新课标版备战高考数学二轮复习难点2.1利用导数探求参数的范围问题教学案理2

》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《

马鸣风萧萧整理 利用导数探求参数的范围问题

利用导数探求参数的取值范围是高考考查的重点和热点，由于导数是高等数学的基础，对于中学生来说运算量大、思维密度强、解题方法灵活、综合性高等特点，成为每年高考的压轴题，因此也是学生感到头疼和茫然的一类型题，究其原因，其一，基础知识掌握不够到位（导数的几何意义、导数的应用），其二，没有形成具体的解题格式和套路，从而导致学生产生恐惧心理，成为考试一大障碍，本文就高中阶段该类题型和相应的对策加以总结.

1. 与函数零点有关的参数范围问题

函数()fx的零点，即()0fx的根，亦即函数()fx的图象与x轴交点横坐标，与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与x轴的位置关系（或者转化为两个熟悉函数交点问题），进而确定参数的取值范围．

例1【2018安徽阜阳一中二模】已知函数 为常数， .

（1）当 在 处取得极值时，若关于的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.

（2）若对任意的 ，总存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围.

思路分析：（1）对函数，令，可得的值，利用导数研究的单调性，然后求得的最值，即可得到的取值范围；（2）利用导数求出在上的最大值，则问题等价于对对任意，不等式成立，然后构造新函数，再对求导，然后讨论，得出的单调性，即可求出的取值范围. 》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《

马鸣风萧萧整理 点评：本题主要考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度较大，属于难题.在处理导数大题时，注意分层得分的原则，一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后含参数的问题注意分类讨论，对于恒成立的问题，一般要构造新函数，再利用导数求出函数单调性及最值，涉及到的技巧较多，需多加体会.

2. 与曲线的切线有关的参数取值范围问题

函数()yfx在点0xx处的导数'0()fx就是相应曲线在点00(,())xfx处切线的斜率，即'0()kfx，此类试题能与切斜角的范围，切线斜率范围，以及与其他知识综合，往往先求导数，然后转化为关于自变量0x的函数，通过求值域，从而得到切线斜率k的取值范围，或者切斜角范围问题．

例2.已知函数2xfxeaxbx.

（1）当0 1ab，时，求fx的单调区间；

（2）设函数fx在点 01Ptftt，处的切线为l，直线l与y轴相交于点Q，若点Q的纵坐标恒小于1，求实数a的取值范围.

思路分析：（Ⅰ）先明确函数定义域，再求函数导数 '1xfxe，根据导函数零点进行分类讨论：当 0x，时，'0fx，因此减区间为 0，，当0 x，时，'0fx递增区间为，递减区间为0 ，（Ⅱ）根据导数几何意义得切线的斜率'2tkfteatb，再根据点斜式写出切线方程22ttyeatbteatbxt，得点Q的纵坐标2101tyteatt，即不等式211tteat恒成立，而不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：：2(1)1,01tteatt的》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《

马鸣风萧萧整理 最大值，利用导数研究函数2(1)1,01tteytt单调性，为单调递减，再利用洛必达法则得2(1)110,22ttteexyt，因此12a…，也可直接构造差函数，分类讨论最值进行求解

即2ea时，20tea，所以，当0 1t，时，'0gt，即gt在0 1，上单调递减，所以00gtg，所以2ea不满足题意.③若21ea，即122ea时，0ln21a，

则t、'gt、gt的关系如下表：

t 0 ln2a， ln2a ln2 1a，

'gt  0 

gt 递减 极小值 递增

所以ln200gag，所以122ea不满足题意，结合①②③，可得，当12a时，001gtt时，此时点Q的纵坐标恒小于1.

点评：该题考查导数的几何意义、斜率的定义等基础知识，考察学生基本运算能力、灵活运用导数知识处理问题的能力，需要注意的是解决问题的途径是将存在问题转化为方程有解问题.利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题

3.与不等式恒成立问题有关的参数范围问题

含参数的不等式()()fxgx恒成立的处理方法：①()yfx的图象永远落在()ygx图象的上方；》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《

马鸣风萧萧整理 ②构造函数法，一般构造()()()Fxfxgx，min()0Fx；③参变分离法，将不等式等价变形为()ahx，或()ahx，进而转化为求函数()hx的最值.

3.1 参变分离法

将已知恒成立的不等式由等价原理把参数和变量分离开，转化为一个已知函数的最值问题处理，关键是搞清楚哪个是变量哪个是参数，一般遵循“知道谁的范围，谁是变量；求谁的范围，谁是参数”的原则．

例3．【安徽省淮南市2018届第四次联考】已知函数336xfxeaxxaR（e为自然对数的底数）

（Ⅰ）若函数fx的图像在1x处的切线与直线0xy垂直，求a的值；

（Ⅱ）对0,4x总有fx≥0成立，求实数a的取值范围．

思路分析：（I）求出函数的导数，由函数fx的图像在1x处的切线与直线0xy垂直可得'11f，从而求出a的值；（II）对0,4x总有fx≥0成立，等价于对3360,4?xxax上恒成立，设336xgxx，只需minagx即可，利用导数研究函数的单调性可得0,3x时， gx为增函数，

3,4x时， gx为减函数，从而3gxg，进而可求出a的范围.

综合性较高，需要具备良好的数学素质，第二问中参变分离时，要考虑符号．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《

马鸣风萧萧整理 只需f(x)max≤a即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.

3.2 构造函数法

参变分离后虽然转化为一个已知函数的最值问题，但是有些函数解析式复杂，利用导数知识无法完成，或者是不易参变分离，故可利用构造函数法．

例4．已知函数21()2ln()2fxxaxxaR，(1,)x.

（1）若函数()fx有且只有一个极值点，求实数a的取值范围；

（2）对于函数()fx，1()fx，2()fx，若对于区间D上的任意一个x，都有12()()()fxfxfx，则称函数()fx是函数1()fx，2()fx在区间D上的一个“分界函数”.已知21()(1)lnfxax，22()(1)fxax，问是否存在实数a，使得函数()fx是函数1()fx，2()fx在区间(1,)上的一个“分界函数”？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，说明理由.

思路分析：（Ⅰ）先求函数导数：，再根据函数()fx有且只有一个极值点，得在区间上有且只有一个零点，最后结合二次函数实根分布得，解得实数的取值范围是；（Ⅱ）由题意得当时，恒成立，

且恒成立，即问题为恒成立问题，解决方法为转化为对应函数最值问题：记，利用导数研究其单调变化规律，确定其最大值：当时， 单调递减，最大值为，由，解得；当时，最大值为正无穷大，即在区间上不恒成立，同理记，利用导数研究其单调变化规律，确定其最小值：由于，所以在区间上单调递增，其最小值为，得. 》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《

马鸣风萧萧整理 点评：本题主要考查导数的几何意义，函数单调性，极值和最值与导数之间的关系，综合考查导数的应用．属难题.解题时要熟练应用利用导数研究函数的性质的一般方法，包括构造新函数，分离变量，以及求极值、最值等.

4.与函数单调区间有关的参数范围问题

若函数()fx在某一个区间D可导，'()0fx函数()fx在区间D单调递增；'()0fx函数()fx在区间D单调递减.若函数()fx在某一个区间D可导，且函数()fx在区间D单调递增'()0fx恒成立；函数()fx在区间D单调递减'()0fx恒成立.

4.1 参数在函数解析式中

转化为'()0fx恒成立和'()0fx恒成立问题后，利用恒成立问题的解题方法处理

例5. 【2018辽宁庄河两校联考】已知函数（且）．

（Ⅰ）若为定义域上的增函数，求实数的取值范围； 》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《

马鸣风萧萧整理 （Ⅱ）令，设函数，且，求证：．

思路分析：(Ⅰ)利用导函数研究函数的单调性，将原问题转化为恒成立的问题，讨论可得实数的取值范围是；(Ⅱ)由题意结合函数的单调性讨论函数g(x)的性质，结合函数的零点性质即可证得题中的结论.

点评：导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则y＝f(x)在该区间为增函数；如果f′(x)＜0，则y＝f(x)在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.

4.2 参数在定义域中

函数解析式确定，故可先确定其单调区间，然后让所给定义域区间包含在单调区间中.

例6.已知函数ln()axfxx，曲线ln()axfxx在点(,())efe处的切线与直线20exye垂直.注：e为自然对数的底数.

（1）若函数()fx在区间(,1)mm上存在极值，求实数m的取值范围；