A limit theorem for the solutions of slow-fast systems with fractional Brownian motion
- 格式：pdf
- 大小：369.35 KB
- 文档页数：6
收稿日期：2013-09-06 修回日期：2014-08-20
第一作者简介：袁伟，男，1989年生，硕士，南京航空航天大学；研究方向——飞行器结构强度。 通讯作者：高存法，E-mail：cfgao@nuaa.edu.cn 应 用 力 学 学 报
CHINESE JOURNAL OF APPLIED MECHANICS 第31卷 第5期
2014年10月 Vol.31 No.5
Oct. 2014
文章编号：1000- 4939(2014) 05-0661-06
含两个圆孔电致伸缩材料的二维应力
集中问题研究
袁伟 高存法 戴明
(南京航空航天大学 机械结构力学及控制国家重点实验室 210016 南京)
摘要：应用复变函数方法， 研究了含有两个圆孔无限大电致伸缩材料的二维应力集中问题。基于
精确的电学和力学边界条件以及复变函数级数表示法，给出了孔边电场和应力场的一般解；在具
体数值计算中，通过令两孔相距足够远得到单孔问题的近似解，并与已有单孔精确解比较，验证
了本文解的正确性；通过改变孔内介质的介电常数和孔的位置讨论了孔周应力的分布规律。结果
表明：当两孔距离很大时，圆孔孔周应力分布不受另一孔的影响；一般情况下孔内的电场很微弱，
对孔周应力影响很小，可略去不计；当两孔圆心连线垂直于外加电场时，孔周应力峰值达到最大。
关键词：电致伸缩材料；多孔；应力集中；复变函数法
中图分类号：O343.1 文献标识码：A DOI：10.11776/cjam.31.05.B084
1 引 言
孔周应力集中问题一直是力学领域研究的热
点问题之一。在工程实际中，材料中的开孔以圆孔
居多。在多孔的情况下，孔群周围的应力集中非常
复杂，常常引起材料或结构的低应力破坏。事实上，
已有很多学者对孔周应力集中问题进行了研究。例
如：文献[1]研究了筛管孔眼附近的应力集中，并通
过折减系数法获得了圆柱壳孔眼附近应力集中的近
似解；文献[2]介绍了含N个圆孔的正交异性板应力
集中问题，并通过合理布置孔的相对位置缓解孔的
应力集中；文献[3]对含孔系的正交异性半平面进行
了应力分析，得到了任意一孔的应力场表达式。而
对于电致伸缩材料而言，由于其机电耦合的复杂性，
对其多孔应力集中问题的研究罕有报道。 电致伸缩是电场与电介质之间的作用引起的
机电耦合效应。某些高介电常数的电致伸缩效应比
较明显，这种效应使得电致伸缩材料在某些方面比
一般材料更具优越性。例如电致伸缩陶瓷PMN-PT、
电致伸缩聚合物EPs、聚氨酯(PUE)等材料能在强电
场作用下产生很大的电致应变，其优点是电场应变
关系稳定，且机电耦合的滞后效应比铁电性压电陶
瓷小得多，因而被用于压力测量器件等等。电致伸
缩材料的广泛用途使其安全性也备受关注[4]
，但由
于开孔或裂纹等缺陷的存在，器件的局部容易产生
较高的电场和应力场，从而影响器件的寿命。
文献[5]给出了电致伸缩二维问题的基本方程。
文献[6]导出了电致伸缩材料二维问题的复变函数
解法。文献[7-8]研究了含狭长孔洞缺陷的无限大电
致伸缩板在孔端部附近的应力场以及在含有椭圆夹
杂情形下无限大电致伸缩板的应力场。文献[9]对含662
应 用 力 学 学 报 第31卷
电极电致伸缩材料的电极附近应力场奇异性进行了
研究。文献[10]指出了可穿透裂纹与不可穿透裂纹
在裂纹尖端奇异性以及所加电场对裂纹扩展的影
响。基于此，本文应用复变函数级数法，研究含两
个任意圆孔的电致伸缩材料的二维应力集中问题，
首先给出电场及应力场复势函数级数表达的一般
解，然后通过数值算例讨论了两孔位置以及孔内介
质的介电常数对孔周附近应力集中的影响。
2 电致伸缩材料基本方程
根据文献[4]，针对各向同性电致伸缩材料，在
等温条件下的本构方程为
12
121
2(),
2
()ijkkijijijkkij
imijijkkijjeeaEEaEE
DaeaeEσλδμδ
εδδ=+−+
=++
(1)
式中：σ
ij、e
ij、E
i、D
i分别为应力、应变、电场强
度、电位移；a
1和a
2是两个独立的电致伸缩常数；
ε
m为无应变时的介电常数，δ
ij为Kronecker delta；μ
和λ
为Lame常数，可用杨氏模量E和泊松比ν
表
示为
,
2(1)(1)(12)EEν
μλ
ννν==
++−
(2)
电致伸缩材料的平衡方程表示为
0, 0e
klk
k
lkD
fq
xxσ
∂∂
+=+=
∂∂ (3)
其中：f
ke
为电场体积力；q为自由电荷，且有
M
M1
,
2e
kl
kklkliikl
lfEEEE
xσ
σεεδ∂
==−
∂ (4)
i
M
kl
klklσσσ
=+
(5)
其中：M
klσ
为Maxwell应力；
klσ为伪总应力。
从式(1)中可以看出电致伸缩是非线性问题，本
构关系比较复杂，即使对于简单的边界条件也很难
得到其精确解，所以要对这一问题做近似处理。在
应变很小的情况下可以忽略应变对介电常数的影
响，将电场与力场进行解耦，先求出静电场问题再
求解力学问题。
根据这一假设，可得
=Re[()]wzϕ
(6)
121
i(), di[()()]
2nEEwzDswzwzε′
−=−=−∫ (7)
其中w(z)为电场复势函数。
伪总应力场可以表示为 ii
()()()()
iii
()()
()()2211
2211122,
2i
2wzwzzz
wzwz
zzzσσκϕϕ
σσσκ
ϕψ⎡⎤
′′′′
+=++
⎣⎦
′′
−+=+
⎡⎤
′′′
+
⎣⎦ (8)
其在极坐标情况下为
ii
()()()()
iii
()(){
()()}
2i2
2i
2err
rrrwzwzzz
wzwz
zzzθθ
θθθ
θσσκϕϕ
σσσκ
ϕψ⎡⎤
′′′′
+=++
⎣⎦
′′
−+=+
⎡⎤
′′′
+
⎣⎦
(9)
其中：ϕ
(z)和ψ
(z)为应力场复势函数；
12(12)(2)
4(1)aaν
κ
ν−−+
=
−。
位移分量为
()()()()()
()()2
2iKzzzzwzwz
zGuvκ
ϕϕψ
χΩ′′
−−−+
=+
(10)
其中
2
12
34, , ()[()]
4a
Kzwzε
νχΩ−
′′
=−==
在孔边，电学连续边界条件可写为
+
,dd
nnDsDsϕϕ+−
==∫∫-
(11)
其中上标“+”、“-”分别代表基体与孔内介质。伪
总应力边界条件表示为
(
)()()()()
()2
iid
xywzwzzzzz
ffsκ
ϕϕψ′′
+++
=+∫ (12) 其中xf和
yf为孔内介质作用在基体上的伪总面力。
图1 含有两个圆孔的电致伸缩材料
Fig.1 Electrostrictive solid with two circular holes
3 电场复势求解
如图1所示，考虑一无限大电致伸缩基体，基
体含有两个半径分别为R
1和R
2的孔洞；两孔的相
对位置通过距离d和角度α
控制；在无穷远处基体第5期 袁伟，等：含两个圆孔电致伸缩材料的二维应力集中问题研究
663
受到垂直方向电场的作用，大小为
2E∞
。
在此情形下，根据文献[11]，基体内的电场复
势函数可以表示为
0102()()()wzczwzwz∞
=++ (13)
其中：c∞
z表示不含孔洞的基体电场复势；w
01(z)和
w
01(z)分别表示孔1和孔2的存在对基体电场的影
响，两者分别在孔1和孔2外解析，且有w
01(∞)=
w
02(∞)=0。
当坐标轴原点在R
1圆心时，有
12
2
0102
11
12()(), ()()mm
jj
jj
jjzzz
wzBwzB
RR−−
==−
==∑∑
(14)
将式(14)代入式(13)，则有
12
2
11
12()()()mm
jj
jj
jjzzz
wzczBB
RR∞−−
==−
=++∑∑
(15)
同样，孔1内的电场可以表示为
0101
1
1()()m
j
j
jz
wzB
R−
==∑
(16)
将式(15)代入式(7)中第1式，且令z→∞，得到
2icE∞∞
=
根据文献[12]将式(15)进行Taylor级数展开，则有
12
2
11
12
2
2
11
22()()()
()(1)()mm
jj
jj
jj
mm
jkkk
jjk
jkzz
wzczBB
RR
Rz
Bc
zR∞−−
==
+
==−
=+++
−
−∑∑
∑∑
(17)
其中
(1)(1)!
jkcjjjkk=++−"
在孔边界上，电学边界条件式(11)可以用势函
数表示为
0101
0101
0()()()(),
()()()()
mwzwzwzwz
wzwzwzwzεε+=+
⎡⎤
⎡⎤
+=+
⎣⎦
⎣⎦
(18)
在孔1边界上令z=R
1σ
，将w(z)和w01
(z)代入
式(18)中，则有
12
2
1
11
2
2
21
11
22
112
2
1
11
2
2
21
11
2
2
0101
11()
()(1)()
()
()(1)()mm
jj
jj
jj
mm
jkkkk
jjk
jk
mm
jj
jj
jj
mm
jkkkk
jjk
jk
mm
jj
jj
jjz
cRBB
R
RR
Bc
zR
z
cRBB
R
RR
Bc
R
z
BBσσ
σ
σσ
σ
σσ∞−−
==
+
==
∞−−
==
+−
==
−
==−
+++
−+
−
−
+++
−
−
=+∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
(19) 12
2
1
11
2
2
21
11
22
112
2
1
11
2
2
21
11
2
2
0101
0
11()
()(1)()
()
()(1)()
()mm
jj
jj
jj
mm
jkkkk
jjk
jk
mm
jj
jj
jj
mm
jkkkk
jjk
jk
mm
jj
jj
jj
mz
cRBB
R
RR
Bc
zR
z
cRBB
R
RR
Bc
R
z
BBσσ
σ
σσ
σ
ε
σσ
ε∞−−
==
+
==
∞−−
==
+−
==
−
==−
+++
−−
−
⎡
−
+++
⎢
⎣
⎤
−
⎥
−
⎦
=−∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
(20)
其中ε
m和ε
0分别为基体和孔内介质的介电常数。
将坐标轴原点移到R
2的圆心处，z-z
2=z*
，则基
体和孔2的电场复势分别表示为
**
**12
2
2
11
12()()()()mm
jj
jj
jjzzz
wzczzBB
RR∞−−
==+
=+++∑∑
(21)
*
02*02
1
2()()m
j
j
jz
wzB
R−
==∑
(22)
同样，对式(21)和式(22)进行Taylor级数展开，并且
令z*
=R
2σ
，得到
1
1
22
1
2
12
12
111
21()()
(1)()()m
j
j
j
mmm
kjkkkj
jkjj
jkjR
wcRzB
z
RR
cBB
zRσ
σσ∞
=
+−
====+++
−+∑
∑∑∑
(23)
0202
1m
j
j
jwBσ−
==∑
(24)
将式(23)和式(24)代入到边界条件式(18)中得到
1
1
22
1
2
12
12
111
21
11
1
22
1
2
12
12
111
1
2
0202
11()()
(1)()()
()()
(1)()()m
j
j
j
mmm
kjkkkj
jkjj
jkj
m
j
j
j
mmm
kjkkkj
jkjj
jkj
mm
jj
jj
jjR
cRzB
z
RR
cBB
zR
R
cRzB
z
RR
cBB
R
z
BBσ
σσ
σ
σσ
σσ∞
=
+−
===
∞−
=
+−
===
−
==+++
−++
+++
−+
=+∑
∑∑∑
∑
∑∑∑
∑∑
(25)
1
1
22
1
2
12
12
111
21
11
1
22
1
2
12
12
111
1
2
0202
1()()
(1)()()
()()
(1)()()
(m
j
j
j
mmm
kjkkkj
jkjj
jkj
m
j
j
j
mmm
kjkkkj
jjkj
jkj
m
j
o
jj
j
mR
cRzB
z
RR
cBB
zR
R
cRzB
z
RR
BcB
R
z
BBσ
σσ
σ
σσ
ε
σ
ε∞
=
+−
===
∞−
=
+−
===
−
=+++
−+−
⎡
+++
⎢
⎣
⎤
−+
⎥
⎦
=−∑
∑∑∑
∑
∑∑∑
∑
1)(26)m
j
jσ
=∑
