高考数学玩转压轴题专题12极值点偏移问题利器极值点偏移判定定理
极值点偏移问题利器——极值点偏移判定定理
一、极值点偏移的判定定理
对于可导函数 $y=f(x)$，在区间 $(a,b)$ 上只有一个极大（小）值点 $x$，方程 $f(x)=0$ 的解分别为 $x_1$、$x_2$，且 $a
1）若 $f(x_1)
2）若 $f(x_1)>f(2x-x_2)$，则极（小）大值点 $x$ 右（左）偏。
证明：
1）因为对于可导函数 $y=f(x)$，在区间 $(a,b)$ 上只有一个极大（小）值点 $x$，则函数 $f(x)$ 的单调递增（减）区间为 $(a,x)$，单调递减（增）区间为 $(x,b)$。由于 $x_1)2x-x_2$，$a)2x$，即函数 $y=f(x)$ 在区间 $(x_1,x_2)$ 上
$2x_1+x_2)x$，即函数 $y=f(x)$ 的极（小）大值点 $x$ 右（左）偏。
2）证明略。
二、运用判定定理判定极值点偏移的方法
1、方法概述：
1）求出函数 $f(x)$ 的极值点 $x$；
2）构造一元差函数 $F(x)=f(x+x)-f(x-x)$；
3）确定函数 $F(x)$ 的单调性；
4）结合 $F(x)=0$，判断 $F(x)$ 的符号，从而确定
$f(x+x)$、$f(x-x)$ 的大小关系。
口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随。
2、抽象模型
答题模板：若已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x_1)=f(x_2)$，$x$ 为函数 $f(x)$ 的极值点，求证：$x_1+x_2<2x$。
1）讨论函数 $f(x)$ 的单调性并求出 $f(x)$ 的极值点 $x$；
假设此处 $f(x)$ 在 $(-\infty,x)$ 上单调递减，在
$(x,+\infty)$ 上单调递增。
2）构造 $F(x)=f(x+x)-f(x-x)$；
第 1 页 共 9 页 【教案5】极值点偏移1：纯偏移
一、极值点偏移
我们知道二次函数fx的顶点就是极值点0x，若fxc的两根的中点为122xx，则刚好有1202xxx，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.
若函数xxgxe的极值点01x刚好在两根的中点122xx的左边，我们称之为极值点左偏；若极值点01x刚好在两根的中点122xx的右边，我们称之为极值点右偏.
二、纯极值点偏移与纯拐点偏移常规类型
1、极值点偏移（00fx）
（不偏移）二次函数
121202fxfxxxx
（左偏）
1220112022fxfxxxxxxx
2、拐点偏移（00fx）
（不偏移）
12012022fxfxfxxxx
（左偏）
120201120222fxfxfxxxxxxx
第 2 页 共 9 页 三、极值点纯偏移特征：
①函数fx的极值点为0x；
②函数12fxfx，然后证明：1202xxx或1202xxx.
四、极值点偏移的的纯偏移型解法步骤：
①构造一元差函数02Fxfxfxx或是00Fxfxxfxx；
②对差函数Fx求导，判断单调性；
③结合00F，判断Fx的符号，从而确定fx与02fxx的大小关系；
④由1200200202_____2fxfxfxxxfxxxfxx的大小关系，得到102____2fxfxx，（横线上为不等号）；
⑤结合fx单调性得到102____2xxx，进而得到120___2xxx.
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【例1】 【2020·平顶山市一中高二开学考·理科】已知函数xfxxe（xR）
极值面偏偏移问题的二种罕睹解法之比较之阳早格格创做
浅道部分导数压轴题的解法
正在下考导数压轴题中，没有竭出现极值面偏偏移问题，那么，什么是极值面偏偏移问题？参照陈宽宏、邢友宝、好淑明等教授的文章，极值面偏偏移问题的表述是：已知函数()yfx是连绝函数，正在区间12(,)xx内有且惟有一个极值面0x，且12()()fxfx，若极值面安排的“删减速度”相共，时常有极值面1202xxx，咱们称那种状态为极值面没有偏偏移；若极值面安排的“删减速度”分歧，函数的图象没有具备对于称性，时常有极值面1202xxx的情况，咱们称那种状态为“极值面偏偏移”.
极值面偏偏移问题时常使用二种要领说明：一是函数的单调性，若函数()fx正在区间(,)ab内单调递加，则对于区间(,)ab内的任性二个变量12xx、，1212()()fxfxxx；若函数()fx正在区间(,)ab内单调递减，则对于区间(,)ab内的任性二个变量12xx、，1212()()fxfxxx. 二是利用“对于数仄衡没有等式”说明，什么是“对于数仄衡”？什么又是“对于数仄衡没有等式”？
二个正数a战b的对于数仄衡数定义：,,(,)lnln,,ababLababaab
对于数仄衡数与算术仄衡数、几许仄衡数的大小闭系是：(,)2ababLab，（此式记为对于数仄衡没有等式）
底下给出对于数仄衡没有等式的说明：
i）当0ab时，隐然等号创造
ii）当0ab时，无妨设0ab，
①先证lnlnababab，要证lnlnababab，只须证：lnaabbba，
令1axb，只须证：12ln,1xxxx
设1()2ln,1fxxxxx，则22221(1)()10xfxxxx，所以()fx
正在(1,)内单调递减，所以()(1)0fxf，即12lnxxx，
1 极值点偏移问题的几种思考方法
覃文周 整理
近几年来，高考全国卷和地方卷，屡次出现极值点偏移问题.极值点偏移问题出题灵活，题目难度大，可以说是高考导数压轴题的最高境界.
有关极值点偏移问题，常见有三种解法：一是比值法.二是构造对称函数.三是利用已知的不等式（如：对数平均不等式，xe≥1+ x +21x 2，㏑x≤x-1（x＞0）等）.
本文首先介绍极值点偏移的定义，图像类型；然后介绍极值点偏移的常见问题；再介绍构造对称性函数的一般思路；最后介绍一些经典问题的解法.
一、极值点偏移定义
简单来说，存在极值点的函数，如果图像不对称，则称之为极值点偏移.
二次函数，是左右对称的，所以抛物线不是极值点偏移.极值点偏移产生的原因是函数在极值点两侧的增减速度不一致.
用数学语言来描述，就是：对于函数)(xfy在区间a,b内只有一个极值点0x，方程0)(xf的解为x1,x2,且a
极值点偏移常见的4种图形是：
二、极值点偏移的常见类型
极值点偏移常见的问题有4类：
1、若函数f(x)存在两个零点x1, x2,即 f(x1)= f(x2)=0且x1≠x2 , 0x是函数0)(xf区间(x1, x2)上的极值点.求证：x1+ x2＞20x.
2、若函数f(x)存在x1, x2,且x1≠x2满足f(x1)= f(x2)，0x是函数0)(xf区间(x1, x2)上的极值点.求证：x1+ x2＞20x.
3、若函数f(x)存在两个零点x1,x2, 即 f(x1)= f(x2)=0且x1≠x2,令0x=21( x1+ x2)，求证：)(0xf＞0.
4、若函数f(x)存在x1, x2,且x1≠x2, 满足f(x1)= f(x2)，令0x=21( x1+ x2)，求证：)(0xf＞0.
三、构造对称函数解极值点偏移问题的一般思路 3 最关键的步骤是找到极值点，然后构造对称性函数，其固定套路如下：
（1）求出函数f(x)的极值点x0；
