人教版初三数学上册二次函数线段最值问题

二次函数的最值问题——求线段，三角形周长及面积的最值摘要：二次函数作为初中最重要的函数，近几年来，中考拉分题常常利用二次函数求线段的最值、三角形周长的最小值及面积的最大值问题。

在解决二次函数的最值问题时，一般构建二次函数模型，通过数形结合把求三角形的周长、三角形面积的最值问题转化为求线段长度的问题。

关键词：二次函数；最值问题；轴对称；数形结合一、将军饮马“K”字形，两点之间线段最短问题1.二次函数与x轴交于点A（-1，0），B（3,0），与y轴交于点C（0,3）．在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的分析：由已知，可求得二次函数的对称轴为，又因为二次函数图像关于对称轴对称可知：A、B两点关于对称，,连接BC与对称轴的交点为所求P点，则,所以CH＋EH的最小值为。

小结：利用二次函数求两线段和的最小值问题，我们通常是作其中一点关于对称轴的对称点，连接对称点与另一点得到的线段长度为我们所求的两线段和的最小值。

变式1.如问题1改为：的周长是否存在最小值？若存在，请求出的周长；若不存在，请说明理由。

分析：延伸1看起来跟问题1不一样，但实际上，万变不离其宗。

，已知A,C两点坐标，由勾股定理可得，,题目中要求周长的最小值可转化为求的最小值，也就转化为问题1，即：,问题2.如图，直线与抛物线交于点A（0,3），B(3,0) ,点F是线段AB上的动点，FE x轴，E在抛物线上，若点F的横坐标为m，请用含m的代数式表示EF的长并求EF的最大值。

分析：利用E、F分别在抛物线及一次函数上可得到，,因为,所以,可求得当时，EF的最大值为小结：利用二次函数求竖直线段的最大值，一般是通过设未知数表示出二次函数及一次函数图像上的两点，由横坐标相等，利用两点纵坐标相减可得到线段的长度，再利用二次函数求最值方法可求出线段的最大值。

变式1：问题2改为过E作,求的最大值是多少？分析：因为该一次函数，可知为等腰直角三角形，，要求的最大值只需求得的最大值，由此就转化为问题2，所以小结：求斜线段的最大值问题，一般转化为求平行于y轴线段的最值问题，再利用三角函数可求得斜线段的最大值。

P16练习1、2 P17-18 9、10
问题1：已知函数y=x2+2x-3 且 0≤x≤2 3≤x≤-2 ,求函数的 最值。 解：因为由图易知:对称轴 X0= -1 函数在0≤x≤2上y随x的 增大而增大 所以：ymin= 0 20 3 3 2 ymax= 2 22 3 5
求二次函数的最值，实际上就是求顶点纵坐标的值， 是最大还是最小由a的符号确定。具体方法有两种： （1）用配方法求顶点 （2）用公式法
2.说出下列函数的最大值、最小值
（1）y=2x2-3
（3）y=-（x+1）2+2
（2）y=-3（x-2）2
（4）y=4(x-3)2-9
随堂练习
3Hale Waihona Puke 确定下列二次函数的最大值（或最小值）:
1 2 (1) y = x -6x+13 (配方法）； 2
(2) y=-x² -3x+1（公式法）.
1 2 解： y = x -6x+13 2 1 2 y x 1 2 x2 6 2
提取a,使二次 项系数为1 加上并减 去一次项 系数一半 的平方 写成配方式
1 2 y x 1 2 x 3 6 3 6 2 6 2
答：函数的最小值为-3，最大值为0
问题3:已知函数y=x2 + 2x-3 且 -2≤x≤2 , 求函数的最值。
解：因为由图易知：对称轴 X0=-1，顶点坐标为（-1，-4） 所以 ymin= = -4 ; 又因为： 2 2 2 2 3 3 当x=-2时， 2 当x=2时，2 22 3 5
公式法 此时，a=1,b=-4,
c=1,所以函数有 最小值，为
2 4 a c b b 对称轴为：直线 x ， y 4a 2a 2 2 b 4ac b 4 1 1 4 顶点坐标是： 3 2a , 4a 4 1

九年级数学二次函数最值问题
我们要解决一个关于二次函数的最值问题。

首先，我们需要理解二次函数的基本性质，特别是它的开口方向和顶点。

假设我们的二次函数是 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。

二次函数的开口方向由 a 决定：
1. 如果 a > 0，则函数开口向上。

2. 如果 a < 0，则函数开口向下。

二次函数的顶点坐标是 (-b/2a, c - b^2/4a)。

对于开口向上的二次函数，其最小值就是顶点的 y 坐标。

对于开口向下的二次函数，其最大值就是顶点的 y 坐标。

现在，我们要求出给定函数的最值。

给定的二次函数是 f(x) = -x^2 + 2x。

首先，我们确定函数的开口方向。

由于 a = -1 < 0，函数开口向下。

接下来，我们找到函数的顶点。

顶点的 x 坐标是 -b/2a = -2/(-2) = 1，y 坐标是 c - b^2/4a = 0 - 2^2/(-4) = 1。

因此，函数的顶点是 (1, 1)。

由于函数开口向下，所以函数的最小值是 1。

二次函数线段差最大值问题二次函数线段差最大值问题是一个经典的数学优化问题，通常在高中数学课程中进行讨论。

该问题要求找到一个二次函数图像上两个点之间线段的最大差值。

假设给定一个二次函数 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 分别代表二次项、一次项和常数项的系数。

为了求出线段差的最大值，我们需要确定两个点。

一种常见的方法是取二次函数的顶点和 x 轴上的一个点。

首先，我们需要找到二次函数的顶点。

二次函数的顶点可以通过以下公式计算：x = -b / (2a)y = f(x)其中 x 和 y 分别代表顶点的横坐标和纵坐标，f(x) 代表二次函数在 x 处的函数值。

接下来，我们选择 x 轴上的一个点作为第二个点。

这个点可以在顶点两侧选择，在顶点的左侧或右侧都可以。

假设我们选择了一个横坐标为 x1 的点，那么对应的纵坐标为 f(x1)。

最后，我们计算两个点之间线段的差值：差值 = | f(x1) - y |其中 | | 表示取绝对值。

为了找到差值的最大值，我们可以使用微积分的方法。

首先，我们可以求出差值的函数关于 x 的导数，然后令导数为零，求解出 x 的值。

这个 x 的值就是使得差值最大的横坐标。

将这个 x 值代入差值函数，就可以得到最大的差值。

需要注意的是，有时候二次函数的顶点不在定义域内，此时我们可以选择定义域的端点作为顶点，然后按照以上的方法求解。

总而言之，二次函数线段差最大值问题是一个通过找到二次函数图像上两个点之间线段的最大差值来优化问题的数学问题。

这个问题可以通过求解顶点和定义域的端点来得到最优解。