当前位置：文档之家 › 高考数学第12炼 复合函数零点问题

高考数学第12炼 复合函数零点问题

  • 格式：doc
  • 大小：1.02 MB
  • 文档页数：7

第12炼 复合函数零点问题 一、基础知识： 1、复合函数定义：设yft，tgx，且函数gx的值域为ft定义域的子集，那么y通过t的联系而得到自变量x的函数，称y是x的复合函数，记为yfgx 2、复合函数函数值计算的步骤：求ygfx函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。例如：已知22,xfxgxxx，计算2gf 解：2224f 2412gfg 3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x的值。例如：已知2xfx，22gxxx，若0gfx，求x 解：令tfx，则2020gttt解得0,2tt 当0020xtfx，则x 当2222xtfx，则1x 综上所述：1x 由上例可得，要想求出0gfx的根，则需要先将fx视为整体，先求出fx

的值，再求对应x的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义： 4、函数的零点：设fx的定义域为D，若存在0xD，使得00fx，则称0xx为fx的一个零点

5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x的方程0gfx根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于fx的方程，观察有几个fx的值使得等式成立；第二层是结合着第一层fx的值求出每一个fx被几个x对应，将x的个数汇总后即为0gfx

的根的个数

6、求解复合函数ygfx零点问题的技巧： （1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出,fxgx的图像 （2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于fx的方程0gfx中fx解的个数，再根据个数与fx的图像特点，分配每个函数值ifx被几个x所对应，从而确定ifx的取值范围，进而决定参数的范围 复合函数： 二、典型例题

例1：设定义域为R的函数1,111,1xxfxx ，若关于x的方程20fxbfxc

由3个不同的解123,,xxx，则222123xxx______

思路：先作出fx的图像如图：观察可发现对于任意的0y，满足0yfx的x的个数分别为2个（000,1yy）和3个（01y），已知有3个解，从而可得1fx必为 20fxbfxc的根，而另一根为1或者是负数。所以1ifx，可解得：

1230,1,2xxx，所以2221235xxx

答案：5 例2：关于x的方程22213120xx的不相同实根的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 思路：可将21x视为一个整体，即21txx，则方程变为2320tt可解得：1t或2t，则只需作出21txx的图像，然后统计与1t与2t的交点总数即可，

共有5个 答案：C

例3：已知函数11()||||fxxxxx，关于x的方程2()()0fxafxb

（,abR）恰有6个不同实数解，则a的取值范围是 ． 思路：所解方程2()()0fxafxb可视为20fxafxb，故考虑作出fx的图像：2,12,012,102,1xxxxfxxxxx， 则fx的图像

如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有122,02fxfx，所以122,4afxfx，

解得42a 答案：42a

例4：已知定义在R上的奇函数，当0x时，121,0212,22xxfxfxx，则关于x的方程2610fxfx的实数根个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 思路：已知方程2610fxfx可解，得1211,23fxfx，只需统计11,23yy与yfx的交点个数即可。由奇

函数可先做出0x的图像，2x时，122fxfx，则2,4x的图像只需将

0,2x的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图像

完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有7个交点 答案：B 小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。 例5：若函数32fxxaxbxc有极值点12,xx，且11fxx，则关于x的方程2320fxafxb的不同实根的个数是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6 思路：'232fxxaxb由极值点可得：12,xx为2320xaxb ①的两根，观察到方程①与2320fxafxb结构完全相同，所以可得2320fxafxb的两根为1122,fxxfxx，其中111fxx，若12xx，

可判断出1x是极大值点，2x是极小值点。且2211fxxxfx，所以1yfx与fx有两

个交点，而2fx与fx有一个交点，共计3个；若

12xx，可判断出1x是极小值点，2x是极大值点。且

2211fxxxfx，所以1yfx与fx有两个交点，而2fx与fx有一个

交点，共计3个。综上所述，共有3个交点 答案：A 例6：已知函数243fxxx，若方程20fxbfxc恰有七个不相同的实根，则实数b的取值范围是（ ） A. 2,0 B. 2,1 C. 0,1 D. 0,2 思路：考虑通过图像变换作出fx的图像（如图），因为20fxbfxc

最多只能解出2个fx，若要出七

个根，则121,0,1fxfx，所以121,2bfxfx，解得：2,1b

答案：B

例7：已知函数xxfxe，若关于x的方程210fxmfxm恰有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. 1,22,ee B. 1,1e C. 11,1e D. 1,ee 思路：,0,0xxxxefxxxe，分析fx的图像以便于作图，0x时，'1xfxxe，从而fx在0,1单调递增，

在1,单调递减，11fe，且当,0xy，所以x正半轴为水平渐近线；当0x时，'1xfxxe，所以fx在,0单调递减。由此作图，从图像可得，若恰有4个不等实根，则关于fx的

方程210fxmfxm中，12110,,,fxfxee，从而将问题转化

为根分布问题，设tfx，则210tmtm的两根12110,,,ttee，设21gttmtm

，则有20010111100gmmmgeee，解得11,1me

答案：C 小炼有话说：本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。

例8：已知函数21,0log,0axxfxxx，则下列关于函数1yffx的零点个数判断正确的是（ ） A. 当0a时，有4个零点；当0a时，有1个零点 B. 当0a时，有3个零点；当0a时，有2个零点 C. 无论a为何值，均有2个零点 D. 无论a为何值，均有4个零点 思路：所求函数的零点，即方程1ffx的解的个数，先作出fx的图像，直线1yax为过定点0,1的一条直线，但需要对a的符号进行分类讨论。当0a时，图像

如图所示，先拆外层可得12210,2fxfxa，而1fx有两个对应的x，2fx也 有两个对应的x，共计4个；当0a时，fx的图像如图所示，先拆外层可得12fx，且12fx只有一个满足的x，所以共一个零点。结合选项，可判断出A正确 答案：A

例9：已知函数232211,0231,31,0xxfxxxgxxx，则方程0gfxa

（a为正实数）的实数根最多有___________个

思路：先通过分析,fxgx的性质以便于作图，'23632fxxxxx，从而fx在

,0,2,单增，在0,2单减，且

01,23ff，gx为分段函数，作出每段图像

即可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选取fx能对应x较多的情况，由fx图像可得，当3,1fx

时，每个fx可对应3个x。只需判断gfxa中，fx能在3,1取得的值的个数即可，观察gx图像

可得，当51,4a时，可以有2个3,1fx，从而能够找到6个根，即最多的根的个数 答案：6个

合集下载

复合函数零点问题解题思路

复合函数零点问题解题思路

复合函数零点问题解题思路例1：已知)(x f 为R 上的偶函数，当0≥x 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤≤-=1,1)21(10),1(2cos 23)(x x x x f x π，若函数 )(6)()65()]([5)(2R a a x f a x f x g ∈++-=有且仅有6个不同的零点，则实数a 的取值范围为______ 破题思路：函数)(6)()65()]([5)(2R a a x f a x f x g ∈++-=有且仅有6个不同的零点，即方程06)()65()]([52=++-a x f a x f 的x 的不同取值有6个。

从方程得65)(=x f 或a x f =)(，问题转化为使65)(=x f 或a x f =)(成立的x 的不同取值有6个；因此，作出函数)(x f 的图象，问题即可得解。

解：因为06)()65()]([52=++-a x f a x f ，解得65)(=x f 或a x f =)( 令)(x f t =，作出函数)(x f 的图象如图所示由图象可得0=t 时，方程)(x f t =只有1个解，当10≤<t 或23=t 时，方程)(x f t =有2个解， 当231<<t 时，方程)(x f t =有4个解， 因此可得65)(=x f 有4个解，则a x f =)(应有2个解，所以10≤<a 或23=a 时例2：已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≥x 时，2)(-=x x x f ，若关于x 的方程 ),(0)()(2R b a b x af x f ∈=++恰有10个不同实数解，则实数a 的取值范围为______破题思路：关于x 的方程),(0)()(2R b a b x af x f ∈=++恰有10个不同实数解，即使方程成立的x 有10个不同取值。

令)(x f t =，则使),(02R b a b at t ∈=++的t 的取值，应使方程)(x f t =成立的x 有10个不同取值，作出函数)(x f 的图象，问题即可得解。

复合函数的零点问题

复合函数的零点问题

复合函数的零点问题I ．题源探究·黄金母题例1设函数()1,0,()11,11x x a af x x a x a⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪-⎩a 为常数且()0,1a ∈．若0x 是()()f f x x -的零点但不是()f x x -的零点;则称0x 为()f x 的二阶周期点;求函数()f x 的二阶周期点．答案函数()f x 有且仅有两个二阶周期点;121a x a a =-++;2211x a a =-++． 解析2222221,0,1(),,(1)(())1(),1,(1)1(1),1 1.(1)x x a a a x a x a a a f f x x a a x a a a x a a x a a ⎧≤≤⎪⎪⎪-<≤⎪-⎪=⎨⎪-<<-+-⎪⎪⎪--+≤≤-⎪⎩当20x a ≤≤时;由21x x a=解得0x =;由于()00f =;故0x =不是()f x 的二阶周期点；当2a x a <≤时;由1()(1)a x x a a -=-解得21a x a a =-++2(,),a a ∈因222211()1111a a af a a a a a a a a a =⋅=≠-++-++-++-++;故21ax a a =-++是()f x 的二阶周期点； 精彩解读试题来源2013年高考江西卷改编．母题评析本题以新定义的形式考查复合函数、分段函数的零点;难度较大．新定义信息题是近几年来高考的一个热点． 思路方法理解定义;写出复合函数的解析式;再利用函数与方程思想、分类分类讨论思想、数形结合思想解题．当21a x a a <<-+时;由21()(1)x a x a -=-解得12x a=-2(,1)a a a ∈-+;因111112122f a a a a⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭故12x a =-不是()f x 的二阶周期点；当211a a x -+≤≤时;1(1)(1)x x a a -=-解得211x a a =-++ 2(1,1)a a ∈-+;因22221111()(1)11111a f a a a a a a a a a =•-=≠-++--++-++-++; 故211x a a =-++是()f x 的二阶周期点． 综上：函数()f x 有且仅有两个二阶周期点;121a x a a =-++;2211x a a =-++． II ．考场精彩·真题回放 例22017年高考江苏卷设()f x 是定义在R 且周期为1的函数;在区间[0,1)上;2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D xx n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ;则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ．答案8解析由于()[0,1)f x ∈ ;则需考虑110x ≤< 的情况在此范围内;x Q ∈ 且x ∈Z 时;设命题意图本题主要考查复合函数的零点．本题能较好的考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力等．考试方向这类试题在考查题型上;通常基本以选择题或填空题的形式出现;综合性强;难度大． 难点中心解答此类问题;关键在于 “抽茧剥丝”;把复合函数问题转化为单函数问题;准确作出函数图象;利用图象解决问题．*,,,2qx p q p p=∈≥N ;且,p q 互质 若lg x Q ∈ ;则由lg (0,1)x ∈ ;可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ;且,m n 互质 因此10n mq p =;则10()n m qp= ;此时左边为整数;右边非整数;矛盾;因此lg x Q ∉因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等;只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点;画出函数图象;图中交点除()1,0外其它交点横坐标均为无理数;属于每个周期x D ∉的部分;且1x =处()11lg 1ln10ln10x x '==<;则在1x =附近仅有一个交点;一次方程解的个数为8．例32015年高考天津已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ;其中b R ∈;若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点;则b 的取值范围是A ．7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭答案D ． 解析由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩; 222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪∴=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩;即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--;所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解;即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点;由图象可知724b <<． III ．理论基础·解题原理1．复合函数定义：设()y f t =;()t g x =;且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集;那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数;称y 是x 的复合函数;记为()y f g x =⎡⎤⎣⎦．2．复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =⎡⎤⎣⎦函数值遵循“由内到外”的顺序;一层层求出函数值．例如：已知()()22,x f x g x x x ==-;计算()2g f ⎡⎤⎣⎦． 解析()2224f ==;()()2412g f g ∴==⎡⎤⎣⎦．3．已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解;则遵循“由外到内”的顺序;一层层拆解直到求出x 的值．例如：已知()2x f x =;()22g x x x =-;若()0g f x =⎡⎤⎣⎦;求x ．由上例可得;要想求出()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根;则需要先将()f x 视为整体;先求出()f x 的值;再求对应x 的解;这种思路也用来解决复合函数零点问题;先回顾零点的定义．4．函数的零点：设()f x 的定义域为D ;若存在0x D ∈;使得()00f x =;则称0x x =为()f x 的一个零点．5．复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦根的个数;在解此类问题时;要分为两层来分析;第一层是解关于()f x 的方程;观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应;将x 的个数汇总后即为()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根的个数． IV ．题型攻略·深度挖掘 考试方向这类试题在考查题型上;通常基本以选择题或填空题的形式出现;一般综合性强;难度大． 技能方法求解复合函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦零点问题的技巧：1此类问题与函数图象结合较为紧密;在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像 2若已知零点个数求参数的范围;则先估计关于()f x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦中()f x 解的个数;再根据个数与()f x 的图像特点;分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应;从而确定()i f x 的取值范围;进而决定参数的范围． 易错指导1．函数零点—忽视单调性的存在．例如：若函数fx 在区间－2;2上的图象是连续不断的曲线;且fx 在－2;2内有一个零点;则f －2·f2的值 A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不能确定解答：若函数fx 在－2;2内有一个零点;该零点可分两种情况：1该零点是变号零点;则f －2·f2<0；2该零点是非变号零点;则f －2·f2>0;因此选D ． 易错警示： 警示1：错误认为该零点是变号零点；警示2：不知道非变号零点这种情况．方法剖析：方程的根或函数零点的存在性问题;可以根据区间端点处的函数值的正负来确定;但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性;在给定的区间上;如果函数是单调的;它至多有一个零点;如果不是单调的;可继续细分出小的单调区间;再结合这些小的区间的端点处函数值的正负;作出正确判断．本题的解答错误在于没有正确理解函数零点的含义及存在性;事实上;当fx 在－2;2内有一个零点时;f －2·f2的符号不能确定．2．要注意对于在区间a;b 上的连续函数fx;若x 0是fx 的零点;却不一定有fa·fb<0;即fa·fb<0仅是fx 在a;b 上存在零点的充分条件;而不是必要条件． 注意以下几点：①满足零点存在性定理的条件的零点可能不唯一； ②不满足零点存在性定理条件时;也可能有零点．③由函数)(x f y =在闭区间[],a b 上有零点不一定能推出)(a f ·)(b f 0<;如图所示．所以)(a f ·)(b f 0<是)(x f y =在闭区间[],a b 上有零点的充分不必要条件． 注意：①如果函数在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线;并且函数在区间[],a b 上是一个单调函数;那么当)(a f ·)(b f 0<时;函数在区间),(b a 内有唯一的零点;即存在唯一的(,)c a b ∈;使0)(=c f ．②如果函数在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线;并且有)(a f ·)(b f 0>;那么;函数在区间),(b a 内不一定没有零点．③如果函数在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线;那么当函数在区间),(b a 内有零点时不一定有)(a f ·)(b f 0<;也可能有)(a f ·)(b f 0>．V ．举一反三·触类旁通 例12018四川绵阳一诊函数满足;且当时;．若函数的图象与函数;且的图象有且仅有4个交点;则的取值集合为 A ．B ．C ．D ．答案C()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ()f x例22018南宁高三毕业班摸底联考设函数是定义在上的偶函数;且;当时;;若在区间内关于的方程且有且只有4个不同的根;则实数的取值范围是A． B． C． D．答案D解析由题意可得函数fx的对称轴为x=2;周期为T=4;原方程变形为;;所以只需画出;两个函数在区间-2;6的图像;根据图像求a的范围;图像如下;一定过-1;0点;当时;显然只有一个交点;所以;只需要对数从点B;点C下面穿过就有4个零点;所以解得;选D．点睛对于求不同类的两个函数构成的方程;我们常把方程变形为fx=gx;然后根据y=fx与y=gx的两个图像交点个数来判断原方程根的个数．如本题把方程变形为;再画出两个函数的图像;根据两个图像有4个交点;求出参数a的范围．例32018河南天一大联考已知函数若关于的方程有3个实数根;则实数的取值范围是A． B． C． D．答案D解析作图如下：因此要使方程有3个;实数的取值范围是;选D．名师点睛对于方程解的个数或函数零点个数问题;可利用函数的值域或最值;结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点;分析函数的最值、极值；从图象的对称性;分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势;分析函数的单调性、周期性等．例42018广西桂林柳州高三综合模拟已知函数()3log ,03{4,3x x f x x x <≤=->;若函数()()2h x f x mx =-+有三个不同的零点;则实数m 的取值范围是A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．[)1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦答案AA0;﹣2;B3;1;C4; 0;则g x 的图象介于直线AB 和AC 之间;介于k AB ＜m ＜k AC ;可得12＜m ＜1．故答案为：12;1．点睛:函数h x=f x ﹣mx+2有三个不同的零点;即为f x ﹣mx +2=0有三个不同的实根;可令y=f x;y =g x=mx ﹣2;分别画出y=f x 和y=g x 的图象;通过图象观察;结合斜率公式;即可得到m 的范围．例52018广东珠海一中等六校第一次联考已知函数()()222,12{log 1,1x x f x x x +≤=->;则函数()()()322F x f f x f x =--的零点个数是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案A解析解：令t=fx;Fx=0;则ft ﹣2t ﹣32=0;名师点睛本题关键是找出内外层函数的对应关系;找准一个t 对应几个x ． 例62018安徽阜阳临泉一中上学期二模已知;若关于的方程恰好有 个不相等的实数根;则实数的取值范围是______________． 答案解析∵;∴;∴∴当或时;;当时;∴在上单调递增;在上单调递减;在上单调递增可作出大致函数图象如图所示： 令;则当时;方程有一解；当时;方程有两解；时;方程有三解∵关于的方程;恰好有4个不相等实数根 ∴关于的方程在和上各有一解∴;解得;故答案为名师点睛已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式;再通过解不等式确定参数的范围；②分离参数法：先将参数分离;转化成求函数值域问题加以解决；③数形结合法：先对解析式变形;在同一平面直角坐标系中画出函数的图象;然后数形结合求解． 例72018湖南株洲醴陵第二中学、醴陵第四中学高三上学期两校期中联考已知函数()2log ,02{ 2,22x x f x x x x <<=+≥;若0＜a ＜b ＜c ;满足fa =fb =fc ;则()abf c 的范围为__． 答案1;20a b c ＜＜＜;满足()()()f a f b f c ==;22log log a b ∴-=;即1ab =;()21122c f c c c +==+;()112f c ∴<<;故()()112ab f c f c <=<;故答案为()12，． 名师点睛画出函数()f x 的图象;由图象可知有相等时的取值范围;这里2log x 由的图象和计算得1ab =;可以当作结论;这样三个未知数就只剩下c ;由反比例即可求出结果．例82018江西宜春丰城九中、高安二中、宜春一中、万载中学、樟树中学、宜丰中学六校联考已知函数()ln 1||f x x =-; ()f x m -的四个零点1x ; 2x ; 3x ; 4x ;且12341111k x x x x =+++;则()k f k e -的值是__________． 答案2e -例92018山西山大附中等晋豫名校第四次调研已知函数()()21,0{11,0x x f x f x x -≤=-+>;把方程()0f x x -=的根按从小到大顺序排成一个数列;则该数列的前n 项和n S =__________．答案()12n n -解析当01x <≤时;有110x -<-≤;有()()1112x f x f x -=-+= ; 当12x <≤时;有011x <-≤ ;有()()21121x f x f x -=-+=+ 当23x <≤时;有112x <-≤ ;有()()31122x f x f x -=-+=+ 当34x <≤时;有213x <-≤ ;有()()31123x f x f x -=-+=+ 依次类推;当()1n x n n N <≤+∈时;则()()1112x n f x f x n --=-+=+ ; 所以()()12x n g x f x x n x --=-=+- ;故21n a n +=+ ;所以通项公式1n a n =-;()12n n n S -=．点睛本题考查对分段函数的处理方法;分段函数要分段处理;根据分段函数的解析式找出各段函数的零点;从而得出各个零点与项数的关系;写出数列的通项公式;根据数列是特殊的等差数列;利用等差数列求和公式;求出数列的前n 项的和．例102018江苏南通如皋第一次联考已知函数()211{ 52128lnx x xf x m x mx x +>=-++≤，，，，若()()g x f x m =-有三个零点;则实数m 的取值范围是________．答案714⎛⎤ ⎥⎝⎦，例112018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学第一次调研已知定义在R 上的函数()()2,0{1,0x x x f x ln x x +≤=+>;若函数()()()1g x f x a x =-+恰有2个零点;则实数a 的取值范围是_________．答案()1,1,1e⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭． 解析数形结合;由直线()1y a x =+与曲线()y f x =的位置关系可得当()1,1,1a e ⎛⎫∈-∞-⋃ ⎪⎝⎭时有两个交点;即函数()y g x =恰有两个零点．名师点睛涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题;一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等;再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况;归根到底还是研究函数的性质;如单调性、极值;然后通过数形结合的思想找到解题的思路．例122018江苏淮安盱眙中学第一次学情调研已知函数()22f x x m =+的图象与函数()ln g x x =的图象有四个交点;则实数m 的取值范围为________．答案1,ln22⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭数()22ln h x x m x =+-最小值为21112ln 222h m ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;令102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭ ;可得1ln22m <-;此时函数()22ln h x x m x =+-有两个零点;故函数()22f x x m =+的图象与函数()ln g x x =的图象有四个交点;实数m 的取值范围为1,ln22⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭;故答案为1,ln22⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭． 方法点睛本题主要考查函数图象的交点、函数的零点、方程的根;属于难题．函数图象的交点、函数的零点、方程的根往往是“知一求二”;解答时要先判断哪个好求解就转化为哪个;判断函数()y f x =零点个数的常用方法：1 直接法： 令()0,f x =则方程实根的个数就是函数零点的个；2 零点存在性定理法：判断函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线;且()()0,f a f b <再结合函数的图象与性质如单调性、奇偶性、周期性、对称性 可确定函数的零点个数；3 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题;画出两个函数的图象;其交点的个数就是函数零点的个数;在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点;在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性;确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理;有时可结合函数的图象辅助解题． 跟踪练习1．2018辽宁庄河高中、沈阳二十中高三上学期第一次联考函数()()()820{ 1022sin x x f x f x x π-≤=⎛⎫-> ⎪⎝⎭;则函数()()4log h x f x x =-的零点个数为 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 答案D解析函数的零点满足： ()4log f x x =;则原问题等价于考查函数4log y x =与函数()f x 的交点的个数．()114sin22sin22222f x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 当32x ππ<≤时; 22x πππ<-≤;据此可得： ()112sin2sin22222f x f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=⨯--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；当54x π=时; 55sin 2144f ππ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; 而445log log 414π<=; 则函数4log y x =与函数()f x 在区间3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有2个交点; 很明显;当32x π>时;函数图象没有交点;绘制函数图象如图所示;观察可得： 函数()()4h x f x log x =-的零点个数为5个． 名师点睛函数零点的求解与判断方法：1直接求零点：令fx ＝0;如果能求出解;则有几个解就有几个零点． 2零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a ;b 上是连续不断的曲线;且fa ·fb ＜0;还必须结合函数的图象与性质如单调性、奇偶性才能确定函数有多少个零点．3利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差;画两个函数的图象;看其交点的横坐标有几个不同的值;就有几个不同的零点．2．2018江西上饶高三下学期一模已知()f x 是定义域为()0,+∞的单调函数;若对任意的()0,x ∈+∞;都有()13log 4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦;且方程()323694f x x x x a -=-+-+在区间(]0,3上有两解;则实数a 的取值范围是A ．05a <≤B ．5a <C ．05a <<D ．5a ≥ 答案A即有3213log 694x x x x a =-+-+在区间(]0,3上有两解;由()32694g x x x x a =-+-+;可得()23129g x x x =-+';当13x <<时; ()0g x '<; ()g x 递减；当01x <<时; ()0g x '>; ()g x 递增． ()g x 在1x =处取得最大值a ; ()04g a =-; ()34g a =-;分别作出13log y x =;和32694y x x x =-+-的图象;可得两图象只有一个交点()1,0;将32694y x x x =-+-的图象向上平移;至经过点()3,1;有两个交点;由()31g =;即41a -=;解得5a =;当05a <≤时;两图象有两个交点;即方程两解．故选A ．3．201甘肃兰州西北师范大学附属中学一调若函数()3,0{ ,0xx e x f x e x x+≤=>;则方程()()330f f x e -=的根的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 答案C解析方法点睛本题主要考查分段函数的解析式及图象、函数与方程思想、数形结合思想的应用;属于难题．数形结合是根据数量与图形之间的对应关系;通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法;是中学数学四种重要的数学思想之一;尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效;大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换．充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简;并迎刃而解．4．2018安徽滁州高三9月联合质量检测已知()()11,011{ ,10x f x f x x x +<<-=-<≤;若方程()()200f x ax a a -+=≠有唯一解;则实数a 的取值范围是__________．答案1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 解析当01x <<时; 110x -<-<;所以()11f x x -=-．()()111111f x f x x =+=+--． 若方程()()200f x ax a a -+=≠有唯一解;即() 2f x ax a =-;有唯一解． 作出()y f x =和y 2ax a =-的图象;根据题意两函数图象有唯一交点． 由图可知： 13a ≤．名师点睛根据函数零点求参数取值;也是高考经常涉及的重点问题; 1利用零点存在的判定定理构建不等式求解；2分离参数后转化为函数的值域最值问题求解;如果涉及由几个零点时;还需考虑函数的图象与参数的交点个数；3转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题;从而构建不等式求解． 5．2018山西45校高三第一次联考已知(),01,{ 11,1.x e x f x e x e x<≤=+-<≤若方程()f x kx e=+有且仅有3个实数解;则实数k 的取值范围是__________． 答案211,4e e -⎛⎤- ⎥⎝⎦设()0,A e ;AB 为()y f x =的切线;B 为切点; 1,1C e e e⎛⎫+- ⎪⎝⎭;观察可知;当位于切线AB和割线AC 之间时; y kx e =+图象与()y f x =的图象有三个交点;设()00,B x y ．由2111'e x x ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭;可得切线AB: ()02001110y e x x x ⎛⎫-+-=-- ⎪⎝⎭;解得02x =;故14AB k =-;又2111ACe ee e k e e+---==;所以当方程()f x kx e =+在(]0,e 上有三个实数解;实数k 的取值范围为211,4e e -⎛⎤- ⎥⎝⎦．名师点睛根据函数零点求参数取值;也是高考经常涉及的重点问题; 1利用零点存在的判定定理构建不等式求解；2分离参数后转化为函数的值域最值问题求解;如果涉及由几个零点时;还需考虑函数的图象与参数的交点个数；3转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题;从而构建不等式求解． 6．2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学第一次调研已知()2,0{2,0lnx x f x x x x ->=+≤;若()=f x a 有4个根1234,,,x x x x ;则1234x x x x +++的取值范围是________________．答案10,2e e⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 解析因为1234342x x x x x x +++=-++;所以;故答案为10,2e e⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 7．2018河郑州一中模拟已知函数()222,0{ 2,0x x x f x x x x -+≥=-<;若关于x 的不等式()()220f x af x b ⎡⎤+-<⎣⎦恰有1个整数解;则实数a 的取值范围是__________．答案38a <≤解析画出()f x 的图象如图所示 当()0f x =时;得x 0=或x 2=此时()()220f x af x b ⎡⎤+-<⎣⎦化为; 20b -< 若b 0≠;则此时有两解x 0=或x 2=;违背题意; 故b 0=此时()()a 0f x f x ⎡⎤+<⎣⎦若a 0>;则关于的不等式()a 0f x -<<恰有一个整数解． 结合图象可知()()33{48a f a f -<=--≥=-;可得3a 8<≤若a 0<;则关于的不等式()0a f x <<-恰有一个整数解． 结合图象可知()()11{13a f a f ->=-≤-=;可得3a 1-≤<-综上; 3a 13a 8-≤<-<≤或．8．2018江苏南京高三数学上学期期初学情调研已知函数()22,0{ ,313,0x x f x x x ≤=--+>若存在唯一的整数x ;使得()0f x a x->成立;则实数a 的取值范围为______．答案0;2∪3;8满足()00f x a x ->-符合题意;当8a >时;至少存在两点()()()()1,1,2,2f f ----满足()00f x a x ->-不合题意;故答案为[][]0,23,8⋃名师点睛对于方程解的个数或函数零点个数问题;可利用函数的值域或最值;结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点;分析函数的最值、极值；从图象的对称性;分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势;分析函数的单调性、周期性等 9．2018浙江温州一模已知函数有六个不同零点;且所有零点之和为3;则的取值范围为__________． 答案单调递增;且取值范围是;当时;函数的导函数;考虑到是上的单调递增函数;且;于是在上有唯一零点;记为;进而函数在上单调递减;在上单调递增;在处取得极小值;如图：接下来问题的关键是判断与的大小关系;注意到;;函数;在上与直线有个公共点;的取值范围是;故答案为．10．2018湖南永州高三上学期一模定义函数()()(),{,f x x a h x g x x a≤=>; ()f x x =;()224g x x x =--;若存在实数b 使得方程()0h x b -=无实数根;则实数a 的取值范围是__________． 答案()(),54,-∞-⋃+∞解析11．2018河北石家庄二中八月高三模拟已知()22,{ 2,x x af x x x a-≥=+<;若函数()1ln g x f x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭有零点;则实数a 的取值范围是__________．答案[][)1,23,-⋃+∞综上可得： 1a 2-≤≤或a 3≥ 故答案为： [][)1,23,-⋃+∞名师点睛已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式;再通过解不等式确定参数范围；2分离参数法：先将参数分离;转化成求函数值域问题加以解决；3数形结合法：先对解析式变形;在同一平面直角坐标系中;画出函数的图象;然后数形结合求解．12．2018广东茂名高三五大联盟学校9月份联考若函数至少有3个零点;则实数的取值范围是__________． 答案解析由可得;则问题转化为函数的图像有至少三个交点;结合图像可以看出当时;即时满足题设;应填答案．名师点睛本题的求解过程体现了数形结合的数学思想的巧妙运用;求解时先在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图像;进而借助图像的直观建立不等式;进而通过解不等式求出参数的取值范围．13．2018山东齐河晏婴学校一模已知()1x f x e =-;又()()()()2g x f x tf x t R =-∈;若满足()1g x =-的x 有三个;则t 的取值范围是__________． 答案()2,+∞解析由题意作函数()1x f x e =-的图象：名师点睛本题考查方程根的个数问题的转化;一元二次方程根的分布问题;以及换元法的应用;考查数形结合思想;转化思想；由题意作函数()1x f x e =-的图象;令()m f x =;由图求出m 的范围;代入方程()1g x =-化简;由条件和图象判断出方程的根的范围;由一元二次方程根的分布问题列出不等式;求出t 的取值范围．14．2018浙江名校协作体上学期考试已知函数()()22,0{,14,0x x f x x ln x x +>=-+≤则关于x 的方程()246f x x -=的不同实根的个数为________． 答案4个解析函数 ()f x 图像如图所示; ()22424t x x x =-=-- ;由图15．2018河南郑州一中模拟已知函数()f x 满足()()22f x f x +-=;当(]0,1x ∈时;()2f x x = ;当(]1,0x ∈-时;()()221f x fx +=+;若定义在()1,3-上的函数()()()1g x f x t x =-+有三个不同的零点;则实数t 的取值范围是__________．答案()0,627-解析当(]1,0011x x ∈-⇒<+时;则(11f x x +=+;故()221f x x =-+；当(]1,2021x x ∈⇒≤-<时;则()()222f x x -=-;故()()222f x x =--；当()2,3120x x ∈⇒-<-<时;则()()()()22224213f x f x f x f x⎡⎤⎥=--=-=-⎥-+-⎦;又因为()2,3031x x ∈⇒<-<;所以33f x x -=-;则()224433f x x x =-=+--．所以()222+1{ 2(243xx x f x x -=-+-; (](](](),1,0,0,1,1,2,2,3x x x x ∈-∈∈∈;画出函名师点睛解答本题的关键是充分运用题设条件先将函数()y f x =在区间()1,3-上的解析表达式求出来;再画出其图像数形结合;从而将问题转化为方程()()()2212242=0t x x x t x t +=--⇒+-++有唯一解;可求得627t =-;通过数形结合;求得当0627t <<-时;函数()y f x =在区间()1,3-上的图像与直线()1y t x =+的图像有且只有三个不同的交点;即定义在()1,3-上的函数()()()1g x f x t x =-+有三个不同的零点．16．2018江苏南京师范大学附属中学模拟函数()()()({ 4x x x t f x xx t ≤=>其中0t >;若函数()()1g x f f x ⎡⎤=-⎣⎦有6个不同的零点;则实数t 的取值范围是__________．答案()3,4解析314{ 34127t t t<⇒<<>时;两直线1,1y t y =+=与函数()y f x =共有六个不同交点;应填答案()3,4．名师点睛解答本题的关键关节有两个：其一是将函数的零点问题进行等价转化；其二是要巧妙运用数形结合思想建立不等式组．求解时还要综合运用导数知识确定函数的极值点和极值．灵活运用所学知识和重要是数学思想进行分析问题和解决问题是本题一大特征;体现了数学思想在解决数学问题中四两拨千斤的功能．。

高考数学复习考点12 零点定理(练习)(解析版)

高考数学复习考点12 零点定理(练习)(解析版)

考点12：零点定理【题组一 求零点】1．函数f （x ）2120810x x log x x ⎧-≤⎪=⎨⎪-+⎩（），（）（＞）的零点为_____. 【答案】﹣3【解析】当0x ≤时，()120,38xf x x =-=∴=-； 当0x >时，()()2log 10,0f x x x =-+=∴=，不满足，排除；故函数零点为3- 故答案为：3- 2．若函数()()2log a f x x =+的零点为2-，则a =________. 【答案】3【解析】根据题意，若函数f （x ）＝log 2（x +a ）的零点为﹣2， 则f （﹣2）＝log 2（a ﹣2）＝0，即a ﹣2＝1，解可得a ＝3，故答案为33．设函数[)()222,1,()2,,1x x f x x x x ⎧-∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩，则函数()y f x =的零点是________________. 【答案】0或1【解析】()0f x =等价于1220x x ≥⎧⎨-=⎩或2120x x x <⎧⎨-=⎩，解得1x =或0x =，所以，函数()y f x =的零点是0或1．故答案为：0或1． 【题组二 零点区间】1．函数3()log (2)1f x x x =++-的零点所在的一个区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】A【解析】3(0)log 210f =-<，3(1)log (12)1110f =++-=>，所以(0)(1)0f f <， 根据零点存在性定理，函数3()log (2)1f x x x =++-的零点所在的一个区间是(0,1)，故选：A. 2．已知函数()26log 21f x x x =--+.在下列区间中,包含()f x 零点的区间是( ) A ．()0,1B ．()1,3C ．()3,5D ．()5,7【答案】D【解析】函数()26log 21f x x x =--+，在其定义域上连续， 又()2255log 53log 08f =-=<，()2237log 72log 04f =--=>， 故函数()f x 的零点在区间()5,7上.故选：D. 3．函数1()sin 2f x x x =-在下列哪个区间必有零点（ ） A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】∵(0)0sin 00f =-=，1024f ππ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，()02f ππ=>， ∴()02f f ππ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭，∴在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内必有零点.故选：B .【题组三 零点个数】1．函数()231xf x log x =-的零点个数为 .【答案】2【解析】函数()231xf x log x =-的零点，即方程2310xlog x -=的解，即213xlog x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，转化为函数2y log x =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的交点，在同一平面直角坐标系上作出函数2y log x =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，如下所示：从函数图象可知，2y log x =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭有两个交点，即方程2310x log x -=有两个实数根，即函数()231x f x log x =-有两个零点.2．函数()22xf x e x =+-在区间()21-，内零点的个数为 .【答案】2【解析】令22e 20,2xxx e x +-==-+,画出2,2xy e y x ==-+的图象如下图所示,由图可知,图象有两个交点,故原函数有2个零点.3．函数f （x ）＝cosπx ﹣（12）x+1在区间[﹣1，2]上的零点个数为 . 【答案】3【解析】根据题意可知，函数1()cos ()12xf x x π=-+在区间[1,2]-上的零点的个数， 即为函数cos y x π=的图象与函数1()12xy =-的图象在区间[1,2]-上的交点的个数，在同一坐标系中画出两个函数图象如图所示：可以发现有三个公共点，所以函数1()cos ()12xf x x π=-+在区间[1,2]-上有三个零点， 4．函数()2ln f x x x =+的零点个数是 .【解析】因为ln y x =与2yx 均在0,上为增函数，所以函数()2ln f x x x =+至多一个零点又221111ln 10f e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1ln1110f =+=>，()110f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，即函数()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点.5．函数()3f x x =,则()f x 的零点个数为________. 【答案】1【解析】函数()f x 定义域为[)0,+∞303x x -=⇔-=令123,y x y =-=()f x 的零点的个数就是函数123,y x y =-=，[)0,x ∈+∞的交点个数如上图所示，则()f x 的零点个数为1.故答案为：16．定义在R 上的偶函数()f x 满足()(4)f x f x =-,且当[0,2]x ∈时,()cos f x x =,则()()lg g x f x x =-的零点个数为____________. 【答案】10【解析】由于定义在R 上的偶函数()y f x =满足()4()f x f x =-, 所以()y f x =的图象关于直线2x =对称,画出[0,)x ∈+∞时，()y f x =部分的图象如图,在同一坐标系中画出lg y x =的图象, 由图可知：当(0,)x ∈+∞时,有5个交点, 又lg y x =和()y f x =都是偶函数,所以在(,0)x ∈-∞上也是有5个交点,所以()()lg g x f x x =-的零点个数是10， 故答案为：10.7．函数25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为_______________. 【答案】6【解析】函数25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点，即方程25sin log ||022x x π⎛⎫-=⎪⎝⎭的解，令()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭，()2log ||h x x = 也就是函数()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()2log ||h x x =的交点，在同一平面直角坐标系中画出()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()2log ||h x x =的图象如下所示，由图可知()5sin 22g x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭与()2log ||h x x =有6个交点，即25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭有6个零点.故答案为：68．f(x)是R 上的偶函数，f(x ＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x 2，则函数y ＝f(x)－|log 5x|的零点个数为 . 【答案】5【解析】∵f(x ＋2)＝f(x)，∴函数()f x 的周期为2． 由题意可得()5f x log x =，在同一坐标系内画出函数()y f x =和5y log x =的图象，如下图，由图象得，两函数图象有5个交点， 所以函数y ＝f(x)－|log 5x|共有5个零点． 9．若偶函数()f x 的图像关于32x =对称,当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x x =,则函数()()20log g x f x x =-在[]20,20-上的零点个数是 .【答案】26【解析】令()20log h x x =，定义域为非零的实数集，()()2020log log h x x x h x -=-==，所以该函数为偶函数，又()f x 是偶函数()g x ∴是偶函数，且0x ≠，由()()20log 0g x f x x =-=得()20log f x x =当0x >时有()20log f x x = 偶函数()f x 的图象关于32x =对称， ()()f x f x ∴-=且()()3f x f x =-，()()()()333f x f x f x f x ∴+=-+=-=⎡⎤⎣⎦，()f x ∴是3T =的周期函数，32kx ∴=,k Z ∈为()f x 的对称轴 当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x x =∴()()()()()2021111120f f f f h =-=-===当(]0,20x ∈,()f x ,()h x 在同一坐标系中的图象如下可知()f x 与()h x 在(]0,20上有13个交点即()g x 在(]0,20上有13个零点()g x 是偶函数()g x ∴在[]20,20-上共有26个零点．10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=-+,且在区间[)2,4上,()2,234,34x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩,则函数()3log y f x x =-的零点的个数为______. 【答案】5【解析】由题,因为()f x 满足()()22f x f x -=-+,所以()f x 关于()2,0中心对称, 又因为()f x 是奇函数,所以()()()222f x f x f x -=--=-+,所以()()22f x f x -=+,即()f x 的周期为4,画出()y f x =与3log y x =的图像,如图所示,则交点有5个,故函数()3log y f x x =-的零点有5个,故答案为:5 11．函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是 . 【答案】2020【解析】对任意实数x 都有f （x +2）＝f [1+（1+x ）]＝f [1﹣（1+x ）]＝f （﹣x ）， 由于f （x ）为偶函数，f （﹣x ）＝f （x ）∴f （x +2）＝f （x ） ∴函数f （x ）是以2为周期的周期函数，且值域为[]0,1．方程()02019x f x -=的根的个数即函数()f x 图象与直线y 2019x=的交点个数， 当2019x =时，y 12019x ==，当x 2019>时，函数()f x 图象与直线y 2019x=无交点，由图像可得二者的交点个数为2020个12．已知定义在R 上,且最小正周期为4的函数()f x ,满足()()f x f x -=-,则在区间()10,10-内函数()y f x =的零点个数的最小值是______【答案】9【解析】函数()f x 是奇函数，则(0)0f =，又周期为4，则(2)(2)f f -=，又(2)(2)f f -=-，所以(2)(2)0f f -==，所以(2)0,f k k Z =∈．在(10,10)-上有9个偶数，因此函数至少有9个零点．故答案为：9.【题组四 根据零点求参数】1．方程24(2)50x m x m +-+-=的一根在区间()1,0-内，另一根在区间()02，内，则m 的取值范围是 . 【答案】7,53⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】∵方程24(2)50x m x m +-+-=的一根在区间(−1,0)内,另一根在区间(0,2)内， ∴函数()24(2)5x m x f x m +-=+-的两个零点一个在区间(−1,0)内,另一个在区间(0,2)内，则(1)4(2)50(0)50(2)162(2)50f m m f m f m m -=--+->⎧⎪=-<⎨⎪=+-+->⎩，解得753m -<<，∴m 的取值范围是7,53⎛⎫-⎪⎝⎭. 2．已知函数()()2log 13f x x x m =+++的零点在区间(]0,1上，则m 的取值范围为 . 【答案】[4,0-）【解析】由题意，函数2()log (1)3f x x x m =+++是定义域上的单调递增函数， 又由函数()f x 在区间(0,1]上存在零点，则满足()()0010f f ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，即22log (01)300log (11)310m m ++⨯+<⎧⎨++⨯+≥⎩，解得40m -≤<，即实数m 的取值范围为[4,0)-。

复合函数零点问题探究

复合函数零点问题探究

复合函数零点问题探究摘要】复合函数零点问题是高考函数题目中经常出现的问题之一，也是高中数学教学中的一个难点。

文章通过运用数形结合、分类讨论、化归等数学思想方法，对复合函数零点问题进行探究，以期对学生的高考备考提供帮助。

【关键词】复合函数；函数零点中图分类号：G688.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982（2020）08-127-02复合函数零点问题具有综合性强、难度大等特点，它全面考察学生对函数与方程思想、分类思想、化归思想和数形结合思想等的综合运用能力。

文章结合典型例题对复合函数零点问题进行探究。

一.求复合函数的零点【例1】已知函数，求函数的零点。

解：由得或.∴或，故的零点为：27和.【例2】已知函数，有3个不同的零点，求的值。

解：作出的图象，如图1所示.令，则化为.由图1可知：当时，方程没有实数根；当时，方程有2个不同的实数根；当时，方程有3个不同的实数根.∵有3个零点，∴必为的根，另一根为0或负数.∴，解得，故=5.【小结】复合函数零点的求法（1）解方程法：求方程的实数根；（2）图象法：对于不能用公式法求根的方程或不易求得实数根的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

二.求复合函数零点的个数【例3】已知函数，。

求函数零点的个数。

解：由得，故.∴有1个零点.【例4】已知函数，求函数的零点个数。

解：作出函数的图象，如图2所示.令，则化为.∵方程有三解，不妨设、、，当时，方程有3个不同的实数根；当时，方程有3个不同的实数根；当时，方程有3个不同的实数根.∴函数共有9个零点.【小结】复合函数零点个数的判断方法：（1）直接法：直接求出函数的零点；（2）数形结合法：求复合函数零点的个数，可转化为求方程的实数根的个数。

令，则，分别画出函数和函数的图象。

分两层来分析：第一层是结合函数的图象，得到关于的方程的根的个数；第二层是结合第一层的值，观察函数的图象，有几个值使得成立，并求出每一个被几个对应，将的个数汇总后即为的根的个数。