考研数学《概率论与数理统计》知识点总结
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第一章概率论的基本概念
第五章ﻩ大数定律及中心极限定理
伯努利大数定理：对任意ε>0有1
lim=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
<
-
∞
→
ε
p
n
f
P A
n
或
lim=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≥
-
∞
→
ε
p
n
f
P A
n
.
其中f A是n次独立重复实验中事件
Ａ发生的次数,p是事件A在每次试
验中发生的概率.
中心极限定理
定理
一:
设X1,X2,…,Xｎ，…相互独立
并服从同一分布,且E(Ｘ k）
=μ，D(Xｋ)=σ2 ＞0,则
n→∞时有
σ
μn
n
X
k
n
k
)
(
1
-
∑
=
N(0，１)或
n
X
σ
μ
-
~N(０，1)或X~N（μ，
n
2
σ).
定理
二：
设Ｘ1，X2，…,X n ,…相互
独立且E(X k)＝μｋ,D(Ｘ
k）=σ k
2 >0,若存在δ＞0
使n→∞时，
}
|
{|
1
2
1
2
→
-
∑+
=
+
δ
δ
μ
k
k
n
k
n
X
E
B
,则
n
k
n
k
k
n
k
B
X)
(
1
1
μ
=
=
∑
-
∑
～Ｎ(0，1)，记
2
1
2
k
n
k
n
Bσ
=
∑
=．
定理
三:
设)
,
(
~p
n
b
n
η,则n→∞时，N
p
np
np
n
~
)
1(
)
(-
-
η(0,1),
k
n
k
n
X
1=
∑
=
η.
定义:总体:全部值；个体:一个值；容量:个体数；有限总体：容量有限;无限总体:容量无限.
定义:样本:X1,X2,…,X n 相互独立并服从同一分布F的随机变量，称从F得到的容量为n的简单随机样本．
频率直方
图：图形:以横坐标小
区间为宽,纵坐标
为高的跨越横轴
的几个小矩形．
横坐标:数据区间（大区间下限比最小数据值稍小,上限比最大数
据值稍大；小区间:均分大区间,组距Δ=大区间/小区间个数;小区
间界限：精度比数据高一位).
图形特点:外轮
廓接近于总体的
概率密度曲线．纵坐标：频率／组距（总长度:<1/Δ；小区间长度：频率/组距）.
定义:样本ｐ分位数:记x p，有1.样本x i中有nｐ个值≤xｐ.2．样本中有ｎ(1－p)个值≥x p.
箱线图:x p选择:记
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∈
+
∉
=
+
+
N
np
x
x
N
np
x
x
np
np
np
p当
，
当
，
]
[
2
1
1
)
(
)
(
)1
]
([
.
分位数x0.5,记为Ｑ２或M，称为样本中位数．
分位数x０.25,记为Ｑ1,称为第一四分位数．
分位数x0.７5，记为Q３，称为第三四分位数.
图形：
图形特点:M为数据中心,区间[ｍin,Q1]，[Q1,M],［M，Q3]，[Ｑ
3，mａｘ］数据个数各占1/4，区间越短数据密集．
四分位数间距：记IQＲ=Q3-Q1；若数据X<Q1－1.5IＱR或X>Ｑ3+1．５IQR,就认为X是疑似异常值.
抽样分布：样本平均值：
i
n
i
X
n
X
1
1
=
∑
=样本方差:)
(
1
1
)
(
1
1
2
2
1
2
1
2X
n
X
n
X
X
n
S
i
n
i
i
n
i
-
∑
-
=
-
∑
-
=
=
=
样本标准差：2
S
S=
样本k阶
(原点)矩:
k
i
n
i
k
X
n
A
1
1
=
∑
=，k≥
１
样本k阶
中心矩:
k
i
n
i
k
X
X
n
B)
(
1
1
-
∑
=
=
,k≥2
经验分布函数：
)
(
1
)
(x
S
n
x
F
n
=，∞
<
<
∞
-x.)
(x
S表示F的一个样本X1,Ｘ2,…,X n 中不大于ｘ的随机变量的个数.
自由度为n的χ２分
布：记χ２~χ２（n），2
2
2
2
1
2
n
X
X
X+
+
+
=
χ，其中X1,Ｘ2,…,
Ｘｎ是来自总体N(0,１）的样本．E（χ2 )=ｎ,D(χ2 ）=2n．
χ12＋χ２2~χ2(n1+n2)．
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
>
Γ
=
-
-
其他
，
，
)2
(
2
1
)
(
2
1
2
2
y
e
x
n
y
f
y
n
n.
~
近似的
min Q1 M Q3 max
第七章ﻩ参数估计
正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限（置信水平为）
1１22。
