第4节 匀变速直线运动的位移与速度的关系
☆知识导航 如果有关匀变速直线运动问题的已知量和未知量都不涉及时间t，该如何处理才能使问题变得简单、方便？
☆学习目标 能推导并掌握位移与速度的关系式v2-v02=2ax；会适当地选用公式对匀变速直线运动的问题进行简单的分析和计算；知道匀变速直线运动的其它一些扩展公式；牢牢把握匀变速直线运动的规律，灵活运用各种公式解决实际问题。
☆重点难点 【重点】理解匀变速直线运动的位移与速度的关系v2-v02=2ax及其应用。掌握平均速度、中间时刻速度和中间位移速度的应用；初速度为零的匀变速直线运动的规律及推论。【难点】中间时刻速度和中间位移速度的大小比较及其运用；初速度为0的匀变速直线运动，相等位移的时间之比。
☆预习检测
1.公式推导：已知初速度v0，加速度a，时间t，可知末速度v= ，位移x= 。以上两式消去时间t得到 ，即为匀变速直线运动的位移与速度的关系式。
说明：该式是由匀变速直线运动的两个基本关系式推导出来的，因为不含时间，所以若研究的问题中不涉及时间这个物理量时利用该公式可以很方便。
2.匀变速直线运动的四个基本关系式
（1）速度随时间的变化规律： ；
（2）位移随时间变化的规律： ；
（3）位移随速度的变化： ；
（4）平均速度公式： 。
注意：以上四个基本公式均为矢量式，它们共涉及五个物理量，若知道三个量，可选取两个公式求出另两个量，应用时要先选取正方向。另外，公式（1）中不涉及位移x；公式（2）中不涉及末速度v；公式（3）中不涉及时间t；公式（4）中不涉及加速度a.抓住各公式特点，灵活选取公式求解。
第4节匀变速直线运动的速度与位移的关系
必考要求：d 加试要求：d
1.匀变速直线运动的速度—位移关系式：v2－v02＝2ax。
2．公式v2－v02＝2ax，在不涉及时间t时，解决问题
更方便。
3．匀变速直线运动某段位移中点位置的瞬时速度
vx2＝ v02＋v22。
4．在匀变速直线运动中，某段过程中间时刻的瞬时
速度等于该过程的平均速度，还等于该过程初、末速
度的平均值，即vt2＝v＝v0＋v2。
5．在匀变速直线运动中，连续相等时间内的位移差
为Δx＝aT2。
匀变速直线运动的速度与位移关系
1．关系式：v2－v02＝2ax。
2．推导：由匀变速直线运动的速度公式：v＝v0＋at和位移公式：x＝v0t＋12at2消去时间即得。
3．若v0＝0，速度与位移的关系为：v2＝2ax。
合作探究——议一议
(1)应用v2－v02＝2ax分析匀变速直线运动有何优势？
提示：因公式v2－v02＝2ax不涉及物体运动的时间，故在不要求计算时间时，应用该式分析匀变速直线运动较简便，特别是求解刹车问题中的刹车距离时比较简便。
(2)建造滑梯时，若已知小孩在滑梯上下滑的加速度和在滑梯底端的安全速度，如何设计出滑梯的长度？
提示：因为v和a已知且小孩初速度为零，根据v2－v02＝2ax可知x＝v22a，要想保证小孩安全，则滑梯长度x满足x≤v22a。
速度—位移公式的理解及应用
1．适用条件：匀变速直线运动。
2．v2－v02＝2ax为矢量式，x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度v0的方向为正方向。
(1)匀加速直线运动，a取正值；匀减速直线运动，a取负值。
(2)位移与正方向相同取正值；位移与正方向相反，取负值。
1．A、B、C三点在同一条直线上，某物体自A点从静止开始做匀加速直线运动，经过B点时速度为v，到C点时速度为2v，则AB和BC两段距离大小之比是( )
- 1 - 匀变速直线运动的位移与速度的关系
一，速度与位移的关系：
我们知道2001,2tvvatsvtat 消去两式中的时间t，得到2202tvvas
我们已知道两个位移公式：2012svtat和2202tvvas
（1）以上两式仅适用于匀变速直线运动。
（2）解题时选择哪一个公式求解，要看已知量情况，因为前式中无tv，后式中无t，故选
择公式时应尽量减少未知量。
（3）本节中所有公式皆为矢量式，除时间t外，所有物理量皆为矢量，因此在解题时，要
确定一个正方向，常选初速度方向为正方向，其余矢量依据其与0v方向的关系（即相
同或相反），分别代入“+”、“—”，如果某个量是待求的，可选假定其为“+”，最后根
据结果的“+”、“—”确定实际方向。
二，匀变速直线运动的规律：
1、v0=0的匀加速直线运动的物体，T秒末、2T秒末、3 T秒末„nT秒末的瞬时速度之比为
v1：v2：v3：„：vn=1：2：3：„：n
2、v0=0的匀加速直线运动的物体，T秒内、2T秒内、3 T秒内„nT秒内的位移之比为
x1：x2：x3：„：xn=12：22：32：„：n2
3、v0=0的匀加速直线运动的物体，第一个T秒内、第二个T秒内、第三个T秒内、„第n个T秒内的位移之比为
xⅠ：xⅡ：xⅢ：„：xN=1：3：5：„：（2N－1）
4、v0=0的匀加速直线运动的物体，通过连续相邻相等位移所需时间之比为
t1：t2：t3：„：tn=1：(2－1)：（3－2）：„：（N－1－N）
5、匀变速直线运动的物体在连续相邻相等的时间（T）内的位移之差为一恒定值，即
△X=aT2
6、匀变速直线运动的物体在某段位移中间位置的瞬时速度与这段位移初、末速度的关系为
v2x=2220tvv
7、匀变速直线运动的物体在某段时间中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，即
三．匀变速直线运动的位移与时间的关系四．匀变速直线运动的速度与位移的关系
[要点导学]
1．位移公式
物体做匀速直线运动的v-t图线如图2-3-1所示，在时间t内物体的位移对应v-t图象中矩形OCAB的面积，对应匀速直线运动物体的位移公式：x=vt；物体做匀变速直线运动的v-t，图线如图2-3-2所示，同理可知，在时间t内物体的位移对应v-t图象中梯形ODEF的面积，因此，匀变速度直线运动物体的位移公式为_____________________。
此位移公式是采用“微元法”把匀变速直线运动转化为匀速直线运动推导出来的，同学们应结合教材内容，深入理解这一研究方法及位移公式的推导过程，并加以应用。
2．对匀变速直线运动位移公式:的理解
（1）式中共有四个物理量，仅就该公式而言，知三求一；
（2）式中x、v0、a是矢量，在取初速度v0方向为正方向的前提下，匀加速直线运动a取正值，匀减速直线运动a取______，计算的结果x>0，说明位移的方向与初速度方向______，x<0，说明位移的方向与初速度方向________。
（3）对于初速度为零的匀加速直线运动,位移公式为：x=at2/2
3．匀变速直线运动速度与位移的关系
由速度公式vt=v0+at和位移公式联立消去时间t，可得速度与位移的关系式：vt2-v02=2ax
此式是匀变速直线运动规律的一个重要推论，如果问题的已知量和未知量都不涉及时间，应用此式求解比较方便，对于初速度为零的匀变速直线运动，此式可简化为_______。
4．匀变速直线运动的平均速度
由和可得，应用此式时请注意：
（1）此式只适用于匀变速直线运动,不论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动都适用，但对非匀变速直线运动的平均速度只能用平均速度的定义式来计算。
（2）式中的“v0+vt”是矢量和，不是代数和。对匀变速直线运动来说，v0和vt在一条直线上,可以通过规定正方向,把矢量运算转化为代数运算。
