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GPS-边值问题的自然边界元数值解法

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得 到 以原 点 为球 心 、 为半 径 的球 域 ５外 （ Ｓ ） Ｒ 用
表示 的关 于扰 动位 丁 的线性 ＧＰ Ｓ边 值 问题．
ｆ Ａ 一 ０ Ｔ
ｌ ＾ １ １
扰 动重 力较 之 重力异 常具 有更 加 明确 的物 理 意义 ， 而且 以扰 动重 力作 为边 界条件 求解 扰动 位 ， 或 向上延 拓求 解外 部重 力场结 构 也较之 以重力 异 常作 为边 值 条 件 的求 解 模式 更 加 方便 ． 于 ＧＰ 由 Ｓ 前 的物理 大 地 测 量 是 以大 地 高 为求 解对 象 ， 得 使
唐 元 义 ： Ｓ 边 值 问题 的 自然 边 界 元 数 值 解 法 ＧＰ 一
・２ ７ ・ ６
短 半 轴． 文献 ［ —］ 球 近 似 或椭 球 近 似 下 ， 出 １３ 在 给
了积 分解 ． 中拟对 于 此 问题 进 行数值 求解 ． 文
由 自然 边 界 归 化 理 论 ： 线 性 型 的 对 称 性 、 Ｊ双
ＧＰ Ｓ边 值 问题及 其一 般解 算方 法．
ＧＰ 一 力 边 值 问 题本 质 上 是非 线 性 边 值 问 Ｓ重 题． 锦海 和 朱 灼文 也 证 明 了非 线 性边 值 问题 是 于 适定 的 ， 同时 给 出了理 论上 收敛 的迭代 解法． 而 然 从 目前 数 学 的发 展 看 ， 接求 解 具 有非 线性 特 点 直 的 问题 是不 可 能的 ， 此具 体 求解 问题 时需 ， 由 Ｌ ｘＭｉ ｒｍ 定 理 ， 则 ａ— ｌ ａ ｇ
１ ＧＰ 一 值 问题 自然边 界元 解 法 Ｓ边
Ｖ ｏ ．３ Ｎ ｏ １ １ ．２ Ａｐｒ ２０ ． ０７
Ｇ Ｓ 边 值 问题 的 自然 边 界元 数 值 解 法 ＊ Ｐ一
唐 元 义
（ 湖北 大学 数 学 与计 算 机 科 学 学 院 （ 国科 学 院 测量 与地 球 物 理 研 究 所 中
（ 国科 学 院研 究 生 院 中
武汉 武汉
在５
ｌ 一 在Ｓ Ｊ 一ｂ 征 上 一ｂ ＇ ｇ
ｌ 。 一 丁 ｃ ，。 一， ｏ ．
这是关 于扰动 位丁 的Ｌ ｐａｅ方程 Ｎｅ ｍａ ｎ外 问 ａｌ ｃ ｕ ｎ
题．
大地水 准 面或地 面 上 的正常重 力无 法直 接计算 得
到 ， 此 也 就 无 法 得 到扰 动 重 力． 这 一 意 义 上 因 从 ＧＰ Ｓ前 应 用 重 力 异 常 作 为 边 界 条 件 ， 管 很 巧 尽
是 Ｓ ｍｏ ａｉ ｏ ｇｌ ａ正 常 重 力 位 ， Ｔ＝Ｗ —Ｕ 是 扰 动
ＧＰ 一 值 问 题 是 指 以地 球 自然 表 面 为 已 知 Ｓ边
边界， 以其 上的扰 动重 力 为边 界条件 ， 确定 （ ） 似 大 地 水 准 面及 外 部 重 力 场． 斐 、 锦 海Ｉｚ 李 于 ｔ］ －讨论 了
性 化处 理 ．
位， 由此将 求解 归 结 为求解 一个微 小量 丁． 去 略 Ｏ（ 以上 的高 阶量 ， 丁） 若将 界面 近 似 地 用地 球 平 均球 面 ５替 代 ， 由于在 匀 质或 成 层分 布 的球 近似 下（ 物理大 地测量 在许 多情 况下取 此近 似） 动重 扰 力ｂ ＇ ｇ即为扰 动位 的法 向导数 ： 一一 ｂ 则可 ＇ ｇ，
唐 元 义 ： ， ２岁 ， 教授 ， 男 ４ 副 主要 研 究 领 域 为 微 分 方程 数 值 解 和 地 球 重力 场 边 值 问 题 湖 北 省 科 技 攻 关 项 目资 助 （ 准 号 ： ０６ ｇ ０ ６ 批 ２ ０ １０ ３ ）
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第２ 期
中图法分类号 ：２８４ Ｐ ２ ．
０ 引
言
计算地 面点 或 向下 延拓 至大地 水准 面上 的正 常重
力， 这就 使得扰 动重 力 的获取 问题得 到解决 ． 根据 位理 论 ， 定 地球外 部 重力 位 的基本 确 方法归结 为求 解Ｌ ｐａｅ方程 的重力 边值 问题 ． ａｌ ｃ 设
４０６） ３ ０ ３ ４０７） ３ ０ ７
北 京 １ ０ ３ ） ０ ０ ９
摘 要 ： ＧＰ － 值 问题 进 行 了讨 论 ． 球近 似下 将 ＧＰ 一 值 问 题 转 化 为 Ｎｅｍａ ｎ外 问 题 ， 自然 对 Ｓ边 在 Ｓ边 ｕ ｎ 用 边 界 元 法 进 行 自然 边 界 归 化 ， 到 自然 边 界 积 分 方 程 ， 求 自然 边 界 积 分 方 程 的数 值解 ． 其 他 边 得 再 与 界 元方 法 相 比 ， 自然 边 界 元 法 的计 算 量 大 大 减 小 ， 且 具 有 很好 的 逼 近 性 质 ， 有 效 地处 理 奇 异 积 并 能 分 ， 求解 Ｇ Ｓ边值问题有效方法． 是 Ｐ一 关 键词 ：Ｐ 一 值 ； Ｇ Ｓ边 自然 边 界 归 化 ； 值 解 数
在 球 近 似 下 ， 度 为 Ｏ（ ） 式 中 ：ｅ 精 ． 一
妙 ， 是 不 得 已而 为之 ． ＧＰ 却 而 Ｓ技 术 最 显 著 的 优 势恰 恰 在 于 能 够直 接 获 得 大地 高 ， 此 即可 直 接 据
收 稿 日期 ：０ ６１－ ９ ２ ０— ００
是 参考 椭 球面 的第二 离 心率 ， 值 约 为 ６ 其 ×１ ＿． 中： ， 分 别 为参考 椭 球 面 的长 半 轴 和 ０ 。其 ｎｂ
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第 ３ １卷 第 ２期
２０ ０ ７年 ４月
武 汉理工大学学 （ 鍪 ） 报骛 差
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＷ ｕ ａ ｉｅ ｓｔ ｆＴｅ ｈ ｏｏ ｙ ｏ ｒ ａ ｈ ｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｏ ｃ ｎ ｌｇ ｏ ｙ
（ ａ ｓｏｔｔ ｎＳ ｉ ｃ Ｔｒｎ ｐ ｒ ｉ ｃ ｎ ｅ＆ Ｅ ｇｎ ｅｉｇ ａｏ ｅ ｎ ｉｅ ｒ ） ｎ

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GPS基线向量解算及平差处理技巧

GPS基线向量解算及平差处理技巧

GPS基线向量解算及平差处理技巧基线向量解算及平差软件特点与问题一、基本方法：1、基线清理数据量大的时候，基线解算比较耗时。

GPS观测接收机数量较多时，会因为自然同步产生许多长基线，即许多相距较远的点连接而成的基线。

这些长基线往往同步观测时间不长，属于不必要的基线，对于控制网质量也无多大益处，所以为了节省计算时间，应在基线解算前将其清理删除。

删除时可在图上选择，也可以在基线表中根据距离选择删除。

2、处理超限闭合环基线解算完成后，首先要检查环闭合差（同步或异步环），对于闭合差大的环，应该进行处理。

一般按相对精度≤1／20000估算，相对闭合差应小于50ppm。

所以大于50 ppm的环应进行处理。

闭合环超限处理是一项繁琐、耗时的工作，也是GPS控制网数据处理的主要内容，主要的技巧和方法可以归纳为：（1）、超限基线处理过程中一些基线要重新解算，解算后会影响到相关环闭合差，所以处理需要反复进行。

作为一般的原则，首先处理相对闭合差较大的环，然后处理环闭合差较小的环。

（2）、整理归纳超限闭合环，分析是否涉及到一条共同基线，例如几组超限闭合环（J012，J015，J016）、（J013，J015，J102）、…,（J012，J020，J015）就涉及到共同基线J012→J015，这条基线有问题的可能性就较大。

（3）、处理时首先分析可能有问题的基线是否必要，如果是连接两个不相邻的点，并且涉及到环甚多，则可以直接将其删除。

井研算例网形复杂回路众多，一般可直接删除不合格基线。

（4）、如果一个闭合差超限的环，相关基线均不能简单删除（删除后影响图形结构，减少了重要环路），应该改变基线解算参数，重新计算相关基线。

方法是在网图上选中重解基线，重新设置高度角，历元间隔、参考星等设置，点击“基线解算”→“解算选择基线”。

（5）、基线解算的精度指标rms和ratio是基线解算质量的参考指标，前者是中误差，后者是方差比(,rms越小，表明基线解算质量越高，ratio越大，表明整周未知数解算越可靠，所以重解基线，要关注这两项指标，但是这两项指标只作参考，最重要的指标还是闭合差。

Neumann边值问题的小波边界元法

Neumann边值问题的小波边界元法


题， 总刚度矩阵对称正定， 利于数值求解， 然而存在着奇异积分的困难 ． 通常的小波基用于边界元 法不是很理想， 本文采用拟小波基， 这种小波基在时域 中光 滑性 高且快速衰减， 它是一种拟再生 核 函数 ， 一性 质 可以使 奇异积 分的计 算和数值 实现 简便 ． 这 这种 小波边界 元 法不仅 能保持 自然边 界元法的降维及计算便捷稳定的优点 ， 而且还具有 良好的逼近精度 ．
令 一ｒ： ∈ 告１ ｌｓ 吾 ） ｆ 一Ｉｌ ／ ０ 专 ＝ （ ｛ 专 ）ｆ￣ ＝｛ （ ｌ ｄ： ｝ ｄ ０ ＇
・
则 ｚ ‘ 日一 Ｉ） ∈ 专（１．
对于上半平面区域 ｎ， 其边界 Ｉ 为整个 轴 ， １ 边 界 ｒ外 法线方 向为 Ｙ 的负方 向 ． 轴 很容 易知 道调 和方程 关于上 半平 面 区域的 Ｇｅｎ函数 为 ： ｒｅ
考察 具 有光 滑边界 Ｉ的上半 平面 区域 ｎ， 和 １ 调 方程 的 Ｎ ｕ ｎ ｅｍａｎ问题 ： ｆｚ △ｌ：０ １ ＂ ２内
其 中 ＊表示卷积 ， 积分核为强奇异积分核 ， 在广义 函数意义下理解为 Ｈ ｄｍ ｒ有限部分积分 ． ａａ ａ ｄ 定义 双线 型 ：
Ｄｔｏ 一 （， ＝－ ｔＶ ０ ｏ） ．
定义线性泛 函：
Ｊ
ｄ， （ ， ６ ｄ ）
（ ７ ）
１ ： Ｉ 【 Ⅱ 』 １ 。 上
其中 Ｏ ｕ １ ａ 是边界Ｉ上的外法向导数 ｎ
，
（） １
（ （） ＝Ｉ （） ｘｄ ｔ ） ｕ（） ７ 。 ｘ
于是问题（） １ 就等价于下面的变分问题 ：
关键 词 ： 边界 归化 ； 刚度 矩 阵 、 波基 ； 小波 、 拟 波插值
中图分类 号 ： Ｏ ７ ．５ １５ ２ 文 献标识 码 ： Ａ
有限元 边值问题

有限元 边值问题

有限元边值问题有限元方法是一种数值计算方法，用于求解边值问题。

边值问题是指在给定区域内，求解一个偏微分方程，同时给出该方程在边界上的一些条件。

有限元方法将区域分割成许多小的单元，然后在每个单元内近似求解方程，最终得到整个区域内的解。

有限元方法的基本思想是将连续的问题离散化，将其转化为一个有限维的问题。

具体来说，有限元方法将区域分割成许多小的单元，每个单元内的解用一个简单的函数来近似表示。

这些函数称为有限元函数，它们通常是分段多项式函数。

然后，有限元方法将偏微分方程转化为一个线性方程组，其中未知数是每个单元内的有限元函数的系数。

这个线性方程组可以通过数值方法求解，得到整个区域内的解。

有限元方法的优点在于它可以处理各种复杂的边界条件和几何形状。

例如，有限元方法可以处理非常复杂的几何形状，如曲线和曲面。

此外，有限元方法还可以处理各种不同类型的边界条件，如Dirichlet边界条件、Neumann边界条件和Robin边界条件等。

有限元方法的应用非常广泛，包括结构力学、流体力学、电磁学、热传导等领域。

在结构力学中，有限元方法可以用于分析各种结构的应力和变形，如桥梁、建筑物、飞机等。

在流体力学中，有限元方法可以用于分析各种流体的流动，如空气、水、油等。

在电磁学中，有限元方法可以用于分析各种电磁场的分布，如电磁波、电磁感应等。

在热传导中，有限元方法可以用于分析各种物体的温度分布，如发动机、电子设备等。

总之，有限元方法是一种非常强大的数值计算方法，可以用于求解各种边值问题。

它的优点在于它可以处理各种复杂的边界条件和几何形状，应用范围非常广泛。

边界元

边界元


0
xp
1
d 2u s EA 2 x, x p 0 dx
（1-9）
xp 为源点，x 为场点。 位移解为： a
a xp a x 2 EAa s u x, x p a xp a x 2 EAa x x p ,a


（1-10）
Q Q
（1-2）
1-21
1.2 边界积分方程方法简例
2.预备知识: 基本解
基本解在边界元方法中起着重要的作用. 在数学上, 把满足微分方程:
L u* P, Q P, Q 0
u * P, Q 定义为方程
L u* P, Q 0


（1-3）


（1-4）
的基本解. 其中L为线性微分算子, P和Q为域内的任一两点. 基本解可以这样 理解为: 在P点存在单位强度“源”时， 对域内任一点Q产生的影响。
1-3
1.1 边界元方法的发展及其特点
1976年, Lachat JC 和 Waston JO 提出了有效的3D弹性力学的边界元数值方
法(Int. J. Numer. Meth. Engng 1976; 10:991-1005).
一些专集也相继出现, 促进了边界元方法的发展. 比较有名的有: • Cruse A. 和 Rizzo FJ. (1975) 出版了边界元专集. • Banerjee PK (1979-1986) 出版了边界元专集I-IV. • 目前, 有许多国际期刊刊登边界元方面的文章, 如:
u 0 Tu s x,0

aa l a2 1 1 T l T 0 u l u 0 2 EAa 2 EAa 2 2 a l a 1 1 T l T 0 u l u 0 2 EA 2 EA 2 2