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高数学复数的向量表示及复数的三角形式

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【高3数学】12-复数的向量表示及复数的三角形式

1 / 9 复数的向量表示及复数的三角形式

基础概念

一、基础知识概述

由于解方程的需要，我们引进了复数和及其四则运算，并建立了复数集C和复平面内所有的点构成的集合之间的一一对立，我们还学过向量及其运算，在些基础上，我们现在一起来学习复数的向量表示、复数的三角形式及其运算、复数的指数形式、复数的运算的几何意义．

二、重点知识归纳及讲解

1、复数的向量表示：

复数集C与复平面内的向量集合OZ（O为原点）一一对应．

说明：

（1）零向量表示复数0，相等的向量表示同一个复数；

（2）向量OZ的模r就是复数biaZ（a、Rb）的模，即22||||barbiaZ．

2、复数的三角形式及运算：

（1）复数的幅角：设复数biaZ对应向量OZ，以x轴的正半轴为始边，向量OZ所在的射线（起点为O）为终边的角，叫做复数Z的辐角，记作ArgZ，其中适合20的辐角的值，叫做辐角的主值，记作Zarg．

说明：

不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2的整数倍．

（2）复数的三角形式：)sin(cosir叫做复数biaZ的三角形式，其中022bar，racos，rbsin．

说明：

任何一个复数biaZ均可表示成)sin(cosir的形式．其中r为Z的模，为Z的一个辐角．

（3）复数的三角形式的运算：

设)sin(cosirZ，)sin(cos1111irZ，)sin(cos2222irZ．则

1）乘法：)]sin()[cos(21212121irrZZ； 【高3数学】12-复数的向量表示及复数的三角形式

2 / 9 2）除法：)0()]sin()[cos(221212121ZirrZZ ；

3）乘方：)sin(cosninrZnn；

4）开方：)1,,2,1,0()]2sin()2[cos(nknkinkrZnn ．

3、复数的几何意义：

（1）复数模的几何意义：||||OZZ，即Z点到原点O的距离，一般地||21ZZ即1Z点到2Z点的距离．

（2）复数加、减法的几何意义：

图中给出的平方四边形，可以直观地反映出复数加、减法的几何意义．

即21ZZZ，1221ZZZZZ．

（3）复数乘、除法的几何意义：

设)sin(cos1111irZ，则1ZZ的几何意义是把Z的对应向量OZ按逆时针方向旋转一个角1（如果01，就要把OZ按顺时针方向旋转一个角||1，再把它的模变为原来的1r倍，所得向量OP即表示积1ZZ，如图，01Z，1ZZ的几何意义是把Z的对应向量OZ按顺时针方向旋转一个角1（如果01，就要把OZ按逆时针方向旋转一个角||1，再把它的模变为原来的11r倍，所得的向量即表示商1ZZ． 【高3数学】12-复数的向量表示及复数的三角形式

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4、复数的指数形式：

把模为1，辐角为（以弧度为单位）的复数sincosi用记号ie表示，即sincosiei，由此任何一个复数)sin(cosirZ就可以表示为ireZ形式，我们把这一表达式叫做复数的指数形式．

三、难点知识剖析

复数的几何意义的理解是本讲的难点．

由于复数集与平面点集间的一一对应关系，使得复数问题常常可用几何方法来解决，几何问题常常可用复数语言来表述，要善于运用“数形结合”的解题思想来思考，分析这类问题，找出最简捷的解题方法．

复数的模可以帮助我们表示出一些常用曲线方程．

如圆：rZZ||0；

线段中垂线：||||21ZZZZ；

椭圆：|)|2(2||||2121ZZaaZZZZ ；

双曲线：|)|2(2||||||2121ZZaaZZZZ ．

典型例题

例1、已知0，且2，复数iZtan．

（1）求Z的三角形式；

（2）若2||Z，求Zarg的取值范围． 【高3数学】12-复数的向量表示及复数的三角形式

4 / 9 解析：

（1）)cos(sincos1cossiniiZ，

1）当20时，则0||cos1Z，

而)23sin()23cos(cossinii，

∴此时三角形式为)]23sin()23[cos(cos1i．

2）当2时，则0||cos1Z，

而)2sin()2cos(cossinii，

∴此时三角形式为)]2sin()2[cos(cos1i．

（2）当20，2cos1||Z，∴21cos，∴30，

而23argZ，∴611arg23Z；

当2，2cos1||Z，∴21cos，∴32，

而2argZ，∴23arg67Z．

评析：

化含三角函数关系的复数为三角形式时，应把握概念，准确运用有关三角公式．

例2、设1||Z，0argZ，且0，ZZ113．

（1）存在实数a、b，使cos||ba成立，求a、b；

（2）若1||，求．

解析：

（1）依题意可设sincosiZ，则

2sin2cossincos112iiZZ．

∵)2sin(sin2coscos1i

∴22)2sin(sin)2coscos1(||

2cos2cos43)2cos(22cos2cos23．

∴222coscos22cos2cos43baba，且0cosba， 【高3数学】12-复数的向量表示及复数的三角形式

5 / 9 即22coscos222cos2cos43222babba．

∴224232222babba，且0cosba．

∴当320时，21ba．当32时，21ba．

（2）若1||，则1)1cos2(2cos432，即01cos4cos42．

∴0)1cos2(2，21cos，∴32．

例3、复数1Z与2Z满足：iZZ221，3||21ZZ，且21ZZu，uarg，问：当||u为何值时，cos取得最大值和最小值？并求出这一最大值和这一最小值．

解析：

设)0()sin(cos21rirZZu ，

则21)sin(cosZirZ，且||||21ZrZ．

∴3||2)sin(cos2222ZriZZir．

∴2|2||sin1cos|||2irirZ，

∴34||4cos)1cos(22222rZrr，即34cos212rrr，

∴)1(2132cosrr（显然0r）．

∴3122132cos，即31cos1．

当1cos时，1)1(2132rr，解得31r或3r；

当31cos时，rr1，∴1r．

即31||u或3||u时，1][cosmin，而1||u时，31][cosmax． 【高3数学】12-复数的向量表示及复数的三角形式

6 / 9 例4、设复数1Z、2Z、3Z满足：1||1Z，ZZZ12，213ZZZ，其中)31(23iZ，若1Z、2Z、3Z在复平面上所对应的点分别是1Z、2Z、3Z，求321ZZZ的面积．

解析：

由复数及复数乘法的几何意义，1Z点在单位圆O上，设其辐角主值为，Z点是)233,23( ，其辐角主值是3，∵ZZZ12，∴2Z点是将OZ逆时针旋转角后对应向量2OZ的终点，同理3OZ向量则是由2OZ向量逆时针旋转3后，再将模伸长为2OZ模的3倍而得到．

如图所示：

∴313221321ZOZZOZZOZZZZSSSS

313132322121sin||||21sin||||21sin||||21OZZZZOZZZZOZZZZ

4321)32sin||3sin||3sin|(|2123ZZZ．

例5、已知复数Z满足1|1|ZZ，求复数Z的模r的最大、小值及对应的Z．

解析：

方法一：

∵11||1||ZZZZ．||Z、RZ||1． 【高3数学】12-复数的向量表示及复数的三角形式

7 / 9 ∴1||1||1ZZ，∴01||||01||||22ZZZZ，∴215215r．

而当)()1(RkZkZ 时，ZZZZ1||1||，

∴当iZ215时，215minr；而当iZ215时，215maxr．

方法二：

设)sin(cosirZ．

∴|)sin(cos1)sin(cos||1|irirZZ

2222sin)1(cos)1(|sin)1(cos)1(|rrrrirrrr

12cos21sin2cos21222222rrrr．

∵32cos211022rr，∴01324rr，2532532r．

∴215215r，且当iZ215时，215minr；

当iZ215时，215maxr．

高考中对复数的考查多集中在复数的概念以及复数的代数运算，对复数的三角形式的考查不多．有时可能采取一题多法，即设复数的代数形式和复数的三角形式均可解，只不过运用三角形式解答时较方便．

基础练习

一、选择题

1、复数)()1(2224ZniiZn 的辐角主值是（ ）

A．4 B．43 C．45 D．47

2、设Ca，43，给出复数：)2sin2(cos21iaZ，)2sin2(sin||2iaZ，)sin(cos2sin||3iaZ其中能确定为复数的三角形式的有（ ）

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复数的三角形式（一）

复数的三角形式（一）

代数教案

第 1页（共30页） 复数的三角形式（一） 目的：熟练掌握复数的三角形式 重点：化复数为三角形式 难点：复数辐角主值的探求 教学内容： 一、知识回顾： 1、复数的三种形式：代数形式z=a+bi点的形式Z(a,b) 向量形式OZ 2、复数的模：|z|=|a+bi|=22ba=|OZ| 二、复数的三角形式： 1、复数的辐角： *复数的辐角有无穷多，其一般形式是： *特别规定：复数0的辐角是任意的. 2、复数的辐角主值： ，记为argz *注意与反三角符号的区别 3、几个特殊结论：如果a∈R+，那么 arga= ,arg(-a)= ,arg(ai)= ,arg(-ai)= 4、两个复数相等r1=r2且argz1=argz2. 5、复数的三角形式：设是复数的辐角，其模为r，则： a= ,b= )sin(cosirz叫复数的三角形式 *三角形式的具体要求：①r≥0 ②前余后正 ③“+”号连接 ④不一定是主值 Z x y r a b O  代数教案

第 2页（共30页） 三、典型例题分析： 1、化下列复数为三角形式： ①z=3+i ②z=1-i ③z=-1 ④z=3-4i 2、（91全国）复数z=1+i，求复数1632zzz的模和辐角主值 3、求复数z1=1+cos+isin(0≤<2)的模和辐角主值。 代数教案

第 3页（共30页） 四、课堂练习： 1、下列那一个是复数的三角形式 (A)21[cos4-isin4] (B) -21(cos3+isin3) (C)21(sin54+icos54) (D)cos56+isin56 2、把下列复数化为三角形式： 4= ；-3= ；-i= ;-2+2i= -1-i3= ;i2123 ;-4+3i= 五、能力测试： 1、（90广东）复数)2(1ictg的三角形式是…………………（ ） (A) )]2sin()2[cos(sin1i (B) )cos(sinsin1 (C) )]2sin()2[cos(sin1i (D) )]23sin()23[cos(sin1i 2、（91三南）复数Z=-3(cos34-isin34)的幅角主值为…………………（ ） (A) 34 (B) 35 (C) 611 (D) 6 代数教案

复数的三角形式

复数的三角形式

复数的三角形式

1.复数的三角形式

复数的幅角指的是复数Z=a+bi所对应的向量半轴为始边，向量以x轴正方向所在的射线（起点为O）为终边的角度θ，记作ArgZ。其中，满足0≤θ<2π的辐角θ的值称为辐角的主值，记作argZ。

需要注意的是，不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍。

复数的三角形式指的是r(cosθ+isinθ)，其中r为复数Z=a+bi的模，θ为Z的一个辐角。

任何一个复数Z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式。

2.复数的三角形式的运算

设Z=r(cosθ+isinθ)，Z1=r1(cosθ1+isinθ1)，Z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则：

3.应用

例1：求下列复数的模和辐角主值

1）1+i 解：对于1+i，有a=1，b=1，点（1,1）在第一象限，所以r=sqrt(2)，tanθ=1，辐角主值为θ=π/4.

2）4-3i

解：对于4-3i，有a=4，b=-3，点（4，-3）在第四象限，所以r=5，tanθ=-3/4，辐角主值为θ=11π/6.

想一想：如何求复数z=3-4i的辐角？

解：对于3-4i，有a=3，b=-4，点（3，-4）在第四象限，所以r=5，tanθ=-4/3，辐角主值为θ=11π/6.

复数的三角形式具有以下特征：形式为r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为一个辐角。

下列各式是否为复数的三角形式：

1）isinθ+cosθ

2）2(cos(π/4)+isin(π/4))

3）5(cos(5π/6)+isin(π/6))

解：（1）不是，（2）是，（3）是。

例2：把下列复数转化为三角形式 1）-1

解：-1=cosπ+isinπ，所以r=1，θ=π。

2）2i

解：2i=2(cosπ/2+isinπ/2)，所以r=2，θ=π/2.

3）3-i

解：3-i=2(cos(11π/6)+isin(π/6))，所以r=2，θ=11π/6.

复数的三角表示形式

复数的三角表示形式

- 1 - 复数的三角表示形式

复数是由实数和虚数组成的数，一般表示成 a+bi 的形式，其中

a 为实数部分，b 为虚数部分，i 为虚数单位。除此之外，复数还可以用三角形式表示，即：

z = r(cosθ + i sinθ)

其中，r 表示复数 z 的模，θ 表示 z 的幅角。

模 r 的计算公式为：

r = |z| = √(a + b)

幅角 θ 的计算公式为：

θ = arg(z) = tan(b/a) + kπ (k∈Z)

在三角形式中，复数可以看作是平面直角坐标系中一个点的极坐标，其中实部和虚部分别对应该点在 x 轴和 y 轴上的投影长度。

使用三角形式表示复数有以下几个优点：

1. 易于计算复数的乘法和除法，只需按照平面向量的乘法和倒数公式进行计算。

2. 易于用欧拉公式表示复数，即 e^(iθ) = cosθ + i sinθ，可以方便地进行复杂的数学推导。

3. 易于理解复数在复平面上的几何意义，可以通过旋转和缩放的方式进行操作。

因此，三角形式是复数的重要表示形式之一，对于深入理解复数的性质和应用具有重要意义。

高中数学知识点总结复数与复数运算之复数的三角形式与指数形式

高中数学知识点总结复数与复数运算之复数的三角形式与指数形式

高中数学知识点总结复数与复数运算之复数的三角形式与指数形式

复数是高中数学中重要的概念之一，它在解决实际问题中有很大的作用。本文将从复数的定义开始，详细介绍复数的三角形式和指数形式以及它们的运算规则。

一、复数的定义

复数是由实数和虚数构成的数，通常用字母z表示。复数可以表示为z = a + bi，其中a和b分别是实部和虚部，i是虚数单位，满足i^2 =

-1。实部和虚部都是实数。

二、复数的三角形式

复数的三角形式（也称极坐标形式）可以将复数表示为模和幅角的形式。设z = a + bi是一个复数，它可以用模r和幅角θ表示，即z =

r(cosθ + isinθ)。其中，r为复数的模，θ为复数的幅角。

三、复数的指数形式

复数的指数形式可以将复数表示为以e为底的指数函数的形式，即z = re^(iθ)。其中，r是复数的模，θ是复数的幅角，e是自然对数的底。复数的指数形式与三角形式是等价的，可以相互转换。

四、复数的运算规则

1. 复数的加法和减法：将实部和虚部分别相加或相减即可，得到的结果仍为复数。 2. 复数的乘法：将复数的模相乘，幅角相加。

3. 复数的除法：将复数的模相除，幅角相减。

4. 复数的乘方：将复数的模的乘方，幅角乘以指数。

五、复数的应用

复数在工程学和物理学等领域有广泛的应用。在交流电路中，复数可以描述电压和电流的相位关系；在振动学中，复数可以描述振动的频率和幅度。

六、小结

通过本文的介绍，我们了解了复数的定义、三角形式和指数形式以及它们的运算规则。复数作为高中数学的基础知识，具有重要的理论意义和实际应用价值。掌握复数相关的知识，有助于我们更好地理解和应用数学。

ending:这篇文章详细介绍了高中数学知识点中的复数及其运算规则，包括复数的三角形式和指数形式。通过学习和掌握复数的知识，我们能够更好地理解和应用数学。希望本文对读者在高中数学学习中有所帮助。