二次函数线段、周长、面积最值问题

小专题8 二次函数的最值及函数值的范围对于二次函数y＝a(x－h)2＋k图象上的两点(x1，y1)，(x2，y2)，求函数值的范围(最值)考虑以下四种情况：当a>0，x1≤x≤x2时，y的取值范围是，y的最大值为y1，最小值为y2.当a<0，x1≤x≤x2时，y的取值范围是，y的最大值为y2，最小值为y1．当a>0，x1≤x≤x2时，y的取值范围是1，y的最大值为y1，最小值为k.当a<0，x1≤x≤x2时， y的取值范围是， y的最大值为k，最小值为y2．类型1 已知自变量的取值范围求函数值的取值范围1．(温州中考)已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是()A．有最大值－1，有最小值－2B．有最大值0，有最小值－1C．有最大值7，有最小值－1D．有最大值7，有最小值－22．已知二次函数y＝－x2＋2x＋3，当x≥2时，y的取值范围是( )A．y≥3 B．y≤3C．y＞3 D．y＜33．如图，点P(x，y)在抛物线y＝－(x－1)2＋2的图象上，若－1＜x＜2，则y的取值范围是．4．已知点P(x，y)在二次函数y＝2(x＋1)2－3的图象上．(1)当0＜x＜1时，y的取值范围是；(2)当－2＜x＜1时，y的取值范围是；(3)当－4≤x＜1时，y的取值范围是．类型2 已知自变量取值范围下函数的最值，求待定系数的值5．若二次函数y＝x2＋4x＋a的最小值是2，则a的值是．6．已知关于x的二次函数y＝ax2＋a2.(1)若它的最小值为4，则a的值为；(2)若它的最大值为4，则a的值为．7．(黄冈中考)当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为( ) A．－1 B．2C．0或2 D．－1或28．【易错】(泸州中考)已知二次函数y＝ax2＋2ax＋3a2＋3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增大，且－2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为( ) A．1或－2 B．－2或 2C. 2 D．19．【分类讨论思想】(潍坊中考改编)已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，求h的值．小专题8 二次函数的最值及函数值的范围y2≤y≤y1 y1≤y≤y2 k≤y≤y y2≤y≤k1,D 2,B 3,－2＜y≤2 4(1)－1＜y＜5 (2)－3≤y＜5 (3)－3≤y≤15 5,6 6(1)2 (2)－2 7,D 8,D9 解：如图，画出二次函数的大致图象．当h＜2时，由题意结合图象，可知当自变量x的值满足2≤x≤5时，函数的最大值在x＝2处取得，即－(2－h)2＝－1.解得h1＝1，h2＝3(舍去)；当2≤h≤5时，函数y＝－(x－h)2的最大值为0，不符合题意；当h＞5时，由题意结合图象，可知当自变量x的值满足2≤x≤5时，函数的最大值在x＝5处取得，即－(5－h)2＝－1.解得h3＝4(舍去)，h4＝6.综上所述，h的值为1或6.章末复习(二) 二次函数分点突破知识点1 二次函数的图象与性质1．(株洲中考)若二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象开口向下，则a ＜0(填“＝”“＞”或“＜”)． 2．抛物线y ＝3(x －1)2＋1的顶点坐标是(A)A ．(1，1)B ．(－1，1)C ．(－1，－1)D ．(1，－1)3．关于抛物线y ＝x 2－4x ＋4，下列说法错误的是(D)A ．开口向上B ．与x 轴只有一个交点C ．对称轴是直线x ＝2D ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大4．(攀枝花中考)在同一坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与一次函数y ＝bx －a 的图象可能是(C),A) ,B),C) ,D)5．(甘孜中考改编)如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋3的图象与x 轴分别交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y 轴交于点C.(1)求此二次函数解析式；(2)点D 为抛物线的顶点，试判断△BCD 的形状，并说明理由．解：(1)将A(1，0)，B(3，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝0，9a ＋3b ＋3＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4. ∴此二次函数解析式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)△BCD 为直角三角形．理由如下： ∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴顶点D 的坐标为(2，－1)．当x＝0时，y＝x2－4x＋3＝3，∴点C的坐标为(0，3)．∵点B的坐标为(3，0)，∴BC＝32＋32＝32，BD＝（2－3）2＋（－1）2＝2，CD＝22＋（－1－3）2＝2 5.∵BC2＋BD2＝20＝CD2，∴∠CBD＝90°.∴△BCD为直角三角形．知识点2 二次函数图象的平移规律6．(宜宾中考)将抛物线y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为y＝2(x＋1)2－2．7．如果要得到y＝x2－6x＋7的图象，需将y＝x2的图象(B)A．先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度B．先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度C．先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度D．先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度知识点3 求二次函数解析式8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，则该抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3．9．一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的解析式为(B)A．y＝－2(x－1)2＋3 B．y＝－2(x＋1)2＋3C．y＝－(2x＋1)2＋3 D．y＝－(2x－1)2＋3知识点4 二次函数与一元二次方程、不等式10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)．(1)方程ax2＋bx＋c＝0的解为x1＝1，x2＝3；(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为x＜1或x＞3；(3)不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为1＜x＜3．11．(云南中考)已知二次函数y＝－316x2＋bx＋c的图象经过A(0，3)，B(－4，－92)两点．(1)求b ，c 的值；(2)二次函数y ＝－316x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．解：(1)把A(0，3)，B(－4，－92)分别代入y ＝－316x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，－316×16－4b ＋c ＝－92.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝98，c ＝3.(2)由(1)可得，该抛物线解析式为y ＝－316x 2＋98x ＋3.Δ＝(98)2－4×(－316)×3＝22564＞0，∴二次函数y ＝－316x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有公共点．令－316x 2＋98x ＋3＝0，解得x 1＝－2，x 2＝8.∴公共点的坐标是(－2，0)或(8，0)． 知识点5 二次函数的实际应用12．(连云港中考)已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数解析式h ＝－t 2＋24t ＋1，则下列说法中正确的是(D)A ．点火后9 s 和点火后13 s 的升空高度相同B ．点火后24 s 火箭落于地面C ．点火后10 s 的升空高度为139 mD ．火箭升空的最大高度为145 m13．(沈阳中考)某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售量单价是35元/件，才能在半月内获得最大利润． 14．用长为6 m 的铝合金制成如图所示的窗框，窗框的上部是由两个正方形组成的矩形，解答下列问题：(1)若AB 为1 m ，求此时窗户的透光面积？(2)当AB 和BC 各为多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？解：(1)∵铝合金长为6 m ，AB ＝1 m ， ∴AD ＝(6－3－12)÷2＝54(m)．∴此时窗户的透光面积为1×54＝54(m 2)．(2)设窗户的透光面积为S m 2，AB ＝x cm ，则AD ＝(6－72x)÷2＝(3－74x)m.∴S ＝x(3－74x)＝－74x 2＋3x ＝－74(x －67)2＋97.∵－74＜0，∴当x ＝67时，S 最大，为97.答：当AB ＝67 m ，BC ＝32 m 时，窗户的透光面积最大，最大面积是97 m 2.易错题集训15．抛物线y ＝2x 2－5x ＋3与坐标轴的交点共有(B)A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个16．【数形结合思想】若二次函数y ＝x 2－6x ＋c 的图象过A(－1，y 1)，B(2，y 2)，C(5，y 3)，则y 1，y 2，y 3的大小关系是(B)A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 2＞y 1＞y 3D ．y 3＞y 1＞y 217．若函数y ＝mx 2＋(m ＋2)x ＋12m ＋1的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为(D)A ．0B ．0或2C ．2或－2D ．0，2或－218．已知二次函数y ＝－x 2＋2bx ＋c ，当x>1时，y 的值随x 值的增大而减小，则实数b 的取值范围是(D)A ．b>1B ．b<1C ．b ≥1D ．b ≤119．已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3，当－2≤x ≤2时，对应的函数值y 的取值范围为－5≤y ≤4．20．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象，由图象可知不等式y<0的解集是x>5或x<－1．21．如图，用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长14 m ，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是112m 2.中考题型演练22．(泰安中考)若二次函数y ＝x 2＋bx －5的对称轴为直线x ＝2，则关于x 的方程x 2＋bx －5＝2x －13的解为x 1＝2，x 2＝4．23．(凉山州中考)将抛物线y ＝(x －3)2－2向左平移3个单位长度后经过点A(2，2)． 24．(衡阳中考)在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2的图象如图所示．已知A 点坐标为(1，1)，过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4…，依次进行下去，则点A 2 019的坐标为(－1_010，1_0102)．25．(南充中考)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数)，a ＞0，顶点坐标为(12，m)．给出下列结论：①若点(n ，y 1)与点(32－2n ，y 2)在该抛物线上，当n ＜12时，则y 1＜y 2；②关于x的一元二次方程ax 2－bx ＋c －m ＋1＝0无实数解，那么(A)A ．①正确，②正确B ．①正确，②错误C ．①错误，②正确D ．①错误，②错误26．(黄石中考)如图，在Rt △PMN 中，∠P ＝90°，PM ＝PN ，MN ＝6 cm ，矩形ABCD 中AB ＝2 cm ，BC ＝10 cm ，点C 和点M 重合，点B ，C(M)，N 在同一直线上，令Rt △PMN 不动，矩形ABCD 沿MN 所在直线以每秒1 cm 的速度向右移动，至点C 与点N 重合为止，设移动x 秒后，矩形ABCD 与△PMN 重叠部分的面积为y(cm 2)，则y 与x 的大致图象是(A)A. B.C. D.27．(广安中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x ＝1，下列结论：①abc ＜0；②b ＜c ；③3a ＋c ＝0；④当y ＞0时，－1＜x ＜3.其中正确的结论有(D)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个28．(安徽中考)一次函数y ＝kx ＋4与二次函数y ＝ax 2＋c 的图象的一个交点坐标为(1，2)，另一个交点是该二次函数图象的顶点．(1)求k ，a ，c 的值；(2)过点A(0，m)(0＜m ＜4)且垂直于y 轴的直线与二次函数y ＝ax 2＋c 的图象相交于B ，C 两点，点O 为坐标原点，记W ＝OA 2＋BC 2，求W 关于m 的函数解析式，并求W 的最小值．解：(1)由题意，得k ＋4＝2，解得k ＝－2. 又∵二次函数顶点为(0，c)，∴c ＝4.把(1，2)代入二次函数表达式，得a ＋c ＝2，解得a ＝－2.(2)由(1)得二次函数解析式为y ＝－2x 2＋4，令y ＝m ，得2x 2＋m －4＝0， ∴x ＝±4－m2. 设B ，C 两点的坐标分别为(x 1，m)，(x 2，m)，则BC ＝|x 1|＋|x 2|＝24－m2， ∴W ＝OA 2＋BC 2＝m 2＋4×4－m 2＝m 2－2m ＋8＝(m －1)2＋7.∴当m ＝1时，W 取得最小值7.29．(青岛中考)某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．(1)求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；(2)若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润 w(元)最大？最大利润是多少？(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b. 将点(30，100)，(45，70)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧100＝30k ＋b ，70＝45k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝160. ∴y ＝－2x ＋160.(2)由题意，得w ＝(x －30)(－2x ＋160)＝－2(x －55)2＋1 250. ∵－2＜0，∴当x ＜55时，w 随x 的增大而增大． 又∵30≤x ≤50，∴当x ＝50时，w 有最大值，此时w ＝1 200.故销售单价定为50元，才能使销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为1 200元． (3)由题意，得(x －30)(－2x ＋160)≥800， 解得40≤x ≤70.∴每天的销售量y ＝－2x ＋160≥20. ∴每天的销售量最少应为20件． 核心素养专练30．【新定义问题】(贵港中考)我们定义一种新函数：形如y ＝|ax 2＋bx ＋c|(a ≠0，且b2－4ac ＞0)的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y ＝|x 2－2x －3|的图象(如图所示)，并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为(－1，0)，(3，0)和(0，3)；②图象具有对称性，对称轴是直线x ＝1；③当－1≤x ≤1或x ≥3时，函数值y 随x 值的增大而增大；④当x ＝－1或x ＝3时，函数的最小值是0；⑤当x ＝1时，函数的最大值是4.其中正确结论的个数是4．小专题9 二次函数与几何图形的小综合类型1 线段长、图形面积最值问题1．(自贡中考节选)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －3过A(1，0)，B(－3，0)，直线AD 交抛物线于点D ，点D 的横坐标为－2，点P(m ，n)是线段AD 上的动点．(1)求直线AD 及抛物线的解析式；(2)过点P 的直线垂直于x 轴，交抛物线于点Q ，求线段PQ 的长度l 与m 的关系式，m 为何值时，PQ 最长？解：(1)把(1，0)，(－3，0)代入y ＝ax 2＋bx －3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －3＝0，9a －3b －3＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3.当x ＝－2时，y ＝(－2)2＋2×(－2)－3＝－3， ∴D(－2，－3)．设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋t ， 将A(1，0)，D(－2，－3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋t ＝0，－2k ＋t ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，t ＝－1. ∴直线AD 的解析式为y ＝x －1.(2)由题意知P(m ，m －1)，Q(m ，m 2＋2m －3)(－2≤m ≤1)， ∴l ＝(m －1)－(m 2＋2m －3)＝－m 2－m ＋2＝－(m ＋12)2＋94.当m ＝－12时，l 最大＝94.2．如图，抛物线y ＝－2x 2＋2x ＋4经过B(2，0)，C(0，4)两点，抛物线与x 轴的另一交点为A.若点P 为第一象限内抛物线上一点，设四边形COBP 的面积为S ，求S 的最大值．解：过点P 作PF ⊥x 轴于点F. ∵P 为第一象限内抛物线上一点， 设P 点坐标为(n ，－2n 2＋2n ＋4)(0<n<2)， 则F 点坐标为(n ，0)． ∴S ＝S 梯形OCPF ＋S △PFB ＝（PF ＋OC ）·OF 2＋12PF ·BF＝12PF ·OB ＋12OC ·OF ＝－2n 2＋2n ＋4＋12×4n＝－2n 2＋4n ＋4 ＝－2(n －1)2＋6. ∴当n ＝1时，S 最大＝6.类型2 线段和、周长最值问题3．如图，抛物线y ＝－12x 2＋12x ＋3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P ，使得△BDP 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：令y ＝－12x 2＋12x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－2.∴A 点坐标为(－2，0)．连接AD ，交对称轴于点P ，连接PB ，则PA ＝PB.∴PB ＋PD ＋BD ＝PA ＋PD ＋BD ＝AD ＋BD. 此时P 点使△BDP 的周长最小．设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋t.将点A ，D 坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋t ＝0，2k ＋t ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，t ＝1.∴直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.∵抛物线对称轴为直线x ＝－b 2a ＝12，将x ＝12代入y ＝12x ＋1，得y ＝54，∴点P 的坐标为(12，54)．类型3 线段数量关系、面积数量关系问题4．如图，抛物线y ＝－x 2＋4x ＋5与x 轴交于点A(－1，0)，B(5，0)，直线y ＝－34x ＋3与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D.点P 是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交直线CD 于点E.设点P 的横坐标为m.若PE ＝5EF ，求m 的值．解：∵点P 的横坐标为m ，∴P(m ，－m 2＋4m ＋5)， E(m ，－34m ＋3)，F(m ，0)．∵点P 在x 轴上方，要使PE ＝5EF ，则0<m<5. ∴PE ＝－m 2＋4m ＋5－(－34m ＋3)＝－m 2＋194m ＋2.分两种情况讨论：①当点E 在点F 上方时，EF ＝－34m ＋3.∵PE ＝5EF ，∴－m 2＋194m ＋2＝5(－34m ＋3)．即2m 2－17m ＋26＝0. 解得m 1＝2，m 2＝132(舍去)；②当点E 在点F 下方时，EF ＝34m －3.∵PE ＝5EF ，∴－m 2＋194m ＋2＝5(34m －3)．即m 2－m －17＝0.解得m 3＝1＋692，m 4＝1－692(舍去)．综上所述，m 的值为2或1＋692.5．(龙东中考)如图，已知抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(3，0)，抛物线与直线y ＝－32x ＋3交于C ，D 两点，连接BD ，AD.(1)求m 的值；(2)抛物线上有一点P ，满足S △ABP ＝4S △ABD ，求点P 的坐标．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3过点(3，0)， ∴0＝－9＋3m ＋3. ∴m ＝2. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋3，y ＝－32x ＋3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝72，y 2＝－94.∴D(72，－94)．∵S △ABP ＝4S △ABD ，∴12AB ×|y P |＝4×12AB ×94. ∴|y P |＝9，y P ＝±9.当y ＝9时，－x 2＋2x ＋3＝9，无实数解； 当y ＝－9时，－x 2＋2x ＋3＝－9， x 1＝1＋13，x 2＝1－13.∴点P 的坐标为(1＋13，－9)或(1－13，－9)． 类型4 特殊图形的存在性问题6．如图，已知抛物线y ＝14x 2－12x －2与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的右边)，与y 轴交于点C.(1)求点A ，B ，C 的坐标；(2)此抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得△ACP 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)令y ＝0，得14x 2－12x －2＝0，解得x 1＝－2，x 2＝4. ∴A(4，0)，B(－2，0)．令x ＝0，得y ＝－2.∴C(0，－2)． (2)存在点P ，使得△ACP 是等腰三角形． 设P(1，a)，则AP 2＝a 2＋9，CP 2＝(a ＋2)2＋1＝a 2＋4a ＋5，AC 2＝20. ①当AP ＝CP 时，即a 2＋9＝a 2＋4a ＋5， 解得a ＝1.∴P 1(1，1)；②当CP ＝AC 时，即a 2＋4a ＋5＝20， 解得a ＝－2±19.∴P 2(1，－2＋19)，P 3(1，－2－19)； ③当AP ＝AC 时，即a 2＋9＝20，解得a ＝±11.∴P 4(1，11)，P 5(1，－11)．综上所述，满足条件的点P 的坐标为P 1(1，1)，P 2(1，－2＋19)，P 3(1，－2－19)，P4(1，11)，P5(1，－11)．7．如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为P.若以A，C，P，M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．解：y＝－x2－2x＋3中，当x＝0时，y＝3，∴C(0，3)．令y＝0，得－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1.∴A(－3，0)，B(1，0)．∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴顶点P的坐标为(－1，4)．如图，分别过△PAC的三个顶点作对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点M1，M2，M3.∵AM1綊CP，且C(0，3)，P(－1，4)，A(－3，0)，∴M1(－4，1)．∵AM2綊PC，且P(－1，4)，C(0，3)，A(－3，0)，∴M2(－2，－1)．∵CM3綊AP，且A(－3，0)，P(－1，4)，C(0，3)，∴M3(2，7)．综上所述，点M的坐标为(－4，1)或(－2，－1)或(2，7)．。

二次函数的最值问题——求线段，三角形周长及面积的最值摘要：二次函数作为初中最重要的函数，近几年来，中考拉分题常常利用二次函数求线段的最值、三角形周长的最小值及面积的最大值问题。

在解决二次函数的最值问题时，一般构建二次函数模型，通过数形结合把求三角形的周长、三角形面积的最值问题转化为求线段长度的问题。

关键词：二次函数；最值问题；轴对称；数形结合一、将军饮马“K”字形，两点之间线段最短问题1.二次函数与x轴交于点A（-1，0），B（3,0），与y轴交于点C（0,3）．在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的分析：由已知，可求得二次函数的对称轴为，又因为二次函数图像关于对称轴对称可知：A、B两点关于对称，,连接BC与对称轴的交点为所求P点，则,所以CH＋EH的最小值为。

小结：利用二次函数求两线段和的最小值问题，我们通常是作其中一点关于对称轴的对称点，连接对称点与另一点得到的线段长度为我们所求的两线段和的最小值。

变式1.如问题1改为：的周长是否存在最小值？若存在，请求出的周长；若不存在，请说明理由。

分析：延伸1看起来跟问题1不一样，但实际上，万变不离其宗。

，已知A,C两点坐标，由勾股定理可得，,题目中要求周长的最小值可转化为求的最小值，也就转化为问题1，即：,问题2.如图，直线与抛物线交于点A（0,3），B(3,0) ,点F是线段AB上的动点，FE x轴，E在抛物线上，若点F的横坐标为m，请用含m的代数式表示EF的长并求EF的最大值。

分析：利用E、F分别在抛物线及一次函数上可得到，,因为,所以,可求得当时，EF的最大值为小结：利用二次函数求竖直线段的最大值，一般是通过设未知数表示出二次函数及一次函数图像上的两点，由横坐标相等，利用两点纵坐标相减可得到线段的长度，再利用二次函数求最值方法可求出线段的最大值。

变式1：问题2改为过E作,求的最大值是多少？分析：因为该一次函数，可知为等腰直角三角形，，要求的最大值只需求得的最大值，由此就转化为问题2，所以小结：求斜线段的最大值问题，一般转化为求平行于y轴线段的最值问题，再利用三角函数可求得斜线段的最大值。

数学篇解题指南几何图形与二次函数的综合题难度一般较大.在解答此类问题时，同学们要认真观察、分析图形的结构特征，充分挖掘几何图形的性质，再利用二次函数的性质求解.下面笔者就以二次函数中线段最值问题与图形面积最值问题的常见解法举例说明.一、二次函数中的线段最值问题常见的二次函数中的线段最值问题有：（1）求某条线段的最值；（2）求几条线段的和的最小值或差的最大值.这类问题侧重于考查二次函数与直线的位置关系、二次函数的性质、平面几何图形的性质.解答此类问题，通常需根据直线与二次函数的位置关系，利用二次函数的对称性转换点或线段的位置，构造出三角形、平行四边形、三点共线的情况等，从而运用三角形、平四边形的性质，以及一些平面几何定理，如“两点间线段最短”“两边之差小于第三边”，求得最值.例1在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c 经过A （-2，-4），O （0，0），B（2，0）三点.（1）求抛物线y =ax 2+bx +c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM +OM 的最小值.分析：题目（1）是一个求二次函数解析式的简单问题，只要把三个点代入解析式，组成方程组求解即可；（2）是在（1）求解出的二次函数解析式的基础上，求对称轴上一点到两个固定点的距离和问题，即“求AM +OM 的最小值”.准确画出二次函数的图象，如图1所示，利用二次函数的对称性以及对称轴的相关知识，可以得出OM =BM ，从而将AM +OM 转化为当A 、B 、M 三点共线时，两线段和最小.解：（1）把A （-2，-4），O （0，0），B （2，0）三点的坐标代入y =ax 2+bx +c 中，得方程组的解为，a =-12，b =1，c =0，所以抛物线的解析式为y =-12x 2+x ；（2）由y =-12x 2+x =-12（x -1）2+12，可得抛物线的对称轴为x =1，并且对称轴垂直平分线段OB ，∵点M 是抛物线对称轴上的一点，∴OM =BM ，∴OM +AM =BM +AM ，连接AB 交直线x =1于M 点，此时OM +AM 最小.过点A 作AN ⊥x 轴于点N ，在Rt△ABN 中，AB =AB 2+BN 2=42+42=42，因此OM +AM 的最小值为42.评注：二次函数的图象具有对称性，点M 是对称轴上的一点，利用此性质可以得到OM =BM ，这样便将“OM +AM ”转化为“BM +AM ”，进一步转化为求AM +BM 最小值问题，然后利用“两点之间线段最短”的原理求解即可.二、二次函数中图形面积的最值问题二次函数中图形面积的最值问题往往是二次函数线段最值问题的升华.求解此类问题时往往需要将不规则或复杂的图形通过“分割法”或“补形法”转化为规则的图形，然后利用规则图形的面积公式来求解.一般地，怎样求解二次函数中的几何最值问题南京师范大学盐城实验学校程梦书x y 图119数学篇解题指南二次函数中图形面积的最值问题往往通过“转化”思想，化为“线段（和）”最值问题.此外，经过割补后所求区域的面积，可通过不同区域的面积相加或相减来求得.例2已知抛物线经过点A （-1，0）、B （3，0）、C（0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）点M 是线段BC 上的点（不与B ，C 重合），过M 作MN //y 轴交抛物线于N ，若点M 的横坐标为m ，请用m 的代数式表示MN 的长；（3）在（2）的条件下，连接NB 、NC ，是否存在m ，使△BNC 的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由.分析：（1）求二次函数解析式比较容易，直接将三点坐标代入组成方程组即可.（2）中点M 虽是动点，但坐标可以用二次函数的解析式表示出来，随后表示出点N 的坐标，即可表示MN 的长.（3）△BNC 面积直接求解比较困难，利用转化思想化为S △MNC +S △MNB .利用面积公式，将“面积”最值问题转化为“线段”最值问题来求解.（如图2所示）.解：（1）∵抛物线过点A （-1，0）、B （3，0），∴设抛物线的解析式为：y =a (x +1)(x -3)，又∵抛物线过点C （0，3），∴a (0+1)(0-3)=3，解得a =-1，所以，抛物线的解析式为：y =-(x +1)(x -3)=-x 2+2x +3；（2）设直线BC 的解析式为y =kx +b ，则有：故直线BC 的解析式为：y =-x +3，已知点M 的横坐标为m ，则M (m ,-m +3)、N （m ，-m 2+2m +3），∴MN =|（-m 2+2m +3）-（-m +3）|=|-m 2+3m |，∵点M 在B 、C 之间，∴点N 高于点M ，∴0<m <3，∴MN =|-m 2+3m |=-m 2+3m 即MN =-m 2+3m （0<m <3）；（3）存在，S △BNC =S △MNC +S △MNB ,∵MN //y 轴，∴延长NM 交x 轴于点D ，∴点C 到MN 的距离为OD ，∴S △MNC =12MN ×OD ，S △MNB =12MN ×DB ，S △BNC =S △MNC +S △MNB =12MN (OD +DB )=12MN ×OB ，∴当|MN |最大时，△BNC 的面积最大，MN =-m 2+3m =-(m -32)2+94，当m =32时，MN 有最大值为94，所以当m =32时，S △BNC 的面积最大，故△BNC 的面积最大值为12×94×3=278.评注：求解二次函数的最值问题时，一定要准确绘制出函数的图象，特别是开口方向、与x 轴的交点、与y 轴的交点、对称轴.否则，可能得到错解或无解.利用二次函数求最值需要注意：当二次函数的开口向下时，在顶点处取得最大值；当二次函数的开口向上时，在顶点处取得最小值.二次函数中的几何最值问题往往涉及“线段和最小”或“图形面积最大”等问题.同学们应掌握二次函数的图象和性质，将最值图2。

二次函数中线段最值问题二次函数中的线段最值问题（一）例1：已知抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3），顶点为M。

求抛物线的解析式和对称轴上使得PA+PC最小的点P的坐标。

解：（1）由已知点可列出三个方程：y=a(-1)^2+b(-1)+cy=a(3)^2+b(3)+c3=a(0)^2+b(0)+c化简后可得：y=x^2-2x-32）对称轴为x=1，因此P的横坐标为1.设P的纵坐标为y，则根据距离公式可得：PA+PC=sqrt[(1+1)^2+y^2]+sqrt[(1-0)^2+(y+3)^2]对其求导并令其为0，可得y=-1/2.因此P的坐标为（1，-1/2），PA+PC的最小值为3.练1：如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=-x^2+2x+3经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D。

在x轴上找一点E，使得EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值。

解：（1）由已知点可列出四个方程：y=a(-1)^2+b(-1)+cy=a(3)^2+b(3)+c0=a(1)^2+b(1)+cy=aD^2+bD+c化简后可得：y=-x^2+2x+32）对称轴为x=1，因此D的横坐标为1.设E的横坐标为x，则EC+ED=sqrt[x^2+(3-(-x+3))^2]+sqrt[(1-x)^2+D^2]。

对其求导并令其为0，可得x=1/2.因此E的坐标为（1/2，0），EC+ED的最小值为2sqrt(10)。

练2：如图，抛物线经过点A（-1，0）、B（1，0）、C （0，-3），顶点为D。

点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标。

解：（1）由已知点可列出三个方程：y=a(-1)^2+b(-1)+cy=a(1)^2+b(1)+c3=aD^2+bD+c化简后可得：y=x^2-2x-32）设M的横坐标为x，则△ACM的周长为AC+CM+MA=sqrt[(x+1)^2+9]+2sqrt[(x-D)^2+1]。

重难点二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题目录题型01利用二次函数解决单线段的最值问题题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题题型03利用二次函数解决两条线段之差的最值问题题型04利用二次函数解决三条线段之和的最值问题题型05利用二次函数解决三角形周长的最值问题题型06利用二次函数解决四边形周长的最值问题题型07利用二次函数解决图形面积的最值问题类型一利用割补、拼接法解决面积最值问题类型二利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题类型三构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题题型08利用二次函数解决定值问题题型01利用二次函数解决单线段的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意：①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确．1(2022·辽宁朝阳·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，-3)，连接BC．(1)求抛物线的解析式及点B 的坐标．(2)如图，点P 为线段BC 上的一个动点(点P 不与点B ，C 重合)，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，求线段PQ 长度的最大值．(3)动点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点C 向点B 运动，同时动点M 以每秒1个单位长度的速度在线段BO 上由点B 向点O 运动，在平面内是否存在点N ，使得以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3，(-3，0)(2)94(3)-3,-32或(-2，1)或0,3-32【分析】(1)将A ，C 两点坐标代入抛物线的解析式求得a ，c 的值，进而得出解析式，当y =0时，求出方程的解，进而求得B 点坐标；(2)由B ，C 两点求出BC 的解析式，进而设出点P 和点Q 坐标，表示出PQ 的长，进一步得出结果；(3)要使以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，只需△PMB 是等腰三角形，所以分为PM =BM ，PM =PB 和BP =BM ，结合图象，进一步得出结果．【详解】(1)解：把点A (1，0)，C (0，-3)代入y =ax 2+2x +c 得：c =-3a +2×1+c =0 ，解得：c =-3a =1 ，∴抛物线解析式为y =x 2+2x -3；令y =0，则x 2+2x -3=0，解得：x 1=1,x 2=-3，∴点B 的坐标为(-3，0)；(2)解：设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B (-3，0)，C (0，-3)代入得：b =-3-3k +b =0 ，解得：k =-1b =-3 ，∴直线BC 的解析式为y =-x -3，设点P m ,-m +3 ，则Q m ,m 2+2m -3 ，∴PQ =-m -3 -m 2+2m -3 =-m 2-3m =-m +322+94，∴当m =-32时，PQ 最大，最大值为94；(3)解：存在，根据题意得：PC =2t ,BM =t ，则PB =32-2t ，如图，当BM =PM 时，∵B (-3，0)，C (0，-3)，∴OB =OC =3，∴∠OCB =∠OBC =45°，延长NP 交y 轴于点D ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ∥x 轴，BN ∥PM ，即DN ⊥y 轴，∴△CDP 为等腰直角三角形，∴CD =PD =PC ⋅sin ∠OCB =2t ×22=t ，∵BM =PM ，∴∠MPB =∠OBC =45°，∴∠PMO =∠PDO =∠MOD =90°，∴四边形OMPD 是矩形，∴OM =PD =t ，MP ⊥x 轴，∴BN ⊥x 轴，∵BM +OM =OB ，∴t +t =3，解得t =32，∴P -32,-32，∴N -3,-32；如图，当PM =PB 时，作PD ⊥y 轴于D ，连接PN ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ⊥BM ，NE =PE ，∴BM =2BE ，∴∠OEP =∠DOE =∠ODP =90°，∴四边形PDOE 是矩形，∴OE =PD =t ，∴BE =3-t ，∴t =2(3-t )，解得：t =2，∴P (-2，-1)，∴N (-2，1)；如图，当PB =MB 时，32-2t =t ，解得：t =6-32，∴PN =BP =BM =6-32，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，∴PE ⊥PM ，∴∠EON =∠OEP =∠EPN =90°，∴四边形OEPN 为矩形，∴PN =OE ，PN ⊥y 轴，∵∠OBC =45°，∴BE =PE =PB ⋅sin ∠OBC =6-32 ×22=32-3，∴OE =OB -BE =3-32-3 =6-32，∴点N 在y 轴上，∴N 0,3-32 ，综上所述，点N 的坐标为-3,-32或(-2，1)或0,3-32 ．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形．2(2021·西藏·统考中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点．与y 轴交于点C ．且点A 的坐标为(-1，0)，点C 的坐标为(0，5)．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图(甲)．若点P 是第一象限内抛物线上的一动点．当点P 到直线BC 的距离最大时，求点P 的坐标；(3)图(乙)中，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2+4x +5；(2)P 52，354；(3)存在，M 的坐标为：(3，8)或(-3，-16)或(7，-16)．【分析】(1)将A 的坐标(-1，0)，点C 的坐(0，5)代入y =-x 2+bx +c ，即可得抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，由y =-x 2+4x +5可得B (5，0)，故OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，可证明△PHQ 是等腰直角三角形，即知PH =PQ2，当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B (5，0)代入得直线BC 解析式为y =-x +5，设P (m ，-m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q (m ，-m +5)，PQ =-m -52 2+254，故当m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC的距离最大，此时P 52，354 ；(3)抛物线y =-x 2+4x +5对称轴为直线x =2，设M (s ，-s 2+4s +5)，N (2，t )，而B (5，0)，C (0，5)，①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，可列方程组s +22=5+02-s 2+4s +5+t 2=0+52，即可解得M (3，8)，②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，同理可得s +52=2+02-s 2+4s +4+02=t +52，解得M (-3，-16)，③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，则s +02=2+52-s 2+4s +5+52=t +02，解得M (7，-16)．【详解】解：(1)将A 的坐标(-1，0)，点C 的坐(0，5)代入y =-x 2+bx +c 得：0=-1-b +c 5=c ，解得b =4c =5 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，如图：在y =-x 2+4x +5中，令y =0得-x 2+4x +5=0，解得x =5或x =-1，∴B (5，0)，∴OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，∴∠CBO =45°，∵PD ⊥x 轴，∴∠BQD =45°=∠PQH ，∴△PHQ 是等腰直角三角形，∴PH =PQ2，∴当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B (5，0)代入得0=5k +5，∴k =-1，∴直线BC 解析式为y =-x +5，设P (m ，-m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q (m ，-m +5)，∴PQ =(-m 2+4m +5)-(-m +5)=-m 2+5m =-m -52 2+254，∵a =-1<0，∴当m =52时，PQ 最大为254，∴m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC 的距离最大，此时P 52，354；(3)存在，理由如下：抛物线y =-x 2+4x +5对称轴为直线x =2，设M (s ，-s 2+4s +5)，N (2，t )，而B (5，0)，C (0，5)，①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，如图：∴s +22=5+02-s 2+4s +5+t2=0+52，解得s =3t =-3 ，∴M (3，8)，②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，如图：∴s +52=2+02-s 2+4s +4+02=t +52，解得s=-3t =-21 ，∴M (-3，-16)，③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，如图：s +02=2+52-s 2+4s +5+52=t +02，解得s =7t =-11 ，∴M (7，-16)；综上所述，M 的坐标为：(3，8)或(-3，-16)或(7，-16)．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．3(2021·山东泰安·统考中考真题)二次函数y =ax 2+bx +4(a ≠0)的图象经过点A (-4,0)，B (1,0)，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ．(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC ，当∠DPB =2∠BCO 时，求直线BP 的表达式；(3)请判断：PQQB是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理由．【答案】(1)y =-x 2-3x +4；(2)y =-158x +158；(3)PQ QB有最大值为45，P 点坐标为(-2,6)【分析】(1)将A (-4,0)，B (1,0)代入y =ax 2+bx +4(a ≠0)中，列出关于a 、b 的二元一次方程组，求出a 、b 的值即可；(2)设BP 与y 轴交于点E ，根据PD ⎳y 轴可知，∠DPB =∠OEB ，当∠DPB =2∠BCO ，即∠OEB =2∠BCO ，由此推断△OEB 为等腰三角形，设OE =a ，则CE =4-a ，所以BE =4-a ，由勾股定理得BE 2=OE 2+OB 2，解出点E 的坐标，用待定系数法确定出BP 的函数解析式即可；(3)设PD 与AC 交于点N ，过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标可得AC 所在直线表达式，求得M 点坐标，则BM =5，由BM ⎳PN ，可得△PNQ ∽△BMQ ，PQ QB=PN BM =PN5，设P (a 0,-a 20-3a 0+4)(-4<a 0<0)，则N (a 0,a 0+4)PQ QB =-a 20-3a 0+4-(a 0+4)5=-a 20-4a 05=-(a 0+2)2+45，根据二次函数性质求解即可．【详解】解：(1)由题意可得：a ⋅(-4)2+b ⋅(-4)+4=0a +b +4=0解得：a =-1b =-3 ，∴二次函数的表达式为y =-x 2-3x +4；(2)设BP 与y 轴交于点E ，∵PD ⎳y 轴，∴∠DPB =∠OEB ，∵∠DPB =2∠BCO ，∴∠OEB =2∠BCO ，∴∠ECB =∠EBC ，∴BE =CE ，设OE =a ，则CE =4-a ，∴BE =4-a ，在Rt △BOE 中，由勾股定理得BE 2=OE 2+OB 2，∴(4-a )2=a 2+12解得a =158，∴E 0,158，设BE 所在直线表达式为y =kx +e (k ≠0)∴k ⋅0+e =158,k ⋅1+e =0.解得k =-158,e =158. ∴直线BP 的表达式为y =-158x +158．(3)设PD 与AC 交于点N ．过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标分别为(-4,0)，(0,4)可得AC 所在直线表达式为y =x +4∴M 点坐标为(1,5)，BM =5由BM ⎳PN ，可得△PNQ ∽△BMQ ，∴PQ QB=PN BM =PN 5设P (a 0,-a 20-3a 0+4)(-4<a 0<0)，则N (a 0,a 0+4)∴PQ QB=-a 20-3a 0+4-(a 0+4)5=-a 20-4a 05=-(a 0+2)2+45，∴当a 0=-2时，PQQB 有最大值0.8，此时P 点坐标为(-2,6)．【点睛】本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题．4(2020·辽宁阜新·中考真题)如图，二次函数y =x 2+bx +c 的图象交x 轴于点A -3,0 ，B 1,0 ，交y 轴于点C ．点P m ,0 是x 轴上的一动点，PM ⊥x 轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)①若点P 仅在线段AO 上运动，如图1．求线段MN 的最大值；②若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3；(2)①94，②存在，Q 1(0,-32-1),Q 2(0,32-1)【分析】(1)把A (-3,0),B (1,0)代入y =x 2+bx +c 中求出b ，c 的值即可；(2)①由点P m ,0 得M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ，从而得MN =(-m -3)-m 2+2m -3 ，整理，化为顶点式即可得到结论；②分MN =MC 和MC =2MN 两种情况，根据菱形的性质得到关于m 的方程，求解即可．【详解】解：(1)把A (-3,0),B (1,0)代入y =x 2+bx +c 中，得0=9-3b +c ,0=1+x +c .解得b =2,c =-3. ∴y =x 2+2x -3．(2)设直线AC 的表达式为y =kx +b ，把A (-3,0),C (0,-3)代入y =kx +b ．得，0=-3k +b ,-3=b . 解这个方程组，得k =-1,b =-3. ∴y =-x -3．∵点P m ,0 是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴．∴M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ． ∴MN =(-m -3)-m 2+2m -3 =-m 2-3m=-m +32 2+94．∵a =-1<0，∴此函数有最大值．又∵点P 在线段OA 上运动，且-3<-32<0∴当m =-32时，MN 有最大值94． ②∵点P m ,0 是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴．∴M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ． ∴MN =(-m -3)-m 2+2m -3 =-m 2-3m(i )当以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形，则有MN =MC ，如图，∵C (0，-3)∴MC =(m -0)2+(-m -3+3)2=2m 2∴-m 2-3m =2m 2整理得，m 4+6m 3+7m 2=0∵m 2≠0，∴m 2+6m +7=0，解得，m 1=-3+2，m 2=-3-2∴当m =-3+2时，CQ =MN =32-2，∴OQ =-3-(32-2)=-32-1∴Q (0，-32-1)；当m =-3-2时，CQ =MN =-32-2，∴OQ =-3-(-32-2)=32-1∴Q (0，32-1)；(ii )若MC =2MN ，如图，则有-m 2-3m =22×2m 2整理得，m 2+4m =0解得，m 1=-4，m 2=0(均不符合实际，舍去)综上所述，点Q 的坐标为Q 1(0,-32-1),Q 2(0,32-1)【点睛】本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(2)的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解(3)的关键是利用菱形的性质得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．5(2020·天津·中考真题)已知点A (1,0)是抛物线y =ax 2+bx +m (a ,b ,m 为常数，a ≠0,m <0)与x 轴的一个交点．(1)当a =1,m =-3时，求该抛物线的顶点坐标；(2)若抛物线与x 轴的另一个交点为M (m ,0)，与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l 平行于x 轴，E 是直线l 上的动点，F 是y 轴上的动点，EF =22．①当点E 落在抛物线上(不与点C 重合)，且AE =EF 时，求点F 的坐标；②取EF 的中点N ，当m 为何值时，MN 的最小值是22？【答案】(1)抛物线的顶点坐标为(-1,-4)；(2)①点F 的坐标为(0,-2-7)或(0,-2+7)；②当m 的值为-32或-12时，MN 的最小值是22．【分析】(1)根据a =1,m =-3，则抛物线的解析式为y =x 2+bx -3，再将点A (1，0)代入y =x 2+bx -3，求出b 的值，从而得到抛物线的解析式，进一步可求出抛物线的顶点坐标；(2)①首先用含有m 的代数式表示出抛物线的解析式，求出C (0,m )，点E (m +1,m ).过点A 作AH ⊥l 于点H ,在Rt △EAH 中，利用勾股定理求出AE 的值，再根据AE =EF ，EF =22，可求出m 的值，进一步求出F 的坐标；②首先用含m 的代数式表示出MC 的长，然后分情况讨论MN 什么时候有最值.【详解】解：(1)当a =1，m =-3时，抛物线的解析式为y =x 2+bx -3．∵抛物线经过点A (1,0)，∴0=1+b-3．解得b=2．∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3．∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4，∴抛物线的顶点坐标为(-1,-4)．(2)①∵抛物线y=ax2+bx+m经过点A(1,0)和M(m,0)，m<0，∴0=a+b+m，0=am2+bm+m，即am+b+1=0．∴a=1，b=-m-1．∴抛物线的解析式为y=x2-(m+1)x+m．根据题意，得点C(0,m)，点E(m+1,m)．过点A作AH⊥l于点H．由点A(1,0)，得点H(1,m)．在Rt△EAH中，EH=1-(m+1)=-m，HA=0-m=-m，∴AE=EH2+HA2=-2m．∵AE=EF=22，∴-2m=22．解得m=-2．此时，点E(-1,-2)，点C(0,-2)，有EC=1．∵点F在y轴上，∴在Rt△EFC中，CF=EF2-EC2=7．∴点F的坐标为(0,-2-7)或(0,-2+7)．②由N是EF的中点，得CN=12EF=2．根据题意，点N在以点C为圆心、2为半径的圆上．由点M(m,0)，点C(0,m)，得MO=-m，CO=-m．∴在Rt△MCO中，MC=MO2+CO2=-2m．当MC≥2，即m≤-1时，满足条件的点N落在线段MC上，MN的最小值为MC-NC=-2m-2=22，解得m=-3 2；当MC<2，-1<m<0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC-MC=2-(-2m)=22，解得m=-1 2．∴当m的值为-32或-12时，MN的最小值是22．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．．6(2023·重庆·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF 为腰的△QEF 是等腰三角形的点Q 的坐标，并把求其中一个点Q 的坐标的过程写出来．【答案】(1)y =14x 2+14x -3(2)PD 取得最大值为45，P -2,-52 (3)Q 点的坐标为92,-1 或92,5 或92,74．【分析】(1)待定系数法求二次函数解析式即可求解；(2)直线AC 的解析式为y =-34x -3，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点Q ，设P t ,14t 2+14t -3 ，则Q t ,-34t -3 ，则PD =45PQ ，进而根据二次函数的性质即可求解；(3)根据平移的性质得出y =14x -92 2-4916，对称轴为直线x =92，点P -2,-52 向右平移5个单位得到E 3,-52 ，F 0,2 ，勾股定理分别表示出EF 2,QE 2,QF 2，进而分类讨论即可求解．【详解】(1)解：将点B 3,0 ，C 0,-3 ．代入y =14x 2+bx +c 得，14×32+3b +c =0c =-3解得：b =14c =-3 ，∴抛物线解析式为：y =14x 2+14x -3，(2)∵y =14x 2+14x -3与x 轴交于点A ，B ，当y =0时，14x 2+14x -3=0解得：x 1=-4,x 2=3，∴A -4,0 ,∵C 0,-3 ．设直线AC 的解析式为y =kx -3，∴-4k -3=0解得：k =-34∴直线AC 的解析式为y =-34x -3，如图所示，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点Q ，设P t ,14t 2+14t -3 ，则Q t ,-34t -3 ，∴PQ =-34t -3-14t 2+14t -3 =-14t 2-t ，∵∠AQE =∠PQD ，∠AEQ =∠QDP =90°，∴∠OAC =∠QPD ，∵OA =4,OC =3，∴AC =5，∴cos ∠QPD =PD PQ =cos ∠OAC =AO AC=45，∴PD =45PQ =45-14t 2-t =-15t 2-45t =-15t +2 2+45，∴当t =-2时，PD 取得最大值为45，14t 2+14t -3=14×-2 2+14×-2 -3=-52，∴P -2,-52 ；(3)∵抛物线y =14x 2+14x -3=14x +12 2-4916将该抛物线向右平移5个单位，得到y =14x -92 2-4916，对称轴为直线x =92，点P -2,-52 向右平移5个单位得到E 3,-52 ∵平移后的抛物线与y 轴交于点F ，令x =0，则y =14×92 2-4916=2，∴F 0,2 ,∴EF 2=32+2+52 2=1174∵Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．则Q 点的横坐标为92，设Q 92,m ，∴QE 2=92-3 2+m +52 2，QF 2=92 2+m -2 2，当QF =EF 时，92 2+m -2 2=1174，解得：m =-1或m =5，当QE =QF 时，92-3 2+m +522=92 2+m -2 2，解得：m =74综上所述，Q 点的坐标为92,-1 或92,5 或92,74．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.【常见模型一】(两点在河的异侧)：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。

中考复习之二次函数压轴40个问题主要题型：1.二次函数之面积问题2.二次函数之特殊三角形的存在性问题3.二次函数之特殊四边形的存在性问题4.二次函数之线段最值问题5.二次函数之角度问题题目：如图,抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC＝３，OA＝１，顶点为D第1问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D.求二次函数的解析式；解:设:设二次函数解为y=a(x+1)(x-3)将(0,3)代入得a=-1,故二次函数解析式为y=-x2+2x +3第2问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D1.判断∆BCD的形状；解:D(1,4),B(3,0),C(0,3),方法一:BC=32,CD=2,BD=25,BC2+CD2=BD2,故∆BCD是直角三角形；方法二:KCD =1,KBC=-1,KCD∙KBC=-1,故CD⊥CB,所以∆BCD是直角三角形；yxBCAODyxBCAODyxBCAODyxBCAOD第3问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D, 2. 四边形ABDC 的面积解:BC:y =-x +3,铅垂法:E(1,2)DE=2,S BCD ∆=21∙2∙3=3 S ABDC 四=21∙4∙3+3=9第4问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D, 1. P 为直线BC 上方抛物线上一点,求∆PBC 面积最大值及P 点坐标；解:方法一:设P(m,-m+2m+3)S PBC ∆=21∙3∙[-m 2+2m+3-(m+3)] =23(-m 2+3m),当m=23时,S 有最大值,此时P(23,415)S m ax =827 方法二:平移BC 至抛物线相切时,面积可取最大值设切线为y =-x +n,与抛物线y =-x 2+2x+3联立得x2-3x +n -3=0,∆=0,n=23,y =415,故P(23,415)S m ax =827y xBCAODy xBCAODEy xBCAOD第5问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D5点M 为BC 上方抛物线上一点,过点M 作y 轴的平行线交BC 于点N,求MN 的最大值；解:设点M(m,-m 2+2m+3),BC:y =-x +3,则点N(m,-m+3)MN=-m 2+2m+3-(-m+3)=-m 2+3m 当m=23时,MN m ax =49第6问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OC=3,OA=1,顶点为D, 6. 在对称轴上找一点P,使∆ACP 的周长最小,并求出最小值解:点A 、B 关于对称轴对称,连接BP,则BP=AP,PA+PC=PB+PC,当点B 、P 、C 三点共线时,可取最小值,此时P(1,2),∆ACP 周长的最小值为10+32第7问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 在y 轴上找一点E,使∆BDE 为直角三角形,求出E 点坐标, 方法一:y xBCAOPDy xBCAODy xNBCAODMy xBCAOD P1.DE ⊥BE 时,设E(0,m)易知∆DEF~∆EBO,OE DF =BO EF ,即m 1=34m-,m=3或1,故E 1(0,1)、E 2(0,3)2. DE ⊥DB 时,设E(0,m)易知∆DEN~∆BDM,BM DN =DM EN ,即m 1=34m -,m=27故E ；(0,27)3. DB ⊥BE 时,设E(0,m),易知∆DBF~∆BEG,BG DF =EG BF ,即m -2=34,m=-23,故E 4(0,-23)第8问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 在y 轴上找一点F,使∆BDF 为等腰三角形,求出F 点坐标；2. BD=DF,设F(0,m),22)4()01(m -+-=25,m=4+9 或4-19,F 1(0,4+19);F 2(0,4-19)yxFBCAODExyN MBCAODExy GFEBCAODxy BCAODF2.BD=BF,设F(0,m),22)0()03(m -+-=25,m=±11,F 1(0,11),F 2(0,-11)3.DF=BF,设F(0,m),22)0()03(m -+-=22)4()01(m -+-,m=1,F 4(0,1)第9问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 求抛物线上一点N,使S ABN ∆=S ABC ∆；解:设N 点的坐标(m,n),则∆ABC 与∆ABN 底相同,故n=±3,-m 2+2m+3=3或者-m 2+2m+3=3得m 1=0,m 2=2,m 3=1-7,m 4=1+7,N(0,3),(2,3),(1-7,-3),(1+7,-3)第10问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D, 1. 在抛物线上找一点Q,使S BDQ ∆=S AOC ∆解:设Q(m,-m 2+2m+3),S AOC ∆=23,BD ：y =-2x +6,铅垂高QS=|-m 2+2m+3-(-2m+6)| S BDQ ∆=|-m 2+2m+3-(-2m+6)|∙21∙1=23得m=0或4Q(0,3),(4,-5),xBCAODFBCAOD FBCAODFBCAODN第11问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.在抛物线上找一点E,使BE 平分∆ABC 的面积； 解:BE 平分∆ABC 的面积,故BE 经过AC 的中点,AC 中点(-21,23),BE:y =-73x +79; 与抛物线联立得-x 2+2x +3=-73+79x =-74或722,E(-74;4919)或(722；491849)第12问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA =1,顶点为D 1.在对称轴上找一点M,使|MB -MC|取最大值,并求出最大值；解:点B 关于对称轴对称的点A,连接MA,则MB=MA,MA -MC<AC, 当点A 、C 、M 共线时,|MB -MA|m ax =AC=10, AC:y =3x x +3,M(1,6)第13问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.M 、N 为对称轴上的两点(M 在N 点上方),且MN=1,求四边形ACNM 周长的最小值； 解:A 关于对称轴对称的点B,连接BN,则BN=AN,将点向下平移1个单位得C’、N,则C’N=CM, 故CM+BN=C’N+BN,当C’、N 、B 共线时,取最小值(CM+BN)m in =13,故ACNM 周长得最小值为1+10+13BCAODQABCODEABCODM第14问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.E 在抛物线对称轴上,在抛物线上找一点F,使得点四边形ACFE 为平行四边形； 解:设E(1,m)F(n,-n 2+2n+3),A(-1,0),C(0,3),A 平行至点C 与E 平移至点F, n=1+1=2,m+3=-n 2+2n+3,m=0,故E(1,0)F(2,3)第15问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.M 为y 轴上一点,在坐标平面内找一点N,使A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为菱形； 解:当 ACM 为等腰三角形时,问题转化为等腰三角形问题 1.ACNM 为菱形时,M(0,3),N(1,0),2.AMCN 为菱形时,M(0,34),N(-1,35),3.ACMN 为菱形时,M(0,3+10),N(-1,10)ABCODMNABCODM NC'ABCODEFABCODMN ABCONDM4.ACMN 为菱形时,M(0,3-10),N(-1,-10)第16问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.E 为x 轴上一点,以BE 为边的正方形BEFG ； 另一点G 在抛物线上,求点F 坐标；设E(m,0)则EF=|-m 2+2m+3|由EF=EB 得3-m=|-m 2+2m+3|,m=0或m=-2故F(0,3)或F(-2,-5)第17问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 是抛物线上任意一点,过点P 作PE ⊥y 轴于点E,交直线BC 于点G ；过点G 作GF ⊥x 轴,连接EF,求EF 的最小值；连接OG,则OG=EF,当OG ⊥BC 时,OG 最小,即EF 最小,故EF m in =233x C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.M 在抛物线上CB 上方一点过点M 作y 轴的平行线,交BC 于点E,则ME 的最大值是多少? 解:设M(m,-m 2+2m+3),BC :y =-x +3,E(m,3-m),ME=-m 2+2m+3-(3-m)=-m 2+3m,当m=23ABCONDMABCNODMGCABO EFF CABOE GFEGCABOPFEGCABOP时,ME m ax =49第19问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.求一点P,使∠POC=∠PCO ； 解:点P 在OC 得垂直平分线上,-x2+2x +3=23,x =1±210P 1(1-210,23)P 2(1+210,23)第20问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.E(2,-2),M 为x 轴上一点,且∠EMO=∠CMO ； 1.M 在右侧时,易知∆CMO~∆EMG,设M(m,0)则有2-m m =23,m=6 2.M 在左侧时,同理易知∆CMO~∆EMG ,m m --2=23,m=6(舍) 第21问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 是直线y =x 上的动点,当直接y =x 平分∠APB 时,求点P 的坐标； 如图,∆PAO ≅∆PEO,此时OE=OA=1,故E(0,-1),EB ：y =31x -1,与y =x 得x =-23,P(-23,-23) ECABOMPPCABOCABOEMG第22问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.点P 在抛物线上,且∠ABP=∠CBD,求P 坐标；解:C(0,3)D(1,4)B(3,0)tan ∠CBD=31,故tan ∠PBO=31,OE=1或者OF=1,PB ：y =-31x +1或y 且=31x -1,联立可得P 1(-32,911)P 2(-23,-23)第23问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.在抛物线上找一点P,使∠ACP=450；方法1:∠OCB=∠ACP=450,得∠ACO=∠ECB,故tan ∠ECB=31,作EH ⊥BC,设BH=m,则EH=m;CH=3m,故4m=32,m=423,E(23,0)故CE:y =-2x +3,联立得P(4,-5) 方法2:由12345模型得tan ∠ECO=21得E(23,0)第24问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 在抛物线上,∠DBP=450； 由tan ∠CBD=31,∠CBD+∠CBP=450,而∠PBO+∠CBP=450,故tan ∠PBO=31,BP:y =-31x +1,P(-32,911) ECABOPPEFCABODPPHECABOPDP第25问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.点P 在抛物线上,∠PCB=150,求点P 的坐标；解:由∠BCO=450得∠PCO=30或∠PCO=600,故PC:y =-3x +3或y =-33x +3联立得P(2+3,-23)P(2+33,3328-)第26问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.直线y =31x -1与y 轴交于点E,求∠EBC -∠CBD ； 由tan ∠DBC=tan ∠EBO=31,故∠EBC -∠CBD=450第27问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.过点P(3,0)作直线与抛物线交于F 、G 、FM 、GN 分别垂直于x 轴,求PM,PN ；设F(1x ,1y )G(2x ,2y ),直线y =k (x +3)与抛物线y =-2x +2x +3联立得2x +(k -2)x +3k -3=0;1x +2x =2-k ,1x •2x =3k -3,PM •PN=(1x +3)(2x +3)=1x •2x +3(1x +2x )+9=12CABOPDPPF CABODPEECABODENMGFCABOPD第28问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DP 是第一象限抛物线上,PE ⊥AB,求BEAE的值,若PE 2=AE •BE,求P 点坐标 设P(m,-m 2+2m+3),AE=m+1,BE=3-m,BE AE =mm -+31,(m+1)(3-m)=(-m 2+2m+3)2得m=1+3,P(1+3,1)第29问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,N(0,-1),求23BM+MN 的最小值, 过点B 作I ⊥x 轴,MH ⊥I,∠MBH=600,MH=23BM,23BM+MN=MH+MN,当N 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值(23BM+MN)min=3第30问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,求21BM+OM 的最小值 过点B 作I:y =3x -33,MH ⊥I,∠MBH=300,MH=21BH,21BH+OM=MH+OM,当Q 、M 、H共线且垂直于I 时取最值(21BM+MN )min=233xy EBCAOPxy BCA O MN H第31问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,求22BM+OM 的最小值 过点B 作I,I 与直线MN 夹角450,MH ⊥I,∠MBH=450,MH=22BM,22BM+OM=MH+OM,当Q 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值两着色三角形相似,得cos150=426,(21BM +MN)min=423-63第32问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D在AB 上是否存在点M,使CM+21BM 取最小值. 过点B 作I,I 与x 轴夹角为300,MH=21BM,21BM+CM=MH+CM,当C 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值(21BM+CM)min=2333+第33问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为Dxy BCAMO Hxy BCAMOHxy BCAO M EHM 是抛物线上一点,作MH ⊥x 轴,交BC 于点E,当ME:EH=3:2时,求M 点的横坐标, 设M(m,-m 2+2m+3),则E(m,3-m),ME=-m 2+2m+3-(3-m),EH=3-m,ME:EH=3：2 即有-m 2+2m+3-(3-m)=23(3-m) m=23第34问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于顶点为D P 是抛物线上一点,且∠PAB=2CBD,求P 点坐标. tan ∠CBD=31,tan ∠PAB=tan2∠CBD=43(12345模型) 设P(m,-m 2+2m+3)(1)tan ∠PAB=1322+++-m m m =43,m=49,P(49,1639)(2)tan ∠PAB=1322+--m m m =43,m=415,P(415,1657)第35问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DF(1,415)直线y =417,(1)证明:M 上任意一点到直线y =417距离等于到F 点的距离, M(m,-m 2+2m+3),MH=417-(-m 2+2m+3)=m 2-2m+45MF=222)41532()1(-++-+-m m m =m 2-2m+45,故MH=MF xyEBCAOMHxy BCAODPP第36问:如图,抛物线与x 轴交于、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DF(1,415)直线y =417,(2)证明:N(2,-1)M 为抛物线上一点,求NM+MF 的最小值 由(1)可知MF=MH,故NM+MF=MN+MH,(NM+MF)min=421第37问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D ∠BAC 的角平分线交y 轴于点M,绕点M 作直线I,与x 轴交于点E,与A 交于点F,求证:AE 1+AF 1为定值 过点M 、F 、C 作x 轴的平行线,交AC 于点G,交AM 于点H 、I ，易知:∆AEM~∆HFM,∆AFH~∆ACI,AO GM =AC CG ,CI GM =AC AG ,相加得AO GM +CI GM =AC CG +ACAG=1 即有AO 1+AC 1=GM 1,同理可得AE 1+AF 1=GM1=1+1010第38问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D P 为第四象限抛物线上一点,且tan ∠APC=21,求出点P 的坐标； 过点C 作CE ⊥AC,取一点E 使CE=2AC,过点C 作MN||x 轴,作A M ⊥MN 、EN ⊥MN,易知∆ACM~∆CEN,CN=6,EN=2,E(6,1),P 为以AE 为直径的圆与抛物线的交点AE 的中点F,F(25,21) xy BCOFMHxy BCNOFMHA过点易知AE HF AFACGM AO =CG AC ，GM CI =AGAC，GM AO +GM CI =CG AC +AGAC =1即有1AO +1AC =1GM，同1AE +1AF =1GM =11010xy H G FEMBCOIPF=225,设P(m,-m 2+2m+3),PF 2=(m -25)2+(-m 2+2m+325)2=225m=255,y =2531--,P(255,2531--)第39问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 直线y =x -3与抛物线交于点P,在x 轴正半轴上找一点E,使tan(∠PBO+∠PEO)=25 在x 轴上找一点F,使tan ∠HPF=25,∠HPF=450+∠BPH=∠PBO+∠PEO=450+∠PEO, 故∠BPF=∠PEO,故∆BEP~∆BPF,BP BE =BF BP ,即253-m =21525,m -3=320,m=329故E(329,0)第40问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 对称轴与BC 交于点E,在直线BC 上找一点P,使∆ABP 与∆DEB 相似,∠BED=1350=∠ABP,故P 在CB 的延长线上,DE=2,BE=22,AB=3,1.当∆EDB~∆BAP,AB DE =BP EB ,即42=BP22,BP=42,P(7,-4) 2.∆EDB~∆BPA 时,BP=22,P(5,-2)AxyN MPFEBCOAH PE FAxyIHEBCODP 1P 2。

二次函数线段最值问题二师兄解答
【实用版】
目录
1.二次函数线段最值问题的基本概念
2.二次函数线段最值问题的求解方法
3.二次函数线段最值问题的实际应用
正文
一、二次函数线段最值问题的基本概念
二次函数线段最值问题是数学中的一个经典问题，它涉及到二次函数的性质以及线段最值的求解。

在实际生活和学习中，我们经常会遇到这类问题，例如在物理、化学、经济学等领域，它都有广泛的应用。

二次函数是指一个函数的最高次项是二次的函数，它的一般形式是f(x)=ax^2+bx+c，其中 a、b、c 是常数，a 不等于 0。

线段最值问题是指在线段上寻找某一函数的最大值或最小值。

二、二次函数线段最值问题的求解方法
求解二次函数线段最值问题，通常采用以下两种方法：
1.配方法：将二次函数转化为顶点式，然后根据顶点的横坐标求出最值。

配方法的步骤是：先将二次项和一次项的系数分别除以 2，然后将二次项和一次项的平方项加减到一个完全平方项中，从而将二次函数转化为顶点式。

2.导数法：对二次函数求导，然后令导数等于 0，求出极值点。

根据极值点的横坐标，可以判断出最大值或最小值。

三、二次函数线段最值问题的实际应用
二次函数线段最值问题在实际应用中非常广泛，例如在经济学中的最
优化问题，求解最大利润或最小成本；在物理学中的抛物线运动问题，求解最高点或最低点等。

掌握好二次函数线段最值问题的求解方法，对于解决实际问题具有重要意义。

综上所述，二次函数线段最值问题是一个具有实际意义的数学问题，通过配方法和导数法，我们可以有效地求解这类问题。

1：如图1，抛物线2
23y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴
交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，过点P 作y 轴的 平行线交直线BC 于点Q ，求线段PQ 的最大值。

2：如图2，抛物线2
23y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴
交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，过点P 作X 轴的 平行线交直线BC 于点Q ，求线段PQ 的最大值。

3：如图3，抛物线2
23y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴
交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，过点P 作直线
的垂线于点E ，求线段PE 的最大值。

4：如图4，抛物线2
23y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴
交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，过点P 作x 轴的平行线交直线BC 于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 点Q ，求三角形PDQ 周长的最大值；
5：如图5，抛物线2
23y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴
交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，作BC PQ ⊥点，过点P 作x 轴的平行线交直线BC 于点M ，求PMQ ∆最大值；
图4。

难点探究专题：利用二次函数求面积、周长、线段最值问题之三大考点【考点导航】目录【典型例题】1【考点一利用二次函数求面积最值问题】【考点二利用二次函数求周长最值问题】【考点三利用二次函数求线段最值问题】【典型例题】【考点一利用二次函数求面积最值问题】1(2022春·九年级单元测试)如图，抛物线y =ax 2+bx +5经过点A -5,0 ,B -4,-3 ，与x 轴的另一个交点为C ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P 为抛物线上一动点(与点B ，C 不重合)，设点P 的横坐标为t ，连接PB ，PC ，若点P 在直线BC 的下方运动，当△PBC 的面积最大时，求t 的值．【答案】(1)y =x 2+6x +5(2)t =-52【分析】(1)将A 、B 两点坐标代入抛物线，求解即可得出其解析式；(2)首先求出直线BC 解析式，然后设点G t ,t +1 ，则点P t ,t 2+6t +5 ，利用△PBC 面积构建二次函数，即可求出最值．【详解】(1)由题意，得将A -5,0 ,B -4,-3 代入抛物线，得25a -5b +5=016a -4b +5=-3解得a =1,b =6，∴该抛物线的解析式为y =x 2+6x +5；(2)令y =0，0=x 2+6x +5，解得：x =-1或x =-5，即点C -1,0 ，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点G ，如图所示：设直线BC 的解析式为y =kx +c ，将B 、C 的坐标代入一次函数表达式，得-4k +c =-3-k +c =0 ，解得k =1,c =1，直线BC 为y =x +1，设点G t ,t +1 ，则点P t ,t 2+6t +5则PG =-t 2-5t -4，∴S △PBC =12x C -x B PG =32-t 2-5t -4 =-32t +52 2+278∴当t =-52时，其最大值为278．【点睛】此题主要考查求二次函数解析式以及三角形面积的最值问题，要求熟练掌握二次函数的图象和性质．【变式训练】1(2023·全国·九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+bx -3a ≠0 的图象与x 轴交于A -1,0 ，B 3,0 两点，与y 轴交于C 点，点P 是直线BC 下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)当动点P 运动到什么位置时，使四边形ACPB 的面积最大，求出此时四边形ACPB 的面积最大值和P 的坐标．【答案】(1)y =x 2-2x -3；(2)当m =32时，四边形ABCP 的最大值是758，P 32,-154．【分析】对于(1)，直接将点A ，B 的坐标代入关系式，即可求出答案；对于(2)，分别求出各线段的长，再表示出点P 的坐标，然后根据S 四边形ACPB =S △AOC +S △COP +S △BOP 列出二次函数，整理为顶点式，再讨论极值即可得出答案．【详解】(1)∵二次函数y =ax 2+bx -3的图象与x 轴交于A (-1,0),B (3,0)两点，∴a -b -3=09a +3b -3=0 ，解得：a =1b =-2 ，∴这个二次函数的表达式为：y =x 2-2x -3；(2)当x =0时，y =-3，∴点C (0,-3)．∵A (-1,0)，B (3,0)，∴AO =1，BO =3，CO =3．设点P 的坐标为m ,m 2-2m -3 ，S四边形ACPB =S △AOC +S △COP +S △BOP=12×1×3+12×3×m +12×3×(-m 2+2m +3)，=-32m 2+92m +6=-32m -32 2+758．∵a =-32<0，∴当m =32时，四边形ACPB 的最大值是758，此时点P 的坐标为32,-154．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求特殊图形的面积，求二次函数的极值等，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积和是解题的关键．2(2022秋·天津滨海新·九年级校考期中)如图，已知抛物线y =x 2-2x +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，抛物线的顶点为D 点，点A 的坐标为-1,0 ．(1)求D 点的坐标；(2)连接BC 、CD ，说明∠BCD =90°；(3)若点P 是直线BC 下方抛物线上一动点，当点P 位于何处时，△PBC 的面积最大？求出此时点P 的坐标．【答案】(1)D (1,-4)(2)见解析(3)P 32,-154 【分析】(1)将(-1,0)代入求出抛物线表达式，化为顶点式可得结果；(2)求出点B ，点C 坐标，分别求出BC 2，BD 2，CD 2，得到BC 2+CD 2=BD 2，即可证明结果；(3)过点P 作PR ⊥x 轴，垂足为R ，与BC 交于点Q ，求出BC 的解析式，设P a ,a 2-2a -3 ，则Q a ,a -3 ，得到PQ ，表示出△PBC 的面积，再根据二次函数的最值求解即可．【详解】(1)解：将(-1,0)代入y =x 2-2x +c ，则1+2+c =0，解得：c =-3，∴y =x 2-2x -3=x 2-2x +1-4=(x -1)2-4，∴D (1,-4)；(2)连接BD ，如图，∵y =x 2-2x -3，令x =0，则y =-3，即C 0,-3 ，∵A -1,0 ，D (1,-4)，∴B 1×2--1 ,0 ，即B 3,0 ，∵BC 2=32+32=18，BD 2=3-1 2+42=20，CD 2=12+12=2，∴BC 2+CD 2=BD 2，∴∠BCD =90°；(3)如图，过点P 作PR ⊥x 轴，垂足为R ，与BC 交于点Q ，设BC 的解析式为y =mx +n ，将B 3,0 ，C 0,-3 代入，得0=3m +n -3=n，解得：m =1n =-3 ，∴BC 的解析式为y =x -3，设P a ,a 2-2a -3 ，则Q a ,a -3 ，∴PQ =a -3-a 2-2a -3 =-a 2+3a ，∴△PBC 的面积为12×PQ ×x B -x C =12×-a 2+3a ×3=-32a -322+278，∵点P 在BC 下方，∴0<a <3，∴当a =32时，△PBC 的面积最大，此时，P 32,-154．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，三角形的面积，二次函数的最值，勾股定理的逆定理，正确表示出△PBC 的面积是解题关键．3(2023年辽宁省营口市中考模拟考试(一模)数学试卷)已知直线l 与x 轴、y 轴分别相交于A (1,0)、B (0,3)两点，抛物线y =ax 2-2ax +a +4(a <0)经过点B ，交x 轴正半轴于点C ．(1)求直线l 的函数解析式和抛物线的函数解析式；(2)在第一象限内抛物线上取点M ，连接AM 、BM ，求△AMB 面积的最大值及点M 的坐标．(3)抛物线上是否存在点P 使△CBP 为直角三角形，如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)一次函数解析式为：y =-3x +3，二次函数解析式为：y =-x 2+2x +3(2)258，52,74(3)存在，点P 的坐标为(-2，-5)或(1，4)或1+52，5+52或1-52，5-52．【分析】(1)先利用待定系数法求得直线l 的函数解析式，求得点B 的坐标，从而可以求得抛物线的解析式；(2)根据题意可以求得点A 的坐标，然后根据题意和图形可以用含m 的代数式表示出S ，然后将其化为顶点式，再根据二次函数的性质即可解答本题；(3)分三种情况讨论，分别当BC 、PC 、PB 为斜边时，利用勾股定理列方程即可求解．【详解】(1)解：设y =kx +b ，把A (1,0)，B (0,3)代入得：k +b =00+b =3 ，∴k =-3，b =3，∴一次函数解析式为：y =-3x +3，把B (0,3)代入y =ax 2-2ax +a +4，∴3=a +4，∴a =-1，∴二次函数解析式为：y =-x 2+2x +3；(2)解：连接OM ，把y =0代入y =-x 2+2x +3得，0=-x 2+2x +3，∴x =-1或3，∴抛物线与x 轴的交点横坐标为-1和3，设点M (m ,-m 2+2m +3)，∵M 在抛物线上，且在第一象限内，∴0<m <3，∵A 的坐标为(1,0)，∴S =S △OBM +S △OAM -S △AOB=12×m ×3+12×1×(-m 2+2m +3)-12×1×3=-12m -522+258，∴当m =52时，S 取得最大值258．此时M 的坐标为52,74；(3)解：设点P (n ，-n 2+2n +3)，则BC 2=32+32=18，PC 2=n -3 2+-n 2+2n +3 2，PB 2=n 2+-n 2+2n 2，当PC 为斜边时，则n 2+-n 2+2n 2+18=n -3 2+-n 2+2n +3 2，解得n =0(舍去)或n =1，∴点P (1，4)；当PB 为斜边时，则n -3 2+-n 2+2n +3 2+18=n 2+-n 2+2n 2，解得n =3(舍去)或n =-2，∴点P (-2，-5)；当BC 为斜边时，则n -3 2+-n 2+2n +3 2+n 2+-n 2+2n 2=18，解得n =3(舍去)或n =0(舍去)或n =1+52或n =1-52，∴点P 的坐标为1+52，5+52 或1-52，5-52 ；综上，点P 的坐标为(-2，-5)或(1，4)或1+52，5+52或1-52，5-52．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数的最值、勾股定理，待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想和转化的数学思想解答．4(2023·广东佛山·统考三模)如图，抛物线y =-x 2+bx +c 交直线y =-x +4于坐标轴上B ,C 两点，交x 轴于另一点A ，连接AC ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 为线段BC 上一点，过点D 作直线l ∥AC ，交x 轴于点E ．连接AD ，求△ADE 面积的最大值；(3)若在直线l 上存在点P ，使得以点A ,C ,D ,P 为顶点的四边形为菱形，求点P 的坐标．【答案】(1)y =-x 2+3x +4(2)52(3)342-1,-342 或(4,5)【分析】(1)根据直线y =-x +4，求出B (4,0)，C (0,4)，再代入二次函数解析式即可．(2)根据二次函数解析式，得到A (-1,0)，从而得出y AC =4x +4，再根据直线l ∥AC ，设y DE =4x +n ，将D(m ,-m +4)代入得n =-5m +4，得出y DE =4x -5m +4，则E 54m -1,0 ，从而得出S △ADE =-58(m -2)2+52，得出面积最大值．(3)根据菱形的性质进行分类讨论，①AC =CD ，根据D (m ,-m +4)，C (0,4)得出CD =2m =17，求出m 的值从而求解；②AC =AD ，D (m ,-m +4)，A (-1,0)，得出AD =2m 2-6m +17=17，求出m 的值从而求解．【详解】(1)∵直线y =-x +4于坐标轴上B ,C 两点，∴B (4,0)，C (0,4)，∵抛物线y =-x 2+bx +c 的图象过B ,C 两点，代入得，0=-16+4b +c4=c，解得b =3c =4，∴抛物线的解析式为：y =-x 2+3x +4；(2)如图，∵抛物线的解析式为：y =-x 2+3x +4，当y =0时，-x 2+3x +4=0，解得：x 1=-1,x 2=4，∴A (-1,0)，∵C (0,4)，∴y AC =4x +4，∵直线l ∥AC ，设y DE =4x +n ，∵点D 为线段BC 上一点，设D (m ,-m +4)，代入得，n =-5m +4，∴y DE =4x -5m +4，∴E 54m -1,0 ，∴AE =54m ，∴S △ADE =12∙54m (-m +4)=-58m 2+52m =-58(m -2)2+52，当m =2时，S △ADE 有最大值52．(3)存在，理由如下：∵A (-1,0)，C (0,4)，∴AC =12+42=17，∵以点A ,C ,D ,P 为顶点的四边形为菱形，①AC =CD ，∵D (m ,-m +4)，C (0,4)，∴CD =m 2+m 2=2m 2=17，∴m =±342，∵点D 为线段BC 上一点，∴m =342，∵直线l ∥AC ，以点A ,C ,D ,P 为顶点的四边形为菱形，∴AC =DP ，∵D (m ,-m +4)，∴P (m -1,-m )∴P 342-1,-342②AC =AD∵D (m ,-m +4)，A (-1,0)，∴AD =(m +1)2+(m -4)2=2m 2-6m +17=17，∴m 1=0,m 2=3，当m =0时，D (0,4)与点C (0,4)重合，不符合题意，舍去，当m =3时，D (3,1)，∵直线l ∥AC ，以点A ,C ,D ,P 为顶点的四边形为菱形，∴AC =DP ，∵D (m ,-m +4)，∴P (m +1,-m +8)∴P (4,5)综上所述：P 的坐标为342-1,-342或(4,5)【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、面积最值、平面直角坐标系中两点之间的距离等相关知识点，知晓两直线平行，斜率相等是解决本题的关键．【考点二利用二次函数求周长最值问题】1(2023秋·河南周口·九年级统考期末)已知抛物线y =a (x -1)2-3(a ≠0)的图象与x 轴交于点A 、B (A 在B 的左侧)，与y 轴交于点C 0，-2 ，顶点为D ．(1)试确定a 的值，并直接写出D 点的坐标．(2)试在x 轴上求一点P ，使得△PCD 的周长取最小值．【答案】(1)a =1，D (1，-3)(2)点P 的坐标为25，0；△PCD 的周长最小值为26+2．【分析】(1)将点C 坐标代入抛物线解析式中，求出a ，直接写成顶点坐标D ，即可得出结论；(2)利用对称性即可得出结论．【详解】(1)解：∵抛物线过点C 0，-2 ，∴a -3=-2，∴a =1，∴y =(x -1)2-3，∴顶点D 的坐标为(1，-3)；(2)解：如图，∵CD 是定值，△PCD 的周长要最小，∴PC +PD 最小，作点C 关于x 轴的对称点C 连接C D ，交x 轴于P ，即：点P 为所求作的点；∵C 0，-2 ，∴C 0，2 ，设直线C D 的解析式为y =kx +2，把(1，-3)代入得-3=k +2，解得k =-5，∴直线C D 的解析式为y =-5x +2，令y =0，则x =25，∴点P 的坐标为25，0；∵C △PCD =PC +CD +PD ，∵PC +PD min =PC +PD =C D =12+2+3 2=26，CD =12+3-1 2=2，∴C △PCD min =26+2．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，求出点P 的坐标是解本题的关键．【变式训练】1(2022春·全国·九年级专题练习)如图，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴相交于点A -3，0 ，B 1，0 ，与y 轴交于点C 0，3 ，点D 为抛物线的顶点．(1)直接写出抛物线的函数表达式；(2)如图，抛物线的对称轴上是否存在点F ，使得△BCF 周长最小，若存在求点F 坐标，并求周长的最小值；若不存在，请说明理由【答案】(1)y =-x 2-2x +3(2)存在，F -1,2 ；C ΔCBF =32+10【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)先求出抛物线的对称轴x =-1，即可得出C 1-2,3 ，设直线BC 1的解析式为：y =kx +b ，求出解析式，把x =-1代入，求出F -1,2 ，再求出CF =2，CB =10，FB =22，即可求出周长．【详解】(1)将A -3，0 ，B 1，0 ，C 0，3 代入y =ax 2+bx +c 得:0=9a -3b +c 0=a +b +c 3=c,解得:a =-1b =-2c =3所以抛物线的函数表达式：y =-x 2-2x +3(2)存在；∵抛物线的解析式为：y =-x 2-2x +3，∴抛物线的对称轴x =-1，C 0,3 ，∴C 1-2,3 ，设直线BC 1的解析式为：y =kx +b ，∵B 1，0 ，∴3=-2k +b 0=k +b解得k =-1b =1 ，∴直线BC 1的解析式为：y =-x +1，把x =-1代入直线BC 1的解析式y =-x +1，得y =2，∴F -1,2 ；∴CF =3-22+0+1 2=2CB =1-02+3-0 2=10FB =-1-1 2+2-0 2=22∴C ΔCBF =CF +CB +FB =32+10【点睛】本题考查二次函数，利用待定系数法求出解析式是解题的关键，利用对称轴求出坐标是解(2)题的关键．2(2023秋·浙江温州·九年级期末)如图，抛物线y =12x 2+bx -2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A -1,0 ．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)判断△ABC 的形状，证明你的结论；(3)点M 是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM 周长最小时，求点M 的坐标及△ACM 的最小周长；(4)在该抛物线位于第四象限内的部分上是否存在点P ，使得△CPB 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)抛物线的解析式为：y =12x 2-32x -2；D 32,-258(2)△ACB 是直角三角形(3)M 32,-54，△ACM 的最小周长为：35(4)存在，P 2,-3【分析】(1)根据点A -1,0 在抛物线y =12x 2+bx -2上，解出b ，得到抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出点D 的坐标；(2)根据(1)得抛物线的解析式，求出点B 的坐标，根据勾股定理的逆定理即可；(3)当点M 在BC 与对称轴的交点上，根据点A ，点B 是对称点，连接AM ，则AM =BM 且A ，C ，M 三点在一条直线上，距离最短，设BC 的解析式为：y =kx +b k ≠0 ，求出BC 的解析式，则得到点M 的坐标，即可；(4)以BC 为底，则S △CPB =12BC ∙h ，当点P 到BC 的距离最远时，△CPB 的面积最大如图所示，作直线l ∥BC ,当直线l 与抛物线y =12x 2-32x -2仅有一个交点时，h 最大，交点即为点P ．【详解】(1)∵点A -1,0 在抛物线y =12x 2+bx -2上，∴0=12-b -2，∴b =-32，∴抛物线的解析式为：y =12x 2-32x -2；∵顶点坐标公式为：-b 2a ,4ac -b 24a ，∴点D 32,-258．∴抛物线的解析式为：y =12x 2-32x -2；D 32,-258 ．(2)∵抛物线y =12x 2-32x -2与y 轴交于点C ，∴x =0，y =-2，∴OC =2，∵抛物线y =12x 2-32x -2与x 轴交于点A ，点B ，∴0=12x 2-32x -2，∴x =-1，x =4，∴点B 4,0 ，∴OA =1，OB =4，AB =5，∵AC 2=OA 2+OC 2=5；BC 2=OC 2+OB 2=22+42=20；AB 2=25，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形．(3)∵点A ，点B 是对称点，点M 在BC 与对称轴的交点上，∴AM =BM此时A ，C ，M 三点在一条直线上，距离最短，C △ACM =AC +BC =5+25=35；设BC 的解析式为：y =kx +b k ≠0 ，∴0=4k +b -2=b ，解得：k =12b =-2 ，∴y =12x -2当x =32时，y =12×32-2=-54，∴点M 32,-54 ；∴点M 的坐标为M 32,-54，△ACM 的最小周长为：35．(4)存在，理由如下：∵以BC 为底，∴S △CPB =12BC ×h ，当点P 到BC 的距离最远时，△CPB 的面积最大，作直线l ∥BC ，且与y =12x 2-32x -2仅有一个交点，设直线l 的解析式为y =kx +b ，∵l ∥BC ，∴k =12，即y =12x +b ，∵直线l 与y =12x 2-32x -2仅有一个交点，∴12x 2-32x -2=12x +b 仅有一个实数根，∴4-4×12×-2-b =0，解得b =-4，∴直线l 的解析式为：y =12x -4，由y =12x -4y =12x 2-32x -2，解得x =2y =-3 ，∴点P 2,-3 ．【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，勾股定理的逆定理，线段的距离．3(2022秋·江苏连云港·九年级连云港市新海实验中学校考阶段练习)如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c a ≠0 的对称轴为直线x =-1，且抛物线经过A 1,0 ，C 0,3 两点，与x 轴的另一个交点为点B ，其顶点为点D ．(1)求抛物线的解析式．(2)在抛物线的对称轴x =-1上找一点M ．使△MAC 的周长最小，求出点M 的坐标．(3)在(2)的条件下，连接MD ，点E 是直线BC 上的一个动点，过点E 作EF ∥MD 交抛物线于点F ，以M ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】(1)y =-x ²-2x +3(2)M (-1,2)(3)能；E 点坐标为(-2,1)或-3+172,3+172或-3-172,3-172 【分析】(1)由对称轴得到a 、b 的关系，再将A (1,0)，C (0,3)代入y =ax 2+bx +c 即可求解析式；(2)作点C 关于直线x =-1的对称点C '，连接AC '，与直线x =-1交点M ，当A 、M 、C '三点共线时，△MAC 的周长最小，求出直线AC '解析式即可求M ；(3)求出直线BC 的解析式y =x +3，设E (t ,t +3)，F (t ,-t 2-2t +3)，只需EF =MD =2即可求E 点坐标．【详解】(1)∵对称轴为直线x =-1，∴-b 2a=-1，∴b =2a ，∴y =ax 2+bx +c 为y =ax ²+2ax +c ，将点A (1,0)，C (0,3)代入y =ax ²+2ax +c ，得c =3a +2a +c =0，∴a =-1c =3 ，∴y =-x ²-2x +3；(2)令x =0；则y =3，∴C (0,3)，如图1，作C 点关于直线x =-1的对称点C '，连接AC '，与直线x =-1交点M ，∵CM =C 'M∴C △MAC =MA +MC +AC =MC '+AM +AC ≥AC '+AC ，∴当A 、M 、C '三点共线时，△MAC 的周长最小，∴C '(-2,3)，设直线AC '的解析式为y =kx +b ，得k +b =0-2k +b =3 ，∴k =-1b =3 ，∴y =-x +3，当x =-1时，y =2，∴M (-1,2)；(3)如图2，以M 、D 、E 、F 为顶点的四边形能为平行四边形，理由如下：∵y =-x 2-2x +3的顶点为D (-1,4)，∴MD =2，∵EF ∥MD ，∴当EF =MD 时，以M 、D 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形，令y =0，则-x 2-2x +3=0，∴x =1或x =-3，∴B (-3,0)，设直线BC 的解析式为y =k 1x +b 1，∴-3k 1+b 1=0b 1=3 ，∴k 1=1b 1=3 ，∴y =x +3，∵点E 是直线BC 上的一个动点，设E (t ,t +3)，∵EF ∥MD ，∴F (t ,-t 2-2t +3)，∴EF =t 2+3t ，∴2=t 2+3t ，解得t =-1(舍)或t =-2或t =-3+172或t =-3-172，∴E (-2,1)或E -3+172,3+172 或E -3-172,3-172 ，综上所述：以M 、D 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形时，E 点坐标为(-2,1)或-3+172,3+172或-3-172,3-172．【点睛】本题考查二次函数与四边形的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质及平行四边形的性质是解题关键．4(2022秋·山西大同·九年级大同一中校考阶段练习)如图，已知抛物线y =-x 2+mx +3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为3,0 ，(1)求m 的值及抛物线的顶点坐标(2)点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标．(3)点E 为抛物线在第一象限上的一个点，连接BE ，CE ，当△BCE 的面积最大时，求出△BCE 的最大面积和点E 的坐标；【答案】(1)m =2， 抛物线的顶点坐标为(1，4)；(2)P 点坐标为(1，2)；(3)△BCE 的最大面积为278，点E 的坐标为：32,154 ．【分析】(1)将点B 的坐标为3,0 代入解析式中，即可求得m 的值，然后利用顶点坐标公式求得抛物线的顶点坐标；(2)根据A 、B 关于抛物线的对称轴对称，先连接BC 交抛物线对称轴于点P ，则此时PA +PC +AC 的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC 的解析式，从而求出P 点坐标；(3)过E 点作ED ⊥x 轴交BC 与点D ，利用E 、D 所在的图像设出坐标，再利用“铅垂高水平宽”求出面积与坐标的关系，最后利用顶点坐标求最值即可得解．【详解】(1)解：将点B 的坐标为(3，0)代入解析式y =-x 2+mx +3中得：0=-32+3m +3解得：m =2∴抛物线的解析式为：y =-x 2+2x +3顶点坐标的横坐标为：x =-b 2a =-22×-1=1，代入解析式中得y =-12+2+3=4，∴抛物线的顶点坐标为：(1，4)；(2)解：将x =0代入到y =-x 2+2x +3中，得：y =3，∴∴点C 的坐标为(0，3)，令y =-x 2+2x +3中y =0，得0=-x 2+2x +3，解得x =-1，或x =3，∴A -1，0 ，∴OA =1，OC =3，∴AC =OA 2+OC 2=12+32=10，∵根据A 、B 关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC 交抛物线对称轴于点P ，则此时PA +PC 的值最小，即△PAC 的周长PA +PC +PC 最小，设直线BC 的解析式为：y =kx +b ，将B 、C 的坐标分别代入得：0=3k +b 3=b解得：k =-1b =3所以直线BC 的解析式为：y =-x +3将x =1代入到y =-x +3得：y =2∴P 点坐标为(1，2)；(3)解：过E 点作ED ⊥x 轴交BC 与点D ，设E 的坐标为x ,-x 2+2x +3 ，D 的坐标为x ,-x +3 ，C 到ED 的距离为h 1，B 到ED 的距离为h 2，由图可知h 1+h 2=OB =3，∴ED =-x 2+2x +3 --x +3 =-x 2+3x∴S △BCE =S △DC △+S △BDE =12ED ⋅h 1+12ED ⋅h 2=12ED h 1+h 2 =-32x 2+92x =-32x -32 2+278，∵-32<0∴当x =32时，△BCE 的面积最大，最大面积为278，将x =32代入y =-x 2+2x +3中，得：y =154，故当△BCE 的面积最大时点E 的坐标为：32,154 ．【点睛】此题考查的是①待定系数法求二次函数的解析式；②求两条线段之和最小时确定动点的位置问题；③利用“铅垂高水平宽”求面积最值问题．解决此题的关键是掌握如何确定两条线段之和最小时动点的位置和把面积最值问题转化成二次函数最值问题．5(2023·山东东营·统考中考真题)如图，抛物线过点O 0,0 ，E 10,0 ，矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上(点B 在点A 的左侧)，点C ，D 在抛物线上，设B t ,0 ，当t =2时，BC =4．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t =2时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ，H ，且直线GH 平分矩形ABCD 的面积时，求抛物线平移的距离．【答案】(1)y =14x 2-52x (2)当t =1时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412(3)4【分析】(1)设抛物线的函数表达式为y =ax x -10 a ≠0 ，求出点C 的坐标，将点C 的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；(2)由抛物线的对称性得AE =OB =t ，则AB =10-2t ，再得出BC =-14t 2+52t ，根据矩形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；(3)连接AC ，BD 相交于点P ，连接OC ，取OC 的中点Q ，连接PQ ，根据矩形的性质和平移的性质推出四边形OCHG 是平行四边形，则PQ =CH ，PQ =12OA ．求出t =2时，点A 的坐标为8,0 ，则CH =12OA =4，即可得出结论．【详解】(1)解：设抛物线的函数表达式为y =ax x -10 a ≠0 ．∵当t =2时，BC =4，∴点C 的坐标为2,-4 ．将点C 坐标代入表达式，得2a 2-10 =-4，解得a =14．∴抛物线的函数表达式为y =14x 2-52x ．(2)解：由抛物线的对称性得：AE =OB =t ，∴AB =10-2t ．当x =t 时，BC =-14t 2+52t ．∴矩形ABCD 的周长为2AB +BC =210-2t +-14t 2+52t=-12t 2+t +20=-12t -1 2+412．∵-12<0，∴当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为412．(3)解：连接AC，BD相交于点P，连接OC，取OC的中点Q，连接PQ．∵直线GH平分矩形ABCD的面积，∴直线GH过点P．．由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，∴PQ=CH．∵四边形ABCD是矩形，∴P是AC的中点．OA．∴PQ=12当t=2时，点A的坐标为8,0，OA=4．∴CH=12∴抛物线平移的距离是4．【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，平移的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，以及平移的性质．【考点三利用二次函数求线段最值问题】1(2023·上海·九年级假期作业)如图，已知抛物线F1：y=-x2+5，抛物线F2与F1关于点1，0中心对称，F1与F2相交于A，B两点，点M在抛物线F1上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线F2上，也位于点A 和点B之间，且MN⊥x轴．(1)求抛物线F2的表达式；(2)求线段MN长度的最大值．【答案】(1)y=(x-2)2-5(2)8【分析】(1)先求出抛物线F1：y=-x2+5的顶点坐标为0，5对称后的点，然后求出点0，5关于1，0坐标为2，-5，再抛物线F2的解析式为：y=(x-2)2-5；(2)先求出A、B两点横坐标分别为-1和3，设M(a,-a2+5)，N a,(a-2)2-5其中-1<a<3，则MN= -2a-12+8，求出最大值即可．【详解】(1)解：抛物线F1：y=-x2+5的顶点坐标为0，5，点0，5，对称后的点坐标为2，-5关于1，0∵抛物线F 2与抛物线F 1关于1，0 成中心对称，∴抛物线F 2的解析式为：y =(x -2)2-5．(2)解：∵抛物线F 1：y =-x 2+5与F 2：y =(x -2)2-5交于A 、B ，∴令-x 2+5=x -2 2-5，解得：x =-1或x =3，则A 、B 两点横坐标分别为-1和3，设M (a ,-a 2+5)，N a ,(a -2)2-5 ，其中-1<a <3，则MN =-a 2+5-[(a -2)2-5]=-2a 2+4a +6=-2(a -1)2+8，∴当a =1时，MN 最大为8．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，中点坐标公式，二次函数的最值，解题的关键是数形结合，利用对称的特征，再根据顶点情况求解析式以及根据二次函数解析式求最大值．【变式训练】1(2023·四川巴中·统考中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)经过点A (-1,0)和B (0,3)，其顶点的横坐标为1．(1)求抛物线的表达式．(2)若直线x =m 与x 轴交于点N ，在第一象限内与抛物线交于点M ，当m 取何值时，使得AN +MN 有最大值，并求出最大值．(3)若点P 为抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q 为平移后抛物线上一动点．在(2)的条件下求得的点M ，是否能与A 、P 、Q 构成平行四边形？若能构成，求出Q 点坐标；若不能构成，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2+2x +3(2)当m =32时，AN +MN 有最大值为254(3)能，Q 1-12,154 、Q 272,-334 、Q 3-32,74【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解；(2)设M m ,-m 2+2m +3 ，进而分别表示出MN ,AN ，得出关于m 的二次函数，根据二次函数的性质，0<m <3，即可求得最大值；(3)由(1)知，y =-x 2+2x +3向左平移后的抛物线为y =-x 2+4，由(2)知M 32,154,A (-1,0)，设P 1,y P ,Q x Q ,y Q ，假设存在以A 、P 、Q 、M 为顶点的平行四边形．根据中点坐标公式，分类讨论即可求解，①当以AM 为对角线时，②当以AQ 为对角线时，③当以AP 为对角线时．【详解】(1)解：∵抛物线的顶点横坐标为1∴对称轴为x =1∵A (-1,0)∴与x 轴另一交点为(3,0)∴设抛物线为y =a (x +1)(x -3)∵B (0,3)∴a =-1∴y =-(x +1)(x -3)∴抛物线的表达式为y =-x 2+2x +3(2)∵M 在抛物线上∴设M m ,-m 2+2m +3∵M 在第一象限∴MN =-m 2+2m +3AN =m +1∴AN +MN =-m 2+2m +3+m +1=-m 2+3m +4∵0<m <3∴当m =32时，AN +MN 有最大值为254(3)由(1)知，y =-x 2+2x +3向左平移后的抛物线为y =-x 2+4由(2)知M 32,154 ,A (-1,0)设P 1,y P ,Q x Q ,y Q ，假设存在以A 、P 、Q 、M 为顶点的平行四边形．①当以AM 为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分∴x A +x M 2=x Q +x P 2，即-1+322=1+x Q2∴x Q =-12∵Q 在抛物线y =-x 2+4上∴y Q =154∴Q 的坐标为-12,154②当以AQ 为对角线时同理可得x A +x Q 2=x P +x M 2，即-1+x Q 2=1+322∴x Q =72则y Q =-334∴Q 的坐标为72,-334③当以AP 为对角线时x A +x P 2=x Q +x M 2，即-1+12=x Q +322∴x Q =-32则y Q =74∴Q 的坐标为-32,74综上所述：存在以A 、P 、Q 、M 为顶点的平行四边形．Q 的坐标为Q 1-12,154、Q 272,-334 、Q 3-32,74【点睛】本题考查了二次函数综合，二次函数的平移，待定系数法求解析式，线段最值问题，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于B 4,0 ，C -2,0 两点．与y 轴交于点A 0,-2 ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求与12PK +PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得△MAB 是以AB 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =14x 2-12x -2(2)存在，12PK +PD 的最大值为258，P 32,-3516 (3)1,6 或1,-4 【分析】(1)将A 、B 、C 代入抛物线解析式求解即可；(2)可求直线AB 的解析式为y =12x -2，设P m ,14m 2-12m -2 (0<m <4)，可求K 12m 2-m ,14m 2-12m -2 ，从而可求12PK +PD =-12m 2+32m +2，即可求解；(3)过A 作AM 2⊥AB 交抛物线的对称轴于M 2，过B 作BM 1⊥AB 交抛物线的对称轴于M 1，连接AM 1，设M 11,n ，可求AM 12=n 2+4n +5，BM 12=n 2+9，由AB 2+BM 12=AM 12，可求M 1，进而求出直线BM 1的解析式，即可求解．【详解】(1)解：由题意得16a +4b +c =04a -2b +c =0c =-2，解得：a =14b =-12c =-2，∴抛物线的解析式为y =14x 2-12x -2．(2)解：设直线AB 的解析式为y =kx +b ，则有4k +b =0b =-2 ，解得：k =12b =-2 ，∴直线AB 的解析式为y =12x -2；设P m ,14m 2-12m -2 (0<m <4)，∴12x -2=14m 2-12m -2，解得：x =12m 2-m ，∴K 12m 2-m ,14m 2-12m -2 ，∴PK =m -12m 2-m =-12m 2+2m ，∴12PK =-14m 2+m ，PD =-14m 2-12m -2 =-14m 2+12m +2，∴12PK +PD =-14m 2+m -14m 2+12m +2=-12m 2+32m +2=-12m -32 2+258，∵-12<0，∴当m =32时，12PK +PD 的最大值为258，∴y =14×32 2-12×32-2=-3516，∴P 32,-3516 ．故12PK +PD 的最大值为258，P 32,-3516．(3)解：存在，如图，过A 作AM 2⊥AB 交抛物线的对称轴于M 2，过B 作BM 1⊥AB 交抛物线的对称轴于M 1，连接AM 1，∵抛物线y=14x2-12x-2的对称轴为直线x=1，∴设M11,n，∴AM12=12+n+22=n2+4n+5，AB2=22+42=20，BM12=4-12+n2=n2+9，∵AB2+BM12=AM12，∴n2+9+20=n2+4n+5，解得：n=6，∴M11,6；设直线BM1的解析式为y=k1x+b1，则有k1+b1=64k1+b1=0，解得k1=-2 b1=8 ，∴直线BM1解析式为y=-2x+8，∵AM2∥BM1，且经过A0,-2，∴直线AM2解析式为y=-2x-2，∴当x=1时，y=-2×1-2=-4，∴M21,-4；综上所述：存在，M的坐标为1,6或1,-4．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键．3(2023·海南海口·海师附中校考三模)如图，抛物线y=ax2+3x+c a≠0与x轴交于点A-2,0和点B，与y轴交于点C0,8，顶点为D，连接AC，CD，DB，P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，设点P的横坐标为t．(1)求抛物线的解析式；(2)当t 为何值时，△PBC 的面积最大？并求出最大面积；(3)M 为直线BC 上一点，求MO +MA 的最小值；(4)过P 点作PE ⊥x 轴，交BC 于E 点．是否存在点P ，使得△PEC 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的解析式为：y =-12x 2+3x +8(2)当t =4时，△PBC 的面积最大，最大面积为32(3)241(4)存在，P 点的坐标为P 6,8 ，P 4,12 ，P 8-22,102-4【分析】(1)利用待定系数法求解析式；(2)利用抛物线的解析式求出点B 的坐标，得到直线BC 的解析式，过点P 作PG ⊥x 轴，交x 轴于点F ，交BC 于点G ，利用S △PBC =12×PG ×OB 求出解析式，利用函数性质解答即可；(3)作O 关于直线BC 的对称点为O ，得到四边形COBO 为正方形，则O 8,8 ，则MO +MA =MO +MA ，当A 、M 、O 三点共线时，MO +MA 最小，即为线段AO 的长，勾股定理求出AO 即可．(4)分三种情况：当CE =PE 时，当PE =PC 时，当CE =CP 时，分别求出点P 的坐标【详解】(1)解：由题意得：4a -6+c =0c =8 ，解得：a =-12c =8 ，∴抛物线的解析式为：y =-12x 2+3x +8；(2)当-12x 2+3x +8=0时，得x =-2或x =8，∴B 8,0 ，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，则8k +b =0b =8，解得k =-1b =8∴直线BC 的解析式为y =-x +8．如图，过点P 作PG ⊥x 轴，交x 轴于点F ，交BC 于点G ．设点P t ,-12t 2+3t +8 ，G (t ,-t +8)．∴PG =-12t 2+4t ．∴S △PBC =12×PG ×OB =12×-12t 2+4t ×8=-2t 2+16t =-2(t -4)2+32，∴当t =4时，△PBC 的面积最大，最大面积为32；(3)作O 关于直线BC 的对称点为O ，连接O C 、O B 、OO 、OM ，如图，∵∠CBO =45°，OB =OC ，∴四边形COBO 为正方形，则O 8,8 ，则MO +MA =MO +MA ，当A 、M 、O 三点共线时，MO +MA 最小，即为线段AO 的长，∴MO +MA 最小值为O A =AB 2+O B 2=102+82=241．(4)∵P t ,-12t 2+3t +8 ，∴E t ,-t +8 ，∵OB =OC =8，∴BC =2OB =82，∠OBC =∠BEF =∠CEP =45°∵BF =EF =8-t∴BE =2BF =28-t ，∴CE =CB -BE =82-28-t=2t ，PE =-12t 2+3t +8--t +8 =-12t 2+4t ，PC 2=t 2+-12t 2+3t +8-8 2=14t 4-3t 3+10t 2，当CE =PE 时，-12t 2+4t =2t ，解得t =0或t =8-22，∴P 8-22,102-4 ；当PE =PC 时，则PE 2=PC 2，∴-12t 2+4t 2=14t 4-3t 3+10t 2，解得t =0(舍去)或t =6，∴P 6,8 ；当CE =CP 时，则CE 2=PC 2，∴2t 2=14t 4-3t 3+10t 2，解得t =4或t =8(舍去)，∴P 4,12 ，综上，P 点的坐标为P 6,8 ，P 4,12 ，P 8-22,102-4 ．【点睛】此题考查二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，勾股定理，轴对称问题，等腰三角形的性质，图形面积问题，综合掌握各知识点是解题的关键．。

二次函数中求线段，线段和，面积等最值问题（压轴通关） 目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）二次函数中求线段，线段和，面积等最值问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。

每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1．从考点频率看，二次函数的图象和性质是考查的基础，也是高频考点、必考点。

2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后第二题为主，分值12分左右，着实不少！题型一 二次函数中求线段的最值问题【例1】（2024·安徽滁州·一模）已知抛物线()22131y x n x n =−++++交x 轴于点()10A −，和点B ，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图1，已知点P 是位于BC 上方的抛物线上的一点，作PM BC ⊥，垂足为M ，求线段PM 长度的最大值；(3)如图2，已知点Q 是第四象限抛物线上一点，45ACQ ∠=︒，求点Q 的坐标．【答案】(1)234y x x =−++；(2)PM 的最大值为(3)点Q 的坐标为143439⎛⎫− ⎪⎝⎭，．【分析】（1）将点()10A −，代入()22131y x n x n =−++++，求得1n =，即可得解；（2）求得点B 和C 的坐标，推出45OAB OBC ∠=∠=︒，作PF x ⊥轴于点F ，交BC 于点E ，得到PEM △是等腰直角三角形，2PM PE =，设()234P m m m −++，，求得PM 关于m 的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；（3）作BG CQ ⊥轴于点G ，作GH x ⊥轴于点H ，求得BC =ACO GCB ∠=∠，利用正切函数的定义求得BG ，证明HBG 是等腰直角三角形，求得()31G −，，再求得直线CG 的解析式，据此求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线()22131y x n x n =−++++交x 轴于点()10A −，， ∴()121310n n −−+++=，解得1n =，∴抛物线的函数解析式为234y x x =−++； （2）解：当0x =时，4y =；当0y =时，2340x x −++=，解得4x =或=1x −；∴()40B ，，()04C ，，∴4OA OB ==，∴45OCB OBC ∠=∠=︒，作PF x ⊥轴于点F ，交BC 于点E ，∴9045PEM BEF OBC ∠=∠=︒−∠=︒，∴PEM △是等腰直角三角形，∴PM =，设直线BC 的解析式为4y kx =+，把()40B ，代入得044k =+，解得1k =−，∴直线BC 的解析式为4y x =−+，设()234P m m m −++，，则()4E m m −+，，∴))223442PM PE m m m m ==−+++−=−+∵0>，∴PM 有最大值，最大值为（3）解：作BG CQ ⊥轴于点G ，作GH x ⊥轴于点H ，∵()10A −，，()40B ，，()04C ，，∴1OA =，4OB OC ==，BC =∵45ACQ ∠=︒，45OCB ∠=︒，∴ACO GCB ∠=∠，∴tan tan ACO GCB ∠=∠，即OA BG OC BC =，∴14=∴BG ，∵45OBC ∠=︒，∴45HBG ∠=︒，∴HBG 是等腰直角三角形，∴1BH GH ==，∴413OH =−=，∴()31G −，，同理直线CG 的解析式为543y x =−+， 联立得235434x x x =−+++−，解得0x =或143x =； 当143x =时，514344339y =−⨯+=−， ∴点Q 的坐标为143439⎛⎫− ⎪⎝⎭，．【例2】（2024·江苏淮安·二模）如图，在平而直角坐标系中，二次函数2y =+的图象与x 轴分别交于点,O A ，顶点为B ．连接,OB AB ，将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转60︒得到线段AC ，连接BC ．点,D E 分别在线段,OB BC 上，连接,,,AD DE EA DE 与AB 交于点,60F DEA ∠=︒．(1)求点A ，B 的坐标；(2)随着点E 在线段BC 上运动．①EDA ∠的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()20A ，，(B ；(2)①EDA ∠的大小不变，理由见解析；②线段BF 的长度存在最大值为12【分析】（1）0y =得20+=，解方程即可求得A 的坐标，把2y =+化为顶点式即可求得点B 的坐标；（2）①在AB 上取点M ，使得BM BE =，连接EM ，证明AED △是等边三角形即可得出结论；②证BDF OAD ∽，利用相似三角形的性质得BD BF OA OD =即22x BF x −=，解得()211122BF x =−−+进而利用二次函数的性质即可得解．【详解】（1）解：∵)221y x =+=−+∴顶点为(B ，令0y =，20+=，解得0x =或2x =，∴()20A ，；（2）解：①EDA ∠的大小不变，理由如下：在AB 上取点M ，使得BM BE =，连接EM ，∵)21y x =−∴抛物线对称轴为1x =，即1ON =，∵将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转60︒得到线段AC ，∴60BAC ∠=︒，AB AC =，∴BAC 是等边三角形，∴AB AC BC ==，60C ∠=︒，∵()20A ，，(B ，()00O ，，1ON =，∴2OA =，OB =2，AB =2=，∴OA OB AB ==，∴OAB 是等边三角形，2OA OB AC BC ====，∴60∠=∠=∠=︒OAB OBA AOB ，∵60MBE ∠=︒，BM BE =，∴BME 是等边三角形，∴60BME ABE ∠∠=︒=，ME BE BM ==，∴180120AME BME ∠∠=︒−=︒，BD EM ∥，∵120DBE ABO ABC ∠∠∠=+=︒，∴DBE AME ∠∠=，∵BD EM ∥，∴18012060FEM BED AEF MEA FEM ∠∠∠∠∠+=︒−︒=︒==+，∴BED MEA ∠∠=，∴BED MEA ≌，∴DE EA =，又60AED ∠=︒，∴AED △是等边三角形，∴60ADE ∠=︒，即ADE ∠的大小不变；②设OD x =，则2BD x =−，∵OAB 是等边三角形，60ADE ∠=︒，∴60DOA FBD ADE ∠∠∠===︒，∵BDA BDF ADE DOA OAD ∠∠∠∠∠=+=+，∴BDF OAD ∠∠=，∴BDF OAD ∽，∴BD BF OA OD =即22x BF x −=， ∴()211122BF x =−−+，∴当1x =时，BF 有最大值为12．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质以及等边三角形的判定及性质，题目综合性较强，熟练掌握各知识点是解题的关键．1．（2024·四川南充·一模）如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于0()1,A -，B 两点，与y 轴交于点C (0,3)−．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 是抛物线上位于第四象限内一动点，PD BC ⊥于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2，点E 是抛物线的顶点，点M 是线段BE 上的动点（点M 不与B 重合），过点M 作MN x ⊥轴于N ，是否存在点M ，使CMN 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)223y x x =−−(2)当32m =时，PD取得最大值为．此时315,24P ⎛⎫− ⎪⎝⎭ (3)CMN 为直角三角形时，点M 的坐标为：3,32⎛⎫− ⎪⎝⎭或()12【分析】（1）把点,A C 坐标代入函数的解析式，利用待定系数法求解即可；（2）先求线BC 的解析式，设点p 的横坐标为m ，再用m 的代数式表示PD 的长度建立二次函数求解即可；（3）先求直线BE 的解析式，再分三种情况，根据相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】（1）由题意得103b c c −+=⎧⎨=−⎩，解得：23b c =−⎧⎨=−⎩．则抛物线的解析式为：223y x x =−−；（2）过点P 作PH x ⊥轴于点H ，交BC 于点G当0y =时，2230x x −−=，解得=1x −或3，∴(3,0)B设直线BC 的解析式为：1y kx b =+，则11303k b b +=⎧⎨=−⎩，解得：113k b =⎧⎨=−⎩∴3y x =−设点()2,23P m m m −−（03m <<），则3G m m −（，）， ∴()()223233PG m m m m m =−−−−=−， ∵OB OC =，∴45OBC OCB ∠=∠=︒，∴45BGH ∠=︒∴45PGD BGH ∠=∠=︒，∴PD =．)22332228PD m m m ⎫=−+=−−+⎪⎝⎭ ∴当32m =时，PD取得最大值为8．此时315,24P ⎛⎫− ⎪⎝⎭． （3）在EB 上存在点M ，使CMN 为直角三角形．抛物线顶点(1,4)E −，设直线BE 的解析式为：22y k x b =+，则2222430k b k b +=−⎧⎨+=⎩，解得：2226k b =⎧⎨=−⎩，∴26y x =−．设26M n n −（，）13n ≤<（），①∵90CNM ONC ∠=︒−∠，∴90CNM ∠<︒，不可能为直角；②当90CMN ∠=︒时，则90CMN MNB ∠=∠=︒ ∴//MC x 轴，则263n −=−，∴32n =，∴3,32M ⎛⎫− ⎪⎝⎭． ③当90MCN ∠=︒时，过点M 作MF y ⊥轴于点F ．∵90MCF NCO ∠+∠=︒，90CNO NCO ∠+∠=︒，∴MCF CNO ∠=∠，又90MFC CON ∠=∠=︒，∴MFC CON ∽， ∴CF MF NO CO =， ∴()3263n nn −−−=，∴2690n n +−=，解得：123,3n n ==−．∵13n ≤<，∴23n =−不合题意，应舍去，∴3n =∴()12M综上所述，CMN 为直角三角形时，点M 的坐标为：3,32⎛⎫− ⎪⎝⎭或()12．【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，构造二次函数求线段的最值，二次函数与直角三角形的存在性问题，相似三角形的判定和性质，难度较大，是中考的压轴题，解题的关键是数形结合，提高综合运用的能力．2．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其中()3,0B ，()0,3C −．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD AC ⊥于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．求出所有使得以QF 为腰的QEF △是等腰三角形的点Q 的坐标．【答案】(1)211344y x x =+−；(2)PD 的最大值为45，此时点52,2P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭； (3)Q 点的坐标为9,12⎛⎫− ⎪⎝⎭或9,52⎛⎫ ⎪⎝⎭或97,24⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；（2）直线AC 的解析式为334y x =−−，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点Q ，设211,344P t t t ⎛⎫+− ⎪⎝⎭，则3,34Q t t ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，则45PD PQ =，进而根据二次函数的性质即可求解；（3）根据平移的性质得出219494216y x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，对称轴为直线92x =，点52,2P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭向右平移5个单位得到53,2E ⎛⎫− ⎪⎝⎭，()0,2F ，勾股定理分别表示出2EF ，2QE ，2QF 进而分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点()3,0B ，()0,3C −，代入214y x bx c =++得，2133043b c c ⎧⨯++=⎪⎨⎪=−⎩，解得：143b c ⎧=⎪⎨⎪=−⎩，∴抛物线解析式为：211344y x x =+−； （2）∵211344y x x =+−与x 轴交于点A ，B ，当0y =时，2113044x x +−=，解得：124,3x x =−=， ∴()4,0A −， ∵()0,3C −， 设直线AC 的解析式为3y kx =−，∴430k −−=， 解得：34k =−，∴直线AC 的解析式为334y x =−−，如图所示，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点Q ，设211,344P t t t ⎛⎫+− ⎪⎝⎭，则3,34Q t t ⎛⎫−− ⎪⎝⎭， ∴223111334444PQ t t t t t ⎛⎫=−−−+−=−− ⎪⎝⎭，∵AQE PQD ∠=∠，90AEQ QDP ∠=∠=︒，∴OAC QPD ∠=∠，∵4,3OA OC ==，∴5AC =， ∴4cos cos =5PD AO QPD OAC PQ AC ∠==∠=， ∴()222441141425545555PD PQ t t t t t ⎛⎫==−−=−−=−++ ⎪⎝⎭， ∴当2t =−时，PD 取得最大值为45，()()2211115322344442t t +−=⨯−+⨯−−=−， ∴52,2P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭； （3）∵抛物线211344y x x =+−211494216x ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭， 将该抛物线向右平移5个单位，得到219494216y x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，对称轴为直线92x =， 点52,2P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭向右平移5个单位得到53,2E ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∵平移后的抛物线与y 轴交于点F ，令0x =，则2194924216y ⎛⎫=⨯−= ⎪⎝⎭， ∴()0,2F ， ∴22251173224EF ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭， ∵Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，则Q 点的横坐标为92， 设9,2Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴22295322QE m ⎛⎫⎛⎫=−++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222922QF m ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭， 当QF EF =时，()229117224m ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭， 解得：1m =−或5m =，当QE QF =时，()222295932222m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−++=+− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得：74m =， 综上所述，Q 点的坐标为9,12⎛⎫− ⎪⎝⎭或9,52⎛⎫ ⎪⎝⎭或97,24⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3．（2024·山西阳泉·一模）综合与探究 如图，二次函数213442y x x =−−的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，连接AC ，作直线BC ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的表达式；(2)如图1，若点P 是第四象限内二次函数图象上的一个动点，其横坐标为m ，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，交直线BC 于点M ，N ，试探究线段MN 长的最大值；(3)如图2，若点Q 是二次函数图象上的一个动点，直线BQ 与y 轴交于点H ，连接CD ，在点Q 运动的过程中，是否存在点H ，使以H ，C ，B 为顶点的三角形与ACD 相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()20A −，，()80B ，，()04C −，，直线BC 的表达式为1y x 42=−；(2)线段MN长的最大值为(3)点Q 的坐标为3954⎛⎫− ⎪⎝⎭，或()46−，．【分析】（1）令0y =，求得x 的值，令0x =，求得y 的值，可求得A ，B ，C 三点的坐标，利用待定系数法即可求得直线BC 的表达式；（2）设213442P m m m ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，，则142M m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，，证明PNM OBC ∠=∠，利用正切函数的定义推出2PN PM =，求得MN ，得到MN 关于m 的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；（3）利用勾股定理求得AC =，5AD OC ==，作DG AC ⊥于点G ，用正切函数的定义推出OCA BCH ∠=∠，分BC BH =和BH CH =两种情况讨论，分别求得点H 的坐标，求得直线BH 的表达式，与二次函数的表达式联立求解即可．【详解】（1）解：令0y =，则2134042x x −−=，解得12x =−，28x =，令0x =，则4y =−，∴()20A −，，()80B ，，()04C −，，设直线BC 的表达式为4y kx =−，代入()80B ，得084k =−，解得12k =， ∴直线BC 的表达式为1y x 42=−； （2）解：∵()20A −，，()80B ，，()04C −，，∴2OA =，8OB =，4OC =， 设213442P m m m ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，，则142M m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，，2211314422424PM m m m m m ⎛⎫=−−−−=−+ ⎪⎝⎭，∵PN OB ∥，PM OC ∥，∴PNM OBC ∠=∠， ∴41tan tan 82OC PNM OBC OB ∠=∠===，∴2PN PM =，MN ，∴)221244MN m m m ⎫=−+=−+⎪⎭∵0<，∴当4m =时，线段MN 长的最大值为 （3）解：∵()20A −，，()80B ，，()04C −，， ∴对称轴为直线2832x −+==， ∴()30D ，，∴()325AD =−−=，5CD ==，AC == ∴5AD DC ==，作DG AC ⊥于点G ，∴12AG CG AC ===∴DG == ∴tan 2DG DCA CG ∠==， ∵tan 2OB BCO OC ∠==，∴DCA BCH ∠=∠，以H ，C ，B 为顶点的三角形与ACD 相似，则分BC BH =和BH CH =两种情况讨论，①当BC BH =时，∵BO CH ⊥，∴OH OC =，∴()04H ，，同理求得直线BH 的表达式为142y x =−+， 联立得241234412x x x −−−+=，解得14x =−，28x =（舍去），()14462y =−⨯−+=，∴点Q 的坐标为()46−，；①当BH CH =时，设()0H t ，，则2264BH t =+，()2224816CH t t t =+=++，∴2264816t t t +=++，解得6t =，∴()06H ，，同理求得直线BH 的表达式为364y x =−+， 联立得261434432x x x −−−+=，解得15x =−，28x =（舍去），()3395644y =−⨯−+=，∴点Q 的坐标为3954⎛⎫− ⎪⎝⎭，； 综上，点Q 的坐标为3954⎛⎫− ⎪⎝⎭，或()46−，．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，点的坐标表示三角形的面积，勾股定理，正切函数，解方程，熟练掌握待定系数法，勾股定理，正切函数是解题的关键．题型二 将军饮马河求二次函数中线段和最值问题【例1】（2024·天津津南·一模）综合与探究：如图，抛物线2y x bx c =−++上的点A ，C 坐标分别为()0,2，()4,0，抛物线与x 轴负半轴交于点B ，且2OM =，连接AC ，CM ．(1)求点M 的坐标及抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP ，CP ，当PAC ACM S S =△△时，求点P 的坐标；(3)将抛物线沿x 轴的负方向平移得到新抛物线，点A 的对应点为点A '，点C 的对应点为点C '，当MA MC ''+的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 ，MA MC ''+的最小值为 ．【答案】(1)()0,2M −，2722y x x =−++ (2)()2,5P(3)1181,1216⎛⎫− ⎪⎝⎭，【分析】（1）根据点M 在y 轴负半轴且2OM =可得点M 的坐标为()0,2M −，利用待定系数法可得抛物线的解析式为2722y x x =−++；（2）过点P 作PF x ⊥轴于点F ，交线段AC 于点E ，用待定系数法求得直线AC 的解析式为122y x =−+，设点P 的横坐标为()04p p <<，则27,22P p p p ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭，1,22E p p ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，故24(04)PE p p p =−+<<，先求得8ACM S =△，从而得到212882PAC S PE OC p p =⋅=−+=△，解出p 的值，从而得出点P 的坐标；（3）设抛物线沿x 轴的负方向平移m 个单位长度得到新抛物线，将点M 右平移m 个单位长度得到点M '，由平移的性质可知，,MA M A MC M C ''''==，MA MC ''+的值最小就是M A M C ''+最小值，作出点C 关于直线=2y −对称的对称点C ''，连接AC ''交直线=2y −于点M '，连接M C '则此时M A M C ''+取得最小值，即为AC ''的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线AC ''的解析式，从而确定M '的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点．【详解】（1）解：∵点M 在y 轴负半轴且2OM =，∴()0,2M −将()0,2A ，()4,0C 代入2y x bx c =−++，得：21640c b c =⎧⎨−++=⎩，解得722b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为2722y x x =−++（2）解：过点P 作PF x ⊥轴于点F ，交线段AC 于点E ，设直线AC 的解析式为()0y kx m k =+≠，将()0,2A ，()4,0C 代入y kx m =+，得：240m k m =⎧⎨+=⎩，解得122k m ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的解析式为122y x =−+ 设点P 的横坐标为()04p p << 则27,22P p p p ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭，1,22E p p ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭， ∴2271224(04)22PE p p p p p p ⎛⎫=−++−−+=−+<< ⎪⎝⎭∵8ACM S =△，∴212882PAC S PE OC p p =⋅=−+=△，解得122p p ==， ∴()2,5P ；（3）1181,1216⎛⎫− ⎪⎝⎭，补充求解过程如下：设抛物线沿x 轴的负方向平移m 个单位长度得到新抛物线，将点M 向右平移m 个单位长度得到点M '，作出图形如下：由平移的性质可知，,MA M A MC M C ''''==，∴MA MC ''+的值最小就是M A M C ''+最小值， 显然点M '在直线=2y −上运用，作出点C 关于直线=2y −对称的对称点C ''，连接AC ''交直线=2y −于点M '，连接M C '则此时M A M C ''+取得最小值，即为AC ''的长度，∵点C 关于直线=2y −C ''，()4,0C ∴()4,4C ''−，∴()()min min MA MC M A M C AC ''''''+=+== 设直线AC ''的解析式是：11y k x b =+将点()0,2A ，()4,4C ''−代入得：111244b k b =⎧⎨+=−⎩，解得：11322k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩直线AC ''的解析式是：322y x =−+令3222y x =−+=−，解得：83x =， ∴8,23M ⎛⎫'− ⎪⎝⎭，∴平移的距离是83m = 又∵22778122416y x x x ⎛⎫=−++=−−+ ⎪⎝⎭， ∴平移前的抛物线的坐标是781416,⎛⎫ ⎪⎝⎭∴新抛物线的顶点坐标为7881,4316⎛⎫− ⎪⎝⎭即1181,1216⎛⎫− ⎪⎝⎭ 故答案是：1181,1216⎛⎫− ⎪⎝⎭，【例2】（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图1，抛物线2y x bx =−＋与x 轴交于点A ，与直线y x =−交于点()4,4B −，点()0,4C −在y 轴上．点P 从点B 出发，沿线段BO 方向匀速运动，运动到点O 时停止．(1)求抛物线2y x bx =−＋的表达式；(2)当BP =1中过点P 作PD OA ⊥交抛物线于点D ，连接PC OD ，，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由；(3)如图2，点P 从点B 开始运动时，点Q 从点O 同时出发，以与点P 相同的速度沿x 轴正方向匀速运动，点P 停止运动时点Q 也停止运动．连接BQ PC ，，求CP BQ ＋的最小值．【答案】(1)抛物线的表达式为23y x x =−+ (2)平行四边形，见解析(3)【分析】（1）利用待定系数法将B 点坐标代入抛物线2y x bx =−+中，即可求解．（2）作辅助线，根据题意，求出PD 的长，PD OC =，PD OC ∥，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证．（3）作出图，证明()SAS CBP MOQ ≌，CP BQ +的最小值为MB ，根据勾股定理求出MB 即可解答． 【详解】（1）解： 抛物线2y x bx =−+过点(4,4)B −，1644b ∴−+=−，3b ∴=，23y x x ∴=−+．即抛物线的表达式为23y x x =−+． （2）解：四边形OCPD 是平行四边形，理由如下：如图1，作PD OA ⊥交x 轴于点H ，连接PC 、OD ，点P 在y x =−上，OH PH ∴=，45POH ∠=︒，连接BC ，4OC BC ==，OB ∴= 2BP =OP OB BP ∴=−=2OH PH ∴===，当2D x =时，4322D DH y ==−+⨯=，224PD DH PH ∴=+=+=， (0,4)C −，4OC ∴=，PD OC ∴=，OC x ⊥Q 轴，PD x ⊥轴，PD OC ∴∥，∴四边形OCPD 是平行四边形．（3）如图2，由题意得，BP OQ =，连接BC ，在OA 上方作OMQ ，使得45MOQ ∠=︒，OM BC =，4OC BC ==，BC OC ⊥，45CBP ∴∠=︒，CBP MOQ ∴∠=∠，BP OQ =，CBP MOQ ∠=∠，BC OM ，(SAS)CBP MOQ ∴△≌△，CP MQ ∴=，CP BQ MQ BQ MB ∴+=+≥（当M ，Q ，B 三点共线时最短），CP BQ ∴+的最小值为MB ，454590MOB MOQ BOQ ∠=∠+∠=︒+︒=︒，MB ∴即CP BQ +的最小值为答：CP BQ +的最小值为【点睛】本题主要考查待定系数法，二次函数图象与性质，平等四边形的判定，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答醒的关键．1．（2024·宁夏银川·一模）如图，已经抛物线经过点()00O ，，()55A ，，且它的对称轴为2x =．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，当OAB 的面积为15时；求点B 的坐标．(3)在（2）的条件下，P 是抛物线上的动点，求P 的坐标以及PA PB −的最大值．【答案】(1)24.y x x =- (2)()2,8B (3)()2,12,P - PA PB −的最大值为【分析】（1）根据题意可设抛物线为2,y ax bx =+再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）设()2,,B y 且0,y > 记OA 与对称轴的交点为Q ，设直线OA 为：,y kx = 解得：1,k = 可得直线OA 为：,y x = 则()2,2,Q 利用()12OAB BOQ ABQ A O S S S BQ x x =+=⨯⨯−列方程，再解方程即可；（3）如图，连接AB ，延长AB 交抛物线于P ，则此时PA PB AB −=最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系数法求解AB 的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P 的坐标．【详解】（1）解： 抛物线经过点(0,0)O ，∴设抛物线为：2,y ax bx =+抛物线过(5,5)A ，且它的对称轴为2x =．2555,22a b b a +=⎧⎪∴⎨−=⎪⎩ 解得：1,4a b =⎧⎨=−⎩∴抛物线为：24.y x x =-（2）解：如图，点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，设()2,,B y 且0,y > 记OA 与对称轴的交点为Q ，设直线OA 为：,y kx =55,k \= 解得：1,k =∴ 直线OA 为：,y x =()2,2,Q ∴ ()12OAB BOQ ABQ A O SS S BQ x x ∴=+=⨯⨯− 12515,2y =−⨯=解得：8y =或4,y =−∵0,y > 则8,y =()2,8.B ∴（3）如图，连接AB ，延长AB 交抛物线于P ，则此时PA PB AB −=最大，()()5,5,2,8,A BAB ∴=设AB 为：,y k x b ''=+ 代入A 、B 两点坐标，55,28k b k b '''+=⎧∴⎨+=⎩' ，解得：1,10k b =−⎧⎨='⎩'∴AB 为：10,y x =-+210,4y x y x x =−+⎧∴⎨=−⎩ 解得：52,,512x x y y ==−⎧⎧⎨⎨==⎩⎩()2,12.P ∴−【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形面积，三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，确定PA PB −最大时P 的位置是解本题的关键．2．（2024·湖南怀化·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，5OB OC ==，顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ．图1 图2 图3(1)求抛物线的解析式、对称轴及顶点D 的坐标；(2)如图2，点Q 为抛物线对称轴上一动点，当Q 在什么位置时QA QC +最小，求出Q 点的坐标，并求出此时QAC △的周长；(3)如图3，在对称轴左侧的抛物线上有一点M ，在对称轴右侧的抛物线上有一点N ，满足90MDN ∠=︒．求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．【答案】(1)245y x x =−++，对称轴为直线2x =，顶点D 的坐标为()29，；(2)QAC △(3)直线MN 恒过定点，定点坐标为()28，．【分析】（1）求得点B 的坐标为()50，，点C 的坐标为()05，，利用待定系数法求解，再配成顶点式，即可得解；（2）先求得直线BC 的解析式，再求直线BC 与对称轴交点Q ，将AQ CQ +转化为BC ，在Rt AOC 中求AC ，在Rt BOC 中求BC 即可求解；（3）如图，过点D 作直线l 垂直y 轴，再过点M ，N 分别作直线l 的垂线，设点M 的坐标为()245m m m −++，，点N 的坐标为()245n n n −++，，证明MDH DNG ∽△△，求得()250mn m n −++=，再利用待定系数法求得直线MN 的解析式为()45y m n x mn =−−+++，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵5OB OC ==，∴点B 的坐标为()50，，点C 的坐标为()05，，∴25505b c c −++=⎧⎨=⎩，解得4b =，∴抛物线的解析式为245y x x =−++， ∵()224529y x x x =−++=−−+，∴对称轴为直线2x =，顶点D 的坐标为()29，； （2）解：∵点A 与点()50B ，关于直线2x =对称，∴直线BC 与对称轴的交点为Q ，则Q 为QA QC +最小时位置，设直线BC 的解析式为5y kx =+，代入点()50B ，得055k =+，解得1k =−，∴直线BC 的解析式为5y x =−+，当2x =，253y =−+=，∴()23Q ，，∵点()10A −，，∵ACAQ CQ CB +===∴QAC △（3）解：如图，过点D 作直线l 垂直y 轴，再过点M ，N 分别作直线l 的垂线，垂足分别为H ，G ，设点M 的坐标为()245m m m −++，，点N 的坐标为()245n n n −++，，∵顶点D 的坐标为()29，， ∴()()222945442MH m m m m m =−−++=−+=−，2DH m =−，()()222945442GN n n n n n =−−++=−+=−，2DG n =−，由题意得90H G MDN ∠=∠=∠=︒，∴90MDH NDG DNG ∠=︒−∠=∠， ∴MDH DNG ∽△△， ∴MH HD DG NG =，即()()222222m mn n −−=−−，∴()()221m n −−=−， ∴()250mn m n −++=，∵点M 的坐标为()245m m m −++，，点N 的坐标为()245n n n −++，，设直线MN 的解析式为11y k x b =+，∴2112114545mk b m m nk b n n ⎧+=−++⎨+=−++⎩①②，−①②得()()()2214m n k m n m n −=−−+−， ∵m n ≠，∴14k m n =−−+，将14k m n =−−+代入①得()21445m m n b m m −−++=−++，求得15b mn =+；∴直线MN 的解析式为()45y m n x mn =−−+++， ∵()250mn m n −++=，即()25m n mn +=+， ∴()()428y m n x =−−+−+， ∴当20x −=即2x =时，8y =，∴无论m n 、为何值，直线MN 总会经过定点()28，， ∴直线MN 恒过定点，定点坐标为()28，．【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、轴对称的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．3．（2024·安徽池州·二模）如图，抛物线2Ly ax bx c =++∶与x 正半轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点(0,3)B ，对称轴为直线1x =．(1)求直线AB 的解析式及抛物线的解析式；(2)如图①，点P 为第一象限抛物线上一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，PC 交AB 于点D ，求当点P 的横坐标为多少时，PD AD +最大；(3)如图②，将抛物线2Ly ax bx c =++∶向左平移得到抛物线L '，直线AB 与抛物线L '交于M 、N 两点，若点B 是线段MN 的中点，求抛物线'L 的解析式．【答案】(1)3y x =−+，223y x x =−++；(2)点P 的横坐标为时，PD AD +有最大值； (3)2154y x x =−−+．【分析】（1）利用待定系数法解答即可求解；（2）设点P 的横坐标为t ，则()2,23P t t t −++，(,0)C t ，(,3)D t t −+，先证明ACD 为等腰直角三角形，得到)AD t =−，进而得到2PD AD t ⎛+=−+ ⎝⎭，根据二次函数的性质即可求解；（3）设平移后抛物线L '的解析式2()4y x m =−−+，联立函数解析式得23()4x x m −+=−−+，整理得，22(21)10x m x m −++−=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1x ，2x 是方程22(21)10x m x m −++−=的两根，由B 为MN 的中点可得210m +=，求出m 即可求解；本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】（1）解：抛物线2L y ax bx c =++∶与x 正半轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点(0,3)B ，对称轴为直线1x =，930312a b c c b a ⎧⎪++=⎪∴=⎨⎪⎪−=⎩，解得123a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线L 的解析式为223y x x =−++；设直线AB 的解析式为3(0)y kx k =+≠，把(3,0)A 代入得，330k +=，解得1k =−，∴直线AB 的解析式为3y x =−+；（2）解：设点P 的横坐标为t ，则()2,23P t t t −++，(,0)C t ，(,3)D t t −+， 3AC t ∴=−，23PD t t =−+，(3,0)A ，(0,3)B −，3OA OB ∴==，AOB ∴为等腰直角三角形，45OAB ∴∠=︒，PC x ⊥轴， ACD ∴为等腰直角三角形，)AD t ∴==−，∴223PD AD t t t ⎛+=−++=− ⎝⎭，∴当t =时，PD AD +有最大值，即点P的横坐标为32时，PD AD +有最大值；（3）解：由（1）可知，直线AB 的解析式为3y x =−+，抛物线L 为：2223(1)4y x x x =−++=−−+，∴设平移后抛物线L '的解析式2()4y x m =−−+，联立函数解析式得，()234y x y x m =−+⎧⎪⎨=−−+⎪⎩，23()4x x m ∴−+=−−+，整理得，22(21)10x m x m −++−=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则1x ，2x 是方程22(21)10x m x m −++−=的两根，1221x x m ∴+=+，∵B 为MN 的中点，∴120x x +=，∴210m +=， 解得12m =−，∴抛物线L '的解析式22115424y x x x ⎛⎫=−++=−−+ ⎪⎝⎭．题型三 胡不归求二次函数中线段和最值问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·陕西西安·三模）已知抛物线2(,,y ax bx c a b c =++为常数，0)a ≠与x 轴交于点()A −、点B 两点，与y 轴交于点()0,2C，对称轴为x =(1)求抛物线的表达式；(2)M 是抛物线上的点且在第二象限，过M 作MN AC ⊥于点N，求AN 的最大值．【答案】(1)22y x =−+(2)496【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）过点M 作MF y ∥轴，交AC 于点E ，先求出一次函数AC 的解析式，用解直角三角形的方法求出30OAC ∠=︒，表示出MN =，设2,2M m m ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，2E m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，分别表示出EF ME AE MN ，，，，最后得到249=26AN m ⎛−+ ⎝⎭，求出最后结果即可．【详解】（1）解：点()A −，对称轴为x =(2a c ∴−−+=，2c =，2b a −=解得：1a =−，b = ∴抛物线的表达式为：22y x =−+；（2）如图，过点M 作MF y ∥轴，交AC 于点E ，设AC 的解析式为y kx b =+，02b b ⎧−+=⎪∴⎨=⎪⎩，2k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴AC的解析式为2y =+，2AO =2CO =，tan CO OAC AO ∴∠==，30OAC ∴∠=︒，90AFE MNE ∠=︒=∠，AEF MEN ∠=∠， 30M OAC ∴∠=∠=︒，2AE EF ∴=，12EN ME =，sin MN ME ACO ∴=⋅∠=，设2,2M m m ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，2E m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，2EF ∴=+，2222ME m m ∴=−+−=−−，24AE EF ∴==+，21122EN ME m ==−，23MN m==−，AN ∴，AE EN=+2213422m m =+−−−224m =−+24926m ⎛=−++ ⎝⎭，20−<，∴当m =时，AN 的最大值为496．【例2】（2024·浙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，交x 轴于点()6,0B −和点()2,0C ，连接AB 、AQ 、BQ ，BQ 与y 轴交于点N ．(1)求抛物线表达式；(2)点713Q ⎛⎫⎪⎝⎭，，点M 在x 轴上，点E 在平面内，BME AOM ≌，且四边形ANEM 是平行四边形．①求点E 的坐标；②设射线AM 与BN 相交于点P ，交BE 于点H ，将BPH 绕点B 旋转一周，旋转后的三角形记为11BPH △，求11BP 的最小值． 【答案】(1)214433y x x =−−+(2)①()2,2E −−；②【分析】（1）将点B 、C 的坐标代入抛物线，利用待定系数法求得解析式；（2）①由Q 坐标求出BQ 解析式，然后根据四边形ANEM 是平行四边形和BME AOM ≌得出4BM OA ==，再分类讨论求得M 和E 的坐标；②求出AM 解析式，交点为P ，再求出H 坐标，然后由两点间距离公式求出BP 和BH 长度，因为旋转不改变长度，所以1BP长度不变，当H 旋转到x 轴上时，此时1OH 最短，所以此时1OH 等于BO BH −，然后代入计算即可．【详解】（1）解：①抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，交x 轴于点()6,0B −和点()2,0C ， ∴366404240a b a b −+=⎧⎨++=⎩，解得：1343a b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩ ∴214433y x x =−−+；（2）解：214433y x x =−−+4∴=OA ，设直线BQ 的解析式为1y kx b =+， ()6,0B −，713Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴117360k b k b ⎧+=⎪⎨⎪−+=⎩，解得1132k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线BQ 的解析式为123=+y x ，N Q 为BQ 与y 轴交点， ()0,2N ∴，2AN ∴=，四边形ANEM 是平行四边形，∴AN EM ∥且2EM AN ==，且点E 在点M 下方， 点M 在x 轴上，点E 在平面内，BME AOM ≌，4BM OA ∴==， ()6,0B −， ()2,0M ∴−或()10,0−，若M 为()2,0−，90BME AOM ∠=∠=︒，故()2,2E −−， 若M 为()10,0−，2OM ME ==，此时10OM =，(矛盾，舍去)，综上，点E 的坐标为()2,2−−；②如图，设AM 的解析式为,y kx b =+抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，∴点A 的坐标为(0，4)，将点()0,4A 、()2,0M −的坐标代入y kx b =+得：420b k b =⎧⎨−+=⎩，解得24k b =⎧⎨=⎩，AM ∴的解析式为24y x =+，AM 与BQ 相交于点P ，∴24123y x y x =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得6585x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以点P 的坐标为68,55⎛⎫− ⎪⎝⎭，设直线BE 的解析式为y mx n =+，将点B 、E 的坐标代入直线BE 的解析式得：2260m n m n −+=−⎧⎨−+=⎩，解得123m n ⎧=−⎪⎨⎪=−⎩， 所以直线BE 的解析式为132y x =−−，BE 与AM 相交于点H ，∴24132y x y x =+⎧⎪⎨=−−⎪⎩，解得14585x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩， ∴点H 的坐标为148,55⎛⎫−− ⎪⎝⎭，BP ∴==BH ==1BP ∴当H 旋转到x 轴上时，此时1OH 最短，∴16OH BO BH =−=116BP ∴==⎭∴11BP的最小值为1．（2024·河南洛阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =−++交x 轴于()4,0A 、B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线表达式中的b 、c ；(2)点P 是直数AC 上方抛物线上的一动点，过点F 作PF y 轴交AC 于点E ，作PE AC ∥交x 轴于点F ，求PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)将该抛物线沿射线CA方向平移1y ，请直接写出新抛物线1y 的表达式______．【答案】(1)1b =，4c =(2)PE 取得最大值为254，此时335,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．(3)()2115322y x =−−+【分析】本题考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式： （1）利用待定系数法即可求解；（2）延长PE 交x 轴于H ，根据题意求得直线AC 的解析式为4y x =−+，OC OA =，设点()21,4042P p p p p ⎛⎫−++<< ⎪⎝⎭，则(),4E p p −+，(),0H p ，证得PHF是等腰直角三角形，从而求得232524PE PE PH p ⎛⎫=+=−−+⎪⎝⎭，即可求解； （3）先求得CA =，根据1y 由抛物线()2211941222y x x x =−++=−−+，向右和向下分别平移2个单位长度得到，进而可求解；掌握待定系数法求函数解析式及利用数学结合是解题的关键．【详解】（1）解：抛物线212y x bx c =−++交于()4,0A 和()0,4C ，8404b c c −++=⎧∴⎨=⎩，解得：14b c =⎧⎨=⎩． （2）延长PE 交x 轴于H()4,0A ，()0,4C ，∴直线AC 的解析式为4y x =−+，OC OA =， PE y ∥Q 轴，PE x ∴⊥轴， 90AOC ∴∠=︒，45OAC ∴∠=︒，PFAC ，45OFP ∴∠=︒，2PH PF ∴=，PE PE PH ∴+=+，设点()21,4042P p p p p ⎛⎫−++<< ⎪⎝⎭，则(),4E p p −+，(),0H p ， ()221144222PE p p p p p ∴=−++−−+=−+，2142PH p p =−++，222211325243422224PE PF PE PH p p p p p p p ⎛⎫∴+=+=−+−++=−++=−−+⎪⎝⎭，PE ∴+的最大值为254，此时点P 的坐标为325,24⎛⎫ ⎪⎝⎭．（3）()4,0A ，()0,4C ，CA ∴=将抛物线y 沿射线CA 方向平移1y ，∴1y 由抛物线()2211941222y x x x =−++=−−+，向右和向下分别平移2个单位长度得到， ()2115322y x ∴=−−+，故答案为：()2115322y x =−−+．2．（2024·海南海口·一模）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0A −，()3,0B ，()0,3C ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是第一象限内的抛物线上的一个动点， ①当P 为抛物线的顶点时，求证：PBC 直角三角形； ②求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；③过点P 作PN x ⊥轴，垂足为N ，PN 与BC 交于点E．当PE 的值最大时，求点P 的坐标．【答案】(1)223y x x =−++(2)①PBC 是直角三角形；②315,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；③57,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）把A 、B 、C 三点坐标代入2y ax bx c =++求解即可； （2）①作PH y ⊥轴于点H ，易证PCH △和BOC 是等腰直角三角形，即可求出90PCB ∠=︒； ②先求出直线BC 的解析式，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交BC 于点E ，设点()2,23P x x x −++，则(),3E x x −+，故23PE x x =−+，23922PBC S x x ∆=−+，然后根据二次函数的性质求解即可； ③过点P 作PN x ⊥轴于点N ，交BC 于点E ，设点()2,23P x x x −++，则(),3E x x −+，故23PE x x =−+，判断BEN是等腰直角三角形得出BE =，即可求出25PE x x =−+，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点()1,0A −，()3,0B ，()0,3C 代入解析式得：09303a b c a b c c −+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩，∵抛物线的解析式为223y x x =−++；（2）解：①配方得()222314y x x x =−++−−+∴点P 的坐标为()1,4，作PH y ⊥轴于点H ，则1PH CH ==，∴45HCP ∠=︒又∵在Rt BOC 中，3OB OC ==， ∴45OCB ∠=︒， ∴90PCB ∠=︒∴PCB 是直角三角形②设直线BC 的解析式为y kx b =+，将点B 、C 代入得：303k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13k b =−⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为3y x =−+， ∵()3,0B ，∴3OB =， 设点()2,23P x x x −++（03x <<），过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交BC 于点E ，如图所示：∴(),3E x x −+，∴()222333PE x x x x x=−++−−+=−+，∴()22211393327332222228PBCSPE OB x x x x x ⎛⎫=⨯⨯=⨯−+⨯=−+=−−+ ⎪⎝⎭，当32x =时，PBC 的最大面积为278，2915233344x x −++=−++=，∴315,24P ⎛⎫⎪⎝⎭③设点()2,23P x x x −++（03x <<），过点P 作PN x ⊥轴于点N ，交BC 于点E ，如图所示：∴(),3E x x −+，∴()222333PE x x x x x =−++−−+=−+， ∵()0,3C ，()3,0B ，∴3OC OB ==，3BN x =−，∴45OBC OCB ∠=∠=︒，∴45NEB OBC ∠=∠=︒，∴BE ==，∴()CE BC BE =−==，∴22525524PE x x x ⎛⎫=−+=−−+ ⎪⎝⎭， ∴当52x =时，PE 有最大值，此时57,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，线段问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．3．（2023·山东济南·一模）抛物线()21122y x a x a =−+−+与x 轴交于(),0A b ，()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,C c ，点P 是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧．(1)求a ，b ，c 的值；(2)如图1，连接BC 、AP ，交点为M ，连接PB ，若14PMB AMB S S =V V ，求点P 的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE '，旋转角为9(0)0αα︒<<︒，连接E B '，E C '，求34E B E C ''+的最小值． 【答案】(1)2a =，2b =−，4c = (2)53,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点P 作PD x ⊥轴，交BC 于点D ，过点A 作y 轴的平行线交BC 的延长线于H ，求得BC l 的解析式，设21,42P m m m ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭，则(),4D m m −+，利用相似三角形的判定与性质可得答案； （3）在y 轴上取一点F ，使得94OF =，连接BF ，由相似三角形的判定与性质可得34FE CE ''=，可得34E B E C BE E F '''+'+=，即可解答．【详解】（1）解：将()4,0B 代入()21122y x a x a =−+−+，得()84120a a −+−+=，2a ∴=，∴抛物线的解析式为2142y x x =−++，令0x =，则4y =，4c ∴=，令0y =，则21042x x =−++，14x ∴=，22x =−，()2,0A ∴−，即2b =−； ∴2a =，2b =−，4c =（2）过点P 作PD x ⊥轴，交BC 于点D ，过点A 作y 轴的平行线交BC 的延长线于H ，设BC l ：y kx b =+，将()0,4，()4,0代入得440b k b =⎧⎨+=⎩解得：4b =，1k =−，BC l ∴：4y x =−+， 设21,42P m m m ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭，则(),4D m m −+， ()221144222P D PD y y m m m m m =−=−++−−+=−+，PD HA ∥，AMH PMD ∴∽，PM PD MA HA ∴=，将2x =−代入4y x =−+，6HA ∴=，112142PMB AMBPM h S PM S AM AM h ⋅===⋅， 164PD PD HA ∴==，32PD ∴=， 231222m m ∴=−+，11(m ∴=舍)，23m =，53,2P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭；（3）在y 轴上取一点F ，使得94OF =，连接BF ，根据旋转得性质得出：3OE OE '==，∵9494OF OC ⋅=⨯=， 2OE OFOC '∴=⋅，∴OE OC OF OE '='，COE FOE ''∠=∠，∴FOE E OC ''∽，。

难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】1【考点一利用二次函数求面积最大值问题】【考点二利用二次函数求面积最小值问题】【考点三利用二次函数求周长最大值问题】【考点四利用二次函数求周长最小值问题】【典型例题】【考点一利用二次函数求面积最大值问题】1(2023秋·吉林四平·九年级四平市第三中学校校考阶段练习)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B与y轴交于点C，点A的坐标为-1,0．，点B的坐标为3,0(1)求抛物线的表达式；(2)若点P是第四象限内抛物线上一动点，连接PB，PC，求△PBC的面积S的最大值；(3)当a-2≤x≤a+1时，抛物线有最小值5，求a的值．【变式训练】1(2023春·河北沧州·九年级校考期中)如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为4,0点，点P是直线BC，与y轴交于C0,-4下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积．2(2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考阶段练习)已知，抛物线y =-x 2+bx +c 经过B 3,0 、C 0,3 两点，点P 是抛物线上一点，点A 是抛物线与x 轴的另一个交点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 位于第一象限时，连接BP ，CP ，得到△BCP ，当△BCP 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)当点P 位于第四象限时，连接AC ，BC ，PC ，若∠PCB =∠ACO ，求直线PC 的解析式；3(2023秋·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =12x 2+bx +c 与x 轴交于点A -1,0 ，点B ，与y 轴交于点C ，且OC =2，点P 是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的解析式；(2)当点P 在第四象限时，求△BCP 的最大面积；(3)当点P 在第一象限，且∠PCB =∠ABC 时，求出点P 的坐标．【考点二利用二次函数求面积最小值问题】1(2022秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考阶段练习)如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =12，点P 从点A 出发沿AB 边向点B 以1个单位每秒的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2个单位每秒的速度移动．如果P ，Q 两点在分别到达B ，C 两点后就停止移动，设运动时间为t 秒(0<t <6)，回答下列问题：(1)运动开始后第几秒时△PBQ的面积等于8．(2)设五边形APQCD的面积为S，写出S与t的函数关系式，当t为何值时S最小？求S的最小值．【变式训练】1(2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测)已知抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A-1，0，与y轴交于点C．，B3，0(1)求b，c的值；(2)已知P为抛物线y=-x2+bx+c一点(不与点B重合)，若点P关于x轴对称的点P 恰好在直线BC上，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，平移抛物线y=-x2+bx+c，使其顶点始终在直线y=x上，且与PP 相交于点Q，求△QBP 面积的最小值．2(2023·全国·九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为3,0，连接AC，BC．动点P从A点出发，在线，B点坐标为-1,0段AC上以每秒2个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从B点出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．(1)b=，c=；(2)在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？(3)已知点M是该抛物线对称轴上一点，当点P运动1秒时，若要使得线段MA+MP的值最小，则试求出点M的坐标．【考点三利用二次函数求周长最大值问题】1(2023·山东东营·统考中考真题)如图，抛物线过点O0,0，矩形ABCD的边AB在线段OE上，E10,0(点B在点A的左侧)，点C，D在抛物线上，设B t,0，当t=2时，BC=4．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．【变式训练】1(2023春·湖南长沙·八年级校考期末)已知抛物线y=a-1x+a2-4(a为常数，a>0)x2+2a-7的图象经过原点，点A在抛物线上运动．(1)求a的值．(2)若点P8-t，s都是这个抛物线上的点，且有s>r，求t的取值范围．和点Q t-4，r(3)设点A位于x轴的下方且在这个抛物线的对称轴的左侧运动，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，过点D作DC⊥x轴，垂足于点C，试问四边形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值和对应的x值，如果不存在，请说明理由．2(2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx与抛物线y= ax2+c交于A8,6、B两点，点B的横坐标为-2．(1)求直线AB 和抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点(不与点A 、B 重合)，过点P 作x 轴的平行线，与直线AB 交于点C ，连接PO ，设点P 的横坐标为m ．①若点P 在x 轴上方，当m 为何值时，△POC 是等腰三角形；②若点P 在x 轴下方，设△POC 的周长为p ，求p 关于m 的函数关系式，当m 为何值时，△POC 的周长最大，最大值是多少？3(2023春·内蒙古赤峰·九年级统考阶段练习)如图，已知二次函数图象与坐标轴分别交于A (0,3)、B (-1,0)、C (3,0)三点．(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值；(3)当矩形MNHG 的周长最大时，在二次函数图象上是否存在点P ，使△PNC 的面积是矩形MNHG 面积的916？若存在，直接写出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．【考点四利用二次函数求周长最小值问题】1(2023秋·安徽·九年级阶段练习)如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c a ≠0 与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，若OA =1，OB =3，抛物线的对称轴为直线x =1.(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点P ，使得△PAB 周长最小，求出△PAB 最小周长．【变式训练】1(2023秋·云南临沧·九年级统考期末)如图，抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴为直线x =2，点B 坐标为3,0 ，D 为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式．(2)P为该抛物线对称轴上一动点，当△ACP的周长最小时，求点P的坐标．(3)当函数y=x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为3，求m的值．2(2023秋·全国·九年级专题练习)综合与探究如图，经过B3,0两点的抛物线y=x2-bx+c与x轴的另一个交点为A．，C0,-3(1)求抛物线的解析式；(2)点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求D的坐标；(3)已知点M在抛物线上，求S△ABM=8时的点M坐标；(4)已知E2,-3，请直接写出能以点A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形的点P坐标．3(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A-2,0．点D为线段BC上的一动点． 和点B6,0两点，与y轴交于点C0,6(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求△AOD周长的最小值；(3)如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA,PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．4(2023春·山东东营·九年级校考阶段练习)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A(1, 0)、C(-2,3)两点，与y轴交于点N，其顶点为D．(1)求抛物线及直线AC的函数关系式；(2)在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标．难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】1【考点一利用二次函数求面积最大值问题】【考点二利用二次函数求面积最小值问题】【考点三利用二次函数求周长最大值问题】【考点四利用二次函数求周长最小值问题】【典型例题】【考点一利用二次函数求面积最大值问题】1(2023秋·吉林四平·九年级四平市第三中学校校考阶段练习)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B与y轴交于点C，点A的坐标为-1,0，点B的坐标为3,0．(1)求抛物线的表达式；(2)若点P是第四象限内抛物线上一动点，连接PB，PC，求△PBC的面积S的最大值；(3)当a-2≤x≤a+1时，抛物线有最小值5，求a的值．【答案】(1)y=x2-2x-3(2)278(3)a =6或a=-3【分析】1 用待定系数法即可求解；(2)先求直线BC的表达式，过点P作PH∥y轴交BC于点H,由S△PBC=S△PHC+S△PHB,即可求解.(3)当a+1≤1时, 即a≤0, 则x=a+1时, 抛物线取得最小值;当x=a-2≥1时, 即a≥3, 则x=a-2时, 抛物线取得最小值，进而求解；【详解】(1)设抛物线的表达式为：y=a x-1,x-3又∵a=1∴y=x+1x-3=x2-2x-3；(2)过点P作PH∥y轴交BC于点H,当x =0时，y =-3,∴点C 0,-3 ,设直线BC 的表达式为y =mx +n ，把3,0 和0,-3 代入得：3m +n =0n =-3 ，解得m =1n =-3 ∴直线BC 的表达式为y =x -3,设点P x ，x 2-2x -3 , 则点H x ，x -3 ,∴S △PBC =S △PHC +S △PHB =12×PH ×OB =12×3x -3-x 2+2x +3 =-32x -32 2+278，∵a =-32<0，∴S △PBC 有最大值，最大值为278；(3)∵y =x 2-2x -3=x -1 2-4≥-4，即抛物线的最小值是-4，即x =a -2和x =a +1不可能在抛物线对称轴两侧；当a +1≤1时, 即a ≤0,则x =a +1时，抛物线取得最小值，即y =a +1 2-2a +1 -3=5,解得:a =3(舍去)或a =-3,即a =-3；当x =a -2≥1时, 即a ≥3,则x =a -2时, 抛物线取得最小值,即y =a -2 2-2a -2 -3=5,解得:a =6或a =0(舍去)，综上,a =6或a =-3；【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.【变式训练】1(2023春·河北沧州·九年级校考期中)如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y =x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为4,0 ，与y 轴交于C 0,-4 点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．【答案】(1)y=x2-3x-4(2)P点的坐标为：2,-6，四边形ABPC的面积的最大值为18【分析】(1)将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；(2)由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．【详解】(1)解：将B、C两点的坐标代入得，16+4b+c=0c=-4，解得：b=-3 c=-4，所以二次函数的表达式为：y=x2-3x-4；(2)解：如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，P x,x2-3x-4，设直线BC的解析式为：y=kx+d，则d=-44k+d=0 ，解得：k=1 d=-4，∴直线BC的解析式为：y=x-4，则Q点的坐标为x,x-4；当0=x2-3x-4，解得：x1=-1，x2=4，∴AO=1，AB=5，S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=12AB⋅OC+12QP⋅BF+12QP⋅OF=12×5×4+124-xx-4-x2-3x-4+12x x-4-x2-3x-4=-2x2+8x+10=-2x-22+18，当x=2时，四边形ABPC的面积最大，此时P点的坐标为：2,-6，四边形ABPC的面积的最大值为18．【点睛】此题考查了二次函数综合应用，求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，求二次函数与坐标轴的交点坐标等，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．2(2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考阶段练习)已知，抛物线y=-x2+bx+c经过B3,0、C0,3两点，点P是抛物线上一点，点A是抛物线与x轴的另一个交点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 位于第一象限时，连接BP ，CP ，得到△BCP ，当△BCP 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)当点P 位于第四象限时，连接AC ，BC ，PC ，若∠PCB =∠ACO ，求直线PC 的解析式；【答案】(1)y =-x 2+2x +3(2)P 32,154(3)直线PC 的解析式为y =-2x +3【分析】(1)根据待定系数法可进行求解；(2)过点P 作PH ∥y 轴，交BC 于点H ，由题意易得直线BC 的解析式为y =-x +3，设点P a ,-a 2+2a +3 ，则H a ,-a +3 ，然后根据铅垂法可进行求解；(3)设CP 与x 轴的交点为E ，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，由题意易得△BOC 为等腰直角三角形，△EFB 为等腰直角三角形，△AOC ∽△EFC ，然后根据等腰直角三角形的性质及相似三角形的性质可进行求解．【详解】(1)解：由题意可得：-9+3b +c =0c =3，解得：b =2c =3 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3；(2)解：过点P 作PH ∥y 轴，交BC 于点H ，如图所示：设直线BC 的解析式为y =kx +b ，则有：3k +b =0b =3，解得：k =-1b =3 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +3，设点P a ,-a 2+2a +3 ，则H a ,-a +3 ，∴PH =-a 2+2a +3--a +3 =-a 2+3a ，点C 与点B 的水平距离为3，∴S △BCP =12×3×-a 2+3a =-32a -32 2+278，∵0<a <3且-32<0，∴当a =32时，△BCP 的面积最大，最大值即为278，此时∴P 32,154 ；(3)解：设CP 与x 轴的交点为E ，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，如图所示：由(1)及题意可得：OC =OB =3，当y =0时，则有-x 2+2x +3=0，解得：x 1=-1,x 2=3，∴△BOC 为等腰直角三角形，即∠OBC =45°，BC =2OB =32，OA =1，∴△EFB 为等腰直角三角形，∴EF =BF ，∵∠PCB =∠ACO ，∠AOC =∠EFC =90°，∴△AOC ∽△EFC ，∴AO EF =OC CF ，即AO OC =EF CF =13，∴CF =3EF =3BF ，∴CF +BF =4BF =BC =32，∴BF =324，∴BE =2BF =32，∴OE =OB -BE =32，∴E 32,0 ，设直线PC 的解析式为y =kx +b ，则有：32k +b =0b =3，解得：k =-2b =3 ，∴直线PC 的解析式为y =-2x +3．【点睛】本题主要考查二次函数的综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的图象与性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．3(2023秋·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =12x 2+bx +c 与x 轴交于点A -1,0 ，点B ，与y 轴交于点C ，且OC =2，点P 是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的解析式；(2)当点P 在第四象限时，求△BCP 的最大面积；(3)当点P 在第一象限，且∠PCB =∠ABC 时，求出点P 的坐标．【答案】(1)y =12x 2-32x -2(2)S △BCP 最大值为4(3)点P 坐标为173,509【分析】(1)先求出点C 的坐标为0,-2 ，把A -1,0 ，C 0,-2 代入解析式y =12x 2+bx +c ，求解即可；(2)过点P 作PE ⊥x 轴交BC 于点E ，令y =0，得12x 2-32x -2=0，求解得B 4,0 ；再用待定系数法求出BC 的解析式为y =12x -2，设点P a ,12a 2-32a -2 ，则点E a ,12a -2 ，所以PE =12a -2-12a 2-32a -2 =-12a 2+2a ，由三角莆面积公式得S △BCP =12×-12a 2+2a ×4=-a -2 2+4，然后根据二次函数最值求法求解即可；(3)根据点P 在第一象限，所以设CP 交x 轴于点H ，根据等腰三角形的判定与勾肌主得BH =CH =52，从而求出点H 32,0 ．再用待定系数法救是直线CH 解析式为y =43x -2，然后求出直线CH 与抛物线在第一象限的交点坐标即可得解．【详解】(1)解：∵OC =2，∴点C 的坐标为0,-2 ，把A -1,0 ，C 0,-2 代入解析式y =12x 2+bx +c ，得1=12-b +c-2=c，解得b =-32c =-2，∴抛物线的解析式为y =12x 2-32x -2；(2)解：过点P 作PE ⊥x 轴交BC 于点E ，如图：令y =0，则12x 2-32x -2=0解得x 1=-1，x 2=4，∴B 4,0设BC 的解析式为y =kx +b ，把C 0,-2 ，B 4,0 代入得b =-24k +b =0，解得k =12b =-2，，∴BC 的解析式为y =12x -2，设点P a ,12a 2-32a -2 ，则点E a ,12a -2 ，∴PE =12a -2-12a 2-32a -2 =-12a 2+2a ，∴S △BCP =12×-12a 2+2a ×4=-a -2 2+4，0<a <4 ，-1<0，∴当a =2时，S △BCP 取最大值，最大值为4；(3)解：∵点P 在第一象限，∴设CP 交x 轴于点H ，如图：∵∠PCB =∠ABC ，∴CH =BH ，∵CH 2=OC 2+OH 2，∴BH 2=CH 2=OC 2+OB -BH 2=22+4-BH 2，解得BH =52，∴OH=OB-BH=4-52=32，∴点H32,0．设直线CH解析式为y=kx+b，将点C0,-2，点H32,0代入得-2=b0=32k+b，解得k=43b=-2，∴直线CH解析式为y=43x-2，联立解析式得y=43x-2 y=12x2-32x-2，解得：x1=0y1=-2或x2=173y2=509，∴点P在第一象限，∴点P坐标为173,509．【点睛】本题考查用待定系数法函数解析式，一次函数与抛物线的图象性质，一次函数和抛物线的交点问题，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形的面积．熟练掌握一次函数与抛物线的图象性质是解题的关键．【考点二利用二次函数求面积最小值问题】1(2022秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考阶段练习)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=12，点P从点A出发沿AB边向点B以1个单位每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2个单位每秒的速度移动．如果P，Q两点在分别到达B，C两点后就停止移动，设运动时间为t秒(0<t<6)，回答下列问题：(1)运动开始后第几秒时△PBQ的面积等于8．(2)设五边形APQCD的面积为S，写出S与t的函数关系式，当t为何值时S最小？求S的最小值．【答案】(1)2秒或4秒(2)S=t2-6t+72，当t=3时，S最小=63【分析】(1)设运动开始后第t秒时△PBQ的面积等于8，由三角形面积公式即可求解；(2)由S=S矩形ABCD-S△PBQ即可求解．【详解】(1)解：设运动开始后第t秒时△PBQ的面积等于8，由题意得126-t×2t=8，整理得：t 2-6t +8=0，解得：t 1=2，t 2=4，答：运动开始后第2秒或4秒时△PBQ 的面积等于8．(2)解：S =S 矩形ABCD -S △PBQ=6×12-126-t ×2t=t 2-6t +72，=t -3 2+63，∵1>0，0<t <6，∴当t =3时，S 最小=63；答：S =t 2-6t +72，当t =3时，S 最小=63．【点睛】本题考查了一元二次方程及二次函数的应用，根据图形找出等量关系式，掌握二次函数最值的求法是解题的关键．【变式训练】1(2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测)已知抛物线y =-x 2+bx +c 交x 轴于A -1，0 ，B 3，0 ，与y 轴交于点C ．(1)求b ，c 的值；(2)已知P 为抛物线y =-x 2+bx +c 一点(不与点B 重合)，若点P 关于x 轴对称的点P 恰好在直线BC 上，求点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，平移抛物线y =-x 2+bx +c ，使其顶点始终在直线y =x 上，且与PP 相交于点Q ，求△QBP 面积的最小值．【答案】(1)b =2c =3 ；(2)P -2，-5 ；(3)S △QBP的最小值为1358．【分析】(1)利用待定系数法即可求解；(2)求得直线BC 的解析式为y =-x +3，设P a ，-a +3 ，则P a ，a -3 ，解方程a -3=-a 2+2a +3，即可求解；(3)由顶点始终在直线y =x 上，推出c =-b 24+b 2，由三角形面积公式得S △QBP=5PQ 2，当P Q 取最小值时，S △QBP取最小值，求得P Q 关于b 的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．【详解】(1)解：∵抛物线y =-x 2+bx +c 交x 轴于A -1，0 ，B 3，0 ，∴-1-b +c =0-9+3b +c =0，解得b =2c =3 ；(2)解：由(1)得抛物线解析式为y =-x 2+2x +3，令x =0，则y =3，∴C 0，3 ，设直线BC 的解析式为y =kx +3，则0=3k +3，解得k =-1，∴直线BC 的解析式为y =-x +3，∵点P 关于x 轴对称的点P 恰好在直线BC 上，∴设P a ，-a +3 ，则P a ，a -3 ，即点P a ，a -3 在抛物线y =-x 2+2x +3上，∴a -3=-a 2+2a +3，整理得a 2-a -6=0，解得a 1=-2，a 2=3，∵点P 不与点B 重合，∴P -2，5 ，P -2，-5 ；(3)解：抛物线y =-x 2+2x +3的顶点坐标为b 2，b 24+c ，∵顶点始终在直线y =x 上，∴b 2=b 24+c ，即c =-b 24+b 2，由(2)知直线PP 的方程为x =-2，∵抛物线y =-x 2+bx +c 与PP相交于点Q ，∵S △QBP=5PQ2，∴当P Q 取最小值时，S △QBP取最小值，∵P Q =5--4-2b +c =9+2b -c=9+2b --b 24+b 2 =b 24+3b 2+9=b 2+32 +274，∵1>0，∴当b 2=-32即b =-3时，P Q 的最小值为274，∴S △QBP的最小值为=52×274=1358．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．2(2023·全国·九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 的图象与坐标轴相交于A ，B ，C 三点，其中A 点坐标为3,0 ，B 点坐标为-1,0 ，连接AC ，BC ．动点P 从A 点出发，在线段AC 上以每秒2个单位长度向点C 做匀速运动；同时，动点Q 从B 点出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．(1)b =，c =；(2)在P ，Q 运动的过程中，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为多少？(3)已知点M 是该抛物线对称轴上一点，当点P 运动1秒时，若要使得线段MA +MP 的值最小，则试求出点M 的坐标．【答案】(1)2，3(2)当t =2时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为4(3)M 1,23 【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为E ，利用S 四边形BCPQ =S △ABC -S △APQ 表示出四边形BCPQ 的面积，求出t 的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；(3)直接利用对称点的性质得出M 点位置，进而得出答案．【详解】(1)∵二次函数y =-x 2+bx +c 的图象经过点A 3,0 ，B -1,0 ，则-9+3b +c =0-1-b +c =0 ，解得：b =2c =3 ；故答案为：2；3；(2)令x =0，则有y =3，即有C 0,3 ；∵C 0,3 ，A 3,0 ，B -1,0 ，∴OC =OA =3，OB =1，即AB =4，AC =OC 2+OA 2=32，∴△OAC 是等腰直角三角形，∴∠BAC =45°，由点P 、Q 的运动可知：AP =2t ，BQ =t ，结合B -1,0 ，可得：Q -1+t ,0 ，即：AQ =AB -BQ =4-t ，过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，如图，∴AH =PH =2t2=t ，即H 3-t ,0 ，∴S 四边形BCPQ =S △ABC -S △APQ=12×OC ×AB -12×AQ ×PH=12×3×4-12×4-t ×t =12t -2 2+4，∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，且AC =32，∴0≤t ≤322即，0≤t ≤3，∴当t =2时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为4；(3)由(2)可知，当t =1时，可得点P 的坐标为(2，1)，根据抛物线的对称性可知，点A ，B 关于对称轴：x =1对称，连接BP ，与抛物线对称轴交于点M ，点M 即为所求，∵P 2,1 ，B -1,0 ，∴利用待定系数法可得直线BP 的解析式为：y =13x +13，当x =1时，y =23．即点M 的坐标为1,23．【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称最值问题，用方程的思想解决问题是解本题的关键．【考点三利用二次函数求周长最大值问题】1(2023·山东东营·统考中考真题)如图，抛物线过点O 0,0 ，E 10,0 ，矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上(点B 在点A 的左侧)，点C ，D 在抛物线上，设B t ,0 ，当t =2时，BC =4．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t =2时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ，H ，且直线GH 平分矩形ABCD 的面积时，求抛物线平移的距离．【答案】(1)y =14x 2-52x(2)当t =1时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412(3)4【分析】(1)设抛物线的函数表达式为y =ax x -10 a ≠0 ，求出点C 的坐标，将点C 的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；(2)由抛物线的对称性得AE =OB =t ，则AB =10-2t ，再得出BC =-14t 2+52t ，根据矩形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；(3)连接AC ，BD 相交于点P ，连接OC ，取OC 的中点Q ，连接PQ ，根据矩形的性质和平移的性质推出四边形OCHG 是平行四边形，则PQ =CH ，PQ =12OA ．求出t =2时，点A 的坐标为8,0 ，则CH =12OA =4，即可得出结论．【详解】(1)解：设抛物线的函数表达式为y =ax x -10 a ≠0 ．∵当t =2时，BC =4，∴点C 的坐标为2,-4 ．将点C 坐标代入表达式，得2a 2-10 =-4，解得a =14．∴抛物线的函数表达式为y =14x 2-52x ．(2)解：由抛物线的对称性得：AE =OB =t ，∴AB =10-2t ．当x =t 时，BC =-14t 2+52t ．∴矩形ABCD 的周长为2AB +BC =210-2t +-14t 2+52t=-12t 2+t +20=-12t -1 2+412．∵-12<0，∴当t =1时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412．(3)解：连接AC ，BD 相交于点P ，连接OC ，取OC 的中点Q ，连接PQ ．∵直线GH 平分矩形ABCD 的面积，∴直线GH 过点P ．．由平移的性质可知，四边形OCHG 是平行四边形，∴PQ =CH ．∵四边形ABCD 是矩形，∴P 是AC 的中点．∴PQ =12OA ．当t =2时，点A 的坐标为8,0 ，∴CH =12OA =4．∴抛物线平移的距离是4．【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，平移的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，以及平移的性质．【变式训练】1(2023春·湖南长沙·八年级校考期末)已知抛物线y =a -1 x 2+2a -7 x +a 2-4(a 为常数，a >0)的图象经过原点，点A 在抛物线上运动．(1)求a的值．(2)若点P8-t，s和点Q t-4，r都是这个抛物线上的点，且有s>r，求t的取值范围．(3)设点A位于x轴的下方且在这个抛物线的对称轴的左侧运动，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，过点D作DC⊥x轴，垂足于点C，试问四边形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值和对应的x值，如果不存在，请说明理由．【答案】(1)a=2；(2)t<6；(3)存在，当x=12时，四边形ABCD的周长最大为13 2．【分析】(1)将坐标0,0代入抛物线计算求值即可；(2)由a的值可得抛物线解析式，从而可得s，r的表达式，再根据s>r解不等式即可；(3)由y=x2-3x可得函数的对称轴，根据A、D两点的对称性设A m，m2-3m，D n，m2-3m，再由两点的中点坐标在对称轴上可得n的表达式；根据坐标的定义求得四边形周长的表达式再配方即可解答；【详解】(1)解：将原点坐标代入抛物线可得：0=a2-4，a=±2，∵a>0，∴a=2；(2)解：把a=2代入抛物线可得：y=x2-3x，点P和点Q代入抛物线解析式可得：s=8-t2-38-t=t2-13t+40，r=t-42-3t-4=t2-11t+28，∵s>r，∴t2-13t+40>t2-11t+28，∴-2t>-12，∴t<6；(3)解：由抛物线解析式y=x2-3x可得对称轴为x=--32=32，AD平行于x轴，设A m，m2-3m且0<m<32，D n，m2-3m，由抛物线的对称性可知A、D两点的中点坐标在对称轴x=32上，∴m+n2=32，∴n=3-m，∵AB和DC都和x轴垂直，AD平行于x轴，∴四边形ABCD 是矩形，由函数图象可知A 点纵坐标m 2-3m <0，∴四边形ABCD 的周长为：2AB +2AD =2m 2-3m +2n -m =-2m 2-3m +23-2m =-2m -12 2+52，∴当m =12时四边形周长有最大值52；【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质，矩形的性质，坐标的定义等知识；掌握二次函数的对称性是解题关键．2(2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，直线y =kx 与抛物线y =ax 2+c 交于A 8,6 、B 两点，点B 的横坐标为-2．(1)求直线AB 和抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点(不与点A 、B 重合)，过点P 作x 轴的平行线，与直线AB 交于点C ，连接PO ，设点P 的横坐标为m ．①若点P 在x 轴上方，当m 为何值时，△POC 是等腰三角形；②若点P 在x 轴下方，设△POC 的周长为p ，求p 关于m 的函数关系式，当m 为何值时，△POC 的周长最大，最大值是多少？【答案】(1)y =34x ，y =18x 2-2(2)①当m =4+4103时，△POC 是等腰三角形；②当m =2时，△POC 的周长最大，最大值为9【分析】(1)利用待定系数法求解析式；(2)①当△POC 是等腰三角形时，判断出只有OC =PC ，设出点P 的坐标，用OC =PC 建立方程组求解即可；②先表示出PC ,OC ,OP ，然后建立△POC 的周长p 关于m 的函数关系式，确定出最大值．【详解】(1)解：将点A 8,6 代入y =kx ，得8k =6，解得k =34，∴直线AB 的解析式为y =34x ；当x =-2时，y =34x =34×-2 =-32，∴B -2,-32 将点A 8,6 ，B -2,-32代入y =ax 2+c ，得64a +c =64a +c =-32，解得a =18c =-2 ，∴抛物线的解析式为y =18x 2-2；(2)①设P m ,n ，则18m 2-2=n ，∵过点P 作x 轴的平行线，与直线AB 交于点C ，∴C 43n ,n ，∴PC =m -43n ，当点P 在x 轴上方时，m >0，∠OCP 是钝角，∴OC <OP ,PC <OP ，∵△POC 是等腰三角形，∴OC =CP ，∵OC =53n ，∴m -43n =53n ，∴m =3n ，∵18m 2-2=n ∴m =318m 2-2 ，∴m =4+4103或m =4-4103(舍去)，∴当m =4+4103时，△POC 是等腰三角形；②当点P 在x 轴下方时，-2<m <4，∴n <0∵P m ,n ，则18m 2-2=n ，点C 43n ,n ,∴OC =-53n ，OP =m 2+n 2=m 2+18m 2-2 2=18m 2+2，∵PC =m -43n ，18m 2-2=n ，∴p =OP +PC +OC=18m 2+2+m -43n +-53n =18m 2+m -3n +2=18m 2+m -318m 2-2 +2=-14m -2 2+9，∴当m =2时，p 最大，最大值为9，∴当m =2时，△POC 的周长最大，最大值为9．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平面内两点之间的距离公式，等腰三角形的性质，三角形的周长，极值的确定，解本题的关键是表示出PC ,OC ,OP 的长度．3(2023春·内蒙古赤峰·九年级统考阶段练习)如图，已知二次函数图象与坐标轴分别交于A (0,3)、B (-1,0)、C (3,0)三点．(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值；(3)当矩形MNHG 的周长最大时，在二次函数图象上是否存在点P ，使△PNC 的面积是矩形MNHG 面积的916？若存在，直接写出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2+2x +3(2)10(3)存在；32，3+322，3-322【分析】(1)利用待定系数法解答即可；(2)设点M 的坐标为m ,-m 2+2m +3 ，则点N 2-m ,-m 2+2m +3 ，利用m 的代数式分别表示出矩形的边长，利用矩形的周长的公式求得矩形的周长，利用配方法解答即可得出结论；(3)利用(2)的结论求得点N 的坐标，可得点N 与点A 重合，设点P 的坐标为n ,-n 2+2n +3 ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交AC 于点E ，利用含n 的代数式表示出FE ，利用S △PNC =S △PNE +S △PCE =12×PE ⋅OC ，求得△PNC 的面积，利用已知条件得到关于n 的方程，解方程即可求得n 值；再利用平行线的距离相等，当直线AC 向下平移94个单位长度时，该直线与抛物线的交点也满足条件，求得平移后的直线解析式，与抛物线的解析式联立，解方程组即可得出结论．【详解】(1)设二次函数解析式为y =ax 2+bx +c (a ≠0)，∵二次函数图象过A (0,3)、B (-1,0)、C (3,0)三点，∴c =3a -b +c =09a +3b +c =0，解得a =-1b =2c =3，即二次函数解析式为y =-x 2+2x +3．(2)设点M 的坐标为m ,-m 2+2m +3 ，则点N 2-m ,-m 2+2m +3 ，∴MN =m -2+m =2m -2，GM =-m 2+2m +3，矩形MNHG 的周长C =2MN +2GM ，=2(2m -2)+2-m 2+2m +3=-2m 2+8m +2，∵-2<0。

专题01 线段周长面积最大值（知识解读）【专题说明】从近几年的各地中考试卷来看，求线段、周长面积的最大问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合。

这个专题为同学们介绍解题方法，供同学们参考。

【方法点拨】考点1：线段、周长最大问题考点2 ：面积最大问题 （1）铅锤法铅锤高水平宽⨯=21S（2）面积方法如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图2，同底三角形的面积比等于高的比．如图3，同高三角形的面积比等于底的比．如图1 如图2 如图3（3）利用相似性质利用相似图形，面积比等于相似比的平方。

【典例分析】【考点1 线段最大值问题】【典例1】（盘锦）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点C，交x 轴于A、B两点，A（﹣2，0），a+b＝，点M是抛物线上的动点，点M在顶点和B点之间运动（不包括顶点和B点），ME∥y轴，交直线BC于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）求线段ME的最大值；【变式1-1】（2022春•丰城市校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．求线段PM的最大值；【变式1-2】（2021•柳南区校级模拟）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x．①求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②线段PE的长h是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的x值；若不存在，请说明理由？【典例2】（2022•澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC 于点Q．（1）求抛物线及直线BC的表达式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．求线段PN的最大值；【变式2】（2022•广元）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，b满足的关系式及c的值；（2）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．【考点2 周长最大值问题】【典例3】（2022春•衡阳期中）如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）如图1，点E在线段AB上方的抛物线上运动（不与A、B重合），过点E作ED⊥AB，交AB于点D，作EF⊥AC，交AC于点F，交AB于点M，求△DEM的周长的最大值；【变式3】（2022春•北碚区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+2交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，一次函数y＝﹣x﹣1交抛物线于A，D两点，其中点D（3，﹣4）．（2）点G为抛物线上一点，且在线段BC上方，过点G作GH∥y轴交BC于H，交x 轴于点N，作GM⊥BC于点M，求△GHM周长的最大值；【考点3 面积最大值问题】【典例4】（2021秋•龙江县校级期末）综合与探究如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式，连接BC，并求出直线BC的解析式；（2）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，此时点P的坐标是（，）；（3）点Q在第一象限的抛物线上，连接CQ，BQ，求出△BCQ面积的最大值．【变式4-1】（2022春•南岸区月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x 轴交于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，且OC＝3．（2）点P为直线BC下方抛物线上的一点，连接AC、BC、CP、BP，求四边形PCAB 的面积的最大值，以及此时点P的坐标；【变式4-2】（2022•东方二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过B（3，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D．（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），当点E在直线BC的下方运动时，求△CBE的面积的最大值；【典例5】（聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC．又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．（1）求抛物线的表达式；（2）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．【变式5】（2022•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC 于点Q．（1）求该抛物线的解析式；（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．专题01 线段周长面积最大值（知识解读）【专题说明】从近几年的各地中考试卷来看，求线段、周长面积的最大问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合。

2022年九年级中考数学专题复习讲义二次函数中的最值问题（线段和面积最值）二次函数中的最值问题问题背景：在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）.（1）求二次函数的表达式；一、线段最值问题：（2）点M为直线AC上方抛物线上一动点，过M点作MN∥y轴交直线AC于点N，求出线段MN的最大值，并求出此时点M的坐标；思考：此时还能通过几何构图确定动点位置，从而计算相应的MN的最值吗？（3）点M为直线AC上方抛物线上一动点，过M点作MN∥y轴交直线AC于点N，作ME∥AC于点E，求∥MEN周长的最大值，并求出此时点M的坐标；思考：由动点M生成动点N，E，∥MEN三边长虽然均为变量，但它们之间有怎样的数量关系？变式：∥MEN的面积有最大值，求出其最大值.（4）如图，点M为直线AC上方抛物线上一动点，连接OM与AC交于点F，求MF的最大值；FO思考：MF与OF是斜线段，它们的长度好表示吗？变式：如图，点M 为直线AC 上方抛物线上一动点，连接OM 与AC 交于点F ，当23MF FO 时，求此时点M 的坐标；（5）如图，连接BC ，点P 为直线AC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PQ ∥y轴交AC线段于点Q，过点Q作QG∥BC交x轴于点G，求PQ 的最大值及此时点P的坐标（6）如图，点P为直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AC于点D，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，求PD＋PE的最大值及此时点P的坐标；二、面积最值问题 用铅垂法表示三角形面积的计算公式为：12S =⨯⨯铅垂高水平宽（7）点M 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点M ，使∥ACM 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；（8）点M 是直线AC 下方的抛物线上一动点，是否存在点M ，使S ∥ACM ＝15？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；（9）点P是抛物线的顶点，在抛物线上是否存在异于P点的点Q，使S∥ACQ＝S∥ACP？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；提示：方法1，代数思想——利用铅垂法分类表示出三角形面积，建立等量关系求解；方法2，几何思想——通过辅助线构造等底等高的三角形确定出动点的位置后再进行计算.（平行线转化面积）。