数列知识总结
①n n a a a S +++=Λ21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()
1(11n S S n S a n n
n .
等差数列
1.等差数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n 项和公式
⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.
⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=
或d n n na S n )1(2
1
1-+=. 3.等差中项
如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项. 即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.
4.等差数列的判定方法
⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； ⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.
5.等差数列的常用性质
⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；
⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即Λ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .
⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a ) ⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；
⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n S n 是等差数列；
⑹当项数为)(2+∈N n n ，则n
n a a
S S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；
当项数为)(12+∈-N n n ，则n
n S S a S S n 1
,-=
=-奇偶偶奇. 等比数列
1.等比数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数
列，常数q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n 项和公式
⑴通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 .
⑵前n 项和公式：①当1=q 时，1na S n =
②当1≠q 时，q
q
a a q q a S n n n --=
--=11)1(11. 3.等比中项
如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.
即：G 是a 与b 的等差中项⇔a ，A ，b 成等差数列⇒b a G ⋅=2.
4.等比数列的判定方法
⑴定义法：q a a
n n =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列；
⑵中项法：22
1++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.
5.等比数列的常用性质
⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列；
⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即Λ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为k q .
⑶),(+-∈⋅=N m n q a a m n m n
⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；
⑸若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列.
求前n 项和n S
一 裂项相消法： 二、分组求和
1111122334111111111
()()()()1223341
11111
n n n n n n n ++++=⋅⋅⋅+-+-+-++-+=-=
++L L （）、11111,2,3,4,n 39278111111234392781+L L L 的前和是：
（++++）+（+++）
三 错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法，
求：
23n-2n-1n n S =x 3x 5x (2n-5)x (2n-3)x (2n-1)x (x 1)
++++++≠L 23n-2n-1n n S =x 3x 5x (2n-5)x (2n-3)x (2n-1)x (x 1)++++++≠L ① 234n-1n n+1n xS =x 3x 5x (2n-5)x (2n-3)x (2n-1)x (x 1)+++++≠L ②
①减②得：
()()()
()23n-1n n+1
n 2n-1n+1
(1x)S =x 2x 2x 2x 2x 2n 1x 2x 1x x 2n 1x
1x
-+++++---=+
---L
从而求出n S 。
错位相减法的步骤：
(1)将要求和的杂数列前后各写出三项，列出①式 (2)将①式左右两边都乘以公比q ，得到②式 (3)用①-②，错位相减
数列
1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667
B ．668
C ．669
D ．670
2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )．
