高二精选题库 数学5-4北师大版

课时作业(十三)1．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n∈N ＋)，则当n ＝1时，f(n)为( )A ．1B ．1＋12C ．1＋12＋13D ．1＋12＋13＋14答案 C解析 当n ＝1时，2n ＋1＝2×1＋1＝3，故f(1)＝1＋12＋13.故选C.2．用数学归纳法证明11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n （n ＋1）＝nn ＋1(n∈N ＋)时，从“n＝k 到n＝k ＋1”时，等式左边需增添的项是( ) A.1k ＋1 B.1k ＋2C.1k （k ＋1）D.1（k ＋1）（k ＋2）答案 D解析 当n ＝k(k∈N ＋)时，等号左边＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1k （k ＋1），当n ＝k ＋1时，等式左边＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1k （k ＋1）＋1（k ＋1）（k ＋2），所以当n ＝k 到n ＝k＋1时，等式左边需增添的项为1（k ＋1）（k ＋2）.故选D.3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n∈N ＋)．试归纳猜想出S n 的表达式为( ) A.2nn ＋1B.2n －1n ＋1 C.2n ＋1n ＋2 D.2n n －1答案 A解析 因为a 1＝1，所以S 1＝1；又S 2＝4a 2＝a 1＋a 2， 所以3a 2＝1，所以a 2＝13，S 2＝43；又S 3＝9a 3＝S 2＋a 3，8a 3＝43，所以a 3＝16，所以S 3＝32＝64，由此可猜想S n ＝2nn ＋1(n∈N ＋)．4．设f(n)＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n∈N ＋)，在利用数学归纳法证明时，从n ＝k 到n＝k ＋1需添的项为( ) A.12k ＋1B.12k ＋2C.12k ＋1＋12k ＋2D.12k ＋1－12k ＋2答案 D5．设平面内有k 条直线，其中任意两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为f(k)，则f(k ＋1)与f(k)的关系是( ) A ．f(k ＋1)＝f(k)＋k ＋1 B ．f(k ＋1)＝f(k)＋k －1 C ．f(k ＋1)＝f(k)＋k D ．f(k ＋1)＝f(k)＋k ＋2答案 C解析 当n ＝k ＋1时，任取其中1条直线，记为l ，则除l 外的其他k 条直线的交点的个数f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是f(k)＋k ＝f(k ＋1)． 6．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a≠1，n ∈N *)”时，在验证当n ＝1成立时，左边计算所得的结果是( ) A ．1 B ．1＋a C ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3答案 C解析 左边n ＝1时，幂指数最大值为1＋1＝2，∴左边结果为1＋a ＋a 2.7．用数学归纳法证明n(n ＋1)(2n ＋1)能被6整除时，由归纳假设推证n ＝k ＋1时命题成立，需将n ＝k ＋1时的原式表示成( ) A ．k(k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1) B ．6k(k ＋1)(2k ＋1) C ．k(k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)2D ．以上都不对答案 C8．记凸k 边形的内角和为f(k)，则凸k ＋1边形的内角和f(k ＋1)＝f(k)＋( ) A.π2 B ．π C.32π D ．2π答案 B解析 由凸k 边形变为凸k ＋1边形时，增加了一个三角形图形．故f(k ＋1)＝f(k)＋π.故选B.9．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”时，第二步正确的证明方法是( )A ．假设n ＝k(k∈N *)时成立，证明n ＝k ＋1时命题成立 B ．假设n ＝k(k 是正奇数)时成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立 C ．假设n ＝2k ＋1(k∈N *)时成立，证明n ＝2k ＋3时命题也成立 D ．假设n ＝2k －1(k∈N *)时成立，证明n ＝2k ＋1时命题也成立 答案 D解析 由完全归纳法知，只有当n 的初始值取值成立，且n ＝k 成立，能推出n ＝k ＋1时也成立，才可证明结论成立，两者缺一不可．A ，B 选项都是错误的，因为n 是正奇数．C 选项当k ＝1时的起始值为3，所以也不正确，故选D. 10．某学生在证明等差数列前n 项和公式时，证法如下： (1)当n ＝1时，S 1＝a 1显然成立．(2)假设当n ＝k(k≥1，k ∈N *)时，公式成立，即 S k ＝ka 1＋k （k －1）d2.当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＝a 1＋(a 1＋d)＋(a 1＋2d)＋…＋a 1＋(k －1)d ＋a 1＋kd ＝(k ＋1)a 1＋k （k ＋1）2d＝(k ＋1)a 1＋（k ＋1）[（k ＋1）－1]2 d.∴当n ＝k ＋1时公式成立．∴由(1)(2)可知对n∈N *，公式成立． 以上证明错误的是( )A ．当n 取第一个值1时，证明才对B ．归纳假设写法不对C ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中未用归纳假设D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理有错误 答案 C解析 因为没有用上归纳假设，所以是错误的．11．若凸k 边形对角线条数为f(k)，则凸k ＋1边形对角线条数f(k ＋1)＝f(k)＋________． 答案 k －1解析 凸k ＋1边形A 1A 2A 3…A k ＋1的对角线条数由下列三部分相加而得．①凸k 边形A 1A 2A 3…A k 的对角线条数f(k)．②A 1A k 由原凸k 边形的边变为凸k ＋1边形的对角线．③顶点A k ＋1与另外k －2个顶点A 2、A 3、…、A k －1生成k －2条对角线．所以，f(k ＋1)＝f(k)＋1＋(k －2)＝f(k)＋k －1.12．用数学归纳法证明：设f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n ，则n ＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n －1)＝nf(n)(n∈N *，且n≥2)第一步要证明的式子是________． 答案 2＋f(1)＝2f(2)解析 n ＝2时，等式左边＝2＋f(1)，右边＝2f(2)．13．用数学归纳法证明：(n ＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n －1)，从k 到k ＋1左端需增乘的代数式为________． 答案 2(2k ＋1)解析 当n ＝k 时，(k ＋1)·(k＋2)·…·(k＋k)＝ 2k·1·3·…·(2k －1)，当n ＝k ＋1时，(k ＋2)·(k＋3)·…·2k·(2k＋1)·(2k＋2)＝2k ＋1·1·3·…·2k ·(2k＋1)．∴左端需增乘（2k ＋1）（2k ＋2）k ＋1＝2(2k ＋1)．14．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命题成立．(2)假设当n ＝k(k≥1，且k∈N *)时命题成立，即有 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12). 当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 从而可知，当n ＝k ＋1时，命题亦成立．由(1)(2)可知，命题对一切正整数n 均成立． 15．用数学归纳法证明对于整数n≥0，A n ＝11n ＋2＋122n ＋1能被133整除．证明 (1)当n ＝0时，A 0＝112＋12＝133能被133整除． (2)假设n ＝k 时，A k ＝11k ＋2＋122k ＋1能被133整除．当n ＝k ＋1时， A k ＋1＝11k ＋3＋122k ＋3＝11·11k ＋2＋122·122k ＋1＝11·11k ＋2＋11·122k ＋1＋(122－11)·122k ＋1＝11·(11k ＋2＋122k ＋1)＋133·122k ＋1.∴n ＝k ＋1时，命题也成立．根据(1)(2)，对于任意整数n≥0，命题都成立．1．对于不等式n 2＋n<n ＋1(n∈N ＋)，某学生用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n ＝1时命题显然成立．(2)假设n ＝k(k∈N ＋，k ≥1)时原不等式成立，即k 2＋k<k ＋1，则n ＝k ＋1时，左边＝（k ＋1）2＋（k ＋1）＝k 2＋3k ＋2<（k 2＋3k ＋2）＋（k ＋2）＝（k ＋2）2＝(k ＋1)＋1.即n ＝k ＋1时原不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式一切n∈N ＋都成立． 对上述证明过程，下列说法正确的是( ) A ．过程全部分正确 B ．n ＝1时验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确答案 D解析 上述过程中，n ＝1的验证及假设均正确，只是在(2)中的证明没有使用归纳假设，因此证明过程错误，故选D.2．证明：凸n(n∈N *，n ≥4)边形的对角线的条数f(n)＝12n(n －3)．证明 (1)当n ＝4时，f(4)＝12×4×(4－3)＝2，四边形有两条对角线，命题成立．(2)假设当n ＝k(k∈N *，k ≥4)时命题成立，即凸k 边形的对角线的条数f(k)＝12k(k －3)(k≥4)．当n ＝k ＋1时，凸(k ＋1)边形是在k 边形的基础上增加了一条边，增加了一个顶点A k ＋1，增加的对角线条数是顶点A k ＋1与不相邻顶点连线再加上原k 边形的一边A 1A k ，共增加的对角线条数为k －1.f(k ＋1)＝12k(k －3)＋k －1＝12(k 2－k －2)＝12(k ＋1)(k －2) ＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]． 故当n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)可知，对于n≥4，n ∈N *命题成立．点评 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 个变成k ＋1个时，所证的几何量将增加多少．3．已知函数f(x)＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)．试比较11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n与1的大小，并说明理由． 解析11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n<1. 理由如下：因为f ′(x)＝x 2－1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)， 所以a n ＋1≥(a n ＋1)2－1.因为函数g(x)＝(x ＋1)2－1＝x 2＋2x 在区间[－1，＋∞)上单调递增，于是由a 1≥1，得a 2≥(a 1＋1)2－1≥22－1，进而得a 3≥(a 2＋1)2－1≥24－1>23－1， 由此猜想：a n ≥2n－1.下面用数学归纳法证明这个猜想： ①当n ＝1时，a 1≥21－1＝1，结论成立； ②假设当n ＝k(n∈N *)时结论成立， 即a k ≥2k－1，则当n ＝k ＋1时，由g(x)＝(x ＋1)2－1在区间[－1，＋∞)上单调递增知，a k ＋1≥(a k ＋1)2－1≥22k－1≥2k ＋1－1，即n ＝k ＋1时，结论也成立．由①，②知，对任意n∈N *，都有a n ≥2n－1. 即1＋a n ≥2n，所以11＋a n ≤12n .所以11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n ≤12＋122＋123＋…＋12n ＝1－(12)n<1.。

一、选择题1．若0x y >>，{}0,1,2,,2020n ∈⋅⋅⋅，则使得1ny nx x y +>恒成立的n 有（ ）个.A ．1B ．2C ．3D ．20212．已知333222,,,,a b c R A a b c B a b b c c a +∈=++=++，则A 与B 的大小关系为（ ） A ．A B ≥ B ．A B ≤C ．A B =D ．A 与B 的大小不确定3．设,,,,,a b c A B C R ∈，且满足,a b c A B C ≤≤≤≤，若1S Aa Bb Cc =++，2S Ac Bb Ca =++，3S Ab Bc Ca =++，则 （ ）A ．123S S S ≤≤B ．321S S S ≤≤C ．132S S S ≤≤D ．231S S S ≤≤4．设,,a b c R +∈，1a b c ++=，则下列选项中是假命题的是（ ）． A ．13ab bc ca ++≤B ．22213a b c ++≥ C ．33313a b c ++≥D ．1119a b c++≥ 5．函数()12f x cos x cosx =-+ ，则()f x 的最大值是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．26．已知，则的最小值是( ) A ．B ．C ．D ．7．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：222212121122|]x x y y x y x y +-++0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①1()f x x x=+(0)x >：②()ln (0)f x x x e =<<：③()cos f x x =:④2()4f x x =-. 其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．已知a ，b ，c 均为正数，若1a b c ++=，则111a b c++的最小值为A ．9B ．8C ．3D ．13 9．已知2x+3y+4z=10,则x 2+y 2+z 2取到最小值时的x,y,z 的值为( ) A ．5105,,396B ．203040,,292929C ．111,,23D ．11,4910．y=x 21-x + （ ）A ．1B ．2C．2 D ．411．函数()122f x x x =-+-的最大值为（ ）A ．5B ．5C ．1D ．212．设是正数，且，，，则A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知22326x y +=，则2x y +的最大值为__________．14．已知椭圆C 和双曲线Q 有相同焦点12,F F ，且它们的离心率分别为12,e e ，设点M 是C 与Q 的一个公共点，若2160F MF ︒∠=，则1212e e e e +的最小值为______. 15．已知x 、y 、z ∈R ，且2x+3y+3z=1，则x 2+y 2+z 2的最小值为____．16．若,,,(0,)a b c d ∈+∞，2222,a b c d a b c dx ++=++=，则x 的取值范围为_____． 17．已知实数x y 、、z 满足231x y z ++=，则222x y z ++的最小值为 . 18．若正实数,,a b c 满足，则当22223a b c ++取最小值时，249a b c++的值为________．19．设x ，y ，z ∈R ，且满足：，则x+y+z=___________．20．设,x y R ∈,则222211()(4)x y y x++的最小值为________． 三、解答题21．（Ⅰ）若,a b ∈R ，且满足32b a +=，证明：2262b a +≥；（Ⅱ）若,a b ∈R ，且满足1123b c a ++=222623b c a ++≥.22．已知函数()|2||21|f x x x =-++．（1）求不等式()3f x 的解集；（2）已知222(1)(1)6a b c +-++=，证明：824a b c --+． 23．已知函数()2f x x x a =++. （1）若1a =-，解不等式f (x )≤1；（2）已知当x >0时，23123()()x x x x x x ---++++的最小值等于m ，若0x R ∃∈使不等式00()()f x a f x m ->+成立，求实数a 的取值范围.24．已知函数()46f x x x =-+-． （1）求不等式()6f x ≥的解集； （2）设()f x 的最小值为m ，且()114,,0m a b c a b c++=>，证明：8a b c ++≥． 25．已知x ，y ，z 均为正数，且11131112x y z ++≤+++，求证：4910x y z ++≥． 26．已知实数a ，b ，c 均为正数. （1）若2a b >，求22(2)a b a b +-的最小值；（2）若2225a b c ++=，证明：5551118222a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据题意，分情况讨论，1x y >≥和10x y >>>，0n =，1n =，2n ≥判断，得出结论. 【详解】如1x y >≥，1ny nx x y +>显然成立；当10x y >>>，0n =时，21ny nx x y +=>成立；当1n =时，由贝努力不等式(1)1r x rx +>+，1r >，1x >-， 取1r y =，y a x=， 则111(1)10y y x x x+=+>>，1y x y x x +>，得y x x x y >+， 同理xy y x y>+，故1ny nx x y +>成立；当2n ≥时，取12x =，14y =，代入检验1124211111()()()()122224n nynxnx y +=+<+=+<，不成立，故选：B ．【点睛】本题考查恒成立问题，利用了贝努力不等式，考查运算求解能力，是中档题．2．A解析：A 【解析】试题分析：取两组数：,,a b c 与222,,a b c ，显然333a b c ++是顺序和，222a b b c c a ++是乱序和，所以333222a b c a b b c c a ++≥++，即A B ≥，故选A ． 考点：排序不等式．3．D解析：D 【分析】由排序不等式可直接得解. 【详解】,a b c A B C ≤≤≤≤，1S Aa Bb Cc =++为顺序和，2S Ac Bb Ca =++为倒序和，3S Ab Bc Ca =++为乱序和，由排序不等式可知：倒序和≤乱序和≤顺序和， 所以231S S S ≤≤. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了利用排序不等式比较大小，属于基础题.4．C解析：C 【分析】根据基本不等式，判断AB 选项正确；举特殊值13a b c ===，可判断C 选项错误；根据柯西不等式，可判断D 选项正确. 【详解】 因为1a b c ++=，所以()21a b c ++=，即2222221a b c ab ac bc +++++=， 由基本不等式可得：222222a b c ab ac bc +++++222222222333222a b a c c b ab ac bc ab ac bc +++≥=+++++++，所以13ab bc ca ++≤，当且仅当a b c ==时，等号成立；故A 正确；又()()()222222222222222a b c a b c a b a c b c ab ac bc ++++++++++≤+++即222222332223a b c a b c ab ac bc +++++++≤，所以22213a b c ++≥，当且仅当a b c ==时，等号成立；故B 正确； 因为,,a b c R +∈，1a b c ++=，若13a b c ===，则3331111127272793a b c ++=++=<，所以33313a b c ++≥不正确；故C 错；由柯西不等式得：()21111119a b c a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫++++≥⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝， 即1119a b c++≥；当且仅当111ab cab c==，即13a b c ===时，等号成立，故D 正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，灵活运用基本不等式以及柯西不等式即可，属于常考题型.5．A解析：A 【分析】将()f x 化为()22f x sin x cosx =+，利用柯西不等式即可得出答案.【详解】因为()12f x cos x cosx =-+ 所以()()()222221f x sin x cosxsin x cos x =+++3=当且仅当3cosx =时取等号. 故选：A 【点睛】本题主要考查了求函数的最值，涉及了柯西不等式的应用，属于中档题.6．D解析：D 【分析】由条件利用柯西不等式得，，由此求得的最小值．【详解】 解：因为，根据柯西不等式，可得，，故，当且仅当时取等号，故的最小值为，所以选D ． 【点睛】本题主要考查柯西不等式的简单应用．7．B解析：B 【分析】由柯西不等式得对任意的实数1212,x x y y ，，都有222212121122·x x y y x y x y +++， 当且仅当1122=x y x y 时取等，此时12120000y y x x --=--即A,O,B 三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数⇔f(x)的图像上存在两点A 与B ，使得A,O,B 三点共线⇔过原点直线与f(x)有两个交点.再利用柯西函数的定义逐个分析推理得解. 【详解】由柯西不等式得对任意的实数1212,x x y y ，，都有222212121122·x x y y x y x y +++， 当且仅当1122=x y x y 时取等，此时12120000y y x x --=--即A,O,B 三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数⇔f(x)的图像上存在两点A 与B ，使得A,O,B 三点共线⇔过原点直线与f(x)有两个交点. ①()()10f x x x x=+>,画出f(x)在x ＞0时，图像若f(x)与直线y=kx 有两个交点，则必有k≥2，此时，1x kx x +=，所以211)1,1k x x k -=∴=-（x ＞0），此时仅有一个交点，所以()()10f x x x x=+>不是柯西函数； ②()()0f x lnx x e =<<，曲线()()0f x lnx x e =<<过原点的切线为xy e=，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B 与O 共线，所以函数()()0f x lnx x e =<<不是；③()f x cosx =；④()24f x x =-．显然都是柯西函数.故选B 【点睛】本题主要考查柯西不等式，考查学生对新概念的理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．A解析：A 【分析】利用柯西不等式可得最小值． 【详解】因为()111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭222222⎡⎤⎡⎤⎢⎥=++++⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦29≥= 当且仅当13a b c ===时等号成立，故所求最小值为9，故选A ． 【点睛】 一般地，如果12,,,n a a a ，12,,,n b b b 是实数，那么()()()222222212121111n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++，进一步地，（1）如果1111n n a b a b a b M +++=，那么()()2222221212n n a a a b b b ++++++有最小值2M ，当且仅当1111nna a ab b b ===时取最小值； （1）如果()()2222221212n n a a a b b b M ++++++=，那么1111n n a b a ba b +++有最大1111nna a ab b b ===时取最大值． 9．B解析：B 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式成立的条件得到关于x ,y ,z 的方程，解方程即可求得x ,y ,z 的值. 【详解】由柯西不等式,得(x 2+y 2+z 2)(22+32+42)≥(2x+3y+4z )2=100, 则x 2+y 2+z 2≥100.29当且仅234x y z ==当时,取到最小值,所以联,23423410,x y zx y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩立可得x 203040,,.292929y z === 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，柯西不等式等号成立的条件，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．C解析：C 【解析】 【分析】首先求得平方的最大值，然后确定y 的最大值即可. 【详解】函数有意义，则210x -≥，即11x -≤≤， 且()()22222211211222x x y x x ⎡⎤+-⎢⎥=+-≤+=⎢⎥⎣⎦， 则y =x 21x +-的最大值是2. 当且仅当221x x =-，即2x =时等号成立. 本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查函数最值的求解，均值不等式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．B解析：B 【解析】分析：直接利用柯西不等式求函数()122f x x x =-+-的最大值.详解：由柯西不等式得22222(12)(12)(122)x x x x +-+-≥-+-， 所以122x x -+-5≤（当且仅当12x x=--即x=65时取最大值）故答案为B.点睛：（1）本题主要考查柯西不等式求最值，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 二元柯西不等式的代数形式：设a b c d ,,,均为实数，则22222()()()a b c d ac bd ≥+++，其中等号当且仅当ad bc =时成立. 12．C解析：C 【解析】本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件. 由于等号成立当且仅当则a="t" x b="t" y c="t" z ，所以由题知又，答案选C 。

第二课时平行线分线段成比例定理1．如图：已知D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC 延长线于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝8，则AE＝()A．2 B．4C．6 D．8答案：B2．如图，已知P、Q分别在BC和AC上，BPCP＝25，CQQA＝34，则ARRP＝()A．3∶14B．14∶3C．17∶3D．17∶14答案：B3．如图，AB∥CD，AC、BD相交于O点，BO＝7，DO＝3，AC＝25，则AO的长为()A．10B．12.5C．15D．17.5答案：D4．如图，D、E、F分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，DF∥AC，则以下比例成立的是()A.ADBD＝DEBC B.AEEC＝BFFCC.DFAC＝DEBC D.ECAC＝BFBC答案：D5．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中，不．能判定DE∥BC 的是()A．AD＝5，AB＝8，AE＝10，AC＝16B．BD＝1，AD＝3，CE＝2，AE＝6C．AB＝7，BD＝4，AE＝4，EC＝3D．AB＝AC＝8，AD＝AE＝8答案：C6．如图，在△ABC中，MN∥DE∥BC，若AE∶EC＝7∶3，则DB∶AB的值为________．答案：3∶107．如图所示，l1∥l2∥l3，若CH＝4.5 cm，AG＝3 cm，BG＝5 cm，EF＝12.9 cm，则DH＝____，E K＝________.答案：7.5 cm34.4 cm8．如图，一直线交△ABC的边AC、AB于D、F点，交CB的延长线于E，若AD＝BE，求证：AC·DF＝BC·EF.证明：法一：如图(1)，过D作DG∥AB交BC于G，由AD＝BE，(1)则EFDF＝EBBG＝ADBG.①BC BG＝ACAD，即ADBG＝ACBC.②由①②得EFDF＝ACBC.即：AC·DF＝BC·EF.法二：如图(2)，过D作DH∥BC交AB于H，(2)则EFFD＝EBHD＝ADHD＝ACBC，∴AC·DF＝BC·EF.9．如图，四边形ABCD为平行四边形，过B的直线交AC、AD、CD的延长线于O、F、E.求证：OB2＝OF·OE.证明：∵AB∥CE，∴OBOE＝ABCE.①又∵AF∥BC，∴OFOB＝AFBC＝AFAD.②∵AB∥DE，∴AFFD＝ABDE.③由③得AFAF＋FD＝ABAB＋DE＝ABCD＋DE，即AFAD＝ABCE.④由②④得OFOB＝ABCE，又由①得OBOE＝OFOB.即OB2＝OE·OF.10．如图，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15 cm，AF＝4 cm，求BE 和DE的长．答案：DE＝6 cm，BE＝9 cm。

一、选择题1．已知a 、b R ∈，224a b +=，求32a b +的最大值为（ ）A ．27B ．213C ．217D ．42．函数2223614y x x x x =-++-+的最小值是（ ）A ．10B ．101+C ．11210+D ．2103．若222494x y z ++=，则3x y z ++的最大值（ ） A ．9B ．3C ．1D ．64．若0x y >>，{}0,1,2,,2020n ∈⋅⋅⋅，则使得1ny nx x y +>恒成立的n 有（ ）个. A ．1B ．2C ．3D ．20215．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．2D ．226．已知,,x y z ∈R ，若234x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值为( ) A ．37200B ．2007C ．36D ．407．在平面内，已知向量(1,0)a =，(0,1)b =，(1,1)c =，若非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，且23p xa yb zc =++，则（ ）A ．p 的最小值为255 B ．p 的最大值为23 C ．p 的最小值为55D ．p 的最大值为338．已知a ，b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．99．已知x,y,z ∈(0,+∞),且1231,x y z ++=则y zx 23++的最小值为（ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．910．函数 的最大值是( )A ．B ．C ．D ．11．函数()212(0)f x x x x =+>的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．612．已知函数1212)(+=x x －x f ，则不等式12log (1)(2)f x f x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＞0的解集为（ ）A ．（2，3）B ．（1，3）C ．（0，2）D ．（1，2）二、填空题13．已知实数,x y 满足()22241,x y y -+=则2x y +的最大值为________. 14．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b cx y z++=++________．15．设x ，y ，z 均为实数，则22222x y z x y z +-++的最大值是________．16．已知x,y,z ∈R,有下列不等式: ①x 2+y 2+z 2+3≥2(x+y+z);x yxy 2+≥②， ③|x+y|≤|x -2|+|y+2|; ④x 2+y 2+z 2≥xy+y z+zx.其中一定成立的不等式的序号是_____17．已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，则3a 13b 13c 1+++++的最大值为________．18．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们一个公共点，且123F PF π∠=，椭圆、双曲线的离心率分别为12,e e ，则2212e e +的最小值__________． 19．已知向量1,1a a b =⋅=，则minb =__________．20．设x ，y ，z ∈R ，且满足：，则x+y+z=___________．三、解答题21．已知,x y R ∈，且1x y +=. （1）求证：22334x y +≥； （2）当0,0x y >>时，不等式221111|2||1|a a x y ⎛⎫⎛⎫--≥-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，求a 的取值范围.22．已知关于x 的函数()|1|||f x x x a =++-．（1）若存在x 使得不等式()31f x a -成立，求实数a 的取值范围； （2）若()|3|f x x +的解集包含1[,2]2-，求a 的取值范围． （3）若（2）中a 的最大值为m ，2352,x y z m ++=求213456y x y z +++.23．已知函数()2f x x x a =++. （1）若1a =-，解不等式f (x )≤1；（2）已知当x >0时，23123()()x x x x x x ---++++的最小值等于m ，若0x R ∃∈使不等式00()()f x a f x m ->+成立，求实数a 的取值范围.24．已知：a ，b ，c +∈R 且231a b c ++=，求证：222114a b c ++≥． 25．已知关于x 的不等式121x x m --+≥+有解，记实数m 的最大值为M . （1）求实数m 的取值范围；（2）正数a 、b 、c 满足22a b c M ++=，求证：1349a b b c c a++≥+++. 26．设函数()()222,f x x a x b a b R =-++∈.（1）若1a =，0b =，求()2f x ≥的解集； （2）若()f x 的最小值为8，求2+a b 的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用柯西不等式可求得32a b +的最大值. 【详解】224a b +=，由柯西不等式可得()()()222223232a b a b ++≥+，即()23213452a b +≤⨯=，32a b ∴-+≤当且仅当a =b =时，32a b +取得最大值.因此，32a b +的最大值为 故选：B. 【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，解答的关键在于对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于基础题.2．B解析：B将y =y =不等式求得2y 的最小值，从而可求出y 的最小值. 【详解】y ==根据柯西不等式，得222(1)2(3)5y x x =-++-++22(1)2(3)52[(1)(3)x x x x ≥-++-++--2[(1)(3)]2511x x =-+-++++当且仅当13x x -=-，即x =时等号成立.此时，min 1y ==，故选：B. 【点睛】本题主要考查利用柯西不等式求最小值的问题，属于基础题.3．B解析：B 【分析】利用条件构造柯西不等式()22222221(3)49112x y z x y z ⎛⎤⎛⎫++≤++++ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦即可 【详解】解：由题得()()()()22222221231132x y z x y z ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++++≥++⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()29434x y z ⨯≥++，所以333x y z -≤++≤， 所以3x y z ++的最大值为3 故选：B. 【点睛】考查柯西不等式求最值，基础题.4．B解析：B 【分析】根据题意，分情况讨论，1x y >≥和10x y >>>，0n =，1n =，2n ≥判断，得出结论.如1x y >≥，1ny nx x y +>显然成立；当10x y >>>，0n =时，21ny nx x y +=>成立；当1n =时，由贝努力不等式(1)1r x rx +>+，1r >，1x >-， 取1r y =，y a x=， 则111(1)10y y x x x+=+>>，1y x y x x +>，得y x x x y >+， 同理xy y x y>+，故1ny nx x y +>成立；当2n ≥时，取12x =，14y =，代入检验1124211111()()()()122224n nynxn x y +=+<+=+<，不成立，故选：B ． 【点睛】本题考查恒成立问题，利用了贝努力不等式，考查运算求解能力，是中档题．5．D解析：D 【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可． 详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2， ∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数，∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ）当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号． 故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．6．B解析：B 【分析】根据柯西不等式得到不等式关系，进而求解. 【详解】根据柯西不等式得到()()()()()()2222221(2)352135313x y z x y z ⎡⎤+-+≥++-+++--++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()2222511423164030x y z x y z ⎡⎤++-++≥-++=⎣⎦进而得到最小值是：2007故答案为B. 【点睛】这个题目考查了柯西不等式的应用，比较基础.7．A解析：A 【分析】求出p 的坐标，表示p ，即：p=柯西不等式即可求得其最小值，问题得解． 【详解】因为()1,0a =，()0,1b =，()1,1c =， 所以23p xa yb zc =++=()3,23x z y z ++， 又非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，所以01z ≤≤， 所以p ==5≥=≥=， 当且仅当()()31232,0x z y z z +⨯=+⨯=时，等号成立． 即：当且仅当41,,055x y z ===时，等号成立．所以p 的最小值为 ， 故选A. 【点睛】本题主要考查了柯西不等式的应用，还考查了向量的模及坐标运算，考查构造能力，属于中档题．8．B解析：B 【分析】a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0，可得21a b+=1，根据柯西不等式求出代数式的最小值即可． 【详解】∵a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0，∴21a b+=1． 则22214a b a b-+- 24a =+b 2﹣1， 又因为2a +b ＝（21a b +）（2a +b ）22b a a b=++2≥2+2＝4，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴（24a +b 2）（1+1）≥（2a +b ）2≥16，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴24a +b 2≥8， ∴224a a-+b 2214a b -=+b 2﹣1≥7． 故选B ． 【点睛】本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解23y zx ++的最小值即可. 【详解】 x 1232323y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥2⎛ =9.当且仅当x=3,y=6,z=9时等号成立. 即23y zx ++的最小值为9. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值的方法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．D解析：D 【解析】 由柯西不等式可得故选D.11．A解析：A【解析】 由题意得，因为0x >，则3222111233y x x x x x x x x=+=++≥⨯⨯=， 当且仅当211x x x =⇒=时等号成立的，所以函数的最小值为3，故选A. 12．D解析：D 【解析】试题分析：由已知2112()()2112x xxx f x f x -----===-++，所以()f x 是奇函数，又2()121xf x =-+，2x y =是增函数，因此()f x 也是增函数，不等式12log (1)(2)0f x f x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭可变为12(log (1)(2)(2)f x f x f x ->--=-，而()f x 为增函数，所以12log (1)2x x ->-，在(1,)+∞上，函数12log (1)y x =-是减函数，函数2y x =-是增函数，且2x =时两者相等，因此不等式12log (1)2x x ->-的解为12x <<．故选D ．考点：函数的奇偶性、单调性，解函数不等式．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性．解函数不等式，即使有函数解析式已知的情况下，也不一定要把函数式代入（而且一般不能代入），而是要利用奇偶性化为()()f a f b <的形式，再由单调性化为()a b a b <>或形式，最终不等式12log (1)2x x ->-是不可用代数法来解的，必须借助函数图象，利用函数的性质解题．二、填空题13．【分析】直接利用柯西不等式得到答案【详解】根据柯西不等式：故当即时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了柯西不等式求最值也可以利用均值不等式三角换元求得答案 2【分析】直接利用柯西不等式得到答案. 【详解】根据柯西不等式：()()222222412x y y x y y -+-+=≥，故2x y +≤当22x y y -=，即8x =4y =时等号成立.【点睛】本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.14．【分析】根据积和结构条件利用柯西不等式求解注意柯西不等式中等号成立的条件即可【详解】因为所以又由柯西不等式得：当且仅当取等号设则所以故答案为：【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用还考查了运算求解的能 解析：12【分析】根据“积和结构”条件，利用柯西不等式求解，注意柯西不等式中等号成立的条件即可. 【详解】因为22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=， 所以()()()2222222400a b cx y z ax by cz ++++=++=，又由柯西不等式得：()()()2222222a b c x y z ax by cz ++++≥++，当且仅当a b cx y z==取等号， 设a b ck x y z===， 则,,a kx b ky c kz === 所以12a b c x y z ++=++.故答案为：12【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．【分析】首先利用柯西不等式可以得到从而求得两边开放得到从而求得其最大值【详解】由柯西不等式知所以所以当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】该题考查的是有关式子的最值问题涉及到的知识点有柯西不等式在解题解析：2【分析】首先利用柯西不等式可以得到2222222(2)[2(1)](2)x y z x y z ++++-≥+-，从而求得2222(2)1122x y z x y z +-≤++2≤，从而求得其最大值. 【详解】由柯西不等式知2222222(2)[2(1)](2)x y z x y z ++++-≥+-， 所以2222(2)1122x y z x y z +-≤++，2≤，当且仅当202xy z ==->时等号成立，故答案为：2. 【点睛】该题考查的是有关式子的最值问题，涉及到的知识点有柯西不等式，在解题的过程中，注意对柯西不等式形式的配凑，属于较难题目.16．①③④【解析】【分析】由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可【详解】逐一考查所给的四个说法：则说法①正确；当时不成立说法②错误；由绝对值三角不等式的性质可得：|x−2|+|y+2|⩾|(x−2)+( 解析：①③④ 【解析】 【分析】由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可. 【详解】逐一考查所给的四个说法：()()()()222222321110x y z x y z x y z +++-++=-+-+-≥，则()22232x y z x y z +++≥++，说法①正确；当1x y ==-时，2x y+≥②错误；由绝对值三角不等式的性质可得：|x −2|+|y +2|⩾|(x −2)+(y +2)|=|x +y |，说法③正确； ()()()()222222102x y z xy yz zx x y y z z x ⎡⎤++-++=-+-+-≥⎣⎦， 则222x y z xy yz zx ++≥++，说法④正确.综上可得，一定成立的不等式的序号是①③④. 【点睛】本题主要考查不等式的性质，利用不等式求最值，均值不等式成立的条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．【解析】分析：根据柯西不等式将原式进行配凑并结合已知条件加以计算即可得到的最大值详解：根据柯西不等式可得当且仅当即时的最大值为18因此的最大值为点睛：该题考查的是应用柯西不等式求最值的问题在解题的过解析：【解析】分析：根据柯西不等式2222222112233123123()()()x y x y x y x x x y y y ++≤++++，将原式进行配凑，并结合已知条件1a b c ++=最大值.详解：根据柯西不等式，可得22(111=222222(111]≤++++3[3()3]18a b c =+++=，13a b c ===时，2的最大值为18，=.点睛：该题考查的是应用柯西不等式求最值的问题，在解题的过程中，需要对柯西不等式的形式要熟悉，并能对式子进行正确的配凑，从而求得结果.18．【解析】由题意可设椭圆的长半轴为双曲线的实半轴为由椭圆和双曲线的定义可知则又由余弦定理可得整理得即则所以点睛：此题主要考查椭圆双曲线的定义离心率在解决问题中的应用以及余弦定理和柯西不等式在求最值中应解析：1+【解析】由题意，可设椭圆的长半轴为1a ，双曲线的实半轴为2a ，由椭圆和双曲线的定义可知， 1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，则112PF a a =+， 212PF a a =-，又1260F PF ∠=︒，由余弦定理可得()()()()()2221212121222cos60c a a a a a a a a =++--+-︒，整理得2221243c a a =+，即2212134e e +=， 则221213144e e +=，所以()222221212122212121311442e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫+=++≥⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.点睛：此题主要考查椭圆、双曲线的定义、离心率在解决问题中的应用，以及余弦定理和柯西不等式在求最值中应用的有关方面知识，属于中高档题型，也是高频考点.在解决此类问题中，注意从数和形两方面分析椭圆、双曲线的定义、离心率与基本量,,a b c 之间的关系，根据所求最值式子的特点，结合柯西不等式，从而问题可得解.19．1【解析】解：设向量对应的坐标为：问题等价于：已知求的最小值由Cauchy 不等式有：据此可得：点睛：根据柯西不等式的结构特征利用柯西不等式对有关不等式进行证明证明时需要对不等式变形使之与柯西不等式有解析：1【解析】解：设向量对应的坐标为： ()(),,,a m n b x y == ，问题等价于：已知221,1m n mx ny +=+= ，求22x y + 的最小值，由Cauchy 不等式有： ()()2222m nxy mx ny ++≥+ ，据此可得：()22min1x y += .点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式.20．【解析】根据柯西不等式得（x+2y+3z ）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2）=14（x2+y2+z2）当且仅当时上式的等号成立∵x2+y2+z2=1∴（x+2y+3z ）2≤14结合可得x+ 解析：【解析】根据柯西不等式，得（x+2y+3z ）2≤（12+22+32）（x 2+y 2+z 2）=14（x 2+y 2+z 2） 当且仅当时，上式的等号成立∵x 2+y 2+z 2=1，∴（x+2y+3z ）2≤14， 结合，可得x+2y+3z 恰好取到最大值∴=，可得x=，y=，z=因此，x+y+z=++=故答案为三、解答题21．（1）证明见解析；（2）[]4,5-. 【分析】（1）由柯西不等式即可证明；（2）可先化简计算221111x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值，再分2a ≥，1a 2-<<，1a ≤-三种情况讨论即可得到答案. 【详解】（1）由柯西不等式得：22222)11x x ⎡⎤⎛⎡⎤++≥⋅⎢⎥ ⎣⎦⎝⎢⎥⎣⎦， ()22243()13x y x y ∴+⨯≥+=， 当且仅当334x y ==时取等号， 22334x y ∴+≥；（2）由0,0x y >>，1x y +=，得222211(1)(1)(1)(1)112111x x y y x y x y x y x y xy ⎛⎫+-+-++⎛⎫--=⋅=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 114x y xy=+≥≥当且仅当12x y ==时等号成立， 要使得不等式221111|2||1|a a x y ⎛⎫⎛⎫--≥-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭恒成立， 即可转化为|2||1|9a a -++≤，当2a ≥时，219a -≤， 可得25a ≤≤， 当1a 2-<<时，39≤， 可得1a 2-<<， 当1a ≤-时，219a -+≤， 可得41a -≤≤-，a ∴的取值范围为：[]45-，.【点睛】易错点睛：本题主要考查柯西不等式，均值不等式，绝对值不等式的综合应用. 柯西不等式以及均值不等式注意等号成立的条件.22．（1）[1，)+∞；（2）3[0,]2；（3 【分析】（1）根据绝对值三角不等式求()f x 最小值，再解含绝对值不等式得结果；（2）先根据范围化简不等式，再根据变量分离法解决不等式恒成立问题，即得结果； （3）根据柯西不等式直接可得最大值. 【详解】（1）对x ∈R ，()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =++-+--=+，当且仅当(1)()0x x a +-时，等号成立，故原条件等价于|1|31a a +-，即3113 1.310a a a a -++--，解得1a ， 故实数a 的取值范围为[1，)+∞；（2）当1[,2]2x ∈-时，()|1|||1|||3|3f x x x a x x a x x =++-=++-+=+，||2x a ∴-，即22x a --，则22x a x -+，又()|3|f x x +的解集包含1[,2]2-，()|3|f x x ∴+在1[,2]2-恒成立， ∴当1[,2]2x ∈-时，(2)(2)max min x a x -+，又3(2)0,(2)2max min x x -=+=， ∴302a，即实数a 的取值范围为3[0,]2．（3）由（2）知3,2m =则2353,x y z ++=由柯西不等式得， ()()()()2213456111x y z +++++++≥⎡⎤⎣⎦,()23113≤+⨯==1124,,6915x y z ===-即时，等号成立.【点睛】本题考查绝对值三角不等式、不等式恒成立、利用柯西不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.23．（1）{|0}x x ≤；（2）{|3}a a <- 【分析】（1）当1a =-时，()1f x ≤，等价于2|1|1x x +-≤，然后分1,1x x ≥<去绝对值求解. （2）当0x >时，利用柯西不等式，求得23123()()x x x x x x ---++++的最小值m ，然后将00()()f x a f x m ->+转化为29||||a x x a +<-+，再利用绝对值不等式求得|||||x x a -+最大值求解即可.【详解】（1）当1a =-时，因为()1f x ≤，所以2|1|1x x +-≤所以12(1)1x x x ≥⎧⎨+-≤⎩，或12(1)1x x x <⎧⎨+-≤⎩，，所以123x x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，或10x x <⎧⎨≤⎩， 解得x ∈∅或0x ≤，即0x ≤，所以当1a =-时，不等式()1f x ≤的解集是{|0}x x ≤. （2）当0x >时，利用柯西不等式，22312333111()()9x x x x x x xx xxx ---⎫++++++=⎪⎭≥， 当且仅当1x =时取等号，所以9m =.因为()()f x a f x m ->+2()||2||9x a x x x a ⇔-+>+++29||||a x x a ⇔+<-+. 因为|||||()|||x x a x x a a -+-+=≤，(0)2a x a <->或(0)2ax a >-<时取等号，则max (||||)||x x a a -+=.所以，“0x ∃∈R ，使00()()f x a f x m ->+成立”等价于max 29(||||)||a x x a a +<-+=， 29||a a +<，当0a >时，无解，当0a <时，解得3a <-， 所以a 的取值范围是{|3}a a <-． 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用以及不等式有解问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 24．证明见解析. 【分析】构造柯西不等式，即可得出结果. 【详解】由柯西不等式，得()()()22222221231231a b ca b c ++⋅++≥⋅+⋅+⋅=，∴222114a b c ++≥． 当且仅当123a b c ==， 即114=a ，214=b ，314=c 时取等号． 【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，考查了运算求解能力，属于一般题目. 25．（1）[]4,2-；（2）证明见解析.【分析】（1）利用三角不等式求得12x x --+的最大值，进而可得出关于m 的不等式，即可解得实数m 的取值范围；（2）由已知条件得出222a b c ++=，然后利用柯西不等式可证得所证不等式成立. 【详解】（1）由三角不等式可得()()12123x x x x --+≤--+=，当且仅当2x -≤时，等号成立.若不等式121x x m --+≥+有解，则满足13m +≤，解得42m -≤≤， 因此，实数m 的取值范围是[]4,2-；（2）由（1）知2M =，故正数a 、b 、c 满足222a b c ++=，()()()33134194433a b b c c a a b b c c a a b b c c a +++++⎛⎫∴++=++ ⎪++++++⎝⎭294≥=.当且仅当2222c a a b b c a b c +⎧+=+=⎪⎨⎪++=⎩时，即当23023a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩时，等号成立，因此，1349a b b c c a++≥+++. 【点睛】本题考查利用含绝对值不等式有解求参数，同时也考查了利用柯西不等式证明不等式成立，解题的关键在于对代数式进行合理地配凑，考查计算能力是，属于中等题. 26．（1）13,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）【分析】（1）分别在0x ≤、01x <<和1x ≥三种情况下解不等式求得结果； （2）利用绝对值三角不等式可求得2228a b +=，利用柯西不等式可求得结果. 【详解】（1）当1a =，0b =时，()1f x x x =-+， 当0x ≤时，()122f x x =-≥，解得：12x ≤-； 当01x <<时，()112f x x x =-+=≥，解集为∅； 当1x ≥时，()212f x x =-≥，解得：32x ≥；综上所述：()2f x ≥的解集为13,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭； （2）2222222228x a x b x a x b a b -++≥---=+=（当且仅当()()2220x a x b -+≤时取等号），()()222212242a b a b ⎛⎫∴++=≥+ ⎪⎝⎭（当且仅当a b =时取等号），2a b ∴+≤即2+a b 的最大值为. 【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式、绝对值三角不等式的应用、利用柯西不等式求最值的问题，属于常考题型.。