概率与统计中的随机事件与样本空间随机事件与样本空间是概率与统计中重要的概念，它们在统计推断、随机模型建立以及实际应用中起着关键的作用。
本文将从理论与实践的角度，探讨随机事件与样本空间的定义、属性及应用。
一、随机事件的定义与性质随机事件是指可以在一次试验中出现，但不能预先确定具体结果的事件。
在概率论中，一般将随机事件用事件的形式表示，如A、B等。
随机事件可以是单个结果，也可以是多个结果的组合。
在概率论的框架下，随机事件具有以下性质：1. 包含性：对于样本空间Ω中的每个结果ω，如果事件A发生，则该结果必定属于事件A，即A⊆Ω。
2. 互斥性：如果事件A与事件B的结果不能同时发生，则事件A与事件B是互斥事件，即A∩B=∅。
3. 全面性：样本空间Ω中的所有结果都属于某个事件，即Ω是必然发生的事件。
二、样本空间的定义与性质样本空间是指一次试验中可能出现的所有结果的集合，通常用Ω表示。
样本空间的定义与试验的性质密切相关，不同试验可能具有不同的样本空间。
例如，投掷一枚硬币的样本空间为{正面, 反面}，抛掷一个骰子的样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
样本空间具有以下性质：1. 互不相容性：样本空间中的每个结果都是不同的，即样本空间中的每个元素都是互不相同的。
2. 穷尽性：样本空间包含了一次试验中所有可能出现的结果，即样本空间涵盖了整个试验范围。
三、随机事件与样本空间的应用随机事件与样本空间在概率论与统计中有着广泛的应用，以下介绍其中几个重要的应用场景。
1. 概率计算：通过对随机事件与样本空间的分析，可以计算事件发生的概率。
通常使用频率或古典概率来估算事件发生的可能性。
2. 统计推断：基于样本空间中获取的一部分数据，可以通过统计推断来对总体进行估计。
例如，通过对样本数据的分析，可以推断总体的均值、方差等参数。
3. 随机模型建立：在随机模型中，随机事件与样本空间的定义是模型建立的基础。
根据具体问题的特点，可以建立相应的随机模型来分析事件的发生规律。
解读概率的随机事件与样本空间概率是数学中一个重要的概念，它用来描述某个随机事件发生的可能性。
在概率论中，我们经常提到的随机事件和样本空间是两个基本概念。
本文将对概率的随机事件和样本空间进行解读，帮助读者更好地理解相关概念和应用。
一、随机事件的定义和特征随机事件是指无法准确预测其具体结果的事件，也就是不确定性事件。
在统计学和概率论中，随机事件通常用字母A、B、C等表示。
例如，掷一颗骰子得到的点数就是一个随机事件，用A表示。
随机事件具有以下特征：1. 随机性：随机事件的结果是不确定的，无法事先确定具体的结果。
2. 普适性：随机事件可以发生在任何时间和任何地点，具有广泛的应用范围。
3. 可观察性：随机事件的结果可以通过观察和实验获得。
二、样本空间的定义和表示样本空间是指一个随机试验的所有可能结果的集合。
在概率论中，样本空间通常用Ω表示。
例如，掷一颗骰子的样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6}。
样本空间的性质：1. 确定性：样本空间中的每个元素都是一个确定的结果。
2. 完备性：样本空间包含了随机试验的所有可能结果。
3. 互斥性：样本空间中的每个元素都是互不相同的，没有重复的结果。
三、随机事件与样本空间的关系随机事件是样本空间的子集，也就是说，随机事件是样本空间的一部分。
一个随机事件可以包含一个或多个样本点，表示该事件发生的所有可能结果。
以掷一颗骰子为例：样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}随机事件A：A={2,4,6}，表示得到的点数为偶数的情况。
随机事件B：B={1,2,3}，表示得到的点数小于等于3的情况。
四、概率的计算方法概率的计算方法有多种，常见的有频率法、古典概型法和几何概型法。
1. 频率法：通过大量重复实验，统计某个事件发生的频率来估计概率。
概率P(A) = n(A)/n，其中n(A)为随机事件A发生的次数，n为实验总次数。
2. 古典概型法：适用于所有可能结果等可能且有限的情况。
概率P(A) = n(A)/n(Ω)，其中n(A)为随机事件A中样本点的个数，n(Ω)为样本空间Ω中样本点的个数。
§10.4随机事件与概率考试要求 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算．知识梳理1．样本空间和随机事件(1)样本点和有限样本空间①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．(2)随机事件①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件．②表示：大写字母A，B，C，….③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．2．两个事件的关系和运算含义符号表示包含关系A发生导致B发生A⊆B相等关系B⊇A且A⊇B A＝B并事件(和事件) A与B至少一个发生A∪B或A＋B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B＝∅互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B＝∅，A∪B＝Ω3.频率与概率(1)频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率f n(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．(2)频率稳定性的作用：可以用频率f n(A)估计概率P(A)．常用结论1．为方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形．2．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事件互斥是对立的必要不充分条件．3．随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件A发生的频率逐渐稳定于事件A发生的概率．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)必然事件一定发生．(√)(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(√)(3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(×)(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．(×)教材改编题1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是()A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶答案 D解析“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．2．把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1 000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为________．答案0.5解析掷一次硬币正面朝上的概率是0.5.3．先后两次抛掷同一枚硬币，若正面向上记为1；若反面向上，则记为0，则这个试验的样本空间中有________个样本点．答案 4解析这个试验的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}，共4个样本点.题型一随机事件与样本空间例1(1)在1,2,3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大于5”这一事件是()A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．以上选项均有可能答案 A解析从1,2,3，…，10这十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字和的最小值为1＋2＋3＝6，∴事件“这三个数字的和大于5”一定会发生，∴由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件．(2)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出球的颜色，则此随机试验的样本点个数为()A．5 B．6 C．7 D．8答案 D解析因为是有放回地随机摸3次，所以随机试验的样本空间为Ω＝{(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，红)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)}．共8个．教师备选一只口袋装有除颜色外，形状、大小等完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中分两次依次取两个球．(1)写出这个试验的样本空间；(2)“至少有1个白球”这一事件包含哪几个样本点？解(1)这个试验的样本空间Ω＝{(白，白)，(黑，黑)，(红，红)，(白，黑)，(白，红)，(黑，白)，(红，白)，(黑，红)，(红，黑)}．(2)“至少有1个白球”这一事件包含以下5个样本点：(白，白)，(白，黑)，(白，红)，(黑，白)，(红，白)．思维升华确定样本空间的方法(1)必须明确事件发生的条件．(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．跟踪训练1(1)下列说法错误的是()A．任一事件的概率总在[0,1]内B．不可能事件的概率一定为0C．必然事件的概率一定为1 D．概率是随机的，在试验前不能确定答案 D解析任一事件的概率总在[0,1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，概率是客观存在的，是一个确定值．(2)同时抛掷两枚完全相同的骰子，用(x ，y )表示结果，记A 为“所得点数之和小于5”，则事件A 包含的样本点的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 D解析 事件A 包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个样本点．题型二 事件的关系与运算例2 (1)(多选)某人打靶时连续射击两次，设事件A ＝“只有一次中靶”，B ＝“两次都中靶”，则下列结论正确的是( ) A ．A ⊆B B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝“至少一次中靶”D ．A 与B 互为对立事件 答案 BC解析 事件A ＝“只有一次中靶”，B ＝“两次都中靶”，所以A ，B 是互斥但不是对立事件，所以AD 选项错误，B 选项正确．A ∪B ＝“至少一次中靶”，C 选项正确．(2)(多选)将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则( )A ．事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件B ．事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件C ．事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球”D ．当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是13答案 BD解析 事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”可以同时发生，不是互斥事件，A 错误； 事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不能同时发生，是互斥事件，除了甲分得红球或者乙分得红球以外，丙或者丁也可以分得红球，B 正确；事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”与事件“丙分得白球，丁分得红球”可以同时发生，不是对立事件，C 错误；事件“甲分得红球”的对立事件是“甲没有分得红球”，因此乙、丙、丁三人中有一个人分得红球，事件“乙分得红球”发生的概率是1，D正确．3教师备选1．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：C i＝“点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6；D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，D3＝“点数大于5”；E＝“点数为奇数”，F＝“点数为偶数”．下列结论正确的是()A．C1与C2对立B．D1与D2互斥C．D3⊆F D．E⊇(D1∩D2)答案 C解析对于A，C1＝“点数为1”，C2＝“点数为2”，C1与C2互斥但不对立，故选项A不正确；对于B，D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，当出现的点是2时，D1与D2同时发生，所以D1与D2不互斥，故选项B不正确；对于C，D3＝“点数大于5”表示出现6点，F＝“点数为偶数”，所以D3发生F一定发生，所以D3⊆F，故选项C正确；对于D，D1∩D2表示两个事件同时发生，即出现2点，E＝“点数为奇数”，所以D1∩D2发生，事件E不发生，所以E⊇(D1∩D2)不正确，故选项D不正确．2．(多选)从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：A＝“恰有一个偶数”；B＝“恰有一个奇数”；C＝“至少有一个是奇数”；D＝“两个数都是偶数”；E＝“至多有一个奇数”．下列结论正确的有()A．A＝B B．B⊆CC．D∩E＝∅D．C∩D＝∅，C∪D＝Ω答案ABD解析事件A，B都指的是一奇一偶，故A正确；至少有一个奇数，指两个数是一奇一偶，或是两个奇数，所以B⊆C，故B正确；至多有一个奇数指一奇一偶，或是两偶，此时事件D，E有公共事件，故C错误；此时C，D是对立事件，所以C∩D＝∅，C∪D＝Ω.思维升华事件的关系运算策略(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生．(2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件．跟踪训练2(1)(2022·长春模拟)口袋中装有3个红球和4个黑球，每个球编有不同的号码，现从中取出3个球，则互斥而不对立的事件是()A．至少有1个红球与至少有1个黑球B．至少有1个红球与都是黑球C．至少有1个红球与至多有1个黑球D．恰有1个红球与恰有2个红球答案 D解析对于A，不互斥，如取出2个红球和1个黑球，与至少有1个黑球不是互斥事件，所以A不符合题意；对于B，至少有1个红球与都是黑球不能同时发生，且必有其中1个发生．所以为互斥事件，且为对立事件，所以B不符合题意；对于C，不互斥．如取出2个红球和1个黑球，与至多有1个黑球不是互斥事件，所以C不符合题意；对于D，恰有1个红球与恰有2个红球不能同时发生，所以为互斥事件，但不对立，如还有3个红球．(2)抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：A i＝“向上的点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6，B＝“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是()A.A1⊆B B．A2＋B＝ΩC．A3与B互斥D．A4与B对立答案 C解析对于A，A1＝{2,3,4,5,6}，B＝{2,4,6}，∴B⊆A1，故A错误；对于B，A2＋B＝{2}∪{2,4,6}＝{2,4,6}≠Ω，故B错误；对于C ，A 3与B 不能同时发生，是互斥事件，故C 正确；对于D ，A 4＝{4}，B ＝{1,3,5}，A 4与B 是互斥但不对立事件，故D 错误． 题型三 频率与概率例3 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 [10，15)[15，20) [20，25) [25，30) [30，35)[35，40]天数 216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6.所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温低于20，则Y ＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100； 若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300； 若最高气温不低于25， 则Y ＝450×(6－4)＝900，所以利润Y 的所有可能值为－100,300,900.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8.因此Y 大于零的概率的估计值为0.8. 教师备选某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数0 1 2 3 4 ≥5 保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数605030302010(1)记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P (A )的估计值；(2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P (B )的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．解 (1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P (A )的估计值为0.55.(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P (B )的估计值为0.3.(3)由所给数据得保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a ×0.30＋a ×0.25＋1.25a ×0.15＋1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192 5a .因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a . 思维升华 (1)概率与频率的关系(2)随机事件概率的求法跟踪训练3 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y (单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X (单位：毫米)有关．据统计，当X ＝70时，Y ＝460；X 每增加10，Y 增加5.已知近20年X 的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110, 160,220,140,160.(1)完成如下的频率分布表： 近20年六月份降雨量频率分布表降雨量 70 110 140 160 200 220 频率120420220(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率． 解 (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量 70 110 140 160 200 220 频率120320420720320220(2)根据题意，Y ＝460＋X －7010×5＝X2＋425，故P (“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P (Y <490或Y >530) ＝P (X <130或X >210)＝P (X ＝70)＋P (X ＝110)＋P (X ＝220) ＝120＋320＋220＝310. 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为310.课时精练1．下列说法正确的是( ) A ．任何事件的概率总是在(0,1)之间 B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定 答案 C解析 不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故A 错；频率是由试验的次数决定的，故B 错；概率是频率的稳定值，故C 正确，D 错．2．2021年东京奥运会中国体育代表团共有777人，截止到7月15日，未完成疫苗接种的有3人，则中国体育代表团成员的疫苗接种率约为( ) A ．99.61% B ．99.49% C ．99.36% D ．99.23% 答案 A解析 中国体育代表团成员的疫苗接种率约为777－3777≈0.996 1＝99.61%.3．在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 从5个小球中任取2个，其中数字之差的绝对值为2或4的事件包含(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，共4个样本点．4．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A ，“向上的点数是2或3”为事件B ，则( ) A ．A ⊆B B ．A ＝BC ．A ＋B 表示向上的点数是1或2或3D ．AB 表示向上的点数是1或2或3 答案 C解析 由题意，可知A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则A ∩B ＝{1}，A ∪B ＝{1,2,3}，∴A ∪B 表示向上的点数为1或2或3.5．(多选)依次抛掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么X ＝4表示的随机试验的样本点是( )A．第一枚是3点，第二枚是1点B．第一枚是1点，第二枚是3点C．两枚都是4点D．两枚都是2点答案ABD解析X＝4表示两次抛掷所得总数之和为4，则随机试验的样本点是“第一枚是3点，第二枚是1点”或“第一枚是1点，第二枚是3点”或“两枚都是2点”．6．(多选)下列说法正确的是()A．若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件B．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国四大名著．若在这四大名著中，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件C．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝“向上的点数为质数”，则B⊆AD．10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有2个样本点答案BCD解析对于A，事件A与B互斥时，A∪B不一定是必然事件，故A不正确；对于B，事件E与F不会同时发生，所以E与F是互斥事件，但除了事件E与F之外还有“丙取到红楼梦”“丁取到红楼梦”，所以E与F不是对立事件，故E与F是互斥不对立事件，B正确；对于C，事件A＝{1,2,3,4,5}，事件B＝{2,3,5}，所以B包含于A，C正确；对于D，样本空间Ω＝{正品，次品}，含有2个样本点，故D正确．7．笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出，记录剩下动物的脚数．则该试验的样本空间Ω＝________.答案{0,2,4,6,8}解析最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余鸡的只数最多4只，最少0只，所以剩余动物的脚数可能是8,6,4,2,0.8．商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1,2,4组的频数分别为6,7,9.若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为________双．答案60解析∵第1,2,4组的频数分别为6,7,9，∴第1,2,4组的频率分别为6 40＝0.15，740＝0.175，940＝0.225.∵第3组的频率为0.25，∴第5组的频率是1－0.25－0.15－0.175－0.225＝0.2，∴售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为0.2×300＝60(双)．9．盒子里有6个红球、4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球、2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球、1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的积事件是什么事件？解(1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A＋B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个红球，故CA ＝A.10．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层随机抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有样本点；②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，写出该事件的集合表示．解(1)甲、乙、丙三个协会共有的运动员人数为27＋9＋18＝54，则应从甲协会抽取27×654＝3(人)，从乙协会抽取9×654＝1(人)，从丙协会抽取18×654＝2(人)．故从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有样本点为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A 4)，(A 1，A 5)，(A 1，A 6)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，A 5)，(A 2，A 6)，(A 3，A 4)，(A 3，A 5)，(A 3，A 6)，(A 4，A 5)，(A 4，A 6)，(A 5，A 6)，共15种．②事件A 可用集合表示为{(A 1，A 5)，(A 1，A 6)，(A 2，A 5)，(A 2，A 6)，(A 3，A 5)，(A 3，A 6)，(A 4，A 5)，(A 4，A 6)，(A 5，A 6)}．11．(多选)2021年5月7日，国药集团中国生物北京生物制品研究所研发生产的新型冠状病毒灭活疫苗(Vero 细胞)，获得世卫组织紧急使用授权，纳入全球“紧急使用清单”(EUL)．世卫组织审评认为该疫苗的效力为78.1%，最高达90%，安全性良好，临床试验数据中没有发现安全问题．所谓疫苗的效力，是通过把人群分成两部分，一部分为对照组，注射安慰剂；另一部分为疫苗组，注射疫苗，当从对照组与疫苗组分别获得发病率后，就可以得到注射疫苗的效力＝对照组发病率－疫苗组发病率对照组发病率×100%.关于注射疫苗，下列说法正确的是( )A ．只要注射该种新冠疫苗，就一定不会感染新冠肺炎B ．注射该种新冠疫苗，能使新冠肺炎感染的风险大大降低C ．若对照组10 000人，发病100人；疫苗组20 000人，发病40人，则效力为80%D ．若疫苗的效力为80%，对照组的发病率为50%.那么在10 000个人注射该疫苗后，一定有1 000个人发病 答案 BC解析 由题意知，疫苗的效力为78.1%，最高达90%，但不是注射该种新冠疫苗，就一定不会感染新冠肺炎，故选项A 错误；疫苗的效力为78.1%，最高达90%，所以注射该种新冠疫苗，能使新冠肺炎感染的风险大大降低，故选项B 正确；若对照组10 000人，发病100人；疫苗组20 000人，发病40人，则注射疫苗的效力＝10010 000－4020 00010010 000×100%＝80%，故选项C 正确；若疫苗的效力为80%，对照组的发病率为50%，只是反应了一个概率问题，并不能说明在 10 000个人注射该疫苗后，一定有1 000个人发病，故选项D 错误．12．(多选)一批产品共100件，其中5件是次品，95件是合格品，从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：“恰有一件次品”；事件B：“至少有两件次品”；事件C：“至少有一件次品”；事件D：“至多有一件次品”．则以下结论正确的是()A．A∪B＝C B．D∪B是必然事件C．A∪B＝B D．A∪D＝C答案AB解析A∪B表示的事件为至少有一件次品，即事件C，所以A正确，C不正确；D∪B表示的事件为至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以B正确；A∪D表示的事件为至多有一件次品，即事件D，所以D不正确．13．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是()A．A⊆D B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D答案 D解析对于选项A，事件A包含于事件D，故A正确．对于选项B，由于事件B，D不能同时发生．故B∩D＝∅，故B正确．对于选项C，由题意知正确．对于选项D，由于A∪C＝D＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件；而B∪D为必然事件，所以A∪C≠B∪D，故D不正确．14．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘坐上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他乘坐上等车的概率为________．答案1 2解析共有6种发车顺序：①上、中、下；②上、下、中；③中，上、下；④中、下、上；⑤下、中、上；⑥下、上、中(其中画横线的表示袁先生所乘的车)，所以他乘坐上等车的概率为36＝1 2.15．(多选)千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，随机观察了他所在地区的100天中的“日落云里走”的情况和后半夜天气情况，得到如下数据：后半夜天气情况“日落云里走”的情况下雨 未下雨 合计 出现 25 5 30 未出现 25 45 70 合计5050100α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x α2.7063.8416.6357.87910.828并计算得到χ2≈19.05，则小波对该地区天气的判断正确的是( ) A ．后半夜下雨的概率约为12B ．未出现“日落云里走”时，后半夜下雨的概率约为59C ．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“‘日落云里走’是否出现”与“后半夜是否下雨”有关D ．若出现“日落云里走”，则后半夜有99%的可能会下雨 答案 AC解析 对于A ，把频率看作概率，可得后半夜下雨的概率约为50100＝12，故A 判断正确；对于B ，未出现“日落云里走”时，后半夜下雨的概率约为2525＋45＝514，故B 判断错误； 对于C ，由χ2≈19.05>6.635＝x 0.01，认为“‘日落云里走’是否出现”与“后半夜是否下雨”有关，故C 判断正确；易知D 判断错误．16．甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张． (1)写出甲、乙抽到牌的所有样本点；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？解(1)分别用2,3,4,4′表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，则甲、乙抽到牌的所有样本点为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12个．(2)甲抽到红桃3，乙抽到的只能是红桃2，红桃4，方片4，因此乙抽到牌的数字比3大的概率是23.(3)甲抽到的牌的数字比乙的大，有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5个样本点，因此甲胜的概率为512，乙胜的概率为712.因为512<712，所以此游戏不公平．。
