3chapter1(2)偏导数与全微分

例1 . 2 2 z x 3 x y y 在点(1 , 2) 处的偏导数. 求 z z 解法1: 2x 3y , 3x 2 y x y z z y (1, 2) x (1, 2) 解法2: z
2 x 6x 4 y 2
z x (1, 2)
z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续. 证 根据函数可微的定义，有
z Ax By o( ),
当 x 0, y 0 时，有 0 ， 于是o( ) 0. 因此
x0 y 0
lim z 0.
根据函数连续性定义，z=f(x,y)在点(x0,y0)处是 连续的.
结论：多元函数，可微一定连 续，但连续不一定可微。 问题： 在一元函数中，可导与可微 是等价的。对于多元函数是否有 此结论？
下面两个定理回答了此问题。
定理（可微的必要条件）
如果函数 z f ( x , y ) 在点(x,y)处可微,则它在
该点(x,y)处的两个偏导数必定存在,且函数 z f ( x , y )
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f ( x, y, z ) 在 ( x , y, z ) 处
f x ( x, y, z)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f ( x x, y, z ) f ( x, y, z ) lim , x 0 x
f ( x, y y, z ) f ( x, y, z ) f y ( x, y, z) lim , y 0 y f ( x , y , z z ) f ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) lim . z 0 z
第二节 偏导数与全微分
一、 偏导数的定义及其计算方法 二、 全微分的定义 三、高阶偏导数

2017年4月14日星期五 13
2z 2 e x2y x y
定理 1
2
如果函数 z f ( x, y) 的两个二阶混合偏
2
z z 导数 与 在区域 D 内连续, 则在该区域 x y y x 内这两个二阶混合偏导数相等.
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等
显然
0 0
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
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7
例 1 求函数 f ( x, y) 5x2 y3 的偏导数 f x( x, y) 与 f y( x, y) ， 并求 f x(0,1) ， f y(1, 2) .
解
3 3 f x( x, y) (5x2 y3 ) 5 2 x y 10 xy ; x
则称它们是z = f ( x , y )
按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
z 2z z 2 z f xy ( x, y ) ( ) 2 f xx ( x, y ); ( ) y x x y x x x z z 2 z 2 z ( ) 2 f yy ( x, y ) ( ) f yx ( x, y ); y y y x y y x
或 y 偏导数存在 , 偏导数 , 记为 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
z f , , z y , f y( x, y ) , f 2( x, y ) y y
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偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
利用定义
逐次求导法
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)

∂2z y2 − x2 ∂2z = = 2 2 2 ∂y∂x (x + y ) ∂x∂y
例6. z = x 3 y 2 − 3 xy 3 − xy + 1
∂2z ∂2z ∂2z ∂2z ∂3z , , , 求 2 , 2 ∂x ∂y∂x ∂x∂y ∂y ∂x 3
∂z = 3x 2 y 2 − 3 y3 − y, ∂x
例4. f ( x, y ) =| x | + | y |
y →0
在(0,0)点是否连续?是否有偏导数?
lim f ( x, y ) = 0 = f (0,0) 故在(0,0)点连续. x →0
由定义易知在(0,0)点偏导数不存在. 注意: 对于一元函数,可导必连续.而对于多元函数,从以上 两例可看出函数连续与偏导数存在没有必然的联系. 2. 偏导数的几何意义 f x ( x0 , y0 ) 表示曲面z=f(x,y)与平面 y = y0 的交线L在点 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))处的切线 M 0Tx 对x 轴的斜率tan α
例7.求 u = x + sin
y + e yz 的全微分 2 ∂u ∂u 1 y ∂u yz = 1, = ye yz = cos + ze , ∂x ∂z ∂y 2 2 1 y ∴ du = dx + ( cos + ze yz )dy + ye yz dz 2 2
注意一元函数与多元函数各种状态之间的区别 一元函数: 一元函数 可导 连续 多元函数: 多元函数 可微
f ( x0 + ∆x, y0 , z0 ) − f ( x0 , y0 , z0 ) f x ( x0 , y0 , z0 ) = lim ∆x → 0 ∆x

复合函数的偏导数和全微 分课件
• 引言 • 复合函数的偏导数 • 复合函数的全微分 • 偏导数和全微分的应用 • 习题与解答
01
引言
课程背景
复合函数是高等数学中的重要概念， 它在解决实际问题中有着广泛的应用。
偏导数和全微分是复合函数分析中的 关键概念，对于理解复合函数的性质 和计算方法具有重要意义。
05
习题与解答
习题部分
计算复合函数f(u,v)的偏导数
给定u=u(x,y)和v=v(x,y)，求f对x和y的偏导数。
计算全微分
给定复合函数f(u,v)的全微分表达式，求f对u和v的全微分。
判断偏导数和全微分的关系
根据偏导数和全微分的定义，判断它们之间的关系。
答案与解析
计算复合函数f(u,v)的 偏导数
偏导数的符号表示
用"∂"表示偏导数，例如：f'x(x0, y0)表示函数f在点(x0, y0)处对x的偏导数。
复合函数的偏导数计算
链式法则
对于复合函数，如果外层函数是u(x, y) = f(g(x, y))，则其偏导数为∂u/∂x = ∂f/∂g * ∂g/∂x。
隐式函数求导
对于由方程F(x, y) = 0定义的隐式函数y， 其偏导数为∂y/∂x = -F'x / F'y。
曲线和曲面的切线问题
切线的定义
切线是曲线或曲面在某一点的邻近区域 内的一条直线。在数学上，切线是通过 曲线或曲面在该点的外法线向量定义的 。
VS
切线的求法
通过求曲线或曲面的偏导数，我们可以得 到曲线或曲面在该点的切线方向。在三维 空间中，切线可以用一个向量来表示，该 向量与曲线或曲面的外法线向量平行。