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三角方法研讨几何不等式定理1.9：若P 是ABC ∆内部一点，从P 向ABC ∆三边作垂线123PH PH PH ,,，则：122PA PB PC 2PH PH PH ()++≥++ 121()-这个不等式是鄂尔多斯在1935年的猜想，同年被莫德尔证明，故被命名为鄂尔多斯-莫德尔不等式。
证明：将其变换为三角几何不等式。
记：11h PH =，22h PH =，33h PH =，并应用正弦定理和余弦定理。
由于2PH A 2π∠=， 3PH A 2π∠= 所以23A H P H ,,四点共圆，PA 为圆直径。
由正弦定理得：23H H PA Asin =， 即：23PA A H H sin = ①由余弦定理得：23H H = ②由①②得：23PA A H H sin ==③同理：31PB B H H sin ==④12PC B H H sin ==⑤由③④⑤得：233112H H H H H H PA PB PC A B Csin sin sin ++=++ ⑥ 于是，我们只需证明：233112123H H H H H H 2h h h A B C ()sin sin sin ++≥++ ⑦ 由于12H H 等项数多且根号，我们采用其平方策略，以及A B C π++=。
由③式及放缩法得：222232323H H h h 2h h A cos()π=+-⋅-222323h h 2h h B C cos()=+-⋅+A B CPH 1 H 2H 32222222323h C C h B B 2h h B C B C (sin cos )(sin cos )(cos cos sin sin )=+++-⋅-22222233h C 2h h B C h B (sin sin sin sin )=+⋅+22222233h C 2h h B C h B (cos cos cos cos )+-⋅+222323h C h B h C h B (sin sin )(cos cos )=++-223h C h B (sin sin )≥+ 即：2323H H h C h B sin sin ≥+ 同理：1212H H h B h A sin sin ≥+，3131H H h A h C sin sin ≥+ 故由⑥式：233112H H H H H H PA PB PC A B C sin sin sin ++=++ 233112h C h B h A h C h B h A A B Csin sin sin sin sin sin sin sin sin +++≥++ 123C B C A A B h h h B C A C B Asin sin sin sin sin sin ()()()sin sin sin sin sin sin =+++++123≥++ 1232h h h ()=++本题由放缩法得到：123PA PB PC 2h h h ()++≥++. 证毕。
不等式几何算数不等式、几何和算数是数学中的三个重要概念。
它们在数学领域有着广泛的应用，能够帮助我们理解和解决各种实际问题。
本文将从不等式、几何和算数三个方面来探讨它们的关系和应用。
我们来看看不等式。
不等式是数学中一种重要的关系式，用于比较两个数的大小关系。
常见的不等式符号有大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）。
不等式在实际问题中有着广泛的应用，例如在经济学中，用来描述供需关系；在物理学中，用来描述物体的运动状态等。
几何是研究空间形状、大小、位置关系等的数学分支。
几何研究的对象包括点、线、面、体等。
几何中的不等式也是非常重要的，例如三角不等式是指对于任意三角形的三边长a、b、c，有a+b>c、a+c>b和b+c>a。
三角不等式是解决与三角形相关问题的重要基础。
此外，几何中还有不等式的运用，如在证明几何定理时，往往需要借助一些不等式来推导。
算数是数学中最基础、最常用的分支之一。
算数主要研究数的四则运算、整数、分数、小数、百分数、平方根等。
在算数中，不等式的概念同样非常重要。
例如，在解一元一次不等式时，我们需要掌握一些基本的不等式变换规则，如加减法、乘除法等。
此外，算数中的数值大小比较也是通过不等式来实现的。
不等式、几何和算数是数学中不可或缺的三个概念。
它们相互关联，相互支撑，共同构成了数学领域的重要组成部分。
不等式在几何和算数中都有广泛的应用，通过不等式我们可以更好地理解和解决各种数学问题。
因此，深入学习和掌握不等式、几何和算数的知识对于我们的数学学习和实际应用都具有重要意义。
希望通过本文的介绍，读者能够对不等式、几何和算数有更深入的了解，并能够在实际问题中灵活运用它们。
同时，也希望读者能够进一步探索数学的奥秘，发现更多有趣的数学知识和应用。
学生： 科目： 数 学 教师： 谭 前 富知识框架在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
最值问题的解决方法通常有两种： （1） 应用几何性质：① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ② 两点间线段最短；③ 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④ 定圆中的所有弦中，直径最长。
⑵运用代数证法：① 运用配方法求二次三项式的最值； ② 运用一元二次方程根的判别式。
【例题精讲】一. 最短路径和几何不等式问题： 考查知识点----：“两点之间线段最短”，“两边之和大于第三边”，“斜边大于直角边”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
最短路径和几何不等式问题的两种基本模型----：Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。
凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。
（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。
解题总思路----找点关于线的对称点实现“折”转“直”，较难的会出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
二．最短距离中的数形结合：例：求代数式9)12(422+-++x x 的最小值.课 题几何模型之二：图形中的最短距离、定值及不等式问题教学内容三．立体几何中的最短路径问题：（1）台阶问题 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？（2）圆柱问题 有一圆形油罐底面圆的周长为24m ，高为6m ，一只老鼠从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？变式1：有一圆柱形油罐，已知油罐周长是12m ，高AB 是5m ，要从点A 处开始绕油罐一周建造梯子，正好到达A 点的正上方B 处，问梯子最短有多长？变式2： 桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B 处时，突然发现了蜜糖。
专题：几何不等式
平面图形中所含的线段长度、角的大小及图形的面积在许多情形下会呈现不等的关系．由于这些不等关系出现在几何问题中，故称之为几何不等式．
在解决这类问题时，我们经常要用到一些教科书中已学过的基本定理，本讲的主要目的是希望大家正确运用这些基本定理，通过几何、三角、代数等解题方法去解决几何不等式问题．这些问题难度较大，在解题中除了运用不等式的性质和已经证明过的不等式外，还需考虑几何图形的特点和性质．
几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类，在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理，还需用到一些图形的面积公式．下面先给出几个基本定理．
定理1在三角形中，任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边．
定理2同一个三角形中，大边对大角，小边对小角，反之亦然．
定理3在两边对应相等的两个三角形中，第三边大的，所对的角也大，反之亦然．
定理4三角形内任一点到两顶点距离之和，小于另一顶点到这两顶点距离之和．
定理5自直线l外一点P引直线l的斜线，射影较长的斜线也较长，反之，斜线长的射影也较长．
说明如图2-135所示．PA，PB是斜线，HA和HB分别是PA和PB在l 上的射影，若HA＞HB，则PA＞PB；若PA＞PB，则HA＞HB．事实上，
由勾股定理知
PA2-HA2=PH2=PB2-HB2，
所以
PA2-PB2=HA2-HB2．
从而定理容易得证．
定理6 在△ABC中，点P是边BC上任意一点，则有
PA≤max｛AB，AC｝，
当点P为A或B时等号成立．
说明 max｛AB，AC｝表示AB，AC中的较大者，如图2-136所示，若P 在线段BH上，则由于PH≤BH，由上面的定理5知PA≤BA，从而
PA≤max｛AB，AC｝．
同理，若P在线段HC上，同样有PA≤max｛AB，AC｝．
例1 在锐角三角形ABC中，AB＞AC，AM为中线，P为△AMC内一点，证明：PB＞PC(图2-137)．
证在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且AB＞AC，由定理3知，∠AMB＞∠AMC，所以∠AMC＜90°．
过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．如果H在线段MC内部，则
BH＞BM=MC＞HC．
如果H在线段MC的延长线上，显然BH＞HC，所以PB＞PC．
例2 已知P是△ABC内任意一点(图2-138)．
(1)求证：
＜a＋b＋c；
(2)若△ABC为正三角形，且边长为1，求证：
PA+PB＋PC＜2．
证 (1)由三角形两边之和大于第三边得
PA＋PB＞c，PB＋PC＞a，PC＋PA＞b．把这三个不等式相加，再两边除以2，便得
又由定理4可知
PA＋PB＜a＋b， PB＋PC＜b＋c，
PC+PA＜c＋a．
把它们相加，再除以2，便得
PA＋PB＋PC＜a＋b＋c．
所以
(2)过P作DE∥BC交正三角形ABC的边AB，AC于D，E，如图2-138所示．于是
PA＜max｛AD，AE｝＝AD，
PB＜BD＋DP，PC＜PE＋EC，
所以
PA＋PB＋PC＜AD＋BD＋DP＋PE＋EC
=AB＋AE＋EC=2．
例3如图2-139．在线段BC同侧作两个三角形ABC和DBC，使得AB=AC，DB＞DC，且AB＋AC=DB＋DC．若AC与BD相交于E，求证：AE＞DE．
证在DB上取点F，使DF=AC，并连接AF和AD．由已知2DB＞DB+DC
=AB+AC=2AC，
所以 DB＞AC．
由于DB＋DC=AB＋AC=2AC，所以
DC＋BF=AC=AB．
在△ABF中，
AF＞AB-BF=DC．
在△ADC和△ADF中，
AD=AD，AC=DF，AF＞CD．
由定理3，∠1＞∠2，所以
AE＞DE．
例4 设G是正方形ABCD的边DC上一点，连结AG并延长交BC延长线于K，求证：
分析在不等式两边的线段数不同的情况下，一般是设法构造其所
为边的三角形．
证如图2-140，在GK上取一点M，使GM=MK，则
在Rt△GCK中，CM是GK边上的中线，所以
∠GCM=∠MGC．
而∠ACG=45°，∠MGC＞∠ACG，于是
∠MGC＞45°，
所以
∠ACM=∠ACG＋∠GCM＞90°．
由于在△ACM中∠ACM＞∠AMC，所以AM＞AC．故
例5如图2-141．设BC是△ABC的最长边，在此三角形内部任选一点O，AO，BO，CO分别交对边于A′，B′，C′．证明：
(1)OA′＋OB′＋OC′＜BC；
(2)OA′＋OB′+OC′≤max｛AA′，BB′，CC′｝．
证 (1)过点O作OX，OY分别平行于边AB，AC，交边BC于X，Y点，再过X，Y分别作XS，YT平行于CC′和BB′交AB，AC于S，T．由于△OXY∽△ABC，所以XY是△OXY的最大边，所以
OA′＜max｛OX，OY｝≤XY．
又△BXS∽△BCC′，而BC是△BCC′中的最大边，从而BX也是△BXS 中的最大边，而且SXOC′是平行四边形，所以
BX＞XS=OC′．
同理
CY＞OB′．
所以
OA′＋OB′＋OC′＜XY＋BX＋CY=BC．
所以
OA′＋OB′+OC′=x·AA′+y·BB′＋z·CC′
≤(x+y+z)max｛AA′，BB′，CC′｝
=max｛AA′，BB′，CC′｝
下面我们举几个与角有关的不等式问题．
例6在△ABC中，D是中线AM上一点，若∠DCB＞∠DBC，求证：∠ACB＞∠ABC(图2-142)．
证在△BCD中，因为∠DCB＞∠DBC，所以BD＞CD．
在△DMB与△DMC中，DM为公共边，BM=MC，并且BD＞CD，由定理3知，∠DMB＞∠DMC．在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且∠AMB ＞∠AMC，由定理3知，AB＞AC，所以
∠ACB＞∠ABC．
说明在证明角的不等式时，常常把角的不等式转换成边的不等式．
证由于AC＞AB，所以∠B＞∠C．作∠ABD=∠C，如图
2
即证BD∠CD．因为△BAD∽△CAB，
即 BC＞2BD．
又 CD＞BC-BD，
所以
BC＋CD＞2BD＋BC-BD，
所以 CD＞BD．
从而命题得证．
例8在锐角△ABC中，最大的高线AH等于中线BM，求证：∠B＜60°(图2-144)．
证作MH1⊥BC于H1，由于M是中点，所以
于是在Rt△MH1B中，
∠MBH1=30°．
延长BM至N，使得MN=BM，则ABCN为平行四边形．因为AH为最ABC中的最短边，所以
AN=BC＜AB，
从而
∠ABN＜∠ANB=∠MBC=30°，
∠B=∠ABM+∠MBC＜60°．
下面是一个非常著名的问题——费马点问题．
例9如图2-145．设O为△ABC内一点，且
∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，
P为任意一点(不是O)．求证：
PA＋PB+PC＞OA+OB+OC．
证过△ABC的顶点A，B，C分别引OA，OB，OC的垂线，设这三条垂线的交点为A1，B1，C1(如图2-145)，考虑四边形AOBC1．因为
∠OAC1=∠OBC1=90°，∠AOB=120°，
所以∠C1=60°．同理，∠A1=∠B1=60°．所以△A1B1C1为正三角形．
设P到△A1B1C1三边B1C1，C1A1，A1B1的距离分别为ha，hb，hc，且△A1B1C1的边长为a，高为h．由等式
S△A1B1C1=S△PB1C1+S△PC1A1＋S△PA1B1
知
所以 h=h a＋h b＋h c．
这说明正△A1B1C1内任一点P到三边的距离和等于△A1B1C1的高h，这是一个定值，所以
OA＋OB＋OC=h=定值．
显然，PA＋PB＋PC＞P到△A1B1C1三边距离和，所以
PA＋PB＋PC＞h=OA＋OB＋OC．
这就是我们所要证的结论．
由这个结论可知O点具有如下性质：它到三角形三个顶点的距离和小于其他点到三角形顶点的距离和，这个点叫费马点．
练习二十三
1．设D是△ABC中边BC上一点，求证：AD不大于△ABC中的最大边．
2．AM是△ABC的中线，求证：
3．已知△ABC的边BC上有两点D，E，且BD=CE，求证：AB＋AC＞AD ＋AE．
4．设△ABC中，∠C＞∠B，BD，CE分别为∠B与∠C的平分线，求证：BD＞CE．
5．在△ABC中，BE和CF是高，AB＞AC，求证：
AB+CF≥AC＋BE．
6．在△ABC中，AB＞AC，AD为高，P为AD上的任意一点，求证：
PB-PC＞AB-AC．
7．在等腰△ABC中，AB=AC．
(1)若M是BC的中点，过M任作一直线交AB，AC(或其延长线)于D，E，求证：2AB＜AD+AE．
(2)若P是△ABC内一点，且PB＜PC，求证：∠APB＞∠APC．。
