2021届湖南长沙市高三下一模考试数学(理)试卷

长沙市一中2021届高三月考试卷（八）数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集U R =，若{}|06A x N x =∈<≤，{}2|340B x x x =-++≤，则()U AC B =（ ）A ．(]0,4B ．(]0,1 C ．{}1 D ．{}1,2,3 2．设复数202112i z i+=-，则z 的虚部是（ ）A ．35B ．35iC ．15D ．15i3．函数()3sin f x x x x =++，则1a >-是()()120f a f a ++>的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．2020年12月1日，长沙市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶、一个有害垃圾桶、一个厨余垃圾桶、一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有（如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们前后左右位置关系不作考虑）（ ）A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种5．已知椭圆1C 与双曲线2C 的焦点相同，离心率分别为12,e e ，且满足21e =，12,F F 是它们的公共焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若012120F PF ∠=，则双曲线2C 的离心率为（ ）A B C ．2 D 6．《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的.其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长的和圆木一样高.已知1丈等于10尺，则能推算出该葛藤长为（ ） A ．21尺 B ．25尺 C ．29尺 D ．33尺 7．记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a 的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,,n n a a ++的最小项为n B ，令n n n b A B =-，若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，则数列{}n b 的前10项和为（ ）A ．-169B ．-134C ．-103D ．-788．若ln x a e x a -≥+对一切正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],1-∞C ．(],2-∞D ．(],e -∞二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A ．0AB BA +=B ．若a b =且//a b ，则a b =C ．若,a b 非零向量且a b a b +=-，则a b ⊥D ．若//a b ，则有且只有一个实数λ，使得b a λ=10. 已知,x y R ∈，且0x y >>，则下列说法错误的是（ ）A ．110x y ->B ．sin sin 0x y ->C ．11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ln ln x x y y >11. 在棱长为2的正四面体ABCD 中，点则,,E F G 分别为棱,,BC CD DA 的中点，则（ ） A ．//AC 平面EFGB ．过点,,E F G 的截面的面积为12C ．异面直线EG 与AC 所成角的大小为4π D ．CD 与平面GBC 所成角的大小为6π12. 将函数()()cos 02f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()01g =-，则下列说法正确的是（ ）A ．()g x 为奇函数B ．02g π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．当5ω=时，()g x 在()0,π上有4个极值点D ．若()g x 在0,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的最大值为5 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．在6⎛⎝的展开式中，常数项等于_________ .14．写出一个图象关于直线1x =对称的奇函数()f x =_______.15．曲线ln y a x =-在点()1,a 处的切线与曲线xy e =-相切，则a =____________.16．已知(),012sin ,13x f x x x π⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，若存在实数123,,x x x ，满足12303x x x ≤<<≤，且()()()123f x f x f x ==，则2x 的取值范围为 __________；2314x x x π-的最大值为_________.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分）已知,,a b c 分别是ABC ∆三个内角,,A B C sin cos C c A c =+. （1）求A ；（2）在①ABC ∆；②ABC ∆的周长为6+③1cos 2c B -=B 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：已知2b =，______________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若满足()1321n n S S n +=++，且12a =. （1）证明：数列{}1n a +是等比数列；（2）判断数列123n n n a a +⎧⎫⨯⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 与12的大小关系，并说明理由.19.（本小题满分12分）如图1，在ABV ∆中，1AC BC CV ===，AC VB ⊥于C .现将ABV ∆沿AC 折叠，使V AC B --为直二面角（如图2），D 是棱AB 的中点，连接,,CD VB VD . （1）证明：平面VAB ⊥平面VCD ； （2）若棱AB 上有一点E 满足14BE BA =，求二面角C VE A --的余弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率是2，点F 是椭圆E 的左焦点，点A 为椭圆E 的右顶点，点B 为椭圆E的上顶点，且12ABF S ∆=. （1）求椭圆E 的方程；（2）设点(),0P m 为椭圆E 长轴上的一个动点，过点P 作斜率为ba的直线l 交椭圆E 于,S T 两点，证明：22PS PT +为定值.21.（本小题满分12分）公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere ）向另一位著名的数学家帕斯卡（.B Pascal ）提请了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat ）讨论了这个问题，后来惠更斯（.C Huygens ）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢()*1,k k k N >∈局，谁更赢得全部赌注a 元.每局甲赢的概率为()01p p <<，乙 赢的概率为1p -，且每局赌博相互独立.在甲赢了()m m k <局，乙赢了()n n k <局时，赌博意外终止.赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢k 局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比:P P 甲乙分配赌注.（1）甲、乙赌博意外终止，若2243,4,2,1,3a k m n p =====，则甲应分得多少赌注？ （2）记事件A 为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当4,2,1k m n ===时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率()f p ，并判断当45p ≥时，事件A 是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件. 22.（本小题满分12分）已知函数()()()22x x f x e ae a x a R -=--+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）求证：当2152a ≤≤时，函数()f x 有且只有三个零点.（参考数据： 2.72e ≈，27.39e ≈，320.01e ≈）参考答案一、选择题 1.D{}{}1,2,3,4,5,6,|14A B x x x ==≤-≥或，{}|14U C B x x =-<<，所以(){}{}{}1,2,3,4,5,6|141,2,3U A C B x x =-<<=，故选D.2. A()()()()202145051211113222225i i i i i i iz i i i i i ⨯++++⨯++=====----+， 所以z 的虚部是35，故选：A 3. B由题意可得：()2cos 310f x x x '=++>恒成立， 所以函数()3sin f x x x x =++在R 上递增，又()()()()()()33sin sin f x x x x x x x f x -=-+-+-=-++=-， 所以函数()f x 是奇函数，当()()120f a f a ++>，即()()()122f a f a f a +>-=-， 所以12a a +>-，解得13a >-， 当1a >-时，则13a >-，显然不成立； 反之，当13a >-，则1a >-，成立，所以1a >-是()()120f a f a ++>的必要不充分条件，故选：B 4. C根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，有246C =种选法.之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有33A 种放法；所以不同的摆放方法共有23436636C A =⨯=种，故选：C5. C设11PF r =，22PF r =， 在椭圆2212211:1x y C a b +=中，()()()2222201212121211222cos1202c r r rr r r rr a rr =+-=+-=-，∴2221211444r r a c b =-=在双曲线2222222:1x y C a b -=中，()()()2222201212121221222cos120323c r r rr r r rr a rr =+-=-+=+∴22222122212434443b r rc a b r r =-=⇒=，∴2221443b b =即22213b b =，则()2222213ac c a -=- 所以2222221212222213133444a a a a c c c e e +=⇒+=⇒+=又因为21e =，所以22221154e e +=， 解得22e =，故选：C 6.C如图所示，圆柱的侧面展开图是矩形ABEF ， 由题意得：2AB =丈20=尺，圆周长3BE =尺， 则葛藤绕圆柱7周后长为29BD ===尺，故选：C 7. A数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，故从2a 起单调递增，且1231,0,3aa a ===，所以11112101b A B a a =-=-=-=，22213b A B a a =-=-，33334b A B a a =-=-，44445b A B a a =-=-，…，1010101011b A B a a =-=-，又2112117116171a =⨯-⨯+=，所以数列{}n b 的前10项和为：()()()()121013344510111b b b a a a a a a a a +++=+-+-+-++-1111a a =+-11171=+- 169=-，故选A. 8. B设()()ln 0x a f x e x a x -=-->，则()ln 0x a f x e x a -=--≥，恒成立，由()1x af x ex -'=-，令()1x a h x e x -=-，则()210x ah x e x -'=+>恒成立， 所以()()10x a h x e x x -=->为增函数，令10x ae x--=得()00x x x =>，当00x x <<时，()0h x <，当0x x <时，()0h x >；所以()f x 在()00,x 递减，在()0,x +∞递增，故()f x 在0x x =处取得最小值. 故最小值()000ln 0x a f x e x a -=--≥，因为001x aex -=，则00ln x a x -=-，即00ln a x x =+， ()000012ln 0f x x x x =--≥ 令()()12ln 0g x x x x x=--> 则()g x 在()0,+∞单调递减，又∵()10g =，∴()00001f x x ≥⇔<≤ ∴00ln 1a x x =+≤ 故选：B 二、选择题 9.AC由,AB BA 互为相反向量，则0AB BA +=，故A 正确；由a b =且//a b ，可得a b =或a b =-，故B错；由a b a b +=-，则两边平方化简可是0a b =，所以a b ⊥，故C 正确；根据向量共线基本定理可知D 错，因为要排除a 为零向量，故选：AC 10. ABD ∵0x y >>， 选项A ，取11,2x y ==，则111210x y -=-=-<，A 错；选项B ，取,2x y ππ==，则sin sin sin sin102x y ππ-=-=-<，B 错；选项C ，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是减函数，∴1122xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，C 正确.选项D ，由单调性知，D 错. 故选：ABD. 11.ACD对A ，∵点,F G 为棱,CD DA 的中点，∴//FG AC ，∵FG ⊂平面EFG ，AC ⊄平面EFG ， ∴//AC 平面EFG ，故A 正确；对B ，取AB 中点H ，则可得四边形EFGH 为截面，由A 选项可得1//,2FG AC FG AC =，同理可得1//,2HE AC HE AC =，则//HE FG ，且HE FG =且HE FG =，故四边形EFGH 为平行四边形，取BD 中点M ，则可得,BD AM BD CM ⊥⊥，∵AM CM M =，则BD ⊥平面AMC ，∴BD AC ⊥，则EF FG ⊥，故平行四边形EFGH 为正方形，且边长为1，故截面面积为1，故B 错误；对C ，异面直线EG 与AC 所成的角与EGF ∠相等，故C 正确；对D ，如图，,DA GB DA GC ⊥⊥，∴DA ⊥平面GBC ，则DCG ∠即为CD 与平面GBC 所成角，易得030DCG ∠=，故D 正确.故选：ACD 12. BCD∵()()cos sin 02f x x x πωωω⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭， ∴()sin 2g x x πω⎡⎤⎛⎫=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，且()01g =-， ∴()1222k k Z πωπ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，即14k ω=-为奇数， ∴()sin cos 2g x x x πωω⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为偶函数，故A 错. 由上得：ω为奇数，∴cos 022g ππω⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 对，由上得：当5ω=时，()52sin 5cos5,25g x x x T ππ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，由图象可知()g x 在()0,π上有4个极值点，故C 对.∵()g x 在0,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以052T ππω-≤=，解得：05ω<≤， 又∵14k ω=-，∴ω的最大值为5，故D 对，故选：BCD三、填空题13. 1606⎛ ⎝的展开项的形式是(63662r r r r r r C C x --=，若为常数项，可得3r =，故常数项为3362160C = 14. sin 2x π当()()sin 2f x x x R π=∈时，()()sin sin 22f x x x f x ππ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，又x R ∈，所以()f x 是奇函数； ()sin 2f x x π=的对称轴方程为,,12,22x k k Z x k k Z πππ=+∈=+∈，当0k =时，1x =，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，符合题意，（答案不唯一）15. -2由ln y a x =-求导得1y x'=-， ∴曲线ln y a x =-在点()1,a 处的切线方程为()1y a x -=--，即1y x a =-++，设1y x a =-++与x y e =-相切于点()00,x x e -，由x y e =-求导得x y e '=-，∴01x e -=-，∴00x =，即切点为()0,1-，它在切线1y x a =-++上，∴11a +=-，∴2a =-. 16. 72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；991162π-由题意，函数()f x 的大致图象如图所示，由图象知，272,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且23122sin x x x π+==，所以()22312222225sin 523x x x x x x x x x πππ=-=--，令()275,2,23g x x x x x ππ⎡⎤=--∈⎢⎥⎣⎦，则()522g x x x π'=--，因为()2sin 2g x x π''=-+在72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()78034g x g -⎛⎫''''≤=< ⎪⎝⎭，所以()g x '在72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又因为904g ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，所以()g x 在92,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在97,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()max 99914162g x g π⎛⎫==-⎪⎝⎭. 四、解答题17. （1）在ABC ∆sin cos C a A c =+sin sin cos sin A C C A C =+∵sin 0C ≠cos 1A A =+即2cos 2cos 222A A A =，由0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 22A A =，所以tan 23A =， 所以26A π=，解得3A π=. （2）选①，ABC ∆，2,3b A π==，则1sin 22ABC S bc A c ∆===2c =， 所以ABC ∆为等边三角形，所以3B π=.选②，ABC ∆的周长为6+，由2b =，则4a c +=+ 又22222cos 42a b c bc A c c =+-=+-②由①②可得4a c ==，2sin sin sin a b A B B=⇒=，解得1sin 2B =， 由因为a b >，所以6B π=.选③，1,2cos 3c A b B π-===，由余弦定理可得22222413224a c b a c c ac ac+-+--==，③ 又22222cos 42a b c bc A c c =+-=+-，④由③④联立，无解，三角形不存在.18.（1）由题意()1321n n S S n +=++可得()132,2n n S S n n -=+≥，两式相减，得132,2n n a a n +=+≥，由2134S S =+得12134a a a +=+，得22324a +=⨯+，得28a =，满足2132a a =+，所以132n n a a +=+对于任意n 为正整数都符合，所以1133n n a a ++=+，即()1131n n a a ++=+，又1130a +=≠，故数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）可知13n n a +=，即31n n a =-，故()()11123231131313131n n n n n n n n a a +++⨯⨯==-----， 所以223111111111113131313131312312n n n n T ++=-++++-=-<------- 19.（1）在图2中，∵AC BC =，D 是AB 的中点，∴CD AB ⊥，又V AC B --为直二面角，VC AC ⊥，∴VC ⊥底面ABC ，而AB ⊂平面ABC ，∴VC AB ⊥，且VC CD C =，所以AB ⊥平面VCD ，又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD .（2）以CA CB CV 、、所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1C A B V ，所以()0,0,1CV =，因为14BE BA =，所以13,,044E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则13,,044CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭设平面VCE 的一个法向量(),,t m n p =，则00CV t CE t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即013044p m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩， 令1n =，则()3,1,0t =-.同理可以求得平面VAB 的一个法向量()1,1,1s =. 所以()2cos ,331s ts t s t -===-+， 又二面角C VE A --为锐角，所以二面角C VE A --的余弦值为15. 20.（1）()()(),0,,0,0,F c Aa Bb -，则()1122ABF S a c b ∆==+， ()1a c b +=，即(1a c +=， 又2c e a a ===，代入上式中得到，1c+=，1c=，于是1a b==，故椭圆E的方程为2212xy+=.（2）设直线():2l y x m=-交椭圆于()()1122,,,S x y T x y，由()22222y x mx y⎧=-⎪⎨⎪+=⎩消去y得，222220x mx m-+-=，因此212122,2mx x m x x-+==，于是()()2222221122PS PT x m y x m y+=-++-+()()()()2222 12121212333222222x m x m x x x x m x x m⎡⎤=-+-=+--++⎣⎦()2222322232m m m m=-+-+=故22PS PT+为定值，且为3.21.（1）设赌博再继续进行X局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注，当2X=时，甲以4：1赢，所以()224239P X⎛⎫===⎪⎝⎭；当3X=时，甲以4：2赢，所以()1222283133327P X C⎛⎫==⨯-⨯=⎪⎝⎭；当4X=时，甲以4：3赢，所以()21322244133327P X C⎛⎫==⨯-⨯=⎪⎝⎭所以，甲赢的概率为48424892727279++==.所以，甲应分得的赌注为82432169⨯=元.（2）设赌博继续进行Y局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，当3Y=时，乙以4：2赢，()()331P Y p==-；当4Y=时，乙以4：3赢，()()()33134131P Y C p p p p==-=-；所以，乙赢得全部赌注的概率为()()()()()333131131P A p p p p p=-+-=+-，于是甲赢得全部赌注的概率()()()31131f p p p =-+-，求导，()()()()()()3223113311121f p p p p p p '=---+--=-， 因为415p ≤<，所以()0f p '>，所以()f p 在415⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递增， 于是()min 46085625f p f ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故乙赢的概率为6081710.02720.05625625-==<，故事件A 是小概率事件. 22.（1）()()()()()222222x x x x x x x xe e a e a e af x e ae a e e ----++'=+-+==， 若0a ≤，由20x e -=，得ln 2x =；由()0f x '<得ln 2x <；由()0f x '>得ln 2x >，所以()f x 在(),ln 2-∞上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增；若0a >，由()0f x '=，得ln 2x =或ln x a =，当02a <<时，由()0f x '<，得ln ln 2a x <<；由()0f x '>，得ln 2x >或ln x a <，所以()f x 在()ln ,ln 2a 上单调递减，在()(),ln ,ln 2,a -∞+∞上单调递增；当2a =时，()0f x '≥在R 上恒成立，所以()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当2a >时，由()0f x '<，得ln 2ln x a <<；由()0f x '>，得ln x a >或ln 2x <，所以()f x 在()ln 2,ln a 上单调递减，在()(),ln 2,ln ,a -∞+∞上单调递增.（2）由（1）知，当2152a ≤≤时，()f x 在()ln ,ln 2a 上单调递减，在(),ln a -∞，()ln 2,+∞上单调递增，所以()()()ln 22ln f x f a a a a ==--+极大值，()()()()ln 222ln 21ln 222ln 2f x f a a a ==--+=-++-极小值，令()()2122ln 52g a a a a a ⎛⎫=--+≤≤ ⎪⎝⎭，则()2ln a a g a a +'=-. 令()212ln 52m a a a a ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭，则()221ln 1ln ln ln1055e m a a '=+≥+=>=， 所以()m a 在21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.所以()22225282ln 2ln 2ln 05555255m a m e ⎛⎫≥=+=->-=> ⎪⎝⎭， 所以()0g a '<，从而()g a 在21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()313515ln 23ln 32ln ln 0222222e g a g --⎛⎫≥=--==> ⎪⎝⎭，即()ln 0f a >， 又当2152a ≤≤时，2211ln ln ln ln 0252a e -=<≤≤<，即()ln 1,0a ∈-， 又()()()22222222214f e ae a e a e ---=-++=-++，该式关于a 单调递减， 所以()()2222222244125421421405555e e e a e e e -----++≤-⨯++=+=<， 所以()20f -<，因为()f x 在(),ln a -∞上单调递增，且()()2ln 0f f a -<，所以函数()f x 在区间(),ln a -∞上有且只有一个零点，令()()211ln 222ln 252h a a a ⎛⎫=-++-≤≤ ⎪⎝⎭，显然()h a 单调递减，所以()((22838822ln 21ln 2110555255h a ⎛⎫⎛⎫≤--+=-=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()ln 20f <，因为()f x 在()ln ,ln 2a 上单调递减，且()()ln ln 20f a f <，所以函数()f x 在区间()ln ,ln 2a 有且只有一个零点，()()()22222222214f e ae a e a e --=--+⨯=-++-，该式关于a 单调递减， 所以()()2222222211214214515602e a e e e e e e e---++-≥-+⨯+-=-->--=->， 因为()f x 在()ln 2,+∞上单调递增，且()()ln 220f f <，所以函数()f x 在()ln 2,+∞上有且只有一个零点， 综上所述：当2152a ≤≤时，函数()f x 有且只有三个零点.。

湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（六）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}24M x x =≤，{}24xN x =<，则M N =（ ）A ．{}2x x ≤- B ．{}22x x -≤<C ．{}22x x -≤≤D ．{}02x x <<2．已知复数z 满足(2)34z i i +=-(i 为虚数单位)，则||z =（ ）A B C ．D ．53．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）A ．3B ．3C D4．a 是()21log 3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点，若00x a <<，则()0f x 的值满足（ ） A ．()0f x 的符号不确定 B ．()00f x <C ．()00f x =D ．()00f x >5．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，则AE EC ⋅=（ ）A ．1225B ．2425 1246．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线与圆22(4x y +-=相交于A ，B 两点，若2AB =，则C 的离心率为（ ）A B C ．2 D ．47．已知函数()sin()f x x πϕ=+某个周期的图象如图所示，A ，B 分别是()f x 图象的最高点与最低点，C 是()f x 图象与x 轴的交点，则tan ∠BAC ＝（ ）A ．12B ．47C D 8．概率论起源于博弈游戏．17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．向这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（ ） A ．甲48枚，乙48枚 B ．甲64枚，乙32枚 C ．甲72枚，乙24枚 D ．甲80枚，乙16枚二、多选题9．已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是（ ） A ．若m α⊥，n α⊥，则//m n B ．若//m α，m ∥β，则//αβ C ．若,//m αββ⊥，则m α⊥D ．若//,m αβα⊥，则m β⊥ 10．设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，那么（ ） A ．2ab bc ac +=B ．ab bc ac +=C ．221c a b=+ D ．121c b a=- 11．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有（ ）A ．从中任取3球，恰有一个白球的概率是35B ．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43C ．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25D ．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为262712．关于函数1()ln f x x x=+，下列说法正确的是（ ） A ．(1)f 是()f x 的极小值；B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．()f x 在(,1)-∞上单调递减；D ．设()()g x xf x =，则1g g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭.三、填空题13．41()(1)x x x--的展开式中3x 的系数为_____________. 14．已知tan()2,4πα+=则sin 2α=___.15．如图，某湖有一半径为100m 的半圆形岸边，现决定在圆心O 处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200m 的点A 处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B 以及湖中的点C 处，再分别安装一套监测设备，且满足AB AC =，90BAC ∠=︒.定义：四边形OACB 及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设AOB θ∠=.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为___________.点O ），直线OM 与E 的另一个交点为N ．若过M 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且△ABN 的面积是△ABO 面积的3倍，则p ＝_____四、解答题17．已知等比数列{}n a 的公比为()1q q >，前n 项和为n S ，若52472S S a -=，且342S a +=.（1）求n a ；（2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：13111422n n n T +-≤≤-.18．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，csin (2cos )A a B =+． （1）求B ；（2）若△ABC，求△ABC 的周长的最小值．19．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD是边长为PAC ⊥底面ABCD，PA PC ==（1）求证：PB PD =；（2）点M ，N 分别在棱PA ，PC ，PM AM =，PN CN =，求直线PB 与平面DMN 所成角的正弦值.20．已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞的焦距为．（1）求C 的方程；（2）若直线l 与C 有且只有一个公共点，l 与圆x 2+y 2＝6交于A ，B 两点，直线OA ，OB 的斜率分别记为k 1，k 2．试判断k 1∙k 2是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由．21．某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩(x )和物理成绩(y )，绘制成如图散点图：根据散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A ，B ．经调查得知，A 考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：4242421114641,3108,350350,i i i i i i i x y x y ======∑∑∑()124213814.5,i i x x =∑-=()12425250,i i y y =∑-=其中x i ，y i 分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，i ＝1，2，…，42，y 与x 的相关系数r ＝0.82．（1）若不剔除A ，B 两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y 与x 的相关系数为r 0．试判断r 0与r 的大小关系，并说明理由；（2）求y 关于x 的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B 考生加了这次物理考试（已知B 考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？（精确到个位）； （3）从概率统计规律看，本次考试该地区的物理成绩ξ服从正态分布()2,N μσ，以剔除后的物理成绩作为样本，用样本平均数y 作为μ的估计值，用样本方差s 2作为σ2的估计值．试求该地区5000名考生中，物理成绩位于区间（62.8，85.2）的人数Z 的数学期望．附：①回归方程y a bx =+中：121()()()niii nii x x yy a y bx b x x ==--==--∑∑，②若()2~,N ξμσ，则()0.6826,(22)0.9544P P μσξμσμσξμσ-<<+≈-<<+≈22．已知函数()ln =-+f x x x a ． （1）讨论函数()f x 零点的个数；（2）若函数()f x 存在两个零点()1212,x x x x <，证明：122ln ln 0x x +<．参考答案1．B化简集合M N 、即得解. 解：由题得{}22,{|2}M x x N x x =-≤≤=<， 所以M N ={}22x x -≤<.故选：B 2．B化简得到21155z i =-，再计算复数模得到答案. 解：(2)34z i i +=-，故()()()()34234211211222555i i i i z i i i i ----====-++-，故z ==. 故选：B . 点评：本题考查了复数的运算和复数模，意在考查学生的计算能力. 3．A设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据其表面积为3π，得到23rl r +=，再由它的侧面展开图是一个半圆，得到r l 2π=π，联立求得半径和高，利用体积公式求解. 解：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线为l ， 因为其表面积为3π， 所以23rl r πππ+=， 即23rl r +=，又因为它的侧面展开图是一个半圆， 所以r l 2π=π， 即2l r =，所以1,2,r l h ====所以此圆锥的体积为21133V r h ππ===. 故选：A 点评：本题主要考查圆锥的表面积和体积的计算以及侧面展开图问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．D 【解析】根据函数()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0,∞+上是减函数， ()00,0f a x a =<<，可得()()0=0f x f a >，故选D.5．D建立直角坐标系，设(,)E x y ，由AE BD ⊥和//BE BD 可列方程求出点E ，再根据数量积坐标运算即可求解. 解：建立如图所示直角坐标系：则(0,1),(0,0),(2,0),(2,1)A B C D ，设(,)E x y所以()(,1),(,),2,1AE x y BE x y BD =-==AE BD ⊥且//BE BD21020x y x y +-=⎧∴⎨-=⎩，解得2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩481(,),,5212(,),55555AE EC E ⎛⎫=-=- ∴⎪⎝⎭，8414+552555AE EC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⨯⎭⎝⎭.故选：D 点评：本题考查了向量平行、垂直以及向量数量积的坐标表示，对于规则图形的向量运算通过建立坐标系进行坐标运算比较简便，属于中档题. 6．C设出双曲线的一条渐近线方程，求出圆的圆心和半径，利用圆的弦长公式以及点到直线的距离公式即可求解． 解：解：设双曲线的一条渐近线方程为：by x a=， 又由已知圆的方程可得圆心为(0M，，半径2r ，设圆心M 到渐近线的距离为d，则||2AB ==，所以d =，即21c a=，所以2e =， 故选：C ． 7．B过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ，设C （a ，0），可得32CD =，11,2AD DE ==，3tan 2CD CAD AD ∠==，1tan 2ED EAD AD ∠==，再利用tan tan()BAC CAD EAD ∠=∠-∠计算即可.解：过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ， 由题可得周期为2，设(,0)C a ，则1(,1)2B a +-，3(,1)2A a +， 所以32CD =，11,2AD DE ==，3tan 2CD CAD AD ∠==，1tan 2ED EAD AD ∠==所以tan tan tan tan()1tan tan CAD EADBAC CAD EAD CAD EAD∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠ 31422317122-==+⨯. 故选：B点评：本题主要考查两角差的正切公式，涉及到正弦型函数图象等知识，考查学生数学运算能力，是一道中档题. 8．C根据题意，计算甲乙两人获得96枚金币的概率，据此分析可得答案． 解：根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为12，假设两人继续进行比赛，甲获取96枚金币的概率111132224P =+⨯=， 乙获取96枚金币的概率2111224P =⨯=， 则甲应该获得396724⨯=枚金币；乙应该获得196244⨯=枚金币； 故选：C ． 点评：本题主要考查概率在实际问题中的应用，涉及到独立事件的概率，考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题. 9．AD根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 解：根据垂直于同一个平面的两条直线相互平行，所以A 正确； 若l αβ=，当//m α，m ∥β时，平面α与β不一定平行，所以B 不正确；由,//m αββ⊥，则m 可能在平面α内，所以C 不正确；由两平面平行，其中一个平面的垂线也一定垂直于另外一个平面，所以D 也是正确的. 故选：AD. 点评：本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，属于基础题. 10．AD利用与对数定义求出a ，b ，c ，再根据对数的运算性质可得log 4log 92log 6M M M +=，然后进行化简变形即可得到. 解：由于a ，b ，c 都是正数，故可设469a b c M ===，∴4log a M =，6log b M =，9log c M =，则1log 4M a =，1log 6M b =，1log 9M c=. log 4log 92log 6M M M +=，∴112a c b +=，即121c b a=-，去分母整理得，2ab bc ac +=.故选AD. 点评：本题考查对数的定义及运算性质，属于基础题. 11．ABDA.由古典概型的概率求解判断；B.根据取到红球次数X ～B 26,3⎛⎫⎪⎝⎭，再利用方差公式求解判断；C ．设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}．由P (B |A )＝()()p A B P A ⋂求解判断；D ．易得每次取到红球的概率P ＝23，然后再利用对立事件求解判断. 解：A.恰有一个白球的概率12243635p C C C==，故A 正确； B.每次任取一球，取到红球次数X ～B 26,3⎛⎫⎪⎝⎭，其方差为22461333⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故B 正确；C ．设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}．则P (A )＝23，P (A ∩B )＝432655⨯=⨯，所以P (B |A )＝()()35p A B P A ⋂=，故C 错误； D ．每次取到红球的概率P ＝23，所以至少有一次取到红球的概率为322611327⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故D正确． 故选：ABD. 12．ABD由函数()f x 的定义域为(0,)+∞，可知选项C 错误，再利用导数求出极小值可判断选项A正确；由1()ln y f x x x x x=-=+-求导，可判断该函数在(0,)+∞上单调递减且1x =时其函数值为0，可判断选项B 正确；对()()1ln g x xf x x x ==+求导，分析单调性，求出最小值可判断选项D 正确. 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，可知C 错误， 对A ，22111()x f x x x x-'=-+=， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 在(0,1)上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增， 所以当1x =时，函数()f x 取得极小值(1)1f =，故A 正确； 对B ，1()ln y f x x x x x=-=+-，其定义域为(0,)+∞， 22222131112410x x x y x x x x ⎛⎫--- ⎪-+-⎝⎭=-+-==<'， 所以函数()y f x x =-在(0,)+∞上单调递减，又1x =时其函数值为0， 所以函数()y f x x =-有且只有1个零点，故B 正确； 对D ，()()1ln g x xf x x x ==+，其定义域为(0,)+∞，()ln 1g x x =+，令()0g x =，得1=x e， 当1(0,)∈x e时，()0g x '<，函数()g x 在1(0,)e上单调递减； 当1(,)∈+∞x e时，()0g x '>，函数()g x 在1(,)e+∞上单调递增， 所以当1=x e 时，函数()g x 取得极小值1()g e，也是最小值，所以1g g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ABD 点评：本题主要考查导数在研究函数中的应用，属于中档题. 13．5将代数式变形为()()()44411111x x x x x x x=⎛⎫-- ⎪⎝⎭---，写出展开式的通项，令x 的指数为3，求得参数的值，代入通项即可得解. 解：()()()44411111x x x x x x x =-⎛⎫--- ⎝⎭-⎪， 展开式通项为()()44111rrr rr r T xC x C x ++==⋅-⋅-⋅，()()411411k k k k k k C x T C x x+-=⋅--⋅-=⋅-令1313r k +=⎧⎨-=⎩，可得24r k =⎧⎨=⎩，因此，展开式中3x 的系数为24445C C -=.故答案为：5. 14．35设4t πα+=,则tan 2t =,可求得21cos 5t =,由2sin 2sin 2sin 2cos 22cos 142t t t t ππα⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-=-=-=-- ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭,进而代入求解. 解： 设4t πα+=,则tan 2t =,所以21cos 5t =, 所以23sin 2sin 2sin 2cos 22cos 1425t t t t ππα⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-=-=-=--= ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭, 故答案为:35点评：本题考查二倍角公式的应用,考查已知三角函数值求值.15．()225000m先用θ表示AB =θ表示出25100sin 2cos 2OACB S θθ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，最后运用两角和差的正余弦公式求最值即可. 解：在OAB 中，AOB θ∠=，100OB =，200OA =，2222cos AB OB OA OB OA AOB ∴=+-⋅⋅∠，即AB =，211sin 22OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∴=+=⋅⋅⋅+⋅△△，25100sin 2cos 2OACB S θθ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭令tan 2ϕ=，则()251002OACB S θϕ⎤=-+⎥⎦∴直接监测覆盖区域”面积的最大值为()225000m .故答案为：()225000m点评：思路点睛：本题利用余弦定理、三角形面积公式、求sin cos a b θθ+的最值. 16．4由题意设M 的坐标，求出直线OM 的方程，与抛物线E 联立求出N 的坐标，设直线AB 的方程，求出O ，N 到直线AB 的距离，求出△ABN 的面积与△ABO 面积之比，再由△ABN 的面积是△ABO 面积的3倍可得p 的值． 解：设2,2b M b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线OM 的方程为2y x b =，即2bx y =，代入y 2＝2px （p ＞0且p ≠1），可得2,2pb y pb x ==，即2,2pb N bp ⎛⎫⎪⎝⎭， 由题意可得显然直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为2()2b x m y b =-+，即22220x my mb b -+-=，显然220mb b -≠，否则AB 过原点，不符合题意，所以O 到直线AB的距离1d =N 到直线AB 的距离2|1|d p ===-因为22111||231||2ABN ABOAB d S d Sd AB d ⋅===⋅所以3|1|p =-220mb b -≠所以|1|3,0p p -=>，解得4p = 故答案为：4．点评：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，涉及到三角形面积、点到直线的距离公式等知识，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.17．（1）2nn a =；（2）证明见解析.（1）依题意得到方程求出公比q 、及首项1a ，即可得解； （2）由（1）知122n n S +=-，利用放缩法可得1112n n S +<12n ≤，再利用等比数列求和公式计算可得； 解：解：（1）由题52543441712S S a a a q a a q -++==++=，解得()21q q =>，又342S a +=，即11728a a +=，∴12a =，∴2nn a =.（2）由（1）知122n n S +=-，∴11111222n n n S ++=>-，又11111222222n n n nn S +==≤-+-， ∴1112n n S +<12n ≤，∴当1n =时，112T =，2311422-=，111122-=， 故11113111422T +-≤≤-成立.当2n ≥时，12n T >+34111113122242n n ++++⋅⋅⋅+=-，2311111122222n n n T ≤+++⋅⋅⋅+=-， 综上所述，13111422n n n T +-≤≤-. 点评：本题考查等比数列通项公式及前n 和的计算，以及放缩法证明不等式，属于中档题. 18．（1）23π；（2）4+．（1sin (2cos )A a B =+转化为关于B 的方程，求出∠B ． （2）因为B 已知，所以求面积的最小值即为求ac 的最小值，结合余弦定理和基本不等式可以求得． 解：（1sin (2cos )A a B =+，()sin sin 2cos B A A B =+．因为(0,)A π∈，所以sin A ＞0cos 2B B -=， 所以2sin()26B π-=，因为(0,)B π∈，所以62B ππ-=，即23B π=．（2=ac ＝4．所以4a c +≥=，当且仅当2a c ==时取等号．又由余弦定理得222222cos 312b a c ac B a c ac ac =+-=++≥=∴b ≥a ＝c ＝2时取等号．所以△ABC 的周长最小值为4+． 点评：本题主要考查解三角形、基本不等式求最值，考查学生逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养，是一道容易题.19．（1）证明见解析；（2.（1）连接BD ，设ACBD O =，连接PO ，通过证明PO BD ⊥可得；（2）以O 为坐标原点，射线,,OB OC OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面DMN 的法向量，利用向量法可求. 解：（1）证明：连接BD ，设ACBD O =，连接PO ，底面ABCD 为正方形，2OA OC OB OD ====∴ PA PC =，PO AC ∴⊥，平面PAC底面ABCD AC =，PO ⊂平面PAC ，PO ∴⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，PO BD ∴⊥，PB PD =∴（2）以O 为坐标原点，射线,,OB OC OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，由（1）可知2OP =，可得(0,0,2),(0,2,0),(2,0,0),(0,2,0),(2,0,0),P A B C D --(0,1,1),(0,1,1),(2,1,1),(0,2,0)M N DM MN -=-=设平面DMN 的法向量(,,)n x y z =， 00DM n MN n ⋅=⋅⋅=200x y z y -+=⎧∴⎨=⎩，今1x =，可得(1,0,2)n =-，(2,0,2)PB =-，cos ,||||22PB n PB n PB n ⋅〈〉===⋅∴直线PB 与平面DMN 点评：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20．（1）22142x y +=；（2）k 1k 2为定值12-．（1）由题意可得关于a ，b ，c 的方程组，求解a ，b ，c 的值，即可得到椭圆的方程； （2）①当过点P 的直线斜率不存在时，直线的方程为x ＝±2，求得1212k k =-，②当过P 的直线斜率存在时，设其方程为y ＝kx +m ，联立直线方程与椭圆方程，由判别式等于0可得m 2＝4k 2+2，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系结合斜率公式可得12k k 为定值12-． 解：（1）由题意，得222222211c ab c a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎩，解得2,a b ==.∴椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）k 1k 2为定值12- 理由如下：①当过点P 的直线斜率不存在时，直线的方程为x ＝±2； 当x ＝2时，(2,A B，则1212k k ⎛⋅==- ⎝⎭， 当2x =-时，((2,A B --，则1212k k ⋅==-. ②当过P 的直线斜率存在时，设其方程为()()1122,,,,y kx m A x y B x y =+，联立22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222124240k x kmx m +++-=由题意()()222(4)412240km km∆=-+-=，得2242m k =+，联立226y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()2221260k x kmx m +++-= 则212122226,11km m x x x x k k-+=-=++ 所以()()1212121212kx m kx m y y k k x x x x ++⋅==()22121212k x x km x x m x x +++=2222222621161m km k km m k k m k -⎛⎫⋅+-+ ⎪++⎝⎭=-+22266m k m -=- 22242614262k k k +-==-+- 综上，12k k 为定值12-． 点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆中的定值问题，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.21．（1）r 0＜r ，理由详见解析；（2）0.5018.64y x =+，81分；（3）3413．（1）结合散点图，可得出结论；（2）利用题中给的相关系数，最小二乘法写出回归直线方程，再令x ＝125，即可算出答案； （3）算出y ，s 2，得到ξ～N （74，125）≈11.2，所以P （63.8＜ξ＜85.2）＝(7411.27411.2)0.6826,P ξ-<<+≈因为~(5000,0.6826)Z B ，即可算出期望． 解：（1）r 0＜r ．理由如下：由图可知，y 与x 成正相关关系，①异常点 A ，B 会降低变量之间的线性相关程度．②44个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小． ③42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大． ④42个数据点更贴近其回归直线l ．⑤44个数据点与其回归直线更离散．（2）由题中数据可得：4242111110.5,7442i i i i x x y y ======∑∑， 所以()()4242114235035042110.5746916i i i ii i x x y y x y x y ==--=-⋅=-⨯⨯=∑∑，又因为()422113814.5i i x x =-=∑，所以()()()1216916ˆ0.50113814.5n i i i ni i x x y y b x x ==--==≈-∑∑， 740.501110.518.64a y bx =-=-⨯≈，所以0.5018.64y x =+，将125x =代入，得0.5012518.6462.518.6481y =⨯+=+≈，所以估计B 同学的物理成绩约为81分.（3）424222111174,()52501254242i i i i y y s y y =====-=⨯=∑∑， 所以ξ～N （74，125）≈11.2所以(62.885.2)(7411.27411.2)0.6826P P ξξ<<=-<<+=，因为~(5000,0.6826)Z B ，所以()50000.68263413E Z =⨯=，即该地区本次考试物理成绩位于区间（62.8，85.2）的数学期望为3413．点评：本题考查回归直线方程与正态分布的综合应用，涉及到正态分布的知识，考查学生的数学运算、数据分析、数学建模的能力，是一道中档题.22．（1）1a <时，函数()f x 无零点.1a =时，函数()f x 有1个零点. 1a >时，函数()f x 有2个零点. （2）证明见解析.（1）求出导数()1x f x x -'=，得出函数的单调区间，根据()11f a =-的符号，函数()f x 零点的个数.（2）由（1）知两个零点()1222,x x x x <，1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，零点间关系是1122ln ln x x a x x a -+=-+，变形为2211ln x x x x -=，引入变量21x t x =，则1t >，1ln 1t x t =-，2ln 1t t x t =-，要证的不等式等价变形为2121x x <，33ln 1(1)t t t <-，即证33ln (1)t t t <-，（1t >），为此引入新函数33()ln (1)g x t t t =--，利用导数研究函数的单调性为减函数，则可证得结论成立，这里需要多次求导变形再求导才可证明．解：(1)有题意得()111x f x x x-'=-= 由()0f x '>得01x <<，()0f x '<得1x >，所以()f x 在()0,1上单调递增，在1+，上单调递减.1x ∴=时，()f x 取得极大值，也是最大值为()11f a =-，所以当10a -<，即1a <时，函数()f x 无零点.当10a -=，即1a =时，函数()f x 有1个零点.当10a ->，即1a >时，()0a a f e a e a --=--+<()2a a f e a e =-，设()2(1)x u x x e x =->，()20x u x e '=-<在(1,)+∞恒成立，()u x 在(1,)+∞单调递减，()(1)20u x u e <=-<，所以()0a f e <，()f x 在(,1)a e -，(1,)a e 各有一个零点，函数()f x 有2个零点.综上所述：1a <时，函数()f x 无零点.1a =时，函数()f x 有1个零点.1a >时，函数()f x 有2个零点.（2）由（1）(1)10f a =->，即1a >时，()f x 有两个零点12,x x ，（12x x <），则1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，由1122ln ln 0x x a x x a -+=-+=，得221211ln ln ln x x x x x x ， 令21x t x =，则1t >，11ln tx x t -=，1ln 1t x t =-， 122ln ln 0x x +<221212ln()001x x x x ⇔<⇔<<，2120x x >显然成立，要证122ln ln 0x x +<，即证2121x x <， 只要证33ln 1(1)t t t <-，即证33ln (1)t t t <-，（1t >）， 令33()ln (1)g x t t t =--，(1)0g =， 322()ln 3ln 3(1)g t t t t '=+--，(1)0g '=，令()()h t g t '=，则2223ln 6ln 3()6(1)[ln 2ln 22)t t h t t t t t t t t t'=+--=+-+，(1)0h '=，令22()ln 2ln 22m t t t t t =+-+， 22ln 22()42(ln 12)t m t t t t t t t t'=+-+=+-+，(1)0m '=， 令2()ln 12n t t t t =+-+，1()41n t t t'=-+，0t >时，()n t '是减函数， 所以1t >时，()(1)20n t n ''<=-<，所以()n t 是减函数，()(1)0n t n <=，即()0m t '<（1t >），所以()m t 是减函数，()(1)0m t m <=，所以()0h t '<，()h t 在1t >时是减函数， ()(1)0h t h <=，即()0g t '<，所以()g t 在(1,)+∞上是减函数，()(1)0g t g <=，所以33ln (1)0t t t --<，即33ln (1)t t t <-，综上，122ln ln 0x x +<成立．点评：本题考查用导数求函数最值，用导数证明有关函数零点的不等式，掌握导数与单调性的关系是解题基础．证明不等式关键在于转化与化归，如转化为研究函数的最值，研究函数的单调性可能需要多次求导才能得出结论．在需要引入新函数时，应对不等式进行变形，使新函数越来越简单．属于难题.。

湖南省2021届高三调研考试数学试卷一、选择题1.若集合{}2|40A x x =-<， {}|lg 0x B x =<，则AB =( )A.()2,1- B ．()22-， C ．()0,1D ．()0,22.已知命题:p x ∀∈R ，20x ≥，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，20x <B ．x ∀∉R ，20x ≥C ．0x ∃∈R ，200x ≥D ．0x ∃∈R ，200x <3.复数1cos isin z x x =-，2sin icos z x x =-，则12z z ⋅=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44.某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5。

现从这45名同学中按测试是否合格分层(分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种)抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有( ) A.1人B.2人C.5人D.6人5.如图，将地球近似看作球体，设地球表面某地正午太阳高度角为,θδ为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），ϕ为该地的纬度值．已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即2326,2326[]δ︒'︒-'∈．北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬395427︒'"，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为（ ）A ．北纬5°5′33″B ．南纬5°5′33″C ．北纬5°54′27″D ．南纬5°54′27″6.若函数()32(1)2f x ax a x x =+--为奇函数，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程为（ ） A ．4y x =+B ．4y x =-C ．2y x =+D ．2y x =-7.已知12F F 、分别是双曲线22221()00a b y x a b-=>>，的上、下焦点，过点2F 的直线与双曲线的上支交于点P ，若过原点O 作直线2PF 的垂线，垂足为M ，OM a =，23PM F M=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．34y x =±B ．43y x =±C ．35y x =±D ．53y x =±8.已知2ln πm =，2ln π1n =-，22ln πp =-，则( )A ．n m p >>B ．p n m >>C ．m n p >>D ．n p m >>9.在ABC △中，2AB =，1AC =，2AB AC AP +=，则下列结论正确的是( ) A ．0PB PC ⋅>B ．0PB PC += C ．1122PB AB AC =-D ．34AP BP ⋅=-二、填空题10.262(1)()x x x+-展开式中含2x 的项的系数为_______________．（用数字填写答案）11.一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同现从 中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是______；若变量X 为取出的三个小球中红球的个数，则X 的数学期望()E X =______．12.如下图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为Rt ABC △的斜边AB 、直角边BC ，AC ，点N 为AC 的中点,点D 在以AC 为直径的半圆上．已知以直角边AC ，BC 为直径的两个半圆的面积之比为3，3sin 5DAB ∠=，则cos DNC ∠=___________.13.已知正方形的棱长为1，以顶点为球心，22为半经作一个球，则球面与正方体的表面相交所得的曲线的长等于__________.三、解答题14.已知ABC △的面积为 （1）b 和c 的值； （2）sin()A B -的值．条件①:6a =,1cos 3C =-；条件②:A C =,7cos 9B =-.15.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足23n n S na n -=(n N *∈)，且25a =． （1）证明：数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式； （2）设n b =，n T 为数列{}n b 的前n项和，求使n T >成立的最小正整数n 的值．16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，14AA =，AB AC ⊥，1BE AB ⊥交1AA 于点,E D 为1CC 的中点.（1）求证：BE ⊥平面1AB C ； （2）求二面角1C AB D --的余弦值.17.红铃虫（Pectinophora gossypiella ）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y （个）和温度x （℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①e bx a y +=，②2y cx d =+分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．根据收集到的数据，计算得到如下值：表中ln i i z y =；8118i i z z ==∑；2i i t x =；8118i i t t ==∑；（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（2）根据（1）中所选择的模型，求出y 关于x 的回归方程（计算过程中四舍五入保留两位小数），并求温度为34℃时，产卵数y 的预报值． 参考数据： 5.41e 224≈， 5.50e 245≈， 5.59e 268≈．附：对于一组数据(1ω，1v )，(2ω，2v )，…，(n ω，n v )，其回归直线ˆˆˆvαβω=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1122ˆni i ii ni vn v n ωβωωω===--∑∑，ˆˆv αβω=-． 18.已知椭圆22:142x y C +=.（1）求椭圆C 的离心率和长轴长；（2）已知直线2y kx =+与椭圆C 有两个不同的交点,A B ，P 为x 轴上一点.是否存在实数k ，使得PAB △是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k 的值及点P 的坐标；若不存在，说明理由.19.已知函数()e sin 1x f x ax x =-+-．（1）若函数()f x 在()0,∞+上为增函数，求实数a 的取值范围； （2）当12a ≤<时，证明：函数()()()2g x x f x =-有且仅有3个零点．参考答案1.答案：C 解析：2.答案：D解析：根据全称命题的否定为特称命题，则p ⌝是“0x ∃∈R ，200x <”.故选：D. 3.答案：A 解析： 4.答案：C解析：由题意，该班级中，两项测试都合格的一共有(3035)(455)25+--=（人）解析： 6.答案：C 解析： 7.答案：A 解析： 8.答案：D 解析： 9.答案：BCD 解析： 10.答案：100- 解析： 11.答案：36,105解析：12. 解析：13. 解析：14.答案：若选择条件①：解：（1）在ABC △中，因为1cos 3C =-，所以π,π,sin 2C C ⎛⎫∈== ⎪⎝⎭.因为1sin 62S ab C a ===，所以2b =.由余弦定理，2222cos 48c a b ab C =+-=，所以c =若选择条件②：在ABC △中，因为A C =，所以a c =.因为7cos 9B =-，所以π,π,sin 29B B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.因为211sin 22S ac B c ===所以a c ==由余弦定理，2222cos 64b a c ac B =+-=，所以8b =. （2） 若选择条件①:由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==，可得62sin sin A B ==.所以sin A B ==因为π,0,2A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos A B所以sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-=. 若选择条件②：在ABC △中，因为A C =，所以a c =.因为7cos 9B =-，所以π,π2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin B ==.因为211sin 22S ac B c ===所以a c ==由余弦定理，2222cos 64b a c ac B =+-=，所以8b =. 由正弦定理得sin sin a bA B=，所以1sin sin 3a A Bb ===.因为π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos A =所以sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-17233927⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭. 解析：15.答案：解：（1）由23n n S na n -=①可得， 当2n ≥时，()()112131n n S n a n ----=-②，①－②得，()()11232n n n a n a n ----=≥（），所以当3n ≥时，()()21233n n n a n a -----=， 所以()()()()1211223n n n n n a n a n a n a ------=---， 整理得1223n n n a a a n --=+≥（），所以{}n a 为等差数列． 又1123S a -=，所以13a =，又25a =，所以212a a -=， 所以()21n a n n N *=+∈． （2）由（1）可得，n b ====12=，所以12n T =12=-．要使n T >，只需12-> 解得638n >，又n *∈N ，所以n 的最小值为8． 解析：16.答案：（1）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1AA ⊥平面ABC ， 所以1AA AC ⊥.因为AC AB ⊥，1AB AA A ⋂=，所以AC ⊥平面11AA B B . 因为BE ⊂平面11AA B B ，所以AC BE ⊥. 因为1BE AB ⊥，1AC AB A ⋂=， 所以BE ⊥平面1AB C .（2）由（1）知1,,AB AC AA 两两垂直， 如图建立空间直角坐标系A xyz -.则()000A ，，,1(2,0,4)B ,(0,2,2)D ,(2,0,0)B .设)(0,0,E a ，所以1(0,2,2),(2,0,4),(2,0,)AD AB BE a ===-， 因为AB BE ⊥，所以440a -=，即1a =. 所以平面1AB C 的一个法向量为(2,0,1)BE =-. 设平面1AB D 的法向量为(,,)n x y z =， 所以100n AD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以220,240.y z x z +=⎧⎨+=⎩即,2.y z x z =-⎧⎨=-⎩ 令1z =-，则2,1x y ==，所以平面1AB D 的一个法向量为(2,1,1)n =-.所以cos ,||||6n BE BE n n BE ⋅<>===由已知，二面角1C AB D --为锐角， 所以二面角1C AB D --. 解析：17.答案：（1）应该选择模型①．由于模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适．（2）令ln z y =，z 与温度x 可以用线性回归方程来拟合，则ˆˆˆza bx =+. ()()()88118811222ˆ48.480.29168i ii i i i i i i i x x z z bx x z nx z nx x x====--===≈---∑∑∑∑，所以ˆˆ 2.890.2925 4.36a z bx =-=-⨯≈-，则z 关于x 的线性回归方程为ˆ0.29 4.36zx =-. 于是有ln 0.29 4.36y x =-，所以产卵数y 关于温度x 的回归方程为0.29 4.36ˆe x y -=当34x =时，0.2934 4.365.50ee 245y ⨯-==≈（个）所以，在气温在34℃时，一个红铃虫的产卵数的预报值为245个． 解析：18.答案：解：（1）由题意：224,2a b ==，所以2a =.因为222a b c =+，所以22,c c ==所以c e a ==.所以椭圆C，长轴长为4.（2）联立222142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 整理得：()2221840k x kc +++=.因为直线与椭圆交于,A B 两点，故Δ0>，解得212k >.设()()1122,,,A x y B x y ，则12122284,2121k x x x x k k -+==++. 设AB 中点()00,G x y ， 则120002242,222121x x k x y kx k k +-===+=++，故2242,2121kG k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭.假设存在k 和点(,0)P m ，使得PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形， 则PG AB ⊥，故1FG As k k ⋅=-，所以22221 1,421k k k m k +⨯=---+解得2221k m k -=+，故22,021k P k -⎛⎫ ⎪+⎝⎭.又因为π2APB ∠=，所以0PA PB ⋅=. 所以()()1122,,0x m y x m y -⋅-=，即()()11120x m x m y y --+=.整理得 ()()2212121(2)40k x x k m x x m ++-+++=. 所以()2222481(2)402121kk k m m k k +⋅--⋅++=++，代入2221km k -=+，整理得41k =，即21k =. 当1k =-时，P 点坐标为2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭；当1k =时，P 点坐标为2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.此时，PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形. 解析：19.答案：（1）因为()cos x f x e a x '=-+，由函数()f x 在()0,∞+上为增函数，则cos x a e x ≤+在()0,x ∈+∞上恒成立. 令()cos x h x e x =+，()0,x ∈+∞，()sin x h x e x '=- 当0x >时，e 1x >，所以()sin 0x h x e x '=->恒成立. 所以()h x 在()0,∞+为增函数．所以()()02h x h >= 所以2a ≤．（2）由()()()()()2sin 12x e ax g x f x x x x -+=---=，则()()2=00=0g g ， 所以2x =，0x =是()()()2g x x f x =-的两个零点．因为12a ≤<，由（1）知，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，()()00f x f >=，无零点． 所以下面证函数()f x 在(),0-∞上有且仅有1个零点．①当(],πx ∈-∞-时，∵12a ≤<，∴πax -≥，∴()πsin 10x f x e x ≥++->．无零点． ②当()π,0x ∈-时，∵sin 0x <，设()()(),sin 0x u x f x u x e x ''==->， ∴()f x '在()π,0-上递增，又∵()020f a '=->，()ππ10f e a -'-=--<， ∴存在唯一零点()0π,0x ∈-，使得()00f x '=． 当()0π,x x ∈-时，()0f x '<，()f x 在()0π,x -上递减； 当()0,0x x ∈时，()0f x '>，()f x 在()0,0x 上递增． 所以，函数()f x 在()π,0-上有且仅有1个零点． 故函数()f x 在(),0-∞上有且仅有1个零点．综上：当12a ≤<时，函数()()()2g x x f x =-有且仅有3个零点．。

长沙市一中2021届高三月考试卷（三）数学时量：120分钟 满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1.已知集合{}2450A x x x =--<，{}1,0,1,2,3,5B =-，则A B ⋂=（ ）A.{}1,0-B.{}1,0,1-C.{}0,1,2D.{}0,1,2,32.设复数z 满足()12z i +=，i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A.1B.-1C.iD.i -3.四名同学各掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据下面四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）（注：一组数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为x ，它的方差为()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦）A.平均数为2，方差为2.4B.中位数为3，众数为2C.平均数为3，中位数为2D.中位数为3，方差为2.84.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数()441x x f x =-的图象大致是（ ）A. B. C. D.5.某公司安排甲、乙、丙、丁4人去上海、北京、深圳出差，每人仅出差一个地方，每个地方都需要安排人出差.若不安排甲去北京，则不同的安排方法共有（ ） A.18种B.20种C.24种D.30种6.如图是由等边AIE △和等边KGC △构成的六角星，图中B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点，两个等边三角形的中心均为O ，若OA OL OC λμ=+，则λμ-的值为（ ）A.23D.17.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，圆2222x y a b +=+与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A ，B ，四边形21AF BF 的周长p 与面积p =离心率为（ ）C.2D.38.已知函数，()f x 满足()()f x f x =-，且当(],0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成立，若()()0.60.622a f =⋅，()()ln2ln2b f =⋅，2211log log 88c f ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.a b c >>B.c b a >>C.a c b >>D.c a b >>二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.） 9.下列说法正确的有（ ）A.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于0B.()()2121E X E X +=+，()()2141D X D X +=+C.设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1112P p ξ-<<=-D.甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点各不相同”，事件B =“甲独自去一个景点”，则()29P A B = 10.已知函数()sin ,sin cos ,cos ,sin cos ,x x x f x x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩则下列说法正确的是（ ）A.()f x 的值域是[]0,1B.()f x 是以π为最小正周期的周期函数C.()f x 在区间3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D.()f x 在[]0,2π上有2个零点 11.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，点P 在线段1BC 上运动，则下列判断中正确的有（ ）A.平面1PB D ⊥平面1ACDB.1A P ∥平面1ACDC.异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是0,3π⎛⎤⎥⎝⎦D.三棱锥1D APC -的体积不变12.将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图：11a 12a 13a …1n a 21a 22a 23a …2n a 31a 32a 33a …3n a…1n a 2n a 3n a …nn a设数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ） A.3m =B.767173a =⨯C.()1313j ij a i -=-⨯D.()()131314n S n n =+- 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在6213x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______.（用数字作答）14.已知{}n a 为等差数列，其公差为2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 前n 项和，则10S 的值为______.15.已知7件产品中有5件合格品，2件次品.为找出这2件次品，每次任取一件检验，检验后不放回，则“恰好第一次检验出正品且第五次检验出最后一件次品”的概率为______. 16.函数()2sin32sin cos f x x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值为______. 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()sin cos a b C C =+. （1）求角B 的大小； （2）若2A π=，D 为ABC △外一点（A 、D 在直线BC 两侧），2DB =，3DC =，求四边形ABDC 面积的最大值.18.已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，其前n 项和为n S ，数列{}n b 前n 项和为n T ，从①1a ，2a ，5a 成等比数列，2n n T b =-，②53253S S -=，1122n n T -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，③数列{}n b 为等比数列，101111021n n n a a =+=∑，11a b =，3458a b =，这三个条件中任选一个作为已知条件并解答下列问题. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n M .19.如图，四边形ABCD 为平行四边形，4DAB π∠=，点E 在AB 上，22AE EB ==，且DE AB ⊥.以DE 为折痕把ADE △折起，使点A 到达点F 的位置，且60FEB ∠=︒.（1）求证：平面BFC ⊥平面BCDE ； （2）求二面角B EF C --的余弦值.20.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点,02p A ⎛⎫-⎪⎝⎭的直线与抛物线在第一象限相切于点B ，点B 到坐标原点O的距离为（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点()8,0M 任作直线l 与抛物线C 相交于P ，Q 两点，请判断x 轴上是否存点T ，使得点M 到直线PT ，QT 的距离都相等.若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.21.甲、乙两人组成“虎队”代表班级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动，每轮活动由甲、乙两人各投篮一次，在一轮活动中，如果两人都投中，则“虎队”得3分；如果只有一个人投中，则“虎队”得1分；如果两人都没投中，则“虎队”得0分.已知甲每轮投中的概率是34，乙每轮投中的概率是23；每轮活动中甲、乙投中与否互不影响.各轮结果亦互不影响.（1）假设“虎队”参加两轮活动，求：“虎队”至少投中3个的概率； （2）①设“虎队”两轮得分之和为X ，求X 的分布列； ②设“虎队”n 轮得分之和为n X ，求n X 的期望值. （参考公式()E X Y EX EY +=+） 22.已知函数()2xf x e ax b =-+（,a b ∈R ，其中e 为自然对数的底数）.若含糊()f x 有两个不同的零点1x ，2x .（1）当a b =时，求实数a 的取值范围； （2）设()f x 的导函数为()f x '，求证：1202x x f +⎛⎫'<⎪⎝⎭.长沙市一中2021届高三月考试卷（三）数学参考答案一、单项选择题1.D 【解析】∵{}15A x x =-<<，{}1,0,1,2,3,5B =-，∴{}0,1,2,3A B ⋂=.故选D. 2.B 【解析】由()1i 2z +=，得()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-，∴复数z 的虚部是-1.故选B. 3.A 【解析】若平均数为2，且出现6点，则方差()22162 3.25s >-=，因为2.4 3.2<，所以选项A 中一定没有出现点数；选项B ，C ，D 中涉及中位数，众数，不能确定是否出现点数6.故选A.4.D 【解析】因为函数()441x x f x =-，()()()444141x x x x f x f x ----==≠±--，所以函数()f x 不是偶函数，也不是奇函数，图象不关于y 轴对称，也不关于原点对称，故排除A 、B 选项；又因为()937f =，()2564255f =，所以()()34f f >，而选项C ，函数()441x x f x =-在()0,x ∈+∞上是递增的，故排除C.故选D.5.C 【解析】若安排一人去北京，共有123223C C A 18=种；若安排两人去北京，共有2223C A 6=种，总共24种，故选C.6.D 【解析】解法1：以点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，设等边三角形的边长为()0,2A，)C，L ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因为OA OL OC λμ=+，所以0,2,μλ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得32λ=，12μ=，于是31122λμ-=-=.解法2：OA OL OC OL OI λμλμ=+=-，因为A ，L ，I 三点共线，所以1λμ-=.故选D. 7.C 【解析】由题知，122AF AF a -=，四边形21AF BF 是平行四边形，122pAF AF +=， 联立解得14p AF a =+，24pAF a =-，又线段12F F 为圆的直径，所以由双曲线的对称性可知四边形21AF BF 为矩形，所以221216p S AF AF a =⋅=-，因为p =232p S =，即2223216p p a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得2232p a =，由2221212AF AF F F +=，得222248p a c +=，即2232a c =，即e =.故选C.8.B 【解析】根据题意，令()()h x xf x =，因为()()f x f x =-对x ∈R 成立，所以()()()()h x xf x xf x h x -=--=-=-，因此函数()h x 为R 上的奇函数.又因为当(],0x ∈-∞时，()()()0h x f x xf x ''=+<，所以函数()h x 在(],0-∞上为减函数，又因为函数()h x 为奇函数，所以函数()h x 在R 上为减函数， 因为0.621log 0ln 2128<<<<，所以()()0.621log ln 228h h h ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，即c b a <<.故选B. 二、多项选择题9.CD 【解析】对于A ，根据相关系数的定义可得A 错误；对于B ，()()2121E X E X +=+，()()214D X D X +=，即B 错误；对于C ，设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，()()11P P p ξξ>=<-=，则()1112P p ξ-<<=-，故C 正确；对于D.甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点各不相同”，事件B =“甲独自去一个景点”，则()()()()()44134A 2C 39P AB n AB P A B P B n B ⨯====，故D 正确，故选CD.10.AD 【解析】()()5sin ,22,44()3cos ,22,44x k x k k f x x k x k k ππππππππ⎧+≤≤+∈⎪⎪=⎨⎪-+≤≤+∈⎪⎩Z Z 作出函数()f x 的大致图象如图所示：由图可知()f x 的值域是[]0,1，故A 正确； 因为()sin 0fππ==，()2cos21f ππ==，所以()()2f f ππ≠，所以π不是()f x 的最小正周期，故B 错误；由图可知()f x 在区间5,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在53,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故C 不正确；由图可知，在[]0,2π上，()302f f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()f x 在[]0,2π上有2个零点，故D 正确；故选AD.11.ABD 【解析】对于A ，易知1DB ⊥平面1ACD ，1DB 在平面1PB D 内，从而平面1PB D ⊥平面1ACD ，A 正确；对于B ，易知平面11BAC ∥平面1ACD ，1A P 在平面11BAC 内，所以1A P ∥平面1ACD ，故B 正确；对于C ，1A P 与1AD 所成角即为1A P 与1BC 的所成角，1111A B BC AC ==，当P 与线段1BC 的两端点重合时，1A P 与1AD 所成角取最小值3π，当P 与线段1BC 的中点重合时，1A P 与1AD 所成角取最大值2π，故1A P 与1AD 所成角的范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 不正确；对于D ，由选项B 得1BC ∥平面1ADC ，故1BC 上任意一点到平面1ADC 的距离均相等，所以以P 为顶点，三角形1ADC 为底面，则三棱锥1P AD C -的体积不变，又11D APC P AD C V V --=，所以三棱锥1D APC -的体积不变，故D 正确.故选ABD.12.ACD 【解析】选项A ：由题意，该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列，且112a =，13611a a =+， 可得2213112a a m m ==，6111525a a d m =+=+，所以22251m m =++， 解得3m =或12m =-（舍去），所以选项A 是正确的； 选项B ：又由()66667612533173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；选项C ：又由()111111j j ij i a a m a i m m --==+-⨯⨯⎡⎤⎣⎦()()112133313j j i i --=+-⨯⨯=-⨯⎡⎤⎣⎦，所以选项C是正确的；选项D ：又由这2n 个数的和为S ，则()()()111212122212n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++()()()11211131313131313n n n n a a a ---=+++---()()()()23111313131224nn n n n n +-=-⋅=+-， 所以选项D 是正确的.故选ACD. 三、填空题13.135 【解析】6213x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()62361661C 3C 3kkk k k k k T x x x --+⎛⎫==⨯⨯ ⎪⎝⎭，由360k -=，得2k =，∴6213x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为226C 3135⨯=.故答案为135. 14.-110 【解析】{}n a 为等差数列，其公差为2，由7a 是3a 与9a 的等比中项，可得2739a a a =，即()()()211112416a a a +=++，解得120a =-，则()101102010921102S =⨯-+⨯⨯⨯=-.故答案为-110.15.17【解析】考查两件次品的位置，共有27C 21=种取法，因为恰好第五次取出最后一件次品，依题意另一件次品只能排2，3，4位，共有13C 3=种取法.故概率为17. 16.9【解析】∵()()2sin32sin cos sin 2sin2cos cos2sin f x x x x x x x x x x =-=+-= ()2312sin sin sin 2sin x x x x =-=-，令sin x t =，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦知[]0,1t ∈， 令32yt t =-，216y t '=-，令0y '=，得6t =， 当0,6t ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭，0y '>，函数y 单调递增，当t⎤∈⎥⎝⎦时，0y '<，函数y 单调递减，所以当t =y 四、解答题17.【解析】（1）在ABC △中，∵()sin cos a b C C =+，∴()sin sin sin cos A B C C =+. ∴()()sin sin sin cos B C B C C π--=+，∴()()sin sin sin cos B C B C C +=+， ∴sin cos cos sin sin sin sin cos B C B C B C B C +=+，∴cos sin sin sin B C B C =， 又∵()0,C π∈，故sin 0C ≠，∴cos sin B B =，即tan 1B =.又∵()0,B π∈，∴4B π=.（2）在BCD △中，2DB =，3DC =，∴22232232cos 1312cos BC D D =+-⨯⨯⨯=-.又2A π=，由（1）可知4B π=，∴ABC △为等腰直角三角形，∴2111133cos 2244ABC S BC BC BC D =⨯⨯⨯==-△，又∵1sin 3sin 2BDC S BD DC D D =⨯⨯⨯=△.∴13133cos 3sin 444ABDC D D D S π⎛⎫-+=+- ⎪⎝=⎭四边形. ∴当34D π=时，四边形ABCD的面积有最大值，最大值为134+18.【解析】（1）选择条件①，设数列{}n a 的公差为d ，由1a ，2a ，5a 成等比数列，即2215a a a =，所以()2114d d +=+，解得0d =（舍）或2d =，所以21n a n =-，因为2n n T b =-，则112n n T b ++=-，所以11122n n n n n b T T b b +++=-=--+，则112n n b b +=， 又1112b T b ==-，解得11b =，所以112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭.选择条件②，设数列{}n a 的公差为d ，所以53115103325353S S a d a d d ++-=-==，所以21n a n =-， 因为1122n n T -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令1n =，可得11b =，当2n ≥时，1112n n n n b T T --⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且1n =时，11b =适合上式，所以112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭.选择条件③，设数列{}n a 的公差为d ，所以111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以10111223101111111111n n n a a d a a a a a a =+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑111111111101021d a a a a ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭， 又11a =，则1121a =，所以2d =，所以21n a n =-，设数列{}n b 的公比为q ，因为35a =，3458a b =，可得418b =， 又111a b ==，可得12q =，所以112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）()112121212n n n n a n n b ---==-⋅⎛⎫⎪⎝⎭，所以()()01221123252232212n n n M n n --=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅，()()12312123252232212n n n M n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅，以上两式相减得，()1211222222212n n n M n --=+⨯+⨯++⋅--⋅()2323n n =--⋅-，()2323n n M n =-⋅+.19.【解析】（1）证明：∵DE AB ⊥，∴DE EB ⊥，DE EF ⊥，∴DE ⊥平面BEF ，∴DE BF ⊥， ∵22AE EB ==，∴2EF =，1EB =，∵60FEB ∠=︒，∴由余弦定理得BF =222EF EB BF =+，∴FB EB ⊥，又DE BE E ⋂=，∴BF ⊥平面BCDE ，∴平面BFC ⊥平面BCDE .（2）以B 为原点，BA 为x 轴，在平面ABCD 中过点B 作AB 的垂线为y 轴，BF 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵4DAB π∠=，DE AB ⊥.∴2DE =，∴()1,0,0E，(F ，()2,2,0C -，()3,2,0CE =-，(EF =-，设平面CEF 的法向量(),,m x y z =，则CE 320,0,m x y EF m x ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=-=⎩取2z =，得()23,3m =，平面BEF 的一个法向量()0,1,0p =，∴3129cos ,m p m p m p⋅==⋅， 由图可知二面角B EF C --的平面角为锐角，∴二面角B EF C --20.【解析】（1）设直线AB 的方程为()02p y k x k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， 联立方程组22,,2y px p y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩消去x 得，2220ky py kp -+=， 由222440p k p ∆=-=，解得1k =（1k =-舍），B 点坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，则OB ==，解得4p =， 故抛物线C 的标准方程为28y x =.（2）设直线:8l x ny =+，假设存在这样的点T ，设()11,P x y ，()22,Q x y ，点(),0T t ，联立方程28,8,y x x ny ⎧=⎨=+⎩消去x 整理得，28640y ny --=，可得128y y n +=，1264y y =-，若点M 到直线PT ，QT 的距离相等，则直线PT ，QT 的斜率互为相反数， 有12121212088PT QT y y y y k k x t x t ny t ny t+=+=+=--+-+-（先假设1x t ≠，2x t ≠）， 可得()()1221880y ny t y ny t +-++-=，整理得，()()1212280ny y t y y +-+=，得8t =-.显然18x ≠-且28x ≠-. 故存在这样的点T 的坐标为()8,0-.21.【解析】（1）设甲、乙在第n 轮投中分别记作事件n A ，n B ，“虎队”至少投中3个记作事件C ，则()()()()()()12121212121212121212P C P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B =++++2222112233232232C 1C 144343343⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-⋅+⋅⋅⋅-+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11126443++=.（2）①“虎队”两轮得分之和X 的可能取值为：0，1，2，3，4，6，则()2232101143144P X ⎛⎫⎛⎫==-⋅-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()2233232210121111443433144P X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⋅-⋅-+-⋅⋅-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()3232323232323232252111111114343434343434343144P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅-⋅⋅-+⋅-⋅-⋅+-⋅⋅⋅-+-⋅⋅-⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()32321232114343144P X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯⋅⋅-⋅-=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ()22332223604211443334144P X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⋅-⋅+⋅-⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()223236643144P X ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故X 的分布列如下图所示：②10,1,3X =，()132********P X ⎛⎫⎛⎫==-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()132325111434312P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-+-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()132634312P X ==⋅=，∴1562313121212EX =⨯+⨯=，12312n EX n EX n =⋅=. 22.【解析】（1）由题意知，()22xf x e a '=-，当0a ≤，()0f x '>，函数()f x 在R 上单调递增，()f x 最多有1个零点，不合题意. 当0a >时，函数()f x 在1,ln22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，函数()f x 在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()min 13ln ln 22222a a a f x f a ⎛⎫==-⎪⎝⎭，当302e a <<时，1ln 022a f ⎛⎫>⎪⎝⎭，函数()f x 没有零点； 当32a e =时，1ln 022a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，函数()f x 有只1个零点； 当32a e >时，1ln 022a f ⎛⎫<⎪⎝⎭，13ln 222a >，又()210f e =>，此时存在111,ln22a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x =， 令()xh x x e =-，()0,x ∈+∞，则()10xx e h '=->，所以()h x 在()0,+∞单调递增，所以()()00h x h >>，所以当()0,x ∈+∞时，xe x >，所以()()2ln 2ln ln ln ln ln ln 0aa a f a ea a a e a a a e a =-+>-=->， 所以存在21ln ,ln 22a x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()20f x =， 故此时函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x .综上可得：当()32,a e ∈+∞时，函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x .（2）证明：由题意得1221220,0,x x e ax b e ax b ⎧-+=⎨-+=⎩两式相减，得212221x x e e a x x -=-，设12x x <，()22e xf x a '=-，则()21211221212212212121222x x x x x x x x x x x x e e e f e x x e e x x x x ++--+-⎛⎫'⎡⎤=-=-+- ⎪⎣⎦--⎝⎭， 令210t x x =->，()2t th t t e e -=-+，∵()()220t t t te e e e h t ---=-+'-<=，∴()h t 在()0,+∞上单调递减，()()00h t h <=即1202x x f +⎛⎫'<⎪⎝⎭.。