2016-2017学年新人教A版必修1高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点教学设计2(精品)

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方程的根与函数的零点（教学设计）
教学目标：
1、 知识与技能：理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程的
关系，掌握零点存在的判定条件；培养学生的观察能力；培养学生的抽象概括能力。
2、 过程与方法：通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特
点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法。
3、 情感、态度与价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值。
学情分析：学生在初中已经掌握二次方程的解法，前面学习了函数的相关知识。
重点、难点： 会求函数的零点，掌握函数的零点存在性定理及应用。
教学过程
【导入新课】方程lnx+2x-6=0是否有实数根？如何求解？
【引例】解方程
260xx--= ，并画出相应函数y=2
6xx--
的简图。

1.观察：一元二次方程的根与二次函数图像的关系
一元二次方程的根是相应的二次函数图像与x轴的交点的横坐标。
方程解的个数是对应函数图像与x轴的交点个数。
二、 新知探求
1. 函数零点的定义：
对于函数)(xfy,我们把使0)(xf的实数x叫做函数)(xfy的零点。
2.三个等价关系
方程0)(xf的根 函数)(xfy的图像与x轴交点的横坐标
函数)(xfy的零点

三、 例题分析
例1． 求下列函数的零点
（1）y=-3x+2 (2)y=-x2-2x+3 (3)y=x2-2x+1 (4)y=x2+x+1
2

例2． 求函数y=x3-2x2-x+2的零点
练一练，比比谁最快(小组抢答)
（1）f(x)=-3x+2 (2)f(x)=(x-1)(x-2)(x+3) (3)f(x)=x2-5x+4

(4) f(x)=-x2+5x (5)f(x)=x3-8x (6)f(x)=14x-
(7) f(z)=3z2-7z-6 (8)f(x)=(x+1)(x2-3x+2)
形成一般性结论：

判别式
2
4bacD=-

0D> 0D= 0D<

方程ax2+bx+c=0的
根
两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 无实根

函数

图象与x轴的交点 两个交点 一个交点 没有交点
函数
两个零点 一个二阶（二重）零点 没有零点

3．零点的存在性定理
零点存在性定理的探究
函数y=f(x)在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数一定有零点？
观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象得出结论
如果函数)(xfy在区间[a,b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a) ·f(b) <0,
那么,函数)(xfy在区间(a,b)内有零点,即存在 ,使得f(c)=0，这 个 c 也
),(bac
0)(xf

的图象)0(2a
cbxaxy
2
(0)
yaxbxc

a
=++

¹的零点
3

就 是 方 程 的根。
（1）定理辨析 .
判断正误,若不正确,请使用函数图象举出反例
①已知函数 y=f(x) 在区间[a,b]满足f(a) ·f(b) <0,则 f(x) 在区间(a,b)内存在零点.
（ ）
②已知函数y=f(x) 在区间[a,b]上连续,且f(a) ·f(b) ≥0,则f(x)在区间(a,b)内没有
零点。（ ）
③已知函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a) ·f(b) <0,则f(x)在区间(a,b)内有且仅有
一个零点. ( )
（2）定理的应用
例2：判断下列函数在给定区间上是否存在零点。
（1）f(x)=x2-3x-18,x[1,7]Î (2)f(x)= x3-x-1, x[1,2]?
1. ．函数
3
()33fxxx=--
的零点所在的大致区间为 （ ）

A . ( ,1 0 ) B .( 0 ,1 ) C . ( 1 ,2 ) D .( 2 ,3 )
2如果二次函数y=x2+mx+(m+3)有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A.(,2)(6,)-??? B.(-2，6) C.[-2，6] D.(1，2)
（3）.定理的拓展
思考：给定理加一个什么条件时，函数在区间（a , b）上只有一个零点？
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且在闭区间的两个
端点上的函数值互异即f(a)·f(b)<0,且是单调函数,那么，这个函数在(a,b)内必有唯一的
一个零点。
例3．求函数62ln)(xxxf的零点的个数。
小结：
（1） 函数零点的概念
（2） 方程的根与函数零点的等价关系
（3） 函数零点的判断方法：①方程法 ②图象法 ③定理法
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（4） 零点的存在性定理
（5） 体会函数与方程和数形结合思想的应用。
作业：P72 B组1. 2
习题2-4A组2