边值问题的数值解法

数值分析的所有知识点总结一、数值分析的基本概念1.1 数值分析的定义和作用数值分析是研究利用计算机对数学问题进行数值计算的一门学科。

它旨在发展和分析数值计算方法，以解决实际问题中出现的数学模型。

数值分析的主要作用在于加快科学研究和工程设计的速度，提高计算精度和可靠性，以及发现新的科学规律和工程技术。

1.2 数值计算的基本步骤数值计算通常包括以下基本步骤：建立数学模型、选择适当的数值方法、编写计算程序、进行计算和分析结果。

其中，建立数学模型是数值计算的基础，它将实际问题抽象为数学公式或方程组的形式；选择适当的数值方法是指根据具体问题的特点，选择合适的数值计算方法进行求解；编写计算程序是指将选择的数值方法用计算机程序的形式实现；进行计算和分析结果是指利用计算机进行数值计算，并分析计算结果的准确性和可靠性。

1.3 数值分析的应用范围数值分析广泛应用于科学、工程、经济、金融等领域。

在科学研究中，数值分析常用于数学建模、实验数据处理、科学计算等方面；在工程领域，数值分析常用于工程设计、结构分析、流体力学、传热传质等方面；在经济金融领域，数值分析常用于风险评估、金融工程、市场预测等方面。

二、数值计算方法2.1 插值法插值法是利用已知的离散数据（如实验数据、观测数据）推导出未知的数据值的一种数值计算方法。

常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值等。

2.2 数值微分与数值积分数值微分是指利用离散数据计算函数的导数值的数值计算方法。

常用的数值微分方法包括差商法、中心差商法等。

数值积分是指利用离散数据计算函数的积分值的数值计算方法。

常用的数值积分方法包括复合梯形法、复合辛普森法等。

2.3 数值线性代数数值线性代数是研究线性代数问题的数值计算方法。

它涉及到线性方程组的求解、线性方程组的特征值和特征向量的计算、矩阵的LU分解、矩阵的QR分解等内容。

2.4 非线性方程求解非线性方程求解是研究非线性方程的数值计算方法。

monge—ampére方程边值问题的多解由于其复杂性以及和数学物理学家们最喜爱的特性，蒙芝-安佩尔方程边值问题已经被广泛研究，并且发现了真正的多解性解决方案。

这篇文章旨在讨论这样的多解性解法，以及如何有效地求解它们。

蒙芝-安佩尔方程主要是一类非线性双曲型偏微分方程，它描述的是一类带有奇异终端约束的力学系统。

它的主要优点在于其定义可以被精确表达，并且它可以表示未知的物理过程及其非线性相互作用，这些相互作用求解困难但又非常重要。

蒙芝-安佩尔方程可以在物理上得到准确的描述，因此其应用广泛，常见的例子包括金属扩散以及流体动力学等研究领域。

蒙芝-安佩尔方程边值问题涉及求解边界条件作用下的方程组，这些边界条件有可能被定义在空间的不同范围，因此可能存在多个解决方案。

例如，针对某个定义在某一空间内的力学系统，可能会存在一系列可行的最优状态或动态的解，它们可能具有不同的性质和功能，也可能存在不可表达的解。

解决蒙芝-安佩尔方程边值问题的不同方法有不同的优缺点，这与数学模型中使用的算法有关。

其中，最常用的方法包括隐式迭代法、显式迭代法、贝尔斯坦（Bellman）迭代法、局部逼近法（Local Approximation）和径向基函数（Radial Basis Function）等。

其中，隐式迭代法可以有效地解决多项式外推、全局最优解和突变模型等求解困难的问题；而显式迭代法可以有效解决分支定界问题和数值最优化问题；贝尔斯坦（Bellman）迭代法可以有效解决求解动态蒙芝安佩尔方程，同时可以有效解决边界条件问题；局部逼近法和径向基函数法，可以有效解决近似问题，它们可以在低消耗的情况下求解边界问题。

虽然传统的求解方法能够有效的解决蒙芝-安佩尔方程边值问题，但是在一定的情况下，它们也可能出现分支定界问题，从而影响上述求解方法的效率。

此外，蒙芝-安佩尔方程边值问题可能存在不可表达的多解，这一点对实际应用具有重要的意义。

第8章常微分方程边值问题的数值解法8.1 引言第7章介绍了求解常微分方程初值问题的常用的数值方法；本章将介绍常微分方程的边值问题的数值方法。

只含边界条件(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为例介绍常用的数值方法。

一般的二阶常微分方程边值问题(boundary-value problems for second-order ordinary differential equations)为, (8.1.1)其边界条件为下列三种情况之一：(1) 第一类边界条件 (the first-type boundary conditions)：(2) 第二类边界条件 (the second-type boundary conditions)：(3) 第三类边界条件 (the third-type boundary conditions)：定理8.1.1 设(8.1.1)中的函数及其偏导数在上连续. 若(1) 对所有，有；(2) 存在常数，对所有，有,则边值问题(8.1.1)有唯一解。

推论若线性边值问题(8.1.2)满足(1)和上连续；(2) 在上,,则边值问题(8.1.1)有唯一解。

求边值问题的近似解，有三类基本方法：(1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解；(2) 有限元法(finite element method)；(3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。

8.2 差分法8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法设二阶线性常微分方程的边值问题为其中在上连续，且用差分法解微分方程边值问题的过程是：(i) 把求解区间分成若干个等距或不等距的小区间，称之为单元；(ii) 构造逼近微分方程边值问题的差分格式. 构造差分格式的方法有差分法, 积分插值法及变分插值法；本节采用差分法构造差分格式；(iii) 讨论差分解存在的唯一性、收敛性及稳定性；最后求解差分方程.现在来建立相应于二阶线性常微分方程的边值问题(8.2.1), (8.2.2)的差分方程.( i ) 把区间等分，即得到区间的一个网格剖分：,其中分点，并称之为网格节点(grid nodes)；步长.( ii ) 将二阶常微分方程(8.2.2)在节点处离散化：在内部节点处用数值微分公式(8.2.3)代替方程(8.2.2)中，得, (8.2.4)其中.当充分小时，略去式(8.2.4)中的，便得到方程(8.2.1)的近似方程, (8.2.5)其中,分别是的近似值, 称式(8.2.5)为差分方程(difference equation)，而称为差分方程(8.2.5)逼近方程(8.2.2)的截断误差(truncation error). 边界条件(8.7.2)写成(8.2.6)于是方程(8.2.5), (8.2.6)合在一起就是关于个未知量，以及个方程式的线性方程组：(8.2.7)这个方程组就称为逼近边值问题(8.2.1), (8.2.2)的差分方程组(system of difference equations)或差分格式(difference scheme)，写成矩阵形式. (8.2.8)用第2章介绍的解三对角方程组的追赶法求解差分方程组(8.2.7)或(8.2.8), 其解称为边值问题(8.2.1), (8.2.2)的差分解(difference solution). 由于(8.2.5)是用二阶中心差商代替方程(8.2.1)中的二阶微商得到的，所以也称式(8.2.7)为中心差分格式(centered-difference scheme).( iii ) 讨论差分方程组(8.2.7)或(8.2.8)的解是否收敛到边值问题(8.2.1), (8.2.2)的解，估计误差.对于差分方程组(8.2.7)，我们自然关心它是否有唯一解；此外，当网格无限加密，或当时，差分解是否收敛到微分方程的解. 为此介绍下列极值原理：定理8.2.1 (极值原理) 设是给定的一组不全相等的数，设. (8.2.9)(1) 若, 则中非负的最大值只能是或；(2) 若, 则中非正的最小值只能是或.证只证(1)的情形，而(2)的情形可类似证明.用反证法. 记，假设, 且在中达到. 因为不全相等，所以总可以找到某个，使，而和中至少有一个是小于的. 此时因为，所以, 这与假设矛盾，故只能是或. 证毕！推论差分方程组(8.2.7)或(8.2.8)的解存在且唯一.证明只要证明齐次方程组(8.2.10)只有零解就可以了. 由定理8.7.1知，上述齐次方程组的解的非负的最大值和非正的最小值只能是或. 而，于是证毕！利用定理8.2.1还可以证明差分解的收敛性及误差估计. 这里只给出结果：定理8.2.2 设是差分方程组(8.2.7)的解，而是边值问题(8.2.1), (8.2.2)的解在上的值，其中. 则有(8.2.11)其中.显然当时，. 这表明当时，差分方程组(8.2.7)或(8.2.8)的解收敛到原边值问题(8.7.1), (8.7.2)的解.例8.2.1 取步长，用差分法解边值问题并将结果与精确解进行比较.解因为，, 由式(8.2.7)得差分格式,, 其结果列于表8.2.1.表8.2.1准确值0 1 0 01 0.1 －0. 0332923 －0.03336562 0.2 －0. 0649163 －0.06506043 0.3 －0. 0931369 －0.09334614 0.4 －0. 1160831 －0.11634825 0.5 －0. 1316725 －0.13197966 0.6 －0. 1375288 －0.13785787 0.7 －0. 1308863 －0.13120878 0.8 －0. 1084793 －0.10875539 0.9 －0. 0664114 －0.066586510 1.0 0 0从表8.2.1可以看出, 差分方法的计算结果的精度还是比较高的. 若要得到更精确的数值解，可用缩小步长的方法来实现.8.2.2 一般二阶线性常微分方程边值问题的差分法对一般的二阶微分方程边值问题(8.2.12)假定其解存在唯一.为求解的近似值，类似于前面的做法，( i ) 把区间等分，即得到区间的一个网格剖分：,其中分点，步长.( ii ) 对式(8.2.12)中的二阶导数仍用数值微分公式代替，而对一阶导数，为了保证略去的逼近误差为，则用3点数值微分公式；另外为了保证内插，在2个端点所用的3点数值微分公式与内网格点所用的公式不同，即(8.2.13)略去误差，并用的近似值代替，，便得到差分方程组(8.2.14)其中,是的近似值. 整理得(8.2.15)解差分方程组(8.2.15)，便得边值问题(8.2.12)的差分解.特别地, 若，则式(8.2.12)中的边界条件是第一类边值条件：此时方程组(7.7.16)为(8.2.16)方程组(8.2.16)是三对角方程组，用第2章介绍的解三对角方程组的追赶法求解差分方程组(8.2.16)，便得边值问题(8.2.12)的差分解.( iii ) 讨论差分方程组(8.2.16)的解是否收敛到微分方程的解，估计误差. 这里就不再详细介绍.例8.2.2 取步长，用差分法求下列边值问题的近似解，并将结果与精确解进行比较.精确解是.解因为，, 由式(8.2.17)得差分格式,, 其结果列于表8.2.2.表8.2.2准确值0 0 -0.3 -0.31 /16 -0.3137967 -0.31374462-0.3154982 -0.3154322 2/163-0.3050494 -0.3049979 3/1644-0.2828621 -0.2828427/1655-0.2497999 -0.2498180/1666-0.2071465 -0.2071930/167-0.1565577 -0.15660567/168 /2 -0.1000000 -0.10000008.3 有限元法有限元法(finite element method)是求解微分方程定解问题的有效方法之一，它特别适用在几何、物理上比较复杂的问题. 有限元法首先成功地应用于结构力学和固体力学，以后又应用于流体力学、物理学和其他工程科学. 为简明起见，本节以线性两点边值问题为例介绍有限元法.考虑线性两点边值问题其中,.此微分方程描述了长度为的可变交叉截面(表示为)的横梁在应力和下的偏差.8.3.1 等价性定理记, 引进积分. (8.3.3)任取，就有一个积分值与之对应，因此是一个泛函(functional)，即函数的函数. 因为这里是的二次函数，因此称为二次泛函.对泛函(8.3.3)有如下变分问题(variation problem)：求函数，使得对任意, 均有, (8.3.4) 即在处达到极小, 并称为变分问题(8.3.4)的解.可以证明：定理8.3.1(等价性定理)是边值问题(8.3.1), (8.3.2)的解的充分必要条件是使泛函在上达到极小，即是变分问题(8.3.4)在上的解.证 (充分性) 设是变分问题的解；即使泛函在上达到极小，证明必是边值问题(8.3.1), (8.3.2)的解.设是任意一个满足的函数，则函数，其中为参数. 因为使得达到极小，所以，即积分作为的函数，在处取极小值，故. (8.3.5)计算上式，得利用分部积分法计算积分代入式(8.3.6)，得因为是任意函数，所以必有. (8.3.8) 否则，若在上某点处有，不妨设，则由函数的连续性知，在包含的某一区间上有.作显然，且，但，这与式(8.3.7)矛盾. 于是式(8.3.8)成立，即变分问题(8.3.4)的解满足微分方程(8.3.1), 且故它是边值问题(8.3.1), (8.3.2)的解.。

第十一章 常微分方程边值问题的数值解法工程技术与科学实验中提出的大量问题是常微分方程边值问题．本章将研究常微分方程边值问题的数值求解方法.主要介绍三种边界条件下的定解问题和两大类求解边值问题的数值方法,打靶法算法和有限差分方法.11.1 引言在很多实际问题中都会遇到求解常微分方程边值问题. 考虑如下形式的二阶常微分方程),,(y y x f y '='', b x a <<, (11.1.1)在如下三种边界条件下的定解问题: 第一种边界条件:α=)(a y , β=)(b y (11.1.2)第二种边界条件:α=')(a y , β=')(b y (11.1.2)第三种边界条件:⎩⎨⎧=-'=-'1010)()()()(b b y b y a a y a y βα, (11.1.13) 其中0 0, ,00000>+≥≥b a b a .常微分方程边值问题有很多不同解法, 本书仅介绍打靶方法和有限差分方法.11.2 打靶法对于二阶非线性边值问题()()().,,βα==≤≤'=''b y a y b x a y y x f y ，，， (11.2.1)打靶法近似于使用初值求解的情况． 我们需要利用一个如下形式问题初值解的序列：()()v a w a w b x a w w x f w ='=≤≤'='')(,,，，，α， （11.2.2）引进参数v 以近似原边界值问题的解．选择参数k v v =，以使：()()β==∞→b y v b w k k ,lim ， （11.2.3）其中),(k v x w 定义为初值问题（11.2.2）在k v v =时的解，同时()x y 定义为边值问题（11.2.1）的解．首先定义参数0v ，沿着如下初值问题解的曲线，可以求出点),(αa 对应的初始正视图()()v a w a w b x a w w x f w ='=≤≤'='')(,,，，，α． （11.2.4）如果),(0v b w 不严格收敛于β，那么我们选择1v 等值以修正近似值，直到),(0v b w 严格逼近β．为了取得合适的参数k v ，现在假定边值问题（11.2.1）有唯一解，如果),(v x w 定义为初始问题（11.2.2）的解，那么v 可由下式确定：0),(=-βv b w ． （11.2.5）由于这是一个非线性方程，我们可以利用Newton 法求解．首先选择初始值0v ，然后由下式生成序列),)(()),((111-----=k k k k v b dvdw v b w v v β，此处),(),)((11--=k k v b dv dwv b dv dw ， （11.2.6）同时要求求得),)((1-k v b dvdw，因为),(v b w 的表达式未知，所以求解这个有一点难度；我们只能得到这么一系列的值。

刚性方程组先考虑两个简单的初值问题。

问题1．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32)0()0(,)sin (cos 2sin 22112''v u x x x v u v u （8.1）问题2．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32)0()0(,)sin (cos 999sin 299999812''v u x x x v u v u (8.2)这两个问题有同样的解析解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x x x v x u cos sin 11)exp(2)()( (8.3)采用4阶显式R-K 方法来计算上面两个问题，以相同的误差要求来自动选取步长，计算从0=x 到10=x 。

第一个问题可用相当大的步长，而第二个问题能使用的步长小到难于接受。

如果改用某种低阶隐式格式，那么这两个问题均可用较大步长，计算出大致符合要求的解来。

上述显示出来的现象称为刚性；问题2是刚性的，问题1是非刚性的。

由于这两个问题的解是相同的，因此这种现象不是问题解的作用而是方程组的一种特性所引起的。

基于这个事实，较为正确的应称刚性方程组而不是刚性问题。

这个想法也给我们一种启示，可不考虑满足初值条件的特解而着重讨论方程组的通解。

对于问题1，方程组的系数矩阵的特征值为-1和-3，其通解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x x v x u cos sin 11)3exp(11)exp()()(21αα (8.4)其中21,αα为任意常数。

对于问题2，方程组的系数矩阵的特征值为-1和-1000，其通解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x x v x u cos sin 9981)1000exp(11)exp()()(21ββ (8.5)其中21,ββ为任意常数。

什么是数值计算？(计算机科学技术百科全书清华大学出版社1998)数值计算(numerical computation)是有效使用数字计算机求数学问题近似解的方法与过程，以及由有关理论所构成的学科。

数值计算是一门实用性很强的学科，近年来随着计算机的发展和广泛应用，许多计算领域的问题，如计算力学、计算物理、计算化学、计算经济学等新分支都可归结为数值计算问题。

简史早在公元前14世纪的商代就基本形成十进制的记数法，春秋战国时代筹算已得到普遍应用，并形成和发展了算筹作为通用有效的计算工具，以后改进演化为算盘，相应发展了珠算方法。

数值计算在古代已取得了重要成果。

早在公元1世纪，汉代的“九章算术”记载了开平方、开立方、解一元二次方程和三元一次方程的方法。

公元5世纪南北朝时期，著名数学家祖冲之算得圆周率π为3.14159265，精确到小数点后7位，这项纪录保持了近千年。

南宋数学家秦九韶于1247年写成“数书九章”，提出的联立一次同余式和高次方程数值解的秦九韶法，比西方Euler和Horner于1819年提出的算法早五百多年。

随着近代数学的形成和发展，数值计算也取得了相应的进步。

20世纪40年代中后期，电子计算机的出现与迅速发展，有力推动了数值计算的研究与发展，解决了许多难度与规模都很大的计算问题，提出了许多新的数值方法，数值计算在整个科学技术和经济生活中的重要性得到前所未有的体现，并获得极大的发展，形成了一门新的学科分支。

数值计算与计算机的发展相辅相成，相互促进。

大量数值计算的需要，促使计算机体系结构及性能不断更新，而计算机的发展又推动着数值计算方法的发展，每当计算机发生一次变革，数值计算也产生一次飞跃。

为适应现代计算机的飞速发展，对数值计算提出了新的要求，对原有计算方法提出了重新评价、筛选、改造和创新。

与此同时，也涌现了许多新概念、新方法，从而构成了现代数值计算的新涵义，如计算机系统界面的多媒体化，给计算过程可视化提供了软件环境。

数值分析知识点大全总结一、数值计算方法数值计算方法是数值分析的基础，它涵盖了数值逼近、数值积分、插值与拟合、数值微分与数值积分、解线性方程组、求解非线性方程与方程组、解常微分方程等内容。

下面我们将逐一介绍这些方面的知识点。

1. 数值逼近数值逼近是研究如何用简单的函数来近似一个复杂的函数的方法。

常见的数值逼近方法包括多项式逼近、三角函数逼近、曲线拟合等。

其中，最为重要的是多项式逼近，它可以用来近似任意函数，并且具有较好的数学性质。

2. 数值积分数值积分是研究如何用离散的数据来估计连续函数的积分值的方法。

常见的数值积分方法包括梯形公式、辛普森公式、龙贝格公式等。

其中，辛普森公式是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来估计任意函数的积分值，并且具有较好的数值稳定性。

3. 插值与拟合插值与拟合是研究如何用离散的数据来构造连续函数的方法。

常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。

而拟合方法则是研究如何用简单的函数来拟合复杂的数据，常见的拟合方法包括最小二乘法、最小二乘多项式拟合等。

4. 数值微分与数值积分数值微分与数值积分是研究如何用差分方法来估计导数与积分的值的方法。

常见的数值微分方法包括向前差分、向后差分、中心差分等。

而数值积分方法则可以直接用差分方法来估计积分的值。

5. 解线性方程组解线性方程组是研究如何用迭代法或直接法来求解线性方程组的方法。

常见的迭代法包括雅各比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。

而直接法则是指用消元法来求解线性方程组的方法。

6. 求解非线性方程与方程组求解非线性方程与方程组是研究如何用迭代法来求解非线性方程与方程组的方法。

常见的迭代法包括牛顿法、割线法等。

其中，牛顿法是一种非常高效的求解非线性方程与方程组的方法，它具有收敛速度快的特点。

7. 解常微分方程值积分方法包括龙格-库塔法、变步长欧拉法、变步长龙格-库塔法等。

其中，龙格-库塔法是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来求解各种类型的常微分方程。