广东省2018中考数学总复习第四章三角形第5课时解直角三角形备考演练(含答案)

解直角三角形一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●理解三角函数的定义和正弦、余弦、正切的概念，并能运用；●掌握特殊角三角函数值，并能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简；●掌握互为余角和同角三角函数间关系；●掌握直角三角形的边角关系和解直角三角形的概念，并能运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理和锐角三角函数解直角三角形；●了解实际问题中的概念，并会用解直角三角形的有关知识解决实际问题．复习策略：●复习本专题应从四方面入手：（1）直角三角形在角方面的关系；（2）直角三角形在边方面的关系；（3）直角三角形的边角之间的关系；（4）怎样运用直角三角形的边角关系求直角三角形的未知元素．同时，解答这类题目时，应注重借助图形来解题，它能使已知条件、所求结论直观化，以便启迪思维，快捷解题．二、学习与应用知识点一：锐角三角函数“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识考点梳理认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，若有其它补充可填在右栏空白处。

详细内容请参看网校资源ID：#tbjx4#248924知识框图通过知识框图，先对本单元知识要点有一个总体认识。

（一）锐角三角函数：在Rt△ABC中，∠C是直角，如图（1）正弦：∠A的与的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA= ；（2）余弦：∠A的与的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA= ；（3）正切：∠A的与的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA= ；锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（二）同角三角函数关系：（1）平方关系：sin2A+cos2A= ；（2）商数关系：tanA= ．（三）互余两角的三角函数关系sinA=cos（），cosA=sin（）．（四）特殊角的三角函数值（五）锐角三角函数的增减性（1）角度在0°～90°之间变化时，正弦值（正切值）随角度的增大（或减小）而（或）．（2）角度在0°～90°之间变化时，余弦值随角度的增大（或减小）而（或）．要点诠释：∠A在0°～90°之间变化时，＜sinA＜，＜cosA＜，tanA＞知识点二：解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形．（一）三边之间的关系：a2+b2= （勾股定理）（二）锐角之间的关系：∠A+∠B= °（三）边角之间的关系：sinA= ，cosA= ，tanA=要点诠释：解直角三角形时，只要知道其中的个元素（至少有一个），就可以求出其余未知元素．知识点三：解直角三角形的实际应用（一）仰角和俯角：在视线与所成的角中，视线在上方的是仰角；视线在下方的是俯角．（二）坡角和坡度：坡面与的夹角叫做坡角．坡面的和的比叫做坡面的坡度（即坡角的值）常用i表示．（三）株距：相邻两树间的．（四）方位角与方向角：从某点的方向沿时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角．从方向或方向到目标方向所形成的小于°的角叫做方向角．经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。

中考数学总复习《解直角三角形及其应用》专项提升练习题（附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．选择题1．已知△ABC三边AC，BC，AB的长度分别5，12，13，现将每条边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定2．已知平面直角坐标系xOy中第一象限内射线OA与x轴正半轴的夹角为α，点P在射线OA上，如果cosα＝，且OP＝5，那么点P的坐标是（）A．（3，4）B．（4，3）C．（3，5）D．（5，3）3．如图，△ABC在网格（小正方形的边长均为1）中则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．4．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE＝30°，，则BD 的长度是（）A．B．C．D．5．如图，在外力的作用下，一个滑块沿坡度为i＝1：3的斜坡向上移动了10米．此时滑块上升的高度是（）（单位：米）A．B．C．D．106．如图，沿AB方向架桥BD，以桥两端B、D出发，修公路BC和DC，测得∠ABC＝150°，BC＝1800m，∠BCD＝105°，则公路DC的长为（）A．900m B．900m C．900m D．1800m7．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得AB＝60cm，∠B＝50°，则点A到BC的距离为（）A．60sin50°cm B．60cos50°cmC．D．60tan50°cm8．如图，小明为了测量遵义市湘江河的对岸边上B，C两点间的距离，在河的岸边与BC平行的直线EF上点A处测得∠EAB＝37°，∠F AC＝60°，已知河宽18米，则B，C两点间的距离为（）（参考数据：sin37°，cos37°≈，tan37°≈）A．（18+6）米B．（24+10）米C．（24+6）米D．（24+18）米二．填空题9．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在格点处，则∠ABC的正弦值为．10．某人在大厦一层乘坐观光电梯，看到大厦外一棵树上的鸟巢，仰角为30°，到达大厦的第五层后，再看这个鸟巢，俯角为60°，已知大厦的层高均为4m，则这棵树与大厦的距离为m．11．拦水坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是，坝高BC＝8m，则坡面AB的长度是m．12．一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是海里．13．如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为150米，则这栋楼的高度为米．14．图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC 与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC ＝40cm，则支架BC的长为cm．（结果精确到1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）三．解答题15．常州天宁寺始建于唐贞观年间，是佛教音乐梵呗的发源地之一，也是常州最大的寺庙．某校数学兴趣小组的同学利用卷尺和自制的测角仪尝试求解天宁寺宝塔的高度．如图所示，平地上一幢建筑物AB与宝塔CD相距56m，在建筑物的顶部分别观测宝塔底部的俯角为45°、宝塔顶部的仰角为60°．求天宁寺宝塔的高度（结果保留根号）．16．如图，某住宅小区南，北两栋楼房直立在地面上，且高度相等．为了测量两楼的高度AE、BD和两楼之间的距离AD，小莉在南楼楼底地面A处测得北楼顶部B的仰角为31°，然后她来到南楼离地面12m 高的C处，此时测得B的仰角为20°．求两楼的高度和两楼之间的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．）17．如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，无人机的高度为米．（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号）（1）求此时小区楼房BC的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向右匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？18．如图所示，为了知道楼房CP外墙上一广告屏的高度GH是多少，某数学活动小组利用测角仪和米尺等工具进行如下操作：在A处测得∠GDF＝30°，在B处测得∠HEF＝50°，点A、B、C共线，AC⊥CP 于点C，DF⊥CP于点F，AB为20米，BC＝30米，测角仪的高度（AD、BE）为1.3米，根据测量数据，请求出GH的值．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）19．如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．请根据以上信息，解决下列问题；（1）求AC的长度（结果保留根号）；（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留到1cm）．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．20．如图，海面上有A，B两个小岛，A在B的正东方向，有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向．从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为30海里．（1）求小岛A，B之间的距离（结果保留根号）；（2）渔船在P处发生故障、在原地等待救援，一艘救援船以每小时45海里的速度从A地出发先沿正西方向前往B点去取修理的材料（将材料装配上船的时间忽略不计），再沿射线BP方向以相同的速度前往P点进行救援．救援船从A点出发的同时，一艘补给船从C点出发，以每小时30海里的速度沿射线CP 方向前往P点，已知A、P，C三点在同一直线上，从B测得C在B的北偏西15°方向，请通过计算说明救援船能否在补给船到达P点后的40分钟之内赶到P点．（参考数据： 1.41，≈1.731，≈2.45）参考答案一．选择题1．解：∵将△ABC三边AC，BC，AB的长度分别5，12，13∴AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169∴AC2+BC2＝AB2∴△ABC为直角三角形，即∠C＝90°∴cos A＝＝现将每条边的长度都扩大为原来的5倍，则＝∴cos A的值不变．故选：A．2．解：过点P作PB⊥x轴于点B∵cosα＝＝∴可假设OB＝4，则OP＝5∴PB＝＝3∴点P的坐标可能是（4，3）故选：B．3．解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．AB＝＝＝5，BC＝2，AC＝＝∵S△ABC＝BC•3＝3，S△ABC＝AB•CD＝CD∴CD＝．在Rt△ACD中AD＝＝＝＝．∴tan∠BAC＝＝＝．故选：B．4．解：过点A作AH⊥BC于H∵△ABC是等边三角形∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°∵AH⊥BC∴∠BAH＝∠BAC＝30°∴∠BAD+∠DAH＝30°∵∠DAE＝30°∴∠BAD+∠EAC＝30°∴∠DAH＝∠EAC∴tan∠DAH＝tan∠EAC＝∵BH＝AB＝3∵AH＝AB sin60°＝6×＝3∴＝∴DH＝∴BD＝BH﹣DH＝3﹣故选：A．5．解：如图，设AB＝10m，过点B作BC⊥AC于点C由i＝1：3，得tanα＝＝∴AC＝3BC在Rt△ABC中∵AC2+BC2＝AB2∴（3BC）2+BC2＝102解得BC＝∴滑块上升的高度为：h＝．故选：A．6．解：如图，过点C作CE⊥BD，垂足为E∵∠ABC＝150°∴∠CBE＝180°﹣150°＝30°，∠BCE＝150°﹣90°＝60°又∵∠BCD＝105°∴∠DCE＝105°﹣60°＝45°在R△BCE中∠CBE＝30°，BC＝1800m∴CE＝BC＝900（m）在Rt△CDE中∠DCE＝45°∴CD＝CE＝900（m）故选：B．7．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D在Rt△ABD中∵sin B＝∴AD＝sin B•AB＝60sin50°即点A到BC的距离为60sin50°cm故选：A．8．解：作AD⊥BC于点D，如图∵BC∥EF∴∠DBA＝∠EAB，∠DCA＝∠CAF∵∠EAB＝37°，∠CAF＝60°∴∠DBA＝37°，∠DCA＝60°∵AD＝18米，tan∠DBA＝，tan∠DCA＝∴＝，＝解得BD＝24米，CD＝6米∴BC＝BD+CD＝（24+6）米故选：C．二．填空题9．解：如图，取BC的中点D，连接AD由网格可得，AC＝，AB＝∴AB＝AC∴AD⊥BCRt△ABD中∵AD＝∴sin∠ABC＝．故答案为：．10．解：如图，根据题意可知：∠BAC＝30°，∠DCB＝30°，AB＝4×4＝16（m）∴∠ADC＝90°，设CD＝x m∴AD＝AD＝xm，BD＝CD＝xm∵AD+BD＝AB∴x+x＝16∴x＝4（m）．答：这棵树与大厦的距离为4m．故答案为：4．11．解：∵迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝8m∴＝＝解得AC＝8则AB＝＝16（m）．故答案为：16．12．解：过点C作CH⊥AB于H．∵∠DAC＝60°，∠CBE＝45°∴∠CAH＝90°﹣∠CAD＝30°，∠CBH＝90°﹣∠CBE＝45°∴∠BCH＝90°﹣45°＝45°＝∠CBH∴BH＝CH在Rt△ACH中∠CAH＝30°，AH＝AB+BH＝12+CH，tan30°＝∴CH＝（12+CH）解得CH＝6（+1）．答：渔船与灯塔C的最短距离是6（+1）海里．故答案为：6+6．13．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D由题意得：AD＝150米在Rt△ADB中∠BAD＝30°∴BD＝AD•tan30°＝150×＝50（米）在Rt△ADC中∠DAC＝60°∴CD＝AD•tan60°＝150（米）∴BC＝BD+CD＝200（米）∴这栋楼的高度为200米故答案为：200．14．解：如图2，过C作CD⊥MN于D则∠CDB＝90°∵∠CAD＝60°，AC＝40（cm）∴CD＝AC•sin∠CAD＝40×sin60°＝40×＝20（cm）∵∠ACB＝15°∴∠CBD＝∠CAD﹣∠ACB＝60°﹣15°＝45°∴BC＝CD＝×20＝20≈20×2.449≈49（cm）故答案为49．三．解答题15．解：如图所示，过点A作AE⊥CD于点E，则四边形AEDB是矩形依题意BD＝56，∠EAD＝45°，∠CAE＝60°∴△ADE是等腰直角三角形∴AE＝ED则四边形ABDE是正方形∴AE＝BD＝56在Rt△ACE中∴答：天宁寺宝塔的高度为（）米．16．解：过点C作CF⊥BD，垂足为F由题意得：AC＝DF＝12m，CF＝AD设AD＝CF＝xm在Rt△ABD中∠BAD＝31°∴BD＝AD•tan31°≈0.6x（m）在Rt△CFB中∠BCF＝20°∴BF＝CF•tan20°≈0.36x（m）∴BD＝BF+DF＝（0.36x+12）m∴0.6x＝0.36x+12解得：x＝50∴AD＝50m，BD＝30m∴两楼的高度约为30m，两楼之间的距离约为50m．17．解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示：则四边形BCFE是矩形由题意得：AB＝45米，∠DAE＝75°，∠DCF＝∠FDC＝45°∵∠DCF＝∠FDC＝45°∴CF＝DF∵四边形BCFE是矩形∴BE＝CF＝DF在Rt△ADE中∠AED＝90°∴tan∠DAE＝＝＝2+∴BE＝30经检验，BE＝30是原方程的解∴EF＝DH﹣DF＝30+15﹣30＝15（米）答：此时小区楼房BC的高度为15米．（2）∵DE＝15（2+）米∴AE＝＝＝15（米）过D点作DG∥AB，交AC的延长线于G，作GH⊥AB于H在Rt△ABC中∠ABC＝90°，AB＝45米，BC＝15米∴tan∠BAC＝＝＝在Rt△AGH中GH＝DE＝15（2+）米AH＝＝＝（30+45）米∴DG＝EH＝AH﹣AE＝（30+45）﹣15＝（30+30）米（30+30）÷5＝（6+6）（秒）答：经过（6+6）秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．18．解：由题意得：EF＝BC＝30米，DF＝AC＝AB+BC＝50（米）在Rt△EHF中∠HEF＝50°∴HF＝EF•tan50°≈30×1.19＝35.7（米）在Rt△DFG中∠GDF＝30°∴FG＝DF•tan30°＝50×＝（米）∴HG＝FH﹣FG＝35.7﹣≈6.9（米）∴GH的值约为6.9米．19．解：（1）过F作FH⊥DE于H．∴∠FHC＝∠FHD＝90°．∵∠FDC＝30°，DF＝30∴，∵∠FCH＝45°∴CH＝FH＝15∴∵CE：CD＝1：3∴∵AB＝BC＝DE∴；（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G∵∠ACG＝45°∴＝20×1.41+20×2.45＝77.2≈77（cm）答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为77cm．20．解：（1）过P作PH⊥AB于H，如图：根据已知得：∠PBH＝45°，∠P AH＝30°，BP＝30海里∴∠PBH＝∠BPH＝45°∴△BPH是等腰直角三角形∴BH＝PH＝＝＝15（海里）在Rt△APH中tan∠P AH＝，即tan30°＝∴AH＝15（海里）∴AB＝BH+AH＝15+15≈57.9（海里）∴小岛A，B之间的距离约是57.9海里；（2）过P作PG⊥BC于G，如图：由（1）知AB＝57.9海里，BP＝30海里∴救援船到达P所需时间为≈1.95（小时）由已知可得∠CBP＝60°，∠BPC＝∠PBA+∠P AB＝75°∴∠GPB＝90°﹣∠CBP＝30°，∠GPC＝∠BPC﹣∠GPB＝45°在Rt△BPG中cos∠BPG＝，即cos30°＝∴PG＝15∵∠GPC＝45°＝∠C∴△GPC是等腰直角三角形∴CP＝PG＝15≈36.75（海里）∴补给船到达P所需时间为36.75÷30＝1.23（小时）∵1.95﹣1.23＝0.72（小时），0.72×60＝43.2（分）∴救援船不能在补给船到达P点后的40分钟之内赶到P点．。

阶段检测 9 图形的相像与解直角三角形一、选择题 ( 本大题有 10小题，每题 4 分，共 40分．请选出各小题中独一的正确选项，不选、多项选择、错选，均不得分) 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°， AB＝ 5 ， BC＝ 3 ，则 tanA 的值是 () A.34 B.43 C.35 D.45 2．如图，点 F 在平行四边形ABCD的边 AB上，射线 CF交 DA 的延伸线于点 E ，在不增添协助线的状况下，与△AEF相像的三角形有() A ． 0 个B．1个C．2个D．3个第2题图第3题图第 4 题图 3 ．如图，△ABC中，AD是中线， BC＝ 8 ，∠B＝∠DAC，则线段 AC的长为()A ． 4B ．42C． 6D ．434．如图，为了预计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点 P ，在近岸取点Q和 S ，使点 P ， Q，S 在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S 且与 PS垂直的直线 a 上选择适合的点 T ， PT与过点 Q且与 PS垂直的直线 b 的交点为 R. 假如QS＝ 60m， ST＝ 120m， QR＝ 80m，则河的宽度20 ×20D ． 180m 5．如图， D 、E 分别是△ABC的边AB、 BC上的点，且DE∥AC， AE、 CD订交于点O ，若 S△DOE∶S△COA＝ 1∶25 ，则 S△BDE与S△CDE的比是() A ． 1∶3 B ． 1∶4C．1∶5D．1∶25 第 5题图第 6题图第 7 题图6 ．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°， CD是斜边 AB上的高，以下线段的比值不等于 cosA的值的是() A.ADAC B.ACABC.BDBCD.CDBC 7．一个公共房门前的台阶超出地面 1.2 米，台阶拆掉后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如下图，则以下关系或说法正确的是 () A ．斜坡 AB的坡度是 10°B ．斜坡 AB的坡度是tan10 °C ． AC＝1.2tan10 °米 D ． AB＝ 1.2cos10 °米 8 ．如图，厂房子顶人字形( 等腰三角形) 钢架的跨度 BC＝ 10米，∠B＝36°，则中柱AD(D为底边中点 ) 的长是 () A ． 5sin36 °米B ． 5cos36°米C ． 5tan36 °米D ． 10tan36 °米第8题图9．下表是小明填写实习报告的部分内容：已知：sin47 °≈ 0.7313 ， cos47°≈ 0.6820，tan47 °≈ 1.0724 ， 1tan47 °≈ 0.9325 ，依据以上的条件，计算出铁塔顶端到山底的高度()题目在山脚下丈量铁塔顶端到山底的高度丈量目标图示CD ＝ 5m ∠ α＝45°，∠β＝ 47° A.64.87m B ．74.07m C ． 84.08m D． 88.78m 10 ．当“神舟”飞船完成变轨后，就在离地球表面400km的圆形轨道上运行，如图，当飞船运转到地球表面上P点的正上方的A处时，从飞船上能直接看到的地球上最远的点与P点相距(地球半径约为 6400km ，π≈3， sin20 °≈ 0.34 ， cos20 °≈ 0.94， tan20 °≈ 0.36，结果保存整数)()第 10题图 A ． 2133kmB．2217km C 题有6小题图，每个小在方格纸的． 2298km D ． 7467km 二、填空题( 本大，每题5分，共30分) 11．如正方形的边长为 1，△ABC的极点都格点上，则sinA＝.第11题图第12题图第 13题图12．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB ＝ 2km ，从A测得船C在北偏东60°的方向，从B测得船30°的方向，则船C离海岸线l C在北偏东的距离(即CD的长)为km. 13．如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝8米，BC＝20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为米．14．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，弦 AD均分∠BAC，交 BC于点E，若AB＝6， AD＝5 ，则 DE 的长为 ____________________ ．第14题图第 15题图第16题图15．如图，已知△ABC 、△DCE 、△FEG 、△HGI是 4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同向来线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI＝.16．如图，平面直角坐标系中，已知点A(4，0) 和点 B(0的中点，点P在折线AOB上，直得的三角形与△AOB 相似，那么，3)，点C是AB线 CP截△AOB，所点P 的坐标是.三、解答题(本大题有8 小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第 22、23题每题12分，第24题14分，共80分) 17．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角极点重合拼放在一同，点B， C， E 在同向来线上，若BC＝2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．18．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞翔至B 处需 8秒，在地面C处同一方向上分别测得A 处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞翔速度为4米/ 秒，求这架无人飞机的飞翔高度．(结果保存根号)19．小宇想丈量位于池塘两头的A、 B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF ＝45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF ＝60°.若直线 AB与 EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．20．如图，在△ABC中，∠C＝150°， AC ＝ 4 ，tanB＝ 18. (1)求BC的长；(2)利用此图形求 tan15 °的值(精确到0.1，参照数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2)21．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线y ＝－ x＋ 3 与x 轴交于点 C，与直线AD交于点A43，53，点D的坐标为(0，1)．第21题图(1)求直线AD的分析式；(2)直线AD与x轴交于点 B，若点E是直线AD上一动点(不与点 B 重合)，当△BOD与△BCE相像时，求点E的坐标．22．已知 Rt△ABC中，∠B＝90°， AC＝20， AB＝10，P是边AC上一点(不包含端点A、C)，过点 P作PE⊥BC于点 E，过点E作 EF∥AC，交 AB于点F.设PC ＝ x， PE ＝ y. 第22题图(1)求y与x 的函数关系式；(2)能否存在点P 使△PEF 是Rt△？若存在，求此时的 x的值；若不存在，请说明原因．23．如图 1，已知 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC ＝ 8cm ， BC ＝6cm.点 P 由 B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q 由 A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为 2cm/s.以 AQ、 PQ为边作平行四边形AQPD ，连结DQ ，交AB 于点 E.设运动的时间为t(单位：s)(0 ≤t ≤4)．解答下列问题：第23题图(1)用含有t的代数式表示AE ＝；(2)当t为何值时，平行四边形AQPD 为矩形；(3)如图2，当t为何值时，平行四边形AQPD 为菱形．24．如图，在 Rt△ABC中∠BAC ＝60°，动点M 每秒 2cm的速度向点A 点 C出发，在CB边上速运动，设运动时间第 24题图(1)若 BM＝△MBN 与△ABC相像，求时，四边形 ACNM的面阶段检测9图形的，∠ACB ＝90°， AC ＝ 5cm ，从点 B出发，在BA边上以匀速运动，同时动点N从以每秒 3cm 的速度向点 B 匀为 t秒 (0 ≤t ≤5)，连结MN. BN ，求t的值；(2)若t 的值；(3)当 t为何值积最小？并求出最小值．相似与解直角三角形一、 1―5.ACBCB6―10.CBCBA二、 11.5512.313.(14＋ 23)14.11515.4316.0，32，(2， 0)，78 ，0 三、17.在 Rt△ABC中， BC＝2，∠A＝30°，AC ＝BCtanA ＝23，则EF＝AC ＝23，∵∠E ＝45°，∴FC ＝ EF?sinE ＝ 6 ，∴AF＝ AC－FC ＝ 23 － 6.18．如图，作 AD⊥BC，BH⊥水平线，75°，∠BCH ＝30°， AB∥CH ，＝ 45°，∵AB＝ 32m，∴AD＝BD ＝ AB?cos30°＝163m，∴BC＝163m ，则 BH ＝ BC?sin30°＝ (8＋作 AM⊥EF于点 M ，作 BN⊥EF于点由题意可得，AM＝BN＝60米＝45°，∠BDF ＝60°，∴CM 米，DN＝BNtan60°＝ 603＝203米CM＝ 100＋203－ 60＝ (40＋203)的距离是(40＋ 203)米．第作AD⊥BC，交BC的延伸线于点在 Rt△ADC中， AC ＝4，∵∠C ＝30°，∴AD＝ 12AC＝2， CD由题意得：∠ACH ＝∴∠ ABC＝ 30°，∠ACB CD ＝ AB?sin30°＝16m ，CD＋ BD＝ 16＋83)m.第18题图19. N ，如右图所示，，CD ＝ 100 米，∠ACF＝AMtan45°＝ 601 ＝ 60，∴AB＝CD ＋DN －米，即A、 B两点19题图20． (1)过A D，如图 1 所示：150°，∴∠ ACD＝＝ AC?cos30°＝4×32＝23，在Rt△ABD中，tanB＝ADBD ＝ 2BD ＝18 ，∴BD＝16，∴BC＝BD－CD＝16－23；第20题图(2)在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连结AM，如图2所示：∵∠ACB＝150°，∴∠AMC＝∠MAC＝15°，tan15° ＝tan ∠AMD ＝ADMD ＝24＋23 ＝12＋3＝2－3≈0.3. 21．(1)设直线AD 的解析式为y＝kx＋b，将 A43，53 ， D(0，1)代入得： 43k＋b＝53 ， b＝1，解得： k＝ 12， b＝ 1.故直线AD的分析式为：y ＝ 12x＋1；第21题图(2) ∵直线AD与x轴的交点为(－ 2， 0)，∴OB＝2，∵点D的坐标为(0， 1)，∴OD＝ 1 ，∵y＝－x＋3与x轴交于点C(3，0)，∴OC＝3，∴BC＝5，∵△ BOD与△BCE相像，∴BDBC ＝BOBE ＝ODCE 或OBBC ＝ ODCE′，∴55＝ 2BE＝ 1CE或25＝1CE′，∴BE＝25 ，CE＝5，或CE′＝52，∴E(2，2)或3， 52. 22．(1)在 Rt△ABC中，∠B＝90°， AC＝20，AB＝10，∴sinC＝12，∵PE⊥BC于点E，∴sinC＝PEPC＝12，∵PC＝x，PE ＝y，∴y＝ 12x(0＜x＜ 20)；(2)存在点P使△PEF是Rt△，①如图 1 ，当∠FPE＝90°时，四边形PEBF是矩形，BF ＝PE＝12x，四边形APEF 是平行四边形，PE＝AF ＝ 12x，∵BF＋AF＝AB ＝10，∴x ＝ 10；②如图 2 ，当∠PFE＝90°时，Rt△APF∽Rt△ABC，AFAC＝APAB，AF ＝40－2x，平行四边形AFEP中， AF＝PE，即：40－2x＝ 12x，解得x＝16；③当∠PEF＝90°时，此时不存在符合条件的Rt△PEF.综上所述，当x＝10或x＝16时，存在点P使△PEF是 Rt△.第22题图23． (1)(5－t)cm∵Rt△ABC 中，∠C＝90°， AC＝8cm， BC ＝ 6cm.∴由勾股定理得： AB＝10cm，∵ 点P由 B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s，∴BP＝2tcm，∴AP＝AB－ BP＝(10－2t)cm，∵四边形AQPD 为平行四边形，∴AE＝12AP＝(5－t)cm；(2)当?AQPD是矩形时，PQ⊥AC ，∴PQ∥BC，∴△ APQ∽△ ABC ，∴QAAP＝ACAB ，即2t10－2t＝ 810，解之得：t＝209. ∴当t＝209时，?AQPD是矩形；(3)当?AQPD 是菱形时，DQ⊥AP ，则cos∠BAC＝AEAQ ＝ACAB，即5－ t2t＝45，解之得：t＝ 2513. ∴当t＝2513时，?AQPD 是菱形．24. (1)∵在 Rt△ABC中，∠ACB ＝90°， AC ＝5，∠BAC ＝60°，∴∠B ＝30°，∴AB＝2AC ＝10，BC＝ 53.由题意知： BM＝2t，CN ＝3t，∴BN ＝53－3t，∵BM＝ BN，∴2t＝53－3t，解得：t＝ 532＋3＝ 103－ 15.(2)分两种情况：①当△MBN∽△ ABC 时，则MBAB ＝BNBC ，即2t10＝53－3t53，解得：t＝52. ②当△NBM∽△ ABC 时，则NBAB 20 ×20＝BMBC ，即53－3t10＝2t53，解得：t＝157.综上所述：当t＝52或t＝157时，△MBN与△ABC相似．(3)过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，∴△ BMD∽△ BAC ，∴MDAC＝BMAB ，即MD5＝2t10，解得：MD ＝t.设四边形ACNM 的面积为y，∴y ＝12×5×53－12(53－3t)?t＝32t2－532t＋2532＝32t－522＋7583. ∴根据二次函数的性质可知，当t＝52时，y 的值最小．此时，y最小＝7583.20 ×20。

中考数学专题练习19《直角三角形》【知识归纳】1.直角三角形的定义有一个角是的三角形叫做直角三角形2.直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角；(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的；(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的3.直角三角形的判定(1)两个内角的三角形是直角三角形；(2)一边上的中线等于这条边的的三角形是直角三角形4.勾股定理及逆定理勾股定理：如果直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是三角形【基础检测】1.（·广西百色·3分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（）A．6 B．6 C．6 D．122.（·贵州安顺·3分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B． C． D．3．（广西南宁3分）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米4．（海南3分）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C 落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（）A．6 B．6C．2D．35.（·四川南充）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC 的中点，则DE的长为（）A．1 B．2 C．D．1+6. （·浙江省湖州市·4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是．7. （·湖北随州·3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= ．8．（·湖北荆州·10分）如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）若DH=6﹣3，求EF和半径OA的长．【达标检测】一．选择题1.（•毕节市）（第5题）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，， B． 1，， C． 6，7，8 D． 2，3，42．（•青岛，第4题3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A. B. 2 C.3 D. +23. 如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接DE,则图中等腰三角形共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是A．5 B．10 C．12 D．135.（·湖北荆门·3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．106. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )A．120° B．90° C．60° D．30°7. 已知等腰三角形ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为( )（第11题图）A. 21B. 20C. 19D. 188．（·四川宜宾）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A． B．2 C．3 D．29．（·湖北荆州·3分）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是（）A．2 B． C． D．二．填空题10．（湖北省鄂州市，15，3分）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为10 cm．11．（·四川宜宾）在平面直角坐标系内，以点P（1，1）为圆心、为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐标是．12.（·四川内江）如图4，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝______．13. （·湖北武汉）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA ＝55，则BD的长为_______．14. 如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，=1.73）．15. （·江西·3分）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是．DO CEBA图4三．解答题16．（江西，23，10分）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是（填序号即可）①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB．●数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧．．作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；●类比探索：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：．17.（·湖北咸宁）定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．理解：（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC=BD．求证：四边形ABCD是对等四边形；（3）如图3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=，点A在BP边上，且AB=13．用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长．【知识归纳答案】1.直角三角形的定义有一个角是 90°的三角形叫做直角三角形2.直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角互余；(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半3.直角三角形的判定(1)两个内角和为90°的三角形是直角三角形；(2)一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形4.勾股定理及逆定理勾股定理：如果直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2=c2逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形【基础检测答案】1.（·广西百色·3分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（）A．6 B．6C．6D．12【考点】含30度角的直角三角形．【分析】根据30°所对的直角边等于斜边的一半求解．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，∴BC=12sin30°=12×=6，故答选A．2.（·贵州安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2B． C． D．【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【解答】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．3．（广西南宁3分）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米【考点】解直角三角形的应用．【分析】根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米，在Rt△ABD中，利用∠B的正切进行计算即可得到AD的长度．【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米，∴DC=BD=5米，在Rt△ADC中，∠B=36°，∴tan36°=，即AD=BD•tan36°=5tan36°（米）．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．4．（海南3分）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C 落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（）A．6 B．6C．2D．3【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的性质判定△EDB是等腰直角三角形，然后再求BE．【解答】解：根据折叠的性质知，CD=ED，∠CDA=∠ADE=45°，∴∠CDE=∠BDE=90°，∵BD=CD，BC=6，∴BD=ED=3，即△EDB是等腰直角三角形，∴BE=BD=×3=3，故选D．【点评】本题考查了翻折变换，还考查的知识点有两个：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、等腰直角三角形的性质求解．5.（四川南充）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（）A．1 B．2 C．D．1+【分析】由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=2BC=2．然后根据三角形中位线定理求得DE=AB．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC=2．又∵点D、E分别是AC、BC的中点，∴DE是△ACB的中位线，∴DE=0.5 AB=1．故选：A．【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．6. （浙江省湖州市·4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是 5 ．【考点】作图—基本作图；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【分析】首先说明AD=DB，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可解决问题．【解答】解：由题意EF是线段AB的垂直平分线，∴AD=DB，Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，∴AB===10，∵AD=DB，∠ACB=90°，∴CD=AB=5．故答案为5．7. （湖北随州·3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= 3 ．【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质．【分析】连接CM，根据三角形中位线定理得到NM=CB，MN∥BC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM=AB=3，等量代换即可．【解答】解：连接CM，∵M、N分别是AB、AC的中点，∴NM=CB，MN∥BC，又CD=BD，∴MN=CD，又MN∥BC，∴四边形DCMN是平行四边形，∴DN=CM，∵∠ACB=90°，M是AB的中点，∴CM=AB=3，∴DN=3，故答案为：3．8．（湖北荆州·10分）如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）若DH=6﹣3，求EF和半径OA的长．【分析】（1）连接OB，根据已知条件得到△AOB是等边三角形，得到∠AO B=60°，根据圆周角定理得到∠AOF=∠BOF=30°，根据平行线的性质得到OC⊥CD，由切线的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠DBC=∠EAO=60°，解直角三角形得到BD=BC=AB，推出AE= AD，根据相似三角形的性质得到，求得EF=2﹣，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）连接OB，∵OA=OB=OC，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB=OC，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠FAD=15°，∴∠BOF=30°，∴∠AOF=∠BOF=30°，∴OF⊥AB，∵CD∥OF，∴CD⊥AD，∵AD∥OC，∴OC⊥CD，∴CD是半圆O的切线；（2）∵BC∥OA，∴∠DBC=∠EAO=60°，∴BD=BC=AB，∴AE=AD，∵EF∥DH，∴△AEF∽△ADH，∴，∵DH=6﹣3，∴EF=2﹣，∵OF=OA，∴OE=OA﹣（2﹣），∵∠AOE=30°，∴==，解得：OA=2．【点评】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，连接OB构造等边三角形是解题的关键．【达标检测答案】一．选择题1.（•毕节市）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（） A．，， B． 1，， C． 6，7，8 D． 2，3，4【解析】勾股定理的逆定理．.知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；B、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，故正确；C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．故选：B．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．2．（•青岛）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A. B. 2 C.3 D. +2【解析】含30度角的直角三角形．根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE 中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．故选C ．【点评】本题考查了角的平分线的性质以及直角三角形的性质，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，理解性质定理是关键．3. 如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，BD 是△ABC 的角平分线，若在边AB 上截取BE=BC ，连接DE,则图中等腰三角形共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【答案】D【解析】在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，求得∠ABC=∠C=72°，且△ABC 是等腰三角形． 因为BD 是△ABC 的角平分线 所以∠ABD=∠DBC=36° 所以△ABD 是等腰三角形． 在△BDC 中有三角形的内角和求出∠BDC=72° 所以△BDC 是等腰三角形．所以BD=BC=BE 所以△BDE 是等腰三角形．所以∠BDE=72°, 所以∠ADE=36°, 所以△ADE 是等腰三角形．共5个． 故选D ．4.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于E ，连接AE ，若CE=5，AC=12，则BE 的长是 A ．5B ．10C ．12D ．13【解答】解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∠C=90°， ∴CD=DE=1，又∵直角△BDE 中，∠B=30°， ∴BD=2DE=2， ∴BC=CD+BD=1+2=3．【答案】D.【解析】在Rt△CAE中，CE=5，AC=12，由勾股定理得：2213AE AC CE=+=又DE是AB的垂直平分线，∴BE=AE=13.故选D.5.（湖北荆门·3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．10【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∵AB=5，AD=3，∴BD==4，∴BC=2BD=8，故选C．6. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )A．120° B．90° C．60° D．30°【答案】D．【解析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解：（第11题图）∵直角三角形中，一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数=90°﹣60°=30°．故选D．7. 已知等腰三角形ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为( )A. 21B. 20C. 19D. 18【答案】A．【解析】由于等腰三角形的两腰相等，题目给出了腰和底，根据周长的定义即可求解：∵8+8+5=21．∴这个三角形的周长为21．故选A．8．（四川宜宾）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A． B．2C．3 D．2【考点】旋转的性质．【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出B、D两点间的距离．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE=4，DE=3，∴BE=1，在Rt△BED中，BD==．故选：A．9．（湖北荆州·3分）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是（）A．2 B． C． D．【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：∵由图可知，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∴cos∠ABC==．故选D．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．二．填空题10．（湖北省鄂州市，15，3分）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为10 cm．【解析】直角三角形斜边上的中线．【解答】连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP的长，画出的圆的半径就是OP长．【点评】解：连接OP，∵△AOB是直角三角形，P为斜边AB的中点，∴OP=AB，∵AB=20cm，∴OP=10cm，故答案为：10．11．（四川宜宾）在平面直角坐标系内，以点P（1，1）为圆心、为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐标是（0，3），（0，﹣1）．【考点】坐标与图形性质．【分析】在平面直角坐标系中，根据勾股定理先求出直角三角形的另外一个直角边，再根据点P的坐标即可得出答案．【解答】解：以（1，1）为圆心，为半径画圆，与y轴相交，构成直角三角形，用勾股定理计算得另一直角边的长为2，则与y轴交点坐标为（0，3）或（0，﹣1）．故答案为：（0，3），（0，﹣1）．12.（四川内江）如图4，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE ⊥BC，垂足为点E，则OE＝______．[答案]12 5[考点]菱形的性质，勾股定理，三角形面积公式。

中考数学解直角三角形练习第一课时(锐角三角函数)课标要求1、 通过实例认识直角三角形的边角关系：即锐角三角函数（sinA 、cosA 、tanA 、cotA ）2、 熟知300、450、600角的三角函数值3、 会用计算器求锐角的三角函数值：以及由已知的三角函数值求相应的锐角。

4、 通过特殊角三角函数值：知道互余两角的三角函数的关系。

5、 了解同角三角函数的平方关系。

sin 2α+cos 2α=1：倒数关系tan α·cot α=1.6、 熟知直角三角形中：300角的性质。

中招考点1、 锐角三角函数的概念：锐角三角函数的性质。

2、 300、450、600角的三角函数值及计算代数式的值。

3、 运用计算器求的三角函数值或由锐角三角函数值求角度。

典型例题[例题1] 选择题（四选一）1、如图19-1：在Rt △ABC 中：CD 是斜边AB 上的高：则下列线段比中不等于sinA 的是（ ）A. AC CDB. CB BDC.AB CBD.CBCD分析：sinA=AC CD ； sinA=sin ∠BCD=BC BD ;sinA= ABBC；从而判断D 不正确。

故应选D.。

2、在Rt △ABC 中：∠C ＝900：∠A ＝∠B ：则cosA 的值是（ ） A.21B. 22 C.23 D.1分析：先求出∠A 的度数：因为∠C ＝900：∠A ＝∠B ：故∠A ＝∠B ＝450：再由特殊角的三角函数值可得：cosA=cos450=22故选B.。

3、在△ABC 中：∠C ＝900：sinA=23 ；则cosB 的值为（ ）A. 21B. 22C.23D.33分析：方法一：因为sinA=23；故锐角A ＝600。

因为∠C ＝900：所以∠B ＝300.cosB=23.故选C.方法二：因为 ∠C ＝900：故 ∠A 与 ∠B 互余.所以cosB=sin A ＝23.故选C..4、如图19-2：在△ABC 中：∠C ＝900：sinA=53.则BC ：AC 等于（ ）A C图19-1A. 3：4B. 4：3C.3：5D.4：5 分析： 因为∠C ＝900：sinA ＝53 ；又sinA=AB BC .所以AB BC ＝53； 不妨设BC ＝3k ；AB=5k ；由勾股定理可得AC ＝22BC AB -＝4k ；所以BC ：AC ＝3k:4k=3:4故选A.。

解直角三角形一、选择题1、（2018•ft东淄博•4 分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了 100 米,其铅直高度上升了 15 米、在用科学计算器求坡角α的度数时,具体按键顺序是（）A、B、C、D、【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；T6：计算器—三角函数、【分析】先利用正弦的定义得到 sinA=0.15,然后利用计算器求锐角α、【解答】解：sinA===0.15,所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时,按键顺序为故选：A、【点评】本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器,一般情况下,三角函数值直接可以求出,已知三角函数值求角需要用第二功能键、2、（2018 年湖北省宜昌市 3 分）如图,要测量小河两岸相对的两点 P,A 的距离,可以在小河边取 PA 的垂线PB 上的一点C,测得PC=100 米,∠PCA=35°,则小河宽PA 等于（）A、100sin35°米B、100sin55°米C、100tan35°米D、100tan55°米【分析】根据正切函数可求小河宽PA 的长度、【解答】解：∵PA⊥PB,PC=100米,∠PCA=35°,∴小河宽PA=PCtan∠PC A=100tan35°米、故选：C、【点评】考查了解直角三角形的应用,解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形,构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）、②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形,得到数学问题的答案,再转化得到实际问题的答案、3. (2018 四川省绵阳市)一艘在南北航线上的测量船,于A 点处测得海岛B 在点A 的南偏东30°方向,继续向南航行 30 海里到达C 点时,测得海岛 B 在C 点的北偏东15°方向,那么海岛 B 离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：）（） A.4.64 海里 B.5.49 海里 C.6.12 海里 D. 6.21 海里【答案】B【考点】三角形内角和定理,等腰三角形的性质,解直角三角形的应用﹣方向角问题【解析】【解答】解：根据题意画出图如图所示：作BD⊥A C,取BE=CE,∵AC=30,∠CAB=30°∠ACB=15°,∴∠ABC=135°,又∵BE=CE,∴∠ACB=∠EBC=15°,∴∠A BE=120°,又∵∠CAB=30°∴BA=BE,AD=DE,设BD=x,在Rt△ABD中,∴AD=DE=x,AB=BE=CE=2x,∴AC=AD+DE+EC=2x+2x=30,∴x==≈5.49,故答案为：B.【分析】根据题意画出图如图所示：作 B D⊥AC,取 BE=CE,根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出 BA=BE, AD=DE,设 BD=x,Rt△ABD 中,根据勾股定理得 AD=DE= x,AB=BE=CE=2x,由 AC=AD+DE+EC=2x+2x=30,解之即可得出答案. 二.填空题1. （2018·重庆(A)·4 分）如图,把三角形纸片折叠,使点 B 、点C 都与点 A 重合,折痕分别为 DE ,FG ,得到∠AGE = 30︒,若 AE = EG = 2厘米,则 ABC 的边BC 的长为 厘米。

直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知a ＝2，cos B ＝13，则b 的长为( ) A.2310 B ．210 C ．4 2 D.432 2. 如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos B 的值是( )A.35B.45C.34D.433. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝35，则cos B 的值是( ) A.45 B.35 C.34 D.434. 在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝13，则cos A 的值为( ) A.1010 B.23 C.34 D.310105. 如图，点A 为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列表示cos α的值，错误的是( )A.BD BCB.BC ABC.AD ACD.CD AC6. 如图，某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C ，此时飞行高度AC ＝1 200 m ，从飞机上看地平面指挥台B 的俯角α＝30°，则飞机A 与指挥台B 的距离为( )A ．1 200 mB ．1 200 2 mC ．1 200 3 mD ．2 400 m7. 已知一个直角三角形中：①两条边的长度；②两个锐角的度数；③一个锐角的度数和一条边的长度．利用上述条件中的一个，能解这个直角三角形的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③8. 在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝35，c ＝352，则∠B 为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°9. 如图，从山顶A 望地面C ，D ，测得它们的俯角分别为45°，30°，已知CD ＝100 m ，点C 在BD 上，则山高AB 等于( )A ．100 mB ．50 3 mC ．50 2 mD ．50(3＋1) m10. 某楼梯的侧面如图所示，已测得BC 的长约为3.5米，∠BCA 约为29°，则该楼梯的高度AB 可表示为( )A ．3.5sin 29°米B ．3.5cos 29°米C ．3.5tan 29°米 D. 3.5cos 29°米 11. 如图，在东西方向的海岸线上有A ，B 两个港口，甲货船从A 港沿北偏东60°的方向以20海里/时的速度出发，同时乙货船从B 港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P 处，则乙货船每小时航行________海里．12. 如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，BC ＝2，AC ＝6，解此直角三角形．13. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD 是∠BAC 的角平分线，与BC 相交于点D ，且AB ＝4，求AD 的长．14. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C＝45°，sin B ＝，AD ＝1.(1)求BC 的长；(2)求tan ∠DAE 的值．参考答案：1---10 CABDC DCBDA 11. 10 212. 在Rt △ABC 中，∵tan A ＝BC AC ＝2662＝33，∴∠A ＝30°. ∴∠B ＝90°－30°＝60°，AB ＝2BC ＝4 613. 在Rt △ABC 中，AC ＝AB·sin 30°＝23，在Rt △ADC 中，AD ＝AC cos 30°＝4 14. (1)在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB ＝∠ADC＝90°.在△ADC 中，∵∠ADC ＝90°，∠C ＝45°，AD ＝1，∴DC ＝AD ＝1.在△ADB 中，∵∠ADB ＝90°，sin B ＝13，AD ＝1，∴AB ＝AD sin B＝3，∴BD ＝AB 2－AD 2＝2 2.∴BC ＝BD ＋DC ＝22＋1(2)∵AE 是BC 边上的中线，∴CE ＝12BC ＝2＋12，∴DE ＝CE －CD ＝2－12，∴tan ∠DAE ＝DE AD ＝2－12。

第四章三角形第 1 课时平行线、相交线【备考演练】一、选择题1．(2017·南宁) 如图，△ABC中，AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是( )A．∠DAE＝∠B B．∠EAC＝∠CC．AE∥BC D．∠DAE＝∠EAC2．(2017·海南) 如图，直线a∥b，则b与c相交所形成的∠1的度数为( )A．45° B．60°C．90° D．120°3．(2017·山西) 如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能．．判定直线a与b平行的是( )A．∠1＝∠3 B．∠2＋∠4＝180°C．∠1＝∠4 D．∠3＝∠44．(2017·陕西) 如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点B落在直线a上．若∠1＝25°，则∠2的大小为( )A．55° B．75°C．65° D．85°5．一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两个拐弯的角度可能为( )A．先向左转130°，再向左转50°B．先向左转50°，再向右转50°C．先向左转50°，再向右转40°D．先向左转50°，再向左转40°6．(2017·黄冈) 已知：如图，直线a∥b，∠1＝50°，∠2＝∠3，则∠2的度数为( )A．50° B．60°C．65° D．75°二、填空题1．把15°30′化成度的形式，则15°30′＝__________度．若∠α＝13°，则∠α的余角大小是__________．2．命题“对顶角相等”的条件是________________．3．(2017·贵港) 如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，如果∠CFE∶∠EFB＝3∶4，∠ABF＝40°，那么∠BEF的度数为__________．4．如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一现象的原因是____________________________________．5．如图，AB∥CD，直线l分别与AB，CD相交，若∠1＝50°，则∠2的度数为__________．6．如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝__________度．7．如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1＝25°，则∠2＝__________．8．如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝59°，则∠4＝__________.三、解答题1．如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC.求证：AB＝AC.2．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝65°，求∠2的度数．四、能力提升1．已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2，求证：CD⊥AB.2．如图在△ABC中，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B, 试判断∠AED与∠C大小关系，并说明你的理由。

（湖南株洲第23题）如图示一架水平飞行的无人机AB 的尾端点A 测得正前方的桥的左端点P 的俯角为α其中tanα=23，无人机的飞行高度AH 为5003米，桥的长度为1255米． ①求点H 到桥左端点P 的距离；②若无人机前端点B 测得正前方的桥的右端点Q 的俯角为30°，求这架无人机的长度A B ．【答案】①求点H 到桥左端点P 的距离为250米；②无人机的长度AB 为5米．②设BC ⊥HQ 于C ．在Rt △BCQ 中，∵BC =AH =5003，∠BQC =30°， ∴CQ =tan 30BC︒=1500米，∵PQ =1255米，∴CP =245米，∵HP =250米，∴AB =HC =250﹣245=5米．答：这架无人机的长度AB 为5米．.考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．（内蒙古通辽第22题）如图，物理老师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA 的位置时俯角030=⊥EOA ，在OB 的位置时俯角060=∠FOB .若EF OC ⊥，点A 比点B 高cm 7.求（1）单摆的长度（7.13≈）；（2）从点A 摆动到点B 经过的路径长（1.3≈π）.【答案】（1）单摆的长度约为18.9cm（2）从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm则在Rt△AOP中，OP=OAcos∠AOP=12 x，在Rt△BOQ中，OQ=OBcos∠BOQ=32x，由PQ=OQ﹣OP 3﹣12x=7，解得：x3（cm），.答：单摆的长度约为18.9cm；（2）由（1）知，∠AOP=60°、∠BOQ=30°，且OA=OB3，∴∠AOB=90°，则从点A摆动到点B经过的路径长为907+73180π⨯（）≈29.295，答：从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm．考点：1、解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2、轨迹.（湖南张家界第19题）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD 两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）【答案】4.2m．考点：解直角三角形的应用．（海南第22题）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度B C．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）【答案】水坝原来的高度为12米．.考点：解直角三角形的应用，坡度.（乌鲁木齐第21题）一艘渔船位于港口A的北偏东60方向，距离港口20海里B处，它沿北偏西37方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，,B C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发20分钟到达C处，求救≈≈≈，结果取整数）援的艇的航行速度.(sin370.6,cos370.8,3 1.732【答案】救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．【解析】试题分析：辅助线如图所示：BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF，在Rt△ABD中，根据勾股定理可求AD，在Rt△BCE中，根据三角函数可求CE，EB，在Rt△AFC中，根据勾股定理可求AC，再根据路程÷时间=速度求解即可．试题解析：辅助线如图所示：答：救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．考点：解直角三角形的应用﹣方向角问题（浙江省绍兴市）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．（1）求∠BCD的度数．（2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）【答案】（1）38°；（2）20.4m．【解析】试题分析：（1）过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；（2）在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，由BE+DE求出BD的长，即为教学楼的高．试题解析：（1）过点C作CE⊥BD，则有∠DCE=18°，∠BCE=20°，∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°；（2）由题意得：CE=AB=30m，在Rt△CBE中，BE=CE•tan20°≈10.80m，在Rt△CDE中，DE=CD•tan18°≈9.60m，∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4m，则教学楼的高约为20.4m．考点：1．解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2．应用题；3．等腰三角形与直角三角形．（·湖北随州·8分）某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．解：如图，过点E作EF⊥AC，EG⊥CD，在Rt△DEG中，∵DE=1620，∠D=30°，∴EG=DEsin∠D=1620×=810，∵BC=857.5，CF=EG，∴BF=BC﹣CF=47.5，在Rt△BEF中，tan∠BEF=，∴EF=BF，在Rt△AEF中，∠AEF=60°，设AB=x，∵tan∠AEF=，∴AF=EF×tan∠AEF，∴x+47.5=3×47.5，∴x=95，答：雕像AB的高度为95尺．2. （·吉林·7分）如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=43°，求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数）（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）解：如图，∠B=α=43°，在Rt△ABC中，∵sinB=，∴AB=≈1765（m）．答：飞机A与指挥台B的距离为1765m．3.（·江西·8分）如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA=OB=10cm．（1）当∠AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到0.01cm）（2）保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到0.01cm）（参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器）解：（1）作OC⊥AB于点C，如右图2所示，由题意可得，OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°，∴∠BOC=9°∴AB=2BC=2OB•sin9°≈2×10×0.1564≈3.13cm，即所作圆的半径约为3.13cm；（2）作AD⊥OB于点D，作AE=AB，如下图3所示，∵保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，∴折断的部分为BE，∵∠AOB=18°，OA=OB，∠ODA=90°，∴∠OAB=81°，∠OAD=72°，∴∠BAD=9°，∴BE=2BD=2AB•sin9°≈2×3.13×0.1564≈0.98cm，即铅笔芯折断部分的长度是0.98cm．4. （·辽宁丹东·10分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）解：根据题意，得∠ADB=64°，∠ACB=48°在Rt△ADB中，tan64°=，则BD=≈AB，在Rt△ACB中，tan48°=，则CB=≈AB，∴CD=BC﹣BD即6=AB﹣AB解得：AB=≈14.7（米），∴建筑物的高度约为14.7米．5.（·四川宜宾）如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A 点的仰角β=60°，求树高AB（结果保留根号）解：作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在Rt△ACF中，tan∠ACF=，则CF====x，在直角△ABE中，AB=x+BF=4+x（米），在直角△ABF中，tan∠AEB=，则BE===（x+4）米．∵CF﹣BE=DE，即x﹣（x+4）=3．解得：x=，则AB=+4=（米）．答：树高AB是米．6.（·湖北黄石·8分）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米）解：（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中，∵sin∠BAH=，∴BH=800•sin30°=400，∴EF=BH=400m；（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=，∴CE=200•sin45°=100≈141.4，∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．（·湖北荆门·6分）如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小和小明同时分别从A处和B 处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小的行走速度为米/秒．若小明与小同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设AD =x 米，小明的行走速度是a 米/秒， ∵∠A =45°，CD ⊥AB ，∴AD =CD =x 米， ∴AC =x ．在Rt △BCD 中， ∵∠B =30°， ∴BC ===2x ，∵小的行走速度为米/秒．若小明与小同时到达山顶C 处，∴=，解得a =1米/秒．答：小明的行走速度是1米/秒．8.（·四川内江）(9分)如图，禁渔期间，我渔政船在A 处发现正北方向B 处有一艘可疑船只，测得A ，B 两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东30°方向前去拦截，经历4小时刚好在C 处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度(结果保留根号)．[考点]三角函数、解决实际问题。