窥一斑知全豹

窥一斑知全豹
-------由一类全等三角形的中考题看中考之发展
摘要：人们常说，给学生一杯水，自己就要有一桶水。文科老师喜欢看一些文学作品，作一些
读书笔记，并把好的文章引用到课堂教学中去。他们的课堂因此而变得更加精采。我们数学教师，
平时喜欢阅读大量数学题目，并把一些好的题目归类，把它们印在脑海中，有时在上课时，一些题
目信手拈来，同样也收到了较好的效果。阅读数学题，也能从中看出中考题历年的发展趋势，发现
新课改的方向。下面给大家介绍几个有关于全等三角形的中考题摘记，与大家共享。
关键词：读数学题……做数学题之摘记……
在老的浙江教育出版社数学课本中，有这样一个题目:
正方形ABCD中，O为正方形的中心，以O为顶点的正方形O A’ B′C′绕点O无论怎样转动，它与正
方形ABCD的重叠部分的面积总是保持不变.请证明这个结论。

2003年绍兴市中考题：
已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：
1三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D.
① 在图甲中，证明：PC=PD；

② 在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG=23PD，求△POD与△PDG的面积之比.
2将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线
OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在图丙中作出图形，试
求OP的长.

（第25题）
ABOM图丙ABCOPMD图乙 图甲DMPOCBA

点评：这个题目的图甲其实是只截取了课本原题中的重叠部分，近几年的中考数学试题，90％左右

C'
B'
A'

D

C
B

A
O

G
的题目均来源于课本，其中，绝大部分是课本题目的改编或延伸．这种命题思路，既给数学教学以
及数学总复习以导向，又引导学生在课本习题上多下功夫，学会灵活地运用所学知识解决问题．又
如下面一个选择题更是对书本中原题的发展：

将n个边长都为lcm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，„„，An分别是正方形的中

心，则n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为
（ ）
A．14cm。 B．4ncm
2

Ｃ．14ncm2 D．1()4ncm2
如果我们把以上的原题的形状作一改动：把正方形ABCD改为正三角形ABC， O为正△ABC的中心，
以O为顶点的扇形OB′C′绕点O无论怎样转动，要使它与正△ABC的重叠部分的面积总是保持不变，
问扇形OB′C′应该满足什么条件？试说明你的理由。

这一个题目就成了2005年中出现的一个中考题。
而2007年的绍兴市中考中出现了下面一个证明题，这里的图形又是截取了以上图形的重叠部分。这
个题目的全题如下：
课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：
如图1，己知四边形ABCD中，AC平分DAB, 60DAB, B与D互补，求证：

ACADAB3
．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该

问题．（1）特殊情况入手添加条件：“DB”, 如图2，可证ACADAB3．（请你完成
此证明）
（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的
垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）

在这个试题中，命题者创设了一个问题情境，成了一个探索性问题，并包含了分析问题从特
殊到一般的思想方法，十分符合当令新课改的方向，看后不仅让人拍手叫绝。以上一些题目一题更
比一题新颖，在我看来，好比是一棵小树逐渐开支散叶，最后枝繁叶茂，成了一个系列。

F
E
C'

B'
C
B

A

O
下面我再给大家展示另外一个系列。
在老课程的作业本中经常可以看到以下一个习题：
已知：如图，在等边△ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，
且AE＝CD，连结AD、BE交于点P，作BQ⊥AD，垂足为Q．
求证：BP＝2PQ.

这个题目可先证⊿ABD≌⊿BCE，再得到∠BPD=60度而得。
我读了一些中考试题后，发现其中有两个试题对它作了更进
一步的发展。 我把它 摘录如下：
问题背景；课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图1，在正三角形ABC中，M，N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于
点O，若∠BON=60°，则BM=CN。②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是
CD、AD上的点。BM与CN相交于点O，若∠BON=90°，则BM=CN。

然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N
分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM=CN。
任务要求（1）请你从①．②，③三个命题中选择一个进行证明 （2）请你继续
完成下面的探索；

①如图4，在正n（n≧3）边形ABCDEF„中，M，N分别是CD、DE上的点，
BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立（不要求
证明）

②如图5，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE，AE上的点，BM与CN相
交于点O，∠BON=108°时，试问结论BM=CN是否还成立，若成立，请给予证明。
若不成立，请说明理由

（I）我选
证明 ：

如果以一个题目还是在正多边形中内部作图，那下面的题却把它发展到了多边形的外部。这个
题目是：
如图12－1、12－2、12－3中，点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN
中以C点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且BE＝CD，DB延长线交AE于F。（1）
求图12－1中，∠AFB的度数；
（2）图12－2中，∠AFB的度数为__________，图12－3中，∠AFB的度数为___________；
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况。若能，写出推广问题和结论；若不
能，请说明理由。
以上一些题目都环环相扣，如珠玉一串，形成一个系列。给人以美的享受。
读数学题，作数学摘记，对题目进行归纳整理，是我的一大爱好，这个习惯不仅使我自身得到
了提高，同时也给我的数学课提供了大量的素材，使我们的数学课变得更加生动精采。

B
M A
F

图12－2
E
D

C

A

B
C
D
E

图12－1

F
B
C

M
N
D
E
F
图12－3

A