积化和差与和差化积-简单难度-习题

一、选择题1．sin 37.5°cos 7.5°＝()A.22 B.24C.2＋14 D.2＋24【解析】原式＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝12(sin 45°＋sin 30°)＝12×(22＋12)＝2＋14.【答案】C2．化简：sin 15°＋cos 65°cos 15°＋sin 65°＝()A．sin 10° B．tan 10°C．sin 20° D．tan 20°【解析】原式＝sin 15°＋sin 25°cos 15°＋cos 25°＝2sin 20°cos 5°2cos 20°cos 5°＝tan 20°.【答案】D3．函数f(x)＝sin(2x－π3)cos(2x＋π3)的周期是()A.π2B．πC．2π D．4π【解析】∵f(x)＝12[sin 4x＋sin(－2π3)]＝12sin 4x－34，∴T＝2π4＝π2.【答案】A4．(2019·临沂高一检测)求值：sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80 °＝()A.12B.22C.32 D ．1【解析】 sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80°＝2sin 30°cos(－10°)＋sin 60°－sin 80°＝2×12×sin 80°＋32－sin 80°＝32.【答案】 C5．已知α－β＝2π3，且cos α＋cos β＝13，则cos(α＋β)等于( ) A.29B ．－29 C.79 D ．－79【解析】 ∵cos α＋cos β＝13，∴2cos α＋β2cos α－β2＝13，∵α－β＝23π，∴cos α－β2＝12.∴cos α＋β2＝13则cos(α＋β)＝2cos 2(α＋β2)－1＝－79.【答案】 D二、填空题6．函数y ＝cos(π3＋2x )cos(π3－2x )的最大值是________． 【解析】 y ＝cos(π3＋2x )cos(π3－2x )＝12 c cos[(π3＋2x )＋(π3－2x )]＋cos[(π3＋2x )－(π3－2x )]}＝12(cos 2π3＋cos 4x )＝12cos 4x －14.∴y max ＝14.【答案】 147．直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________．【解析】 ∵A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12cos(A －B )，又－π2＜A －B ＜π2，∴0＜cos(A －B )≤1，∴sin A sin B 有最大值12.【答案】 128.1sin 40°＋cos 80°sin 80°＝________.【解析】 原式＝2cos 40°＋cos 80°sin 80°＝cos 40°＋2cos 60°cos 20°sin 80°＝cos 40°＋cos 20°sin 80°＝2cos 30°cos 10°sin 80°＝2cos 30°＝ 3. 【答案】3 三、解答题9．已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，y ＝tan A 2＋2cos A 2sin A 2＋cos B －C 2，若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化？并证明你的结论．【解】 ∵A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，∴A ＋B ＋C ＝π，A 2＝π2－B＋C 2.∴y＝tan A2＋2sinB＋C2cosB＋C2＋cosB－C2＝tan A2＋2(sinB2cosC2＋cosB2sinC2)2cosB2cosC2＝tan A2＋tanB2＋tanC2.因此，任意交换两个角的位置，y的值不变．10．求函数f(x)＝sin x[sin x－sin(x＋π3)]的最小正周期与最值．【解】f(x)＝sin x[sin x－sin(x＋π3)]＝sin x·2cos(x＋π6)sin(－π6)＝－sin x cos(x＋π6)＝－12[sin(2x＋π6)＋sin(－π6)]＝－12sin(2x＋π6)＋14.∴最小正周期为T＝2π2＝π.∵sin(2x＋π6)∈[－1,1]，∴f(x)max＝34，f(x)min＝－14.11．已知3tan(α－π12)＝tan(α＋π12)，求证：sin 2α＝1.【证明】∵3tan(α－π12)＝tan(α＋π12)，∴3sin(α－π12)cos(α－π12)＝sin(α＋π12)cos(α＋π12).∴3sin(α－π12)cos(α＋π12)＝sin(α＋π12)cos(α－π12)．∴32(sin 2α－sin π6)＝12(sin 2α＋sin π6)．∴3sin 2α－32＝sin 2α＋12，∴sin 2α＝1.。

3.3三角函数的积化和差与和差化积知识点一：积化和差1．已知cos2α－cos2β＝m，那么sin(α＋β)sin(α－β)等于m mA．－m B．m C．－ D.2 22．sin20°cos70°＋sin10°sin50°的值为1 3 1A. B. C. D.4 2 2 3 43．在△A BC中，若B＝30°，则cosAsinC的取值范围是1 1A．[－1,1] B．[－，]2 21 3 3 1C．[－，] D．[－，]4 4 4 44．计算sin105°cos75°的值是1 1 1 1A. B. C．－D．－2 4 4 2ππ5．函数y＝sin(x＋)sin(x＋)的最小正周期T＝__________.3 2知识点二：和差化积6．将cos2x－sin2y化为积的形式，结果是A．－sin(x＋y)sin(x－y)B．cos(x＋y)cos(x－y)C．sin(x＋y)cos(x－y)D．－cos(x＋y)sin(x－y)ππ7．函数y＝cos2(x－)＋sin2(x＋)－1是12 12A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数2π4π8．化简sin(θ＋)＋sin(θ＋)的结果是__________．3 39．把cosx＋cos2x＋cos3x＋cos4x化成积的形式．110．把下列各式化为积的形式：(1)sin122°＋sin36°；(2)sin75°－sin15°；(3)co s75°－cos23°.能力点一：利用积化和差、和差化积公式进行求值、化简、证明11．有下列关系式：①sin5θ＋sin3θ＝2sin8θcos2θ；②cos3θ－cos5θ＝－12sin4θsinθ；③sin3θ－sin5θ＝－cos4θcosθ；④sin5θ＋cos3θ＝2sin4θcosθ；21⑤sinxsiny＝[cos(x－y)－cos(x＋y)]．2其中正确等式的个数是A．0 B．1 C．2 D．3π12．函数f(x)＝asinx＋acos(x－)(x∈R)的最大值是6，则实数a等于6A. 2 B．－2 C. 3 D．－32π4π6π13．化简cos ＋cos ＋cos 所得结果为7 7 7π 1 πA．sin B. sin7 2 721 1 πC．－D．－cos2 2 7πsin2x＋sin2x＋314．函数y＝的最小正周期是__________．πcos2x＋cos2x＋3115．求证：sinαsin(60°＋α)sin(60°－α)＝sin3α.4能力点二：公式的综合应用A16.在△ABC中，若sinBsinC＝cos2 ，则△ABC是2A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形117．如果向量a＝(c osα＋sinα，2 009)，b＝(c osα－sinα，1)，且a∥b，那么cos2α＋tan2α＋1的值是__________．1 1 218．已知△ABC的三个内角A、B、C满足：(1)A＋C＝2B；(2) ＋＝－，求coscosA cosC cosBA－C的值．2ππ 1 ππ19．已知sin( ＋2α)sin(－2α)＝，α∈(，)，求：2sin2α＋tanα－cotα－4 4 4 4 21的值．→→→→20．已知△ABC的面积为3，且满足0≤AB·AC≤6，设〈AB，AC〉＝θ.(1)求θ的取值范围；π(2)求函数f(θ)＝2sin2( ＋θ)－cos2θ的最大值与最小值．6答案与解析11．A sin(α＋β)sin(α－β)＝－(cos2α－cos2β)241＝－[(2cos2α－1)－(2cos2β－1)]＝－(cos2α－cos2β)＝－m.21 12．A原式＝[sin90°＋sin(－50°)]＋(－cos60°＋cos40°)2 21 1 1 1＝－sin50°＋cos40°－2 2 2 41＝.41 1 13．C cosAsinC＝[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝－sin(A－C)，2 4 2∵－1≤sin(A－C)≤1，1 3∴cosAsinC∈[－，]．4 44．B5．π6．Bππ1＋cos2x＋1－cos2x＋6 67．C y＝＋－12 21 πππ 1＝[cos(2x－)－cos(2x＋)]＝－sin2x·sin(－)＝sin2x，2 6 6 6 2∴函数是周期为π的奇函数．8．－sinθ9．解：原式＝(cosx＋cos4x)＋(cos2x＋cos3x)5 3 5 x＝2cos xcos x＋2cos xcos2 2 2 25 3 x＝2cos x(cos x＋cos )2 2 25 x＝4cos x·cosx·cos .2 2122°＋36°122°－36°10．解：(1)sin122°＋sin36°＝2sin ·cos＝2 22sin79°·cos43°；75°＋15°75°－15° 2(2)sin75°－sin15°＝2cos ·sin＝2cos45°·sin30°＝；2 2 2(3)cos75°－cos23°75°＋23°75°－23°＝－2sin sin2 2＝－2sin49°·sin26°.能力提升11．B根据和差化积公式与积化和差公式，只有⑤正确．ππ2ππ12．A f(x)＝asinx＋asin[ －(x－)]＝a[sinx＋sin(－x＋)]＝2asin cos(x－2 63 35π π )＝ 3acos(x － )， 3 3∴ 3a ＝ 6，a ＝ 2. 13．C 原式＝2π 4π 6π π cos ＋cos ＋cos sin7 7 7 7＝πsin 71 3π π 5π 3π 5π sin －sin ＋sin －sin ＋sin π－sin2 7 7 7 7 7π sin 71 π － sin2 7 1 ＝ ＝－ . π 2sin7 π sin2x ＋sin 2x ＋ π 3 14.2 πcos2x ＋cos 2x ＋31 sin2x ＋ sin2x ＋ 2＝ 1 cos2x ＋ cos2x － 23cos2x2 3sin2x2＝3 3 31 sin2x ＋ cos2x2 23 1cos2x － sin2x2 2πsin 2x ＋ 6 π ＝ ＝tan(2x ＋ )， π 6 cos 2x ＋6 π π ∴y ＝tan(2x ＋ )，T ＝ . 6 21 15．证明：左边＝sinα·(－ )(cos120°－cos2α)21 1＝ sinα＋ sinαcos2α 4 2 1 1＝ sinα＋ [sin3α＋sin(－α)] 4 4 1 1 1 ＝ sinα＋ sin3α－ sinα 4 4 4 1＝ sin3α.6∴左边＝右边，原等式成立．16．B在△ABC中，A∵sinBsinC＝cos2 ，21＋cosA∴sinBsinC＝，2即2sinBsinC＝1－cos(B＋C)．∴cos(B－C)＝1. ∴B－C＝0，即B＝C. 17．2010∵a∥b，∴cosα＋sinα－2 009(cosα－sinα)＝0，cosα＋sinα即＝2 009.cosα－sinα1 1 sin2α又＋tan2α＋1＝＋＋1cos2αcos2αcos2α1＋sin2α＝＋1cos2αsin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝＋1cos2α－sin2αcosα＋sinα＝＋1＝2 009＋1cosα－sinα＝2 010.18．解：由题设条件知B＝60°，A＋C＝120°，－ 2∵＝－2 2，cos60°1 1∴＋＝－2 2.cosA cosC∴cosA＋cosC＝－2 2cosAcosC.利用和差化积及积化和差公式得A＋C A－C2cos cos ＝－2[cos(A＋C)＋cos(A－C)]，2 2A－C 1 A－C∴cos＝－2(－＋2cos2 －1)，2 2 2A－C A－C化简得4 2cos2 ＋2cos －3 2＝0，2 2A－C A－C又(2cos －2)(2 2cos ＋3)＝0，2 2A－C∵22cos ＋3≠0，2A－C 2∴cos＝.2 219．解：由已知，得1 π 1－(cos －cos4α)＝，2 2 471∴cos4α＝.2ππ∵α∈(，)，4 2∴4α∈(π，2π)．5π∴4α＝.35π∴2α＝.6∴2sin2α＋tanα－cotα－1sinαcosα＝2sin2α＋－－1cosαsinαsin2α－cos2α＝1－cos2α＋－1sinαcosαcos2α＝－cos2α－1sin2α25π2cos5π 6＝－cos －6 5πsin632 ×3 2 5 3＝＋＝.2 1 22拓展探究20．解：(1)设△ABC的角A、B、C所对应的边的边长分别为a、b、c.1则S△ABC＝bcsinθ＝3.26∴bc＝.①sinθ→→由已知：0≤AB·AC≤6，得0≤bccosθ≤6，②6cosθ将①代入②得0≤≤6，sinθ即0≤cotθ≤1，又θ为△ABC的内角，ππ∴θ∈[，]．4 2π (2)f(θ)＝1－cos( ＋2θ)－cos2θ3ππ＝1－2cos(2θ＋)cos6 6π＝1－3cos(2θ＋)，6ππ由(1)知≤θ≤，4 2π∴≤2θ≤π.22ππ7π∴≤2θ＋≤.3 6 6π 1∴－1≤cos(2θ＋)≤－.6 2π 3 ∴－3≤3cos(2θ＋)≤－.6 25π∴当θ＝时，y max＝1＋，312π 3当θ＝时，y min＝1＋.2 2。

3.3 三角函数的积化和差与和差化积知识点一：积化和差1．已知cos 2α－cos 2β＝m ，那么sin(α＋β)sin(α－β)等于A ．－mB ．mC ．－m 2 D.m 22．sin20°cos70°＋sin10°sin50°的值为A.14B.32C.12D.343．在△A BC 中，若B ＝30°，则cosAsinC 的取值范围是A ．[－1,1]B ．[－12，12]C ．[－14，34]D ．[－34，14]4．计算sin105°cos75°的值是 A.12 B.14 C ．－14 D ．－125．函数y ＝sin(x ＋π3)sin(x ＋π2)的最小正周期T ＝__________.知识点二：和差化积6．将cos 2x －sin 2y 化为积的形式，结果是A ．－sin(x ＋y)sin(x －y)B ．cos(x ＋y)cos(x －y)C ．sin(x ＋y)cos(x －y)D ．－cos(x ＋y)sin(x －y)7．函数y ＝cos 2(x －π12)＋sin 2(x ＋π12)－1是A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数8．化简sin(θ＋2π3)＋sin(θ＋4π3)的结果是__________．9．把cosx ＋cos2x ＋cos3x ＋cos4x 化成积的形式．10．把下列各式化为积的形式：(1)sin122°＋sin36°；(2)sin75°－sin15°；(3)cos75°－cos23°.能力点一：利用积化和差、和差化积公式进行求值、化简、证明11．有下列关系式：①sin5θ＋sin3θ＝2sin8θcos2θ；②cos3θ－cos5θ＝－2sin4θsinθ；③sin3θ－sin5θ＝－12cos4θcosθ；④sin5θ＋cos3θ＝2sin4θcosθ；⑤sinxsiny＝12[cos(x －y)－cos(x ＋y)]． 其中正确等式的个数是A ．0B ．1C ．2D ．312．函数f(x)＝asinx ＋acos(x －π6)(x∈R )的最大值是6，则实数a 等于 A. 2 B ．－ 2 C. 3 D ．－ 313．化简cos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7所得结果为 A ．sin π7 B.12sin π7C ．－12D ．－12cos π714．函数y ＝sin2x ＋sin 2x ＋π3cos2x ＋cos 2x ＋π3的最小正周期是__________． 15．求证：sinαsin(60°＋α)sin(60°－α)＝14sin3α.能力点二：公式的综合应用16.在△ABC 中，若sinBsinC ＝cos 2A 2，则△ABC 是 A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形17．如果向量a ＝(cosα＋sinα，2 009)，b ＝(cosα－sinα，1)，且a ∥b ，那么1cos2α＋tan2α＋1的值是__________．18．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：(1)A ＋C ＝2B ；(2)1cosA ＋1cosC ＝－2cosB，求cos A －C 2的值．19．已知sin(π4＋2α)sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求：2sin 2α＋tanα－cotα－1的值．20．已知△ABC 的面积为3，且满足0≤AB →·AC →≤6，设〈AB →，AC →〉＝θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f(θ)＝2sin 2(π6＋θ)－cos2θ的最大值与最小值．答案与解析1．A sin(α＋β)sin(α－β)＝－12(cos2α－cos2β)＝－12[(2cos 2α－1)－(2cos 2β－1)]＝－(cos 2α－cos 2β)＝－m. 2．A 原式＝12[sin90°＋sin(－50°)]＋12(－cos60°＋cos40°) ＝12－12sin50°＋12cos40°－14＝14. 3．C cosAsinC ＝12[sin(A ＋C)－sin(A －C)]＝14－12sin(A －C)， ∵－1≤sin(A－C)≤1，∴cosAsinC∈[－14，34]． 4．B5．π6．B7．C y ＝1＋cos 2x ＋π62＋1－cos 2x ＋π62－1 ＝12[cos(2x －π6)－cos(2x ＋π6)]＝－sin2x·sin(－π6)＝12sin2x ， ∴函数是周期为π的奇函数．8．－sinθ9．解：原式 ＝(cosx ＋cos4x)＋(cos2x ＋cos3x)＝2cos 52xcos 32x ＋2cos 52xcos x 2＝2cos 52x(cos 32x ＋cos x 2) ＝4cos 52x·cosx·cos x 2. 10．解：(1)sin122°＋sin36°＝2sin122°＋36°2·cos 122°－36°2＝2sin79°·cos43°；(2)sin75°－sin15°＝2cos 75°＋15°2·sin 75°－15°2＝2cos45°·sin30°＝22； (3)cos75°－cos23°＝－2sin 75°＋23°2sin 75°－23°2＝－2sin49°·sin26°.能力提升11．B 根据和差化积公式与积化和差公式，只有⑤正确．12．A f(x)＝asinx ＋asin[π2－(x －π6)]＝a[sinx ＋sin(－x ＋2π3)]＝2asin π3cos(x－π3)＝3acos(x －π3)， ∴3a ＝6，a ＝ 2. 13．C 原式＝cos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7sin π7sin π7＝ 12sin 3π7－sin π7＋sin 5π7－sin 3π7＋sinπ－sin 5π7sin π7＝－12sin π7sin π7＝－12.14.π2 sin2x ＋sin 2x ＋π3cos2x ＋cos 2x ＋π3＝sin2x ＋12sin2x ＋32cos2xcos2x ＋12cos2x －32sin2x＝332sin2x ＋12cos2x332cos2x －12sin2x＝sin 2x ＋π6cos 2x ＋π6＝tan(2x ＋π6)，∴y＝tan(2x ＋π6)，T ＝π2.15．证明：左边＝sinα·(－12)(cos120°－cos2α)＝14sinα＋12sinαcos2α＝14sinα＋14[sin3α＋sin(－α)]＝14sinα＋14sin3α－14sinα＝14sin3α.∴左边＝右边，原等式成立．16．B 在△ABC 中，∵sinBsinC＝cos 2A 2，∴sinBsinC＝1＋cosA 2，即2sinBsinC ＝1－cos(B ＋C)．∴cos(B－C)＝1.∴B－C ＝0，即B ＝C.17．2 010 ∵a ∥b ，∴cosα＋sinα－2 009(cosα－sinα)＝0，即cosα＋sinαcosα－sinα＝2 009.又1cos2α＋tan2α＋1＝1cos2α＋sin2αcos2α＋1＝1＋sin2αcos2α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋2sinαcosαcos 2α－sin 2α＋1＝cosα＋sinαcosα－sinα＋1＝2 009＋1＝2 010.18．解：由题设条件知B ＝60°，A ＋C ＝120°， ∵－2cos60°＝－22，∴1cosA ＋1cosC ＝－2 2.∴cosA＋cosC ＝－22cosAcosC.利用和差化积及积化和差公式得2cos A ＋C 2cos A －C2＝－2[cos(A ＋C)＋cos(A －C)]， ∴cos A －C2＝－2(－12＋2cos 2A －C2－1)，化简得42cos 2A －C 2＋2cos A －C2－32＝0， 又(2cos A －C 2－2)(22cos A－C2＋3)＝0， ∵22cos A －C2＋3≠0，∴cos A －C 2＝22. 19．解：由已知，得－12(cos π2－c os4α)＝14，∴cos4α＝12.∵α∈(π4，π2)，∴4α∈(π，2π)．∴4α＝5π3.∴2α＝5π6.∴2sin 2α＋tanα－cotα－1＝2sin 2α＋sinαcosα－cosαsinα－1＝1－cos2α＋sin 2α－cos 2αsinαcosα－1＝－cos2α－cos2α12sin2α＝－cos 5π6－2cos 5π6sin 5π6＝32＋2×3212＝532.拓展探究20．解：(1)设△ABC 的角A 、B 、C 所对应的边的边长分别为a 、b 、c. 则S △ABC ＝12bcsinθ＝3.∴bc＝6sinθ.①由已知：0≤AB →·AC →≤6，得0≤bccosθ≤6，②将①代入②得0≤6cosθsinθ≤6，即0≤cotθ≤1，又θ为△ABC 的内角，∴θ∈[π4，π2]． (2)f(θ)＝1－cos(π3＋2θ)－cos2θ＝1－2cos(2θ＋π6)cos π6＝1－3cos(2θ＋π6)，由(1)知π4≤θ≤π2， ∴π2≤2θ≤π. ∴2π3≤2θ＋π6≤7π6. ∴－1≤cos(2θ＋π6)≤－12. ∴－3≤3cos(2θ＋π6)≤－32.∴当θ＝5π12时，y max ＝1＋3， 当θ＝π2时，y min ＝1＋32.。

教材习题点拨练习A1．(1)sin 54°＋sin 22°＝2sin 38°cos 16°；(2)sin 5x －sin 3x ＝2cos 4x sin x ；(3)cos 40°＋cos 52°＝2cos 46°cos 6°；(4)cos 40°－cos 52°＝2sin 46°sin 6°.2．(1)2sin 64°cos 10°＝sin 74°＋sin 54°；(2)sin 84°cos 132°＝－12sin 36°－12sin 48°； (3)cos π6cos π6＝34； (4)sin 2sin 1.2＝－12cos 3.2＋12cos 0.8. 3．(1)tan α＋tan β＝sin αcos α＋sin βcos β＝sin αcos β＋sin βcos αcos αcos β＝sin (α＋β)cos αcos β＝sin(α＋β)sec αsec β；(2)sin α＋tan α＝sin α(cos α＋1)cos α＝2sin αcos 2α2cos α＝2sin αcos 2α2sec α. 练习B1．(1)12－cos x ＝cos 60°－cos x ＝－2·sin 60°＋x 2sin 60°－x 2； (2)1＋sin 2x ＝sin 90°＋sin 2x ＝2sin(45°＋x )·cos(45°－x )＝2sin 2(45°＋x )或1＋sin 2x ＝(sin x ＋cos x )2＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x .2．(1)sin α＋sin βcos α－cos β＝2sinα＋β2cos α－β2－2sin α＋β2sin α－β2 ＝－cot α－β2＝cot β－α2； (2)sin x －sin y sin (x ＋y )＝2cos x ＋y 2sin x －y 22sin x ＋y 2cos x ＋y 2＝sinx －y 2sin x ＋y 2. 3．因为A ＋B ＋C ＝π，所以C ＝π－(A ＋B )．所以sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝2sin(A ＋B )·cos(A －B )＋sin 2[π－(A ＋B )]＝2sin(A ＋B )cos(A －B )－2sin(A ＋B )·cos(A ＋B )＝2sin(A ＋B )[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝2sinC ×(－2)×sin A sin(－B )＝4sin A ·sin B sin C .习题3－3A1．(1)cos 3x ＋cos 2x ＝2cos 5x 2cos x 2； (2)1＋sin θ＋cos θ＝2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2＝2cos θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ2 ＝22cos θ2sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π4. 2．(1)1＋sin x cos x ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 22cos 2x 2－sin 2x 2＝sin x 2＋cos x 2cos x 2－sin x 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x 22cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2 ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2；(2)2sin x －sin 2x 2sin x ＋sin 2x＝2sin x －2sin x cos x 2sin x ＋2sin x cos x ＝2sin x (1－cos x )2sin x (1＋cos x )＝tan 2x 2. 3．(1)sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2； (2)sin 2α－sin 2β＝(sin α＋sin β)·(sin α－sin β)＝2sin α＋β2cos α－β2·2cos α＋β2·sin α－β2＝sin(α＋β)sin(α－β)； (3)cos 2α－cos 2β＝(cos α＋cos β)(cos α－cos β)＝2cos α＋β2cos α－β2·(－2)·sin α＋β2sin α－β2＝－sin(α＋β)sin(α－β)．4．左边＝2cos (x ＋y )cos (x －y )2cos 2(x ＋y )＝cos (x －y )cos (x ＋y )＝右边． 习题3－3B1．(1)原式＝2cos 30°sin (－10°)－2sin 30°sin (－10°)＝－cot 30°＝－3； (2)原式＝2sin 30°cos 10°－sin 80°＝cos 10°－cos 10°＝0.2．(1)原式＝2cos α＋β2sin α－β2＋2sin α＋β2cos α＋β2＝2cos α＋β2⎝⎛⎭⎫sin α－β2＋sin α＋β2 ＝2cos α＋β2·2sin α2cos β2＝4cos α＋β2sin α2cos β2； (2)原式＝sin α＋sin 2α＋sin 3α＝2sin 2α·cos α＋sin 2α＝2sin 2α⎝⎛⎭⎫cos α＋12 ＝2sin 2α(cos α＋cos 60°)＝4sin 2αcos α＋60°2·cos α－60°2， 或原式＝2sin 3α2cos α2＋2sin 3α2cos 3α2＝2sin 3α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋cos 3α2 ＝2sin 3α2·2cos αcos α2＝4sin 3α2cos αcos α2. 3．(1)原式＝sin 75°cos 75°＝12sin 150°＝14； (2)原式＝cos 60°＋cos 15°＝12＋cos(45°－30°) ＝12＋cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝12＋6＋24； (3)原式＝－2cos 4π13cos π13＋2cos 4π13·cos π13＝0；(4)原式＝1＋cos 146°2＋1＋cos 94°2＋12·(cos 120°＋cos 26°)＝1＋12·2cos 120°cos 26°－14＋12cos 26°＝34－12cos 26°＋12cos 26°＝34. 4．因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C ，所以A ＋B 2＝π2－C 2. 所以cos A ＋cos B ＋cos C＝2cos A ＋B 2cos A －B 2－cos(A ＋B ) ＝2cos A ＋B 2cos A －B 2－2cos 2A ＋B 2＋1 ＝2cos A ＋B 2·⎝⎛⎭⎫cos A －B 2－cos A ＋B 2＋1 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－C 2·(－2)sin A 2·sin ⎝⎛⎭⎫－B 2＋1＝1＋4sin A 2sin B 2sin C 2.。