*(4*9 - 6*7) + 3*(4*8 - 5*7) = 03. 判断下列行列式是否可逆：|2 1||4 2|解答：如果一个行列式的值不为0，则该行列式可逆。

计算该行列式的值为： |2 1||4 2| = 2*2 - 1*4 = 0因此，该行列式不可逆。

二、进阶习题1. 计算行列式的值：|1 2 3 4||2 3 4 1||3 4 1 2||4 1 2 3|解答：可以通过将该行列式转化为三阶行列式的形式来计算。

将第一行减去第四行，第二行减去第四行，第三行减去第四行，得到：|1 2 3 4||2 3 4 1||3 4 1 2||0 -3 -6 -9|再将第四列加到第一列，第二列加到第一列，第三列加到第一列，得到：|8 2 3 4||9 3 4 1||4 4 1 2||0 -3 -6 -9|接下来，计算三阶行列式的值：|8 2 3||9 3 4||4 4 1| = 8*(3*1 - 4*4) - 2*(9*1 - 4*4) + 3*(9*4 - 3*4) = -20因此，原行列式的值为-20。

2. 判断下列行列式是否可逆：|1 2 3||2 3 4||3 4 5|解答：计算该行列式的值为：|1 2 3||2 3 4||3 4 5| = 1*(3*5 - 4*4) - 2*(2*5 - 4*3) + 3*(2*4 - 3*3) = 0因此，该行列式不可逆。

第九讲队列式单元测试题评论一、填空题（每题2 分，满分 20 分）1．全体 3 阶摆列一共有 6 个，它们是 123,132,213,231,312,321； 2. 奇摆列经过奇数次对调变成偶摆列，奇摆列经过偶数次对调变为 奇 摆列；3. 队列式 D 和它的转置队列式 D 相关系式 D D ；4. 互换一个队列式的两行（或两列），队列式的值改变符号 ；5. 假如一个队列式有两行（或两列）的对应元素成比率，则这个队列式等于零；6. 一个队列式中某一行（列）全部元素的公因子能够提到队列式符号的外边；7. 把队列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，队列式的值不变 ；8. 队列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零 ；a11a12a1na22a2na nn ;9.a 11a22ann10.当 k= 214kk5。

2 时， 4 2k二、判断题（每题3 分，满分 24 分）1. 若(i1i2in)k,则(i 2 i1i3 i n ) k 1（∨）a11a12a1n2.设D a21a22a2n ,则D的一般项 a ij a i j2ai j的符号1 12n nan1an 2ann是( 1)( j1 j2j n ) .（×）3.若 n(n>2) 阶队列式 D=0,则 D 有两行（列）元素同样 . (×) 4．若 n 阶队列式 D 恰有 n 个元素非 0，则D≠0.(× ) 5.关于线性方程组，只需方程个数等于未知数个数，就能够直接使用克莱姆法例求解。

（×）6．若队列式 D 的同样元素多于n2n 个，则D=0.(×)a11a12a13a13a23a337.a21a22a23a12a22a23(× ) a31a32a33a11a21a318.n阶队列式主对角线上元素乘积项带正号，副对角线上元素乘积项带负号。

线性代数《⾏列式》常见题型与举例1．常⽤公式2．常见题型(1)确定⽤⾏列式表⽰的多项式f(x)中，关于x的最⾼次数及x的各次幂前的系数。

解法：求解这类问题的⽅法为：利⽤⾏列式的定义或⾏列式的性质，或者两者兼⽽⽤之的⽅法求解(主要为⾏列的加减，⾏列的分解以及上⾯的基本公式)。

(2)涉及⽅阵、逆矩阵、伴随矩阵、向量等概念的3~5阶⾏列式的计算解法：要求熟练记住前⾯罗列的公式及逆矩阵、伴随矩阵、向量等运算，对于包含分数元素的⾏列式尽量通过提取公因⼦化为整数元素进⾏运算。

(3)证明抽象⾏列式等于零常⽤⽅法：(1) 利⽤|A|=-|A|的关系推出|A|=0；如果告知矩阵为正交矩阵，⼀般在等式两端乘以⼀个矩阵的转置矩阵。

(2) 利⽤齐次线性⽅程组Ax=0有⾮零解⇔|A|=0；(3) 设法证明A的⼀个特征值λ=0；(4) ⽤反证法。

(5) 对应矩阵的秩⼩于⾏数.(4)n阶⾏列式的计算法解题⽅法：阶⾏列式的计算，其基本⽅法和技巧是“化零”和“降阶”。

常⽤的⽅法有：定义法；利⽤基本性质化为三⾓形⾏列式；递推法与数学归纳法；公式法等。

在计算阶⾏列式时，要根据⾏列式中⾏(列)元素的特点来选择相应的解题法。

(1) 利⽤阶⾏列式的定义：适⽤于⾏列式有较多元素为零的⽅法。

(2) ⾏加法(列加法)：适⽤于各⾏(列)诸元素之和相等，或多数相等，仅仅个别不相等的情形。

(3) 各⾏(列)加减同⼀⾏(列)的倍数：适⽤于施⾏加减后某⼀⾏(列)诸元素有公因⼦或变成三⾓⾏列式。

(4) 利⽤范德蒙⾏列式计算。

(5) 除主对⾓线外，其余元素全相同的⾏列式计算法：⾸先在⾏列式D的各元素加上⼀个数x(或常数)，使得新的⾏列式D。

除主对⾓线外，其余元素均为0；然后计算D*的主对⾓线各元素的代数余⼦式Aii(i=1,2,…,n)，最后3．例题分析例1(1999年数学⼀) 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则(A) 当m>n时，必有⾏列式det(AB) ≠0;(B) 当m>n时，必有⾏列式det(AB) = 0;(C) 当n>m时，必有⾏列式det(AB) ≠0;(D) 当n>m时，必有⾏列式det(AB) = 0.【分析】：这个习题看上去是考察⾏列式的计算，或者说判断是否为零，当由于A，B矩阵为抽象矩阵，所以⽆法直接计算。