全国名校高考数学试题分类汇编(12月 第一期)E5 简单的线性规划问题(含解析)

第三节 简单的线性规划A 组 专项基础测试 三年模拟精选一、选择题1．(2015·江南十校模拟)已知点A (－2，0)，点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0上的一个动点，则|AM |的最小值是( ) A ．5B ．3C ．2 2D. 655解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域如图，结合图象可知|AM |的最小值为点A到直线2x ＋y －2＝0的距离，即|AM |min ＝|2×（－2）＋0－2|5＝655.答案 D2．(2015·河南郑州模拟)如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx －y的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 不等式组表示的可行域如图，A (1，2)，B (1，－1)，C (3，0)∵目标函数z ＝kx －y 的最小值为0，∴目标函数z ＝kx －y 的最小值可能在A 或B 时取得； ∴①若在A 上取得，则k －2＝0，则k ＝2，此时，z ＝2x －y 在C 点有最大值，z ＝2×3－0＝6，成立；②若在B 上取得，则k ＋1＝0，则k ＝－1，此时，z ＝－x －y ，在B 点取得的应是最大值， 故不成立，∴k ＝2，故答案为B.答案 B3．(2014·北京海淀二模)若整数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤1，x ＋y ≥1，y ≤32，则z ＝2x ＋y 的最大值是( )A ．1B.132C ．2D ．3解析 根据限制条件画出可行域，如图所示， 画出直线l 0：2x ＋y ＝0，经平移知，在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32处z 取得最大值，∴z max ＝132.故选B. 答案 B4．(2014·山西考前适应性训练)已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤2，2x ＋y －2≥0，那么x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1，4]B ．[1，5]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，5 解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤2，2x ＋y －2≥0所表示的平面区域，显然，原点O 到直线2x ＋y －2＝0的最短距离为|－2|22＋12＝25，此时可得(x 2＋y 2)min ＝45；点(1，2)到原点O 的距离最大，为12＋22＝5， 此时可得(x 2＋y 2)max ＝5.故选D. 答案 D 二、填空题5．(2014·北京朝阳二模，11)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．解析 原不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示． ∵x 2＋y 2表示可行域内任意一点P (x ，y )与原点(0，0)距离的平方， ∴当P 在线段AB 上且OP ⊥AB 时，x 2＋y 2取得最小值，∴(x 2＋y 2)min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－0＋1|22＝12.答案 12一年创新演练6．设x ，y 满足条件|x |＋|y －1|≤2，若目标函数z ＝x a ＋y b(其中b >a >0)的最大值为5，则8a ＋b 的最小值为( ) A ．3B ．1C ．5D ．6解析 先画出|x |＋|y |＝2，再将其图象向上平移1个单位，则图中阴影部分即为可行域．∵参照线y ＝－ba x 且－b a<－1，∴当其过点A (2，1)时，z 取最大值，即2a ＋1b ＝5.∴8a ＋b ＝15(8a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫17＋2b a ＋8a b ≥15⎝ ⎛⎭⎪⎫17＋22b a ·8a b ＝5，并且仅当a ＝12，b ＝1时取等号，故C 正确．答案 C7．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，则z ＝|x ＋3y |的最小值是________．解析 作出现行约束条件的可行域，如图所示：|x ＋3y |＝10×|x ＋3y |10，其中|x ＋3y |10表示可行域内的点到直线x ＋3y ＝0的距离，易知B (3，1)到直线x ＋3y ＝0的距离最小为|3＋3×1|10＝610，所以|x ＋3y |的最小值为6.答案 6B 组 专项提升测试 三年模拟精选一、选择题8．(2014·浙江金华十校模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋3y ≤4，x ≥－2，则z ＝|x －3y |的最大值为( ) A ．10B ．8C ．6D ．4解析 作出可行域(如图中阴影部分)，z ＝|x －3y |＝|x －3y |10×10表示点(x ，y )到直线x －3y ＝0距离的10倍，图中点A (－2，2)到直线x －3y ＝0的距离为810，则z ＝|x －3y |的最大值为810×10＝8，故选B. 答案 B9．(2014·广东汕头4月模拟题)汕头某家电企业要将刚刚生产的100台变频空调送往市内某商场，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供调配．每辆甲型货车的运输费用是400元，可装空调20台，每辆乙型货车的运输费用是300元，可装空调10台，若每辆车至多运一次，则企业所花的最少运费为( ) A ．2 000元 B ．2 200元 C ．2 400元D ．2 800元解析 设需甲、乙型货车各x 、y 辆，由题意有：⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≥100，0≤x ≤4，0≤y ≤8，令w ＝400x ＋300y ，由线性规划知识易知当x ＝4，y ＝2时，w min ＝2 200. 答案 B 二、填空题10．(2015·浙江余姚模拟)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)恰好在点(2，2)处取到最大值，则a 的取值范围为________． 解析 作出不等式对应的平面区域，当a ＝0时，z ＝x ，即x ＝z ，此时不成立．由z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋za 要使目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)仅在点(2，2)处取得最大值，则阴影部分区域在直线y ＝－1a x ＋z a 的下方，即目标函数的斜率k ＝－1a ，满足k ＞k AC ，即－1a＞－3，∵a ＞0，∴a ＞13，即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞，故答案为：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞11．(2014·山东青岛4月)若x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，2y －x ≤2，y ≥mx ，且y ＋12x 的最大值为2，则实数m 的值为________．解析 设z ＝y ＋12x ，当y ＋12x 取最大值2时，有y ＋12x ＝2，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，2y －x ≤2，y ≥mx 对应的可行域，如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12x ＝2，2y －x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，代入直线y ＝mx ，得m ＝32.答案 32三、解答题12．(2014·福州六校联考)某企业生产A ，B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品品种劳动力(个)煤(吨) 电(千瓦)A 产品 3 9 4B 产品1045的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？ 解 设生产A ，B 两种产品分别为x 吨，y 吨，利润为z 万元，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ≤300，9x ＋4y ≤360，4x ＋5y ≤200，x ≥0，y ≥0.目标函数为 z ＝7x ＋12y .作出可行域，如图阴影所示．当直线7x ＋12y ＝0向右上方平行移动时，经过M (20，24)时z 取最大值．∴该企业生产A ，B 两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．一年创新演练13．已知函数f (x )的定义域为[－2，＋∞)，f (4)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．若两正数a ，b 满足f (2a ＋b )<1，则b ＋3a ＋3的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫67，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，65D.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，73 解析 由函数y ＝f ′(x )的图象可知， 当x ∈(－2，0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－2，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．根据题意知2a ＋b <4，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b <4，a >0，b >0.表示的平面区域S 是以O (0，0)，A (2，0)，B (0，4)为顶点的三角形(不包括边界)．设P (－3，－3)，则b ＋3a ＋3表示平面区域S 内的点与点P 的连线的斜率，故k PA <b ＋3a ＋3<k PB ，即35<b ＋3a ＋3<73，选D. 答案 D14．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则a 的值为________．解析 依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则直线z ＝y －ax 必平行于直线y －x ＋1＝0，于是有a ＝1. 答案 1。

高三数学线性规划试题1.变量、满足线性约束条件，则目标函数的最大值为 .【答案】【解析】作出不等式组所表示的可行域如图所示，联立得，作直线，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即.【考点】线性规划.2.设，满足约束条件且的最小值为7，则A．-5B．3C．-5或3D．5或-3【答案】B【解析】根据题中约束条件可画出可行域如下图所示，两直线交点坐标为：，又由题中可知，当时，z有最小值：，则，解得：;当时，z无最小值．故选B【考点】线性规划的应用3.若、满足和，则的取值范围是________.【答案】【解析】不等式组表示的平面区域如图中，令，解方程组得，解方程组得，平移直线经过点使得取得最大值，即，当直线经过点使得取得最小值，即，故的取值范围是.【考点】不等式组表示的平面区域，求目标函数的最值，容易题.4.若变量、满足约束条件，则的最大值是（）A．2B．4C．7D．8【答案】C【解析】不等式组表示的平面区域如图的四变形（包括边界），解方程组得点，令，平移直线经过点使得取得最大值，即.选C.【考点】不等式组表示的平面区域，求目标函数的最大值，容易题.5.已知α，β是三次函数f(x)＝x3＋ax2＋2bx(a，b∈R)的两个极值点，且α∈(0,1)，β∈(1,2)，求动点(a，b)所在的区域面积S.【答案】【解析】解：由函数f(x)＝x3＋ax2＋2bx(a，b∈R)可得，f′(x)＝x2＋ax＋2b，由题意知α，β是方程x2＋ax＋2b＝0的两个根，且α∈(0,1)，β∈(1,2)，因此得到可行域即，画出可行域如图．∴动点(a，b)所在的区域面积S＝.6.设是不等式组表示的平面区域内的任意一点，向量，，若（为实数），则的最大值为（）A．4B．3C．-1D．-2【答案】A【解析】解：设点的坐标为，则，所以所以由得此不等式组对应的平面区域如下图中的阴影部分所示：设，则，当变化时，它表示一组与平行的直线，在轴上的截距为，当直线在轴上的截距最小时最大，由图可知，当直线经过点时，直线在轴上的截距最小，从面取得最大值故选A.【考点】1、向量的坐标表示与坐标运算；2、线性规划.7. [2013·陕西高考]若点(x ，y)位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．【答案】－4 【解析】由题意知y ＝，作出曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，如图中阴影部分所示，即得过点A(－1,2)时，2x －y 取最小值－4．8. (2014·孝感模拟)已知实数x,y 满足若z=x 2+y 2,则z 的最大值为________.【答案】13【解析】画出可行域,z=x 2+y 2=()2,表示可行域内的点(x,y)和原点(0,0)距离的平方,可知点B(2,3)是最优解,z max =13.9. 已知函数在x 1处取得极大值,在x 2处取得极小值,且x 1∈（－1，1），x 2∈（1，2），则2a+b 的取值范围是（ ） A ．（－7，2） B ．（－7，3） C ．（2，3） D ．（－1，2）【答案】B【解析】∵f′(x)= x 2+bx －a, ∴据题意知, f′(x 1)= f′(x 2)=0,又据二次函数知, f′(－1) ＞0 且f′(1)＜0且f′(2)＞0 即如图为(a,b)之可行域,A(1,0),B(2,－1),(－2,－3)．把A,B,C 三点坐标代入2a+b 得2,3,－7所以2a+b 的范围为(－7,3)10.若，满足约束条件，则的最大值为．【答案】【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为，当直线经过点时，目标函数取到最大值为．【考点】线性规划.11.若变量满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为________.【答案】14【解析】如图所示，画出可行域，目标函数变形为，当取最大值时，纵截距最大，故将直线向上平移到E时，目标函数z=2x+3y取到最大值，此时．【考点】线性规划.12.设z=kx+y，其中实数x、y满足，若z的最大值为12，则实数k= ．【答案】2【解析】由得.作出不等式组表示的区域如图所示.由图可知，若，则当或时最大，且最大值不超过4. 若，则当时最大，由得.【考点】线性规划.13.已知实数满足，则的最小值是.【答案】4【解析】因为实数满足，如图所示，令=k,所以.由于当k<0时抛物线的开口向下，所以不合条件.所以k>0，有两种情况当k取最小值即抛物线过点.所以的最小值是.当抛物线与直线相切的情况，，即的最小值是4.【考点】1.线性规划问题.2.抛物线的问题.3.分类归纳的思想.4.构建数形结合解题的思想.14.若实数满足，则的值域是 .【答案】[1,9]【解析】首先画出可行域（如图），直线，平移直线知，过时，最小值为0，过点时，的最大值为2；根据指数函数是单调增函数，即可得到的值域为[1,9].【考点】简单线性规划的应用，函数的值域.15.假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量．记一天中从甲.地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p(1)求p的值；(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋02σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4)(2)某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最辆．若每天要以不小于p小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？【答案】(1) 0.977 2 (2)配备A型车5辆、B型车12辆【解析】解：(1)由于随机变量X服从正态分布N(800，502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700<X≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得p＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800<X≤900)＝＋P(700<X≤900)＝0.977 2. (2)设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1 600x＋2 400y. 依题意，x，y还需满足x＋y≤21，y≤x＋7，P(X≤36x＋60y)≥p.由(1)知，p0＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥p等价于36x＋60y≥900.于是原问题等价于求满足约束条件且使目标函数z＝1 600x＋2 400y达到最小的x，y.作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)．由图可知，当直线z＝1 600x＋2 400y经过可行域的点P时，直线z＝1 600x＋2 400y在y轴上截距最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆、B型车12辆．16.已知z="2x" +y，其中x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是【答案】【解析】画出可行域，可知目标函数在取最小值，在取最大值，故.【考点】线性规划.17.若函数图像上存在点满足约束条件,则实数的最大值为 .【答案】2【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的图形（阴影），为使函数图像上存在点在阴影部分内，由得，所以，实数的最大值为2.【考点】简单线性规划的应用18.已知中心为O的正方形ABCD的边长为2，点M，N分别为线段BC，CD上的两个不同点，且||=1，则的取值范围是．【答案】【解析】设M（2，b），N（a，2）．由，可得，即（a﹣2）2+（b﹣2）2=1．且1≤a≤2，1≤b≤2．如图所示，建立平面直角坐标系．又=（1，b﹣1）•（a﹣1，1）=a+b﹣2．作出可行域，即可得出答案．如图所示，建立平面直角坐标系．设M（2，b），N（a，2）．∵，∴，即（a﹣2）2+（b﹣2）2=1．且1≤a≤2，1≤b≤2．又O（1，1），∴=（1，b﹣1）•（a﹣1，1）=a+b﹣2．令a+b﹣2=t，则目标函数b=﹣a+2+t，作出可行域，如图2，其可行域是圆弧．①当目标函数与圆弧相切与点P时，，解得t=2﹣取得最小值；②当目标函数经过点EF时，t=2+1﹣2=1取得最大值．∴．即为的取值范围．故答案为．【考点】平面向量数量积的运算点评：本题综合考查了向量的模的计算公式、线性规划等基础知识，及数形结合思想方法．熟练掌握是解题的关键．19.已知x、y满足约束条件的取值范围为【答案】[-1，2]【解析】根据二元一次不等式组画出可行域，目标函数几何意义z为直线z=x-y的纵截距相反数，平移目标函数观察z取值范围解：①如图可行域，②令z=0得直线y=x平移直线可知当直线过（0，1）时，z有最小值z=0-1=-1，直线过（2，0）时，z有最大值z=2-0=2；所以z的取值范围为[-1，2]；故答案[-1，2]。

第二节简单的线性规划[文档副标题][日期][公司地址]第二节简单的线性规划高考试题考点一二元一次不等式组表示的平面区域1.(2012年福建卷,文10)若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件30,230,,x yx yx m+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m的最大值为( )(A)-1 (B)1 (C)32(D)2解析:由题意知,先把确定的两条边界直线划出,再画出直线y=2x,由30,230,x yx y+-≤⎧⎨--≤⎩确定的区域如图所示,由图可知,若直线y=2x上存在点满足约束条件,实数m的最大值应为1.故选B.2.(2009年安徽卷,文3)不等式组0,30,34,xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积等于( )(A)32(B)23(C)43(D)34解析:不等式组所表示的平面区域为三角形区域,如图所示,故得A(1,1),B(0,4),C（0,43）,S△ABC=12×443⎛⎫-⎪⎝⎭×1=43.故选C.答案:C3.(2010年北京卷,文11)若点P(m,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,且点P在不等式2x+y<3表示的平面区域内,则m= .解析:点P到直线4x-3y+1=0的距离d=4915m-+=4,解得m=7或m=-3,又∵点P在2x+y<3表示的平面区域内,故m=-3.答案:-3考点二线性目标函数的最值问题1.(2013年福建卷,文6)若变量x,y满足约束条件2,1,0,x yxy+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则z=2x+y的最大值和最小值分别为( )(A)4和3 (B)4和2(C)3和2 (D)2和0解析:画出可行域(如图中阴影部分),由图象可知,当y=-2x+z经过点B(2,0)时,z max=4;当y=-2x+z经过点A(1,0)时,z min=2.故选B.答案:B2.(2013年陕西卷,文7)若点(x,y)位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最小值是( )(A)-6 (B)-2(C)0 (D)2解析:作出y=|x|=()()0,x xx x≥⎧⎪⎨-<⎪⎩和y=2围成的封闭区域如图阴影部分所示,作直线y=2x,向上平移到交点A(-2,2)时,2x-y取得最小值-6,故选A.答案:A3.(2013年新课标全国卷Ⅱ,文3)设x,y满足约束条件10,10,3,x yx yx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则z=2x-3y的最小值是( )(A)-7 (B)-6(C)-5 (D)-3解析:由约束条件作出可行域如图中阴影区域.将z=2x-3y化为y=23x-3 Z,作出直线y=23x并平移使之经过可行域,易知直线经过点C(3,4)时,z取得最小值,故z min=2×3-3×4=-6.故选B.答案:B4.(2013年四川卷,文8)若变量x,y满足约束条件8,24,0,0,x yy xxy+≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且z=5y-x的最大值为a,最小值为b,则a-b的值是( )(A)48 (B)30 (C)24 (D)16解析:作出可行域如图所示,可得A(8,0)、B(4,4),平移直线5y-x=0,经过点A时z最小,经过点B时,z最大,故b=z min=-8,a=z max=16,a-b=24.故选C.答案:C5.(2013年天津卷,文2)设变量x,y满足约束条件360,20,30,x yx yy+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则目标函数z=y-2x的最小值为( )(A)-7 (B)-4 (C)1 (D)2解析:如图阴影部分为不等式组表示的区域,平移直线y-2x=0,当直线过B(5,3)时即x=5,y=3时,z=y-2x最小,z min=3-2×5=-7.故选A.答案:A6.(2012年山东卷,文6)设变量x,y满足约束条件22,24,41,x yx yx y+≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数z=3x-y的取值范围是( )(A)3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(B)3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦(C)[-1,6] (D)36,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析:画出22,24,41,x yx yx y+≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩表示的平面区域如图所示阴影部分,直线z=3x-y经过点A,B时分别取到最大值和最小值.由22,24,x yx y+=⎧⎨+=⎩得2,0,xy=⎧⎨=⎩即A(2,0),∴z max=3×2-0=6.由41,24,x yx y-=-⎧⎨+=⎩得1,23,xy⎧=⎪⎨⎪=⎩即B1,32⎛⎫⎪⎝⎭.∴z min=12×3-3=-32,∴-32≤z≤6.答案:A7.(2012年天津卷,文2)设变量x,y满足约束条件220,240,10,x yx yx+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则目标函数z=3x-2y的最小值为( )(A)-5 (B)-4 (C)-2 (D)3解析:画出可行域如图阴影部分所示,作出与3x-2y=0平行的直线z=3x-2y可知,当直线z=3x-2y过(0,2)点时z取最小值-4.故选B.答案:B8.(2012年新课标全国卷,文5)已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则z=-x+y 的取值范围是( )3(C)(3-1,2) 3)解析:由△ABC是等边三角形易知C(1+3,2).由图当目标函数线过区域内点C时,z取最小值,z min=-(1+3)+2=1-3,过区域内点B时,z取到最大值,z max=-1+3=2,∴z的取值范围是(1-3,2).答案:A9.(2012年辽宁卷,文9)设变量x,y满足10,020,015,x yx yy-≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩则2x+3y的最大值为( )(A)20 (B)35 (C)45 (D)55解析:由已知得可行域为如图所示的阴影部分,设z=2x+3y,则y=-23x+3z,作直线l0:y=-23x,平行移动直线l0,当过点B时,直线y=-23x+3z在y轴上的截距最大,此时z最大.由200,15,x yy+-=⎧⎨=⎩得5,15,xy=⎧⎨=⎩即点B坐标为(5,15),∴z最大为55.答案:D10.(2011年安徽卷,文6)设变量x,y满足1,1,0,x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则x+2y的最大值和最小值分别为( )(A)1,-1 (B)2,-2(C)1,-2 (D)2,-1解析:不等式组表示的可行域如图所示,设z=x+2y,则y=-12x+2z,当直线y=-12x+2z分别过C(0,1)及A(0,-1)时得z max=2,z min=-2.故选B.答案:B11.(2013年新课标全国卷Ⅰ,文14)设x,y满足约束条件13,10,xx y≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则z=2x-y的最大值为.解析:作出可行域如图中阴影部分所示,将目标函数z=2x-y整理为y=2x-z,将y=2x向下平移至过点(3,3)时,z取得最大值,为z max=2×3-3=3.答案:312.(2013年北京卷,文12)设D为不等式组0,20,30,xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域,区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为.解析:作出不等式组0,20,30,xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩表示的区域D如图阴影部分所示.设已知点(1,0)为点A,与平面区域D上的点的最短距离为点A(1,0)到直线y=2x的距离, d=22210112⨯-⨯+=255.答案:25513.(2013年浙江卷,文15)设z=kx+y,其中实数x,y 满足2,240,240,x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若z 的最大值为12,则实数k=.解析:作出可行域如图中阴影所示,由图可知,当0≤-k<12时,直线y=-kx+z 经过点M(4,4)时z 最大,所以4k+4=12,解得k=2(舍去);当-k ≥12时,直线y=-kx+z 经过点N(2,3)时z 最大,所以2k+3=12,解得k=92(舍去);当-k<0时,直线y=-kx+z 经过点M(4,4)时z 最大,所以4k+4=12,解得k=2,符合.综上可知,k=2.答案:214.(2013年山东卷,文14)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组2360,20,0,x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩所表示的区域上一动点,则OM的最小值是 .解析:如图阴影部分即不等式组表示的区域,若M 为区域内任意一点,|OM|最小值,即O 到直线x+y-2=0的距离d,由0022+-2.所以|OM|2.答案215.(2013年广东卷,文13)已知变量x,y 满足约束条件30,11,1,x y x y -+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩则z=x+y 的最大值是.解析:作出可行域如图所示,故目标函数在直线x-y+3=0与x=1的交点(1,4)处取得最大值,所以z max=1+4=5.答案:516.(2013年安徽卷,文12)若非负变量x、y满足约束条件1,24,x yx y-≥-⎧⎨+≤⎩则x+y的最大值为.解析:画出可行域是如图所示的四边形OABC的边界及内部,令z=x+y,易知当直线y=-x+z经过点C(4,0)时,直线在y轴上截距最大,目标函数z取得最大值,即z max=4.答案:4考点三线性规划的实际应用1.(2011年四川卷,文10)某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需送往A地至少72吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次.派用的每辆甲型卡车需配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车需配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润z等于( )(A)4650元(B)4700元(C)4900元(D)5000元解析:设该公司当天派用甲型卡车x辆,乙型卡车y辆(x,y∈N),每天的利润为z元,由题意得10672, 219,12, 08, 07,x yx yx yxy+≥⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≤≤⎪≤≤⎪⎩利润z=450x+350y,可行域如图所示.解21912x yx y+=⎧⎨+=⎩得A(7,5).当直线z=350y+450x过A(7,5)时z取最大值,∴z max =450×7+350×5=4900(元).故选C. 答案:C2.(2010年四川卷,文8)某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品,由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品,每千克A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品,每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时的总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )(A)甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱 (B)甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱 (C)甲车间加工原料20箱,乙车间加工原料50箱 (D)甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱解析:设甲车间加工原料x 箱,乙车间加工原料y 箱(x,y ∈N),则甲、乙两车间每天总获利z=280x+200y.由题意,得0,0,70,106480,x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩可行域如图所示的阴影部分.由70,106480,x y x y +=⎧⎨+=⎩解得P(15,55),当直线z=280x+200y 过点P 时,z 取得最大值.故选B.答案:B3.(2013年湖北卷,文9)某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行,A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B 型车不多于A 型车7辆,则租金最少为( ) (A)31200元(B)36000元(C)36800元(D)38400元解析:设租用A 型车x 辆,B 型车y 辆(x,y ∈N),租金为z,则3660900,7,21,,,x y y x y x x N y N +≥⎧⎪-≤⎪⎪+≤⎨⎪∈⎪∈⎪⎩即3575,7,21,,,x y y x y x x N y N +≥⎧⎪-≤⎪⎪+≤⎨⎪∈⎪∈⎪⎩ 画出可行域,则目标函数z=1600x+2400y=800(2x+3y)在点N(5,12)处取得最小值36800,故选C.答案:C4.(2010年广东卷,文19)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?解:设为该儿童预订x 个单位的午餐,y 个单位的晚餐,则x,y 满足12864,6642,61054,x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩(x,y ∈N *)即3216,7,3527,x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩(x,y ∈N *). 目标函数z=2.5x+4y. 画出可行域,如图所示,其中A(2,5),B(4,3),当目标函数过B 点时z 最小, 此时x=4,y=3.所以为该儿童预订4个单位的午餐,3个单位的晚餐时,满足营养要求,并且花费最少.模拟试题考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域1.(2012南阳质量评估)点M(a,b)在由不等式组0,0,2,x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩确定的平面区域内,则点N(a+b,a-b)所在平面区域的面积是()(A)1 (B)2 (C)4 (D)8 解析:设a+b=x,a-b=y,则a=2x y +,b=2x y-,由0,0,2,aba b≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩得0,0,2,x yx yx+≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩则N(x,y)所在平面区域为如图所示的三角形,其面积S=12×4×2=4.答案:C2.(2012安庆调研)在平面直角坐标系中,不等式组0,40,,x yx yx a+≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩所表示的平面区域的面积是9,则实数a的值为. 解析:由题意可知a>-2,不等式组所表示的平面区域是如图所示的△ABC,且A(-2,2),B(a,a+4),C(a,-a),则S△ABC=12(a+2)(2a+4) =9,解得a=1.答案:1考点二线性目标函数的最值1.(2013玉溪一中检测)若x,y满足不等式组1,22,,x yy xy mx+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩且y+12x的最大值为2,则实数m的值为( )(A)-2 (B)-32(C)1 (D)32解析:设z=y+12x,当y+12x取最大值2时,有y+12x=2,先作出不等式1,22,x yy x+≥⎧⎨-≤⎩对应的可行域,要使y+12x取最大值为2,则直线z=y+12x的截距最大,则直线y+12x=2与直线2y-x=2的交点A在直线y=mx上,由12,222,y xy x⎧+=⎪⎨⎪-=⎩解得1,3,2xy=⎧⎪⎨=⎪⎩代入直线y=mx得m=32,选D.答案:D2.(2013北京市通州区期末)已知x,y满足约束条件24,24,0,0,x yx yx y+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩则z=x+y的最大值为.解析:作出不等式组对应的可行域,由z=x+y得y=-x+z,平移直线y=-x+z,可知当直线y=-x+z经过点B时,直线y=-x+z的截距最大,此时z最大,由24,24,x yx y+=⎧⎨+=⎩解得4,34,3xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即B44,33⎛⎫⎪⎝⎭,代入得z的最大值为83.答案:83考点三线性规划的实际应用(2012衡阳月考)甲、乙、丙三种食物的维生素A、维生素D的含量及成本如下表:甲乙丙维生素A(单位/千克)607040维生素D(单位/千克)804050成本(元/千克)1194某食物营养研究所想把甲种食物、乙种食物、丙种食物配成10千克的混合食物,并使混合食物中至少含有560单位维生素A和630单位维生素D,则成本最低为( )(A)84元(B)85元(C)86元(D)88元解析:设配成10千克的混合食物分别用甲、乙、丙三种食物x千克、y千克、z千克,混合食物的成本为p元,则z=10-x-y,p=11x+9y+4z=11x+9y+4×(10-x-y)=7x+5y+40,由题意可得607040560,804050630,100,0,0,x y zx y zx yxy++≥⎧⎪++≥⎪⎪--≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩即23160, 3130,10,0,0,x yx yx yx y+-≥⎧⎪--≥⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩作出可行域(如图所示),当直线p=7x+5y+40经过点A时,它在y轴上的截距最小,即p最小,解方程组313,2316,x yx y-=⎧⎨+=⎩得x=5,y=2,故点A的坐标为(5,2),所以p min=7×5+5×2+40=85,故选B.答案:B综合检测1.(2013云南师大附中高三月考)如果实数x,y满足不等式组1,10,220,xx yx y≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则x2+y2的最小值是( )(A)25 (B)5 (C)4 (D)1解析:在平面直角坐标系中画出不等式组1,10,220,xx yx y≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域如图所示的阴影部分,x2+y2的最小值即表示阴影部分(包含边界)中的点到原点的距离的最小值的平方,由图可知直线x-y+1=0与直线x=1的交点(1,2)到原点最近,故x2+y2的最小值为12+22=5.故选B.答案:B2.(2012长春调研)已知1,10,220,xx yx y≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若ax+y的最小值是2,则a等于( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:作出可行域如图所示,目标函数为z=ax+y,即y=-ax+z,根据所给选项知a为正数,则-a为负数,当直线通过点(1,0)时,目标函数取最小值, 得2=a×1+0,则a=2.故选B.答案:B3.(2011金华一中月考)设第一象限内的点(x,y)满足260,20,x yx y--≤⎧⎨-+≥⎩若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为40,则ab的最大值为( )(A)10 (B)5 (C)2 (D)4解析:画出可行域(图略)知直线ax+by=z通过点(8,10)时,目标函数z=ax+by取得最大值,则8a+10b=40,即4a+5b=20,则20=4a+5b≥220ab,得ab≤5,当且仅当a=52,b=2时等号成立.答案:B4.(2011蚌埠二中联考)定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1,f′(x)为f(x)的导函数,已知函数y=f′(x)的图象如图所示.若两正数a,b满足f(2a+b)<1,则22ba++的取值范围是( )(A)11, 32⎛⎫ ⎪⎝⎭(B)1,2⎛⎫-∞⎪⎝⎭∪(3,+∞)(C)1,3 2⎛⎫ ⎪⎝⎭(D)(-∞,-3)解析:由题图知x>0时,f′(x)>0,即x>0时,y=f(x)单调递增.又a>0,b>0,f(2a+b)<1=f(4),则24,0,0.a ba b+<⎧⎨>>⎩画出可行域如图所示.令u=22ba++,其几何意义是可行域内任一点P(a,b)与点(-2,-2)连线的斜率,当P在点(0,4)时,u最大,u max=3,当P在点(2,0)时,u最小,u min=12,所以22ba++的取值范围为1,32⎛⎫⎪⎝⎭.答案:C。

高一数学（必修5）百所名校速递分项汇编专题05 线性规划问题一、选择题1．【2017-2018学年贵州省黔东南州高一（下)】若，y满足约束条件，则的最小值为A．1B．C．D．2【答案】C【解析】由，得，作出，y满足约束条件对应的可行域阴影部分，平移直线，由平移可知当直线，经过点A时，直线的截距最大，此时取得最小值，由，解得，，即，代入，则，即目标函数的最小值为，故选：C．2．【重庆市第八中学2017-2018学年高一下学期期末】已知实数满足约束条件，则的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B3．【山西省沁县中学2017-2018学年高一下学期期末】若不等式组表示一个三角形内部的区域，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不等式组表示的平面区域如图：由图可知，，解得=y=，即A（，），则a＜+=实数a的取值范围是a＜．故选：D．4．【云南省宣威五中2017-2018学年高一下学期期末】已知点，若动点的坐标满足，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】作出可行域如图：观察图象可知，最小距离为点A到直线的距离，即，故选C.5．【黑龙江省实验中学2017-2018学年高一下学期期末】已知变量，y满足约束条，则的最大值为A．2B．6C．8D．11【答案】D【解析】作出变量，y满足约束条件的可行域如图，由=3+y知，y=﹣3+，所以动直线y=﹣3+的纵截距取得最大值时，目标函数取得最大值．由得A（3，2），结合可行域可知当动直线经过点A（3，2）时，目标函数取得最大值=3×3+2=11．故选：D．6．【四川省资阳中学2017-2018学年高一下学期6月月考】若，y满足则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】画出目标函数可行域如上图所示，目标函数即为（，y）点（0，-1）连线斜率的取值，所以在点B处取得最优解联立直线方程解得B（1，1）所以所以选B7．【广东省揭阳市第三中学高中数学必修五第三章章末】已知点P(0，y0)和点A(1，2)位于直线l：3＋2y－8＝0的异侧，则( )A．30＋2y0＞0 B．30＋2y0＜0C．30＋2y0＜8 D．30＋2y0＞8【答案】D【解析】因为点P(0，y0)和点A(1，2)位于直线l：3＋2y－8＝0的异侧，所以，选D.8．【重庆市綦江实验中学校2017-2018学年高一下学期半期考】在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是( )．A．B．4C．D．2【答案】B【解析】由约束条件画出可行域如下图，所以，故选B.9．【湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高一下学期期末】已知动点满足：，则的最小值为（）A．B．C．－1D．－2【答案】D【解析】根据指数函数的性质，由可得，即，动点满足：，该不等式组表示的平面区域如图：设，，表示以为圆心的圆的半径，由图形可以看出，当圆与直线相切时半径最小，则，，解得，即的最小值为.故选：D.10．【福建省三明市2017-2018学年高一下学期期末】已知满足约束条件且不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】结合对勾函数的性质可知，当时，取得最小值，此时，即取得最大值，最大值为：，结合恒成立的条件可知：实数的取值范围为..11．【浙江省金华十校2017-2018学年第二学期期末】设实数，满足约束条件，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作出实数，y满足约束条件表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，﹣2），B（0，），O（0，0）．设=F（，y）=||﹣y，将直线l：=||﹣y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，当≥0时，直线为图形中的红色线，可得当l经过B与O点时，取得最值∈[0，]，当＜0时，直线是图形中的蓝色直线，经过A或B时取得最值，∈[﹣，3]综上所述，+1∈[﹣，4]．故选：A．12．【重庆市巴蜀中学2017-2018学年高一下学期期末】若，满足条件，当且仅当，时，目标函数取得最小值或最大值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由可得．∵目标函数仅在处取得最大值或最小值，∴或，解得或，∴实数的取值范围是．故选D．二、填空题13．【河北省枣强中学2018-2019学年高二上学期期末】已知满足不等式组，若，则的取值范围为___.【答案】【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图：由得：，所以表示点到点距离的平方。