【精准解析】2021学年高中数学人教B版必修第二册训练：4.2.3+第2课时+对数函数的性质与图像的应用

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-第一章4.24.4.2.3第2课时

请同学们认真完成[练案7]

A级基础巩固

一、选择题

1．已知函数f(x)＝lg1－x

1＋x，若f(a)＝1

2，则f(－a)等于(B)

A．1

2B．－1

2

C．2D．－2

[解析]f(a)＝lg1－a

1＋a＝1

2，f(－a)＝lg(1－a

1＋a)－1

＝－lg1－a

1＋a＝－1

2．

2．函数y＝ln(1－x)的图像大致为(C)

[解析]要使函数y＝ln(1－x)有意义，应满足1－x＞0，

∴x＜1，排除A、B；

又当x＜0时，－x＞0,1－x＞1，

∴y＝ln(1－x)＞0，排除D，故选C．

3．(多选题)已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)，则(BD)

A．f(x)是奇函数

B．f(x)是偶函数

C．f(x)在(0,10)上单调递增

D．f(x)在(0,10)上单调递减

[解析]

由10＋x＞0，

10－x＞0.得x∈(－10,10)，

-2-故函数f(x)的定义域为(－10,10)，关于原点对称，

又由f(－x)＝lg(10－x)＋lg(10＋x)＝f(x)，

故函数f(x)为偶函数，

而f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)＝lg(100－x2)，

y＝100－x2在(0,10)上递减，y＝lgx在(0,10)上递增，故函数f(x)在(0,10)上递减．

4．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是(D)

A．y＝xB．y＝lgx

C．y＝2xD．y＝1

x

[解析]函数y＝10lgx的定义域为(0，＋∞)，

又∵y＝10lgx＝x，∴函数的值域为(0，＋∞)，故选D．

5．设函数f(x)

＝21－xx≤1

1－log

2xx＞1，则满足f(x)≤2的x的取值范围是(D)

A．[－1,2]B．[0,2]

C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)

[解析]当x≤1时，21－x≤2，∴1－x≤1，

∴x≥0，∴0≤x≤1.当x＞1时，1－log2x≤2，∴log

2x≥－1，

∴x≥1

2，又∵x＞1，∴x＞1．

综上可知，x的取值范围为[0，＋∞)．

二、填空题

6．函数f(x)＝log

a(x＋1)－2(a＞0，a≠1)的图像过定点__(0，－2)__．

[解析]当x＋1＝1，即x＝0时，

log

a(x＋1)＝0，f(x)＝－2，

∴f(x)的图像过定点(0，－2)．

7．函数f(x)＝lgx2的单调递减区间是__(－∞，0)__．

[解析]函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，令u＝x2，则函数u＝x2在(－∞，0)

上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，又∵y＝lgu是增函数，∴函数f(x)＝lgx2的单调递减区

间为(－∞，0)．

8．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且

f1

2＝0，则不等式f(log4x)＜0的解集是__{x|1

2＜x＜2}__．

[解析]∵f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，

∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，

-3-又∵

f1

2

＝0，∴f

－1

2＝0，

由f(log4x)＜0，得－1

2＜log4x＜1

2，

∴1

2＜x＜2，故所求不等式的解集为x|1

2＜x＜

2

．

三、解答题

9．已知函数f(x)＝log

a(x＋2)－1(a＞0且a≠1)．

(1)若f(6)＝2，求函数f(x)的零点；

(2)若f(x)在[1,2]上的最大值与最小值互为相反数，求a的值．

[解析](1)因为f(6)＝2．

所以loga8－1＝2，

所以loga8＝3，即a3＝8，所以a＝2．

所以f(x)＝log2(x＋2)－1

令f(x)＝0，

即log2(x＋2)－1＝0，

所以log2(x＋2)＝1，

所以x＋2＝2，

所以x＝0．

即f(x)的零点为0．

(2)因为无论a＞1或0＜a＜1，f(x)均为单调函数

所以最值均在区间端点取得

因为f(x)在x∈[1,2]上的最大值与最小值互为相反数，所以f(1)＋f(2)＝0，即loga3－1＋log

a4

－1＝0，所以loga3＋log

a4＝2，所以log

a12＝2，

所以a2＝12，所以a＝±23，又因为a＞0且a≠1，所以a＝23．

10．已知函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)．

(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的范围；

(2)若f(x)的值域为R，求实数a的范围．

[解析](1)若f(x)的定义域为R，则关于x的不等式ax2＋2x＋1＞0的解集为R．

当a＝0时，x＞－1

2，这与x∈R矛盾，∴a≠0，

当a≠0

时，由题意得a＞0

Δ＝4－4a＜0，解得a＞1.即a的范围为{a|a＞1}．

(2)若f(x)的值域为R，则ax2＋2x＋1能取遍一切正数，

-4-∴a＝0

或a＞0

Δ＝4－4a≥0，解得0≤a≤1．

即a的范围为{a|0≤a≤1}．

B级素养提升

一、选择题

1．已知a＞0且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图像可能是下图中的(B)

[解析]∵函数y＝log

a(－x)中，－x＞0，

∴x＜0，故其图像应在y轴左侧，排除A、D；

又函数y＝ax与y＝loga(－x)的单调性相反，排除C，

故选B．

2．函数y＝lg(x2－4x＋a)的值域不可能是(A)

A．(－∞，1]B．[1，＋∞)

C．[2，＋∞)D．(－∞，＋∞)

[解析]设u＝x2－4x＋a＝(x－2)2＋a－4，所以u≥a－4，根据对数函数的图像与性质可

知，函数y＝lg(x2－4x＋a)的值域不可能为(－∞，1]，故选A．

3．函数f(x)＝log1

2(x2－4)的单调递增区间是(D)

A．(0，＋∞)B．(－∞，0)

C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)

[解析]函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)是由y＝log1

2t

与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝log1

2t在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递

减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．选D．

4．已知f(x)

＝3－ax－ax＜1

log

axx≥1在R上是增函数，那么实数a的取值范围是(C)

A．(1，＋∞)B．(－∞，3)

-5-C

．3

2，

3

D．(1,3)

[解析]因为f(x)在R上是增函数，

∴3－a＞0

a＞1

3－a－a≤log

a1

，即a＜3

a＞1

a≥3

2，解得3

2≤a＜3．

二、填空题

5．函数f(x)

＝log

1

2xx≥1

2xx＜1的值域为__(－∞，2)__．

[解析]当x≥1时，log

1

2x≤log

1

21＝0，

当x＜1时，0＜2x＜2，∴函数f(x)的值域为(－∞，2)．

6．已知f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f(lgx)＞f(1)，则x的取值范围是

__1

10，10

__．

[解析]当x≥1时，lgx≥0，因为函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，所以由f(lgx)＞f(1)，

得0≤lgx＜1，得1≤x＜10；当0＜x＜1时，lgx＜0，因为函数f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上

是减函数，由f(lgx)＞f(1)，得f(－lgx)＞f(1)，所以0＜－lgx＜1，得1

10＜x＜1.综上，可知1

10＜

x＜10．

7．函数f(x)＝loga(ax－3)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是__a＞3__．

[解析]因为函数f(x)＝log

a(ax－3)在[1,3]上单调递增，而函数t＝ax－3在[1,3]上单调递

增，

根据复合函数的单调性可得a＞1，且a－3＞0，解得a＞3．

三、解答题

8．已知函数f(x)＝log

a(1＋x)，g(x)＝log

a(1－x)，(a＞0，且a≠1)．

(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值；

(2)求使f(x)－g(x)＞0的x的取值范围．

[解析](1)当a＝2时，函数f(x)＝log

2(x＋1)为[3,63]上的增函数，故f(x)

max＝f(63)＝log

2(63

＋1)＝6，

f(x)

min＝f(3)＝log

2(3＋1)＝2．

(2)f(x)－g(x)＞0，即log

a(1＋x)＞log

a(1－x)，

①当a＞1时，1＋x＞1－x＞0，得0＜x＜1．

-6-②当0＜a＜1时，0＜1＋x＜1－x，得－1＜x＜0．

9．已知函数f(x)＝log1

a[(a－1)x－2]．

(1)若a＞1，求f(x)的定义域；

(2)若f(x)＞0在[1，5

4]上恒成立，求实数a的取值范围．

[解析](1)若a＞1，则a－1＞0，解(a－1)x－2＞0得x＞2

a－1.∴f(x)的定义域是(2

a－1，＋

∞)．

(2)①若a＞1，则0＜1

a＜1，

即在[1，5

4]上恒有0＜(a－1)x－2＜1．

∵a－1＞0，∴y＝(a－1)x－2为增函数，

只要a－1－2＞0，

a－1×5

4－2＜1，∴3＜a＜17

5．

②若0＜a＜1，则1

a＞1，

即在[1，5

4]上恒有(a－1)x－2＞1，

∵a－1＜0，∴y＝(a－1)x－2为减函数，

只要(a－1)×5

4－2＞1，∴a＞17

5．

∵0＜a＜1，∴a∈∅．

综上，a的取值范围为(3，17

5)．