高中数学 2.2.1椭圆及其标准方程(1)导学案(无答案)新人教A版选修2-1

2.2.1 椭圆及其标准方程学 习 目 标核 心 素 养1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)，培养学生的数学运算素养.2.借助轨迹方程的学习，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养.1．椭圆的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．思考：(1)椭圆定义中将“大于|F 1F 2|〞改为“等于|F 1F 2|〞的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F 1F 2|〞改为“小于|F 1F 2|〞的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？[提示] (1)点的轨迹是线段F 1F 2.(2)当距离之和小于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 焦点(－c ，0)与(c ，0)(0，－c )与(0，c )a ，b ，c 的关系 c 2＝a 2－b 21．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，假设F 1，F 2是椭圆的两个焦点，那么|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10D [由椭圆方程知a 2＝25，那么a ＝5，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.]2．椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(0，－8)，F 2(0，8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，那么此椭圆的标准方程为( )A.x 2100＋y 236＝1B.y 2400＋x 2336＝1 C.y 2100＋x 236＝ 1 D.y 220＋x 212＝1 C [由题意知c ＝8，2a ＝20，∴a ＝10， ∴b 2＝a 2－c 2＝36，故椭圆的方程为y 2100＋x 236＝1.]3．椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P (2，0)在椭圆上，那么椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 A [由题意知c ＝1，椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，又点P (2，0)在椭圆上，∴4a 2＋0b2＝1，∴a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝3， 故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.]4．椭圆8k 2x 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0，7)，那么k 的值为________． －1或－17 [原方程可化为x 21k 2＋y2－8k＝1.依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－8k ＞0，－8k ＞1k2，－8k －1k2＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，k ＜－18，k ＝－1或k ＝－17.所以k 的值为－1或－17.]求椭圆的标准方程(1)两个焦点的坐标分别为(－4，0)和(4，0)，且椭圆经过点(5，0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)． [解] (1)由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∴a ＝5，c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∴a ＝2，b ＝1.故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(3)法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧〔3〕2a2＋〔－2〕2b2＝1，〔－23〕2a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧〔－2〕2a2＋〔3〕2b2＝1，1a 2＋〔－23〕2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15，因为a ＞b ＞0，所以无解． 所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝115，n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.1．利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a ，b ，c 的等量关系；(4)求a ，b 的值，代入所设方程．2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m ＞0，n ＞0)．因为它包括焦点在x 轴上(m ＜n )或焦点在y 轴上(m ＞n )两类情况，所以可以防止分类讨论，从而简化了运算．1．(2021·全国卷Ⅰ)椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点，假设|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，那么C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 [答案] B椭圆中的焦点三角形问题【例2】 (1)椭圆9＋2＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，假设|PF 1|＝4，那么∠F 1PF 2的大小为________．(2)椭圆x 24＋y 23＝1中，点P 是椭圆上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，且∠PF 1F 2＝120°，那么△PF 1F 2的面积为________．思路探究：(1)求|PF 2|→求cos ∠F 1PF 2→求∠F 1PF 2的大小 (2)椭圆定义和余弦定理→建立关于|PF 1|，|PF 2|的方程→联立求解|PF 1|→求三角形的面积(1)120° (2)335 [(1)由x 29＋y 22＝1，知a ＝3，b ＝2，∴c ＝7.∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.(2)由x 24＋y 23＝1，可知a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos ∠PF 1F 2，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|. ①由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4. ② 由①②联立可得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||F 1F 2|sin ∠PF 1F 2＝12×65×2×32＝335.]1．椭圆的定义具有双向作用，即假设|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，那么点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a .2．椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2，称为焦点三角形．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF 1|＋|MF 2|＝2a 及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．2．(1)P 是椭圆y 25＋x 24＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，那么△F 1PF 2的面积是__________________．8－4 3 [由椭圆的标准方程，知a ＝5，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝1，∴|F 1F 2|＝2. 又由椭圆的定义，知 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2 5.在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2， 即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 30°， 即4＝20－(2＋3)|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)．∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×16(2－3)×12＝8－4 3.](2)设P 是椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，假设∠PF 1F 2＝90°，那么△F 1PF 2的面积是________．32 [由椭圆方程x 24＋y23＝1，知a ＝2，c ＝1，由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，且|F 1F 2|＝2，在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝90°.∴|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2.从而(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4，那么|PF 1|＝32，因此S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|PF 1|＝32.故所求△PF 1F 2的面积为32.]与椭圆有关的轨迹问题[探究问题]1.如下图，P 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 的坐标为(2，0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程．[提示] 用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的根本量a ，b ，c .所求点Q 的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.2.如下图，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹方程是什么？为什么？[提示] 当题目中所求动点和动点存在明显关系时，一般利用代入法(相关点法)求解．用代入法(相关点法)求轨迹方程的根本步骤为：(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为M (x ，y )，曲线上动点坐标为P (x 1，y 1)．(2)求关系式：用点M 的坐标表示出点P 的坐标，即得关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝g 〔x ，y 〕，y 1＝h 〔x ，y 〕.(3)代换：将上述关系式代入曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．所求点M 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.【例3】 (1)P 是椭圆x 24＋y 28＝1上一动点；O 为坐标原点，那么线段OP 中点Q 的轨迹方程为______________．(2)一个动圆与圆Q 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆Q 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．思路探究：(1)点Q 为OP 的中点⇒点Q 与点P 的坐标关系⇒代入法求解． (2)由圆的相切，及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹．(1)x 2＋y 22＝1 [设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，由点Q 是线段OP 的中点知x 0＝2x ，y 0＝2y ，又x 204＋y 208＝1.所以〔2x 〕24＋〔2y 〕28＝1，即x 2＋y 22＝1.](2)解：由，得两定圆的圆心和半径分别为Q 1(－3，0)，R 1＝1；Q 2(3，0)，R 2＝9. 设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，如图． 由题设有|MQ 1|＝1＋R ，|MQ 2|＝9－R ， 所以|MQ 1|＋|MQ 2|＝10>|Q 1Q 2|＝6.由椭圆的定义，知点M 在以Q 1，Q 2为焦点的椭圆上， 且a ＝5，c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16， 故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法．例(2)所用方法为定义法．2．对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种曲线的定义，那么可以利用这种曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．3．代入法(相关点法)假设所求轨迹上的动点P (x ，y )与另一个曲线C ：F (x ，y )＝0上的动点Q (x 1，y 1)存在着某种联系，可以把点Q 的坐标用点P 的坐标表示出来，然后代入曲线C 的方程 F (x ，y )＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．3．(1)x 轴上一定点A (1，0)，Q 为椭圆x 24＋y 2＝1上任一点，求线段AQ 中点M 的轨迹方程．[解] 设中点M 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 0，y 0)． 利用中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12，y ＝y2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y .∵Q (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 2＝1上，∴x 204＋y 20＝1. 将x 0＝2x －1，y 0＝2y 代入上式， 得〔2x －1〕24＋(2y )2＝1.故所求AQ 的中点M 的轨迹方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋4y 2＝1. (2)在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，|AB |＝2，|AC |＝32，曲线E 过C 点，动点P 在曲线E上运动，且|PA |＋|PB |是定值．建立适当的平面直角坐标系，求曲线E 的方程．[解] 以AB 的中点O 为原点，建立如下图的平面直角坐标系． 由题意可知，曲线E 是以A ，B 为焦点，且过点C 的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．那么2a ＝|AC |＋|BC |＝32＋52＝4，2c ＝|AB |＝2，所以a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3.所以曲线E 的方程为x 24＋y 23＝1.1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a ＞|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2；当2a ＜|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在x 2a 2＋y 2b 2＝1与y 2a 2＋x 2b 2＝1这两个标准方程中，都有a ＞b ＞0的要求，如方程x 2m ＋y 2n＝1(m ＞0，n ＞0，m≠n )就不能确定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式x a ＋yb＝1类比，如x 2a 2＋y 2b2＝1中，由于a >b ，所以在x 轴上的“截距〞更大，因而焦点在x 轴上(即看x 2，y 2分母的大小)．3．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是通过待定系数法求解，二是通过椭圆的定义进展求解.1．A (－5，0)，B (5，0)．动点C 满足|AC |＋|BC |＝10，那么点C 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．点 C [由|AC |＋|BC |＝10＝|AB |知点C 的轨迹是线段AB .]2．椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，那么实数k 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4B [椭圆方程可化为x 2＋y24k ＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4k >1，4k －1＝1，解得k ＝2.]3．椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1，F 2的连线夹角为直角，那么|PF 1|·|PF 2|＝________．48 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝14， ①|PF 1|2＋|PF 2|2＝100， ② ①2－②得2|PF 1||PF 2|＝96. 所以|PF 1||PF 2|＝48.]4．椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3)．假设F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．[解] 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c ＞0)．∵F 1A ⊥F 2A ， ∴F 1A →·F 2A →＝0，而F 1A →＝(－4＋c ，3)，F 2A →＝(－4－c ，3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5，0)，F 2(5，0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝〔－4＋5〕2＋32＋〔－4－5〕2＋32＝10＋90＝410. ∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15. ∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.。

2.2.1椭圆及其标准方程学习目标1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，椭圆标准方程的推导与化简过程．2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．学习目标：利用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程．学习重点：会求简单的与椭圆相关的轨迹问题．学习过程自学导引1．椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的，叫做椭圆的焦距．想一想：在椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？2．椭圆的标准方程名师点睛1．椭圆的定义的应用(1)应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理．(2)椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体或者配方等灵活运用．2．椭圆标准方程的特点(1)a、b、c三个基本量满足a2＝b2＋c2且a>b>0，其中2a表示椭圆上的点到两焦点的距离之和，可借助如图所示的几何特征理解并记忆．(2)利用标准方程判断焦点的位置的方法是看大小，即看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的分母是a2，较小的分母是b2.3．求椭圆标准方程的方法(1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程．(2)待定系数法，即设出椭圆的标准方程，再依据条件确定a2、b2的值，可归纳为“先定型，再定量”，其一般步骤是：①定类型：根据条件判断焦点在x轴上还是在y轴上，还是两种情况都有可能，并设椭圆方程为x2 a2＋y2b2＝1(a>b>0)或y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)；②确定未知量：根据已知条件列出关于a、b、c的方程组，解方程组，可得a、b的值，然后代入所设方程即可．例题[解析]例 1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0), 并且经过点53(,)22.求它的标准方程.例2如图2－2－1所示，圆x2＋y2＝1上任意一点P，过点P作x轴的垂线段PP′，P′为垂足．M为直线PP′上一点，且|P′M|＝λ|PP′|(λ为大于零的常数)．当点P在圆上运动时，点M的轨迹是什么？为什么？图2－2－1例3 如图，设点A，B的坐标分别是(-5，0)和(5，0),直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是49,求点M 的轨迹方程.课后检测 一、选择题1．若方程x 2m 2＋y 2m ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．m ＞3B ．m ＜－2C ．m ＞3或m ＜－2D ．m ＞3或－6＜m ＜－22．已知椭圆过点P (35，－4)和点Q (－45，3)，则此椭圆的标准方程是( )A.y 225＋x 2＝1 B.x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 C.x 225＋y 2＝1 D ．以上都不对3．椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |(O 为坐标原点)的值为( )A ．4B ．2C ．8 D.324．已知A (0，－1)、B (0,1)两点，△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 24＋y 23＝1(x ≠±2) B.y 24＋x 23＝1(y ≠±2)C.x 24＋y 23＝1(x ≠0) D.y 24＋x 23＝1(y ≠0) 5．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 3二、填空题6．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.7．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m ＝________.8．过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程是________．三、解答题9．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点．设椭圆C 上一点(3，32)到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．10．已知圆B ：(x ＋1)2＋y 2＝16及点A (1,0)，C 为圆B 上任意一点，求AC 的垂直平分线l 与线段CB 的交点P 的轨迹方程．11．已知椭圆的焦点在x 轴上，且焦距为4，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若△PF 1F 2的面积为23，求P 点坐标．——★参考答案★——学习过程自学导引1．距离之和等于常数(大于|F1F2|)焦点两焦点间的距离想一想：当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．试一试：当焦点在x 轴上时，其标准方程为x 25＋y 16＝1，当焦点在y 轴上时，其标准方程为y 225＋x 216＝1.例题[解析]例1 解：因为椭圆的焦点在x 轴上,所以设它的标准方程为2222 1 (0).x y a b a b+=>>由椭圆的定义知2a =+=所以a =又因为2c = ,所以222104 6.b a c =-=-=因此, 所求椭圆的标准方程为221 .106x y += 例2解 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)， ∵PP ′⊥x 轴，且|P ′M |＝λ|PP ′|， ∴x ＝x 0，y ＝λy 0，即x 0＝x ，y 0＝1λy .∵点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 20＋y 20＝1.把x 0＝x ，y 0＝1λy 代入上式得x 2＋y 2λ2＝1.当0＜λ＜1时，点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆； 当λ＝1时，点M 的轨迹是圆；当λ＞1时，点M 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆． 例3 解：设点M 的坐标（x ,y ）,因为点A 的坐标是 （-5,0）,所以,直线AM 的斜率为55=≠-+();AM yk x x 同理，直线BM 的斜率55=≠-().BM yk x x 由已知有45559⨯=-≠±+-(),y y x x x 化简，得点M 的轨迹方程为2215100259+=≠±().x y x 课后检测 一、选择题 1． D[解析] ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＞m ＋6m ＋6＞0，∴m ＞3或－6＜m ＜－2. 2． A[解析] 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，则⎩⎨⎧925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝125. ∴椭圆方程为x 2＋y 225＝1. 3．A[解析] 由x 225＋y 29＝1，知a ＝5，根据椭圆定义，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10， ∴|MF 2|＝10－2＝8.又O 为F 1F 2中点，N 为F 1M 中点，∴ON 为△MF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|MF 2|＝4.4．B[解析] ∵2c ＝|AB |＝2，∴c ＝1，∴|CA |＋|CB |＝6－2＝4＝2a ，∴顶点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆(A 、B 、C 不共线)．因此，顶点C 的轨迹方程y 24＋x 23＝1(y ≠±2)． 5． C[解析] 由MF 1→·MF 2→＝0，得MF 1⊥MF 2，可设|MF 1→|＝m ，|MF 2→|＝n ，在△F 1MF 2中，由m 2＋n 2＝4c 2得(m ＋n )2－2mn ＝4c 2，根据椭圆的定义有m ＋n ＝2a ，所以2mn ＝4a 2－4c 2，∴mn ＝2b 2，即mn ＝2，∴S △F 1MF 2＝12mn ＝1.设点M 到x 轴的距离为h ，则：12×|F 1F 2|×h ＝1，又|F 1F 2|＝23，∴h ＝33. 二、填空题 6．8[解析] 由椭圆的定义知：|F 2A |＋|F 1A |＋|F 2B |＋|F 1B |＝4a ＝20，∴|F 1A |＋|F 1B |＝|AB |＝20－12＝8.7．3或5[解析] 当焦点在x 轴时，a 2＝m ，b 2＝4，c 2＝m －4，又2c ＝2，∴c ＝1，∴m －4＝1，∴m ＝5；当焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ，∴c 2＝4－m ＝1，∴m ＝3.8．x 215＋y 210＝1 [解析] ∵c 2＝9－4＝5， ∴设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.∵点(－3,2)在椭圆上， ∴9a 2＋4a 2－5＝1，a 2＝15. ∴所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.三、解答题9．解 ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4. ∴2a ＝4，a 2＝4 ∵点(3，32)是椭圆上一点， ∴32a 2＋322b 2＝1，∴b 2＝3，∴c 2＝1，∴椭圆C 的方程为：x 24＋y 23＝1.焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)． 10．解 如图所示，连结AP ，∵l 垂直平分AC ， ∴|AP |＝|CP |，∴|PB |＋|P A |＝|BP |＋|PC |＝4，∴P 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆． ∵2a ＝4,2c ＝|AB |＝2， ∴a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3. ∴点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.11．解 (1)由题意知，2c ＝4，c ＝2. 且|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝8， 即2a ＝8，∴a ＝4. ∴b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. 又椭圆的焦点在x 轴上， ∴椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P 点坐标为(x 0，y 0)， 依题意知，12|F 1F 2||y 0|＝23，∴|y 0|＝3，y 0＝±3，代入椭圆方程x 2016＋y 2012＝1，得x 0＝±23，∴P 点坐标为(23，3)或(23，－3)或(－23，3)或(－23，－3)．。

一．学习目标：1.理解并掌握椭圆的定义；2.能根据椭圆的标准方程熟练地写出椭圆的焦点坐标，会用待定系数法确定椭圆的方程；3.初步掌握用相关点法和直接法求轨迹方程的一般方法.二、教学重点与难点重点：掌握椭圆的标准方程，理解坐标法的基本思想难点：运用椭圆的定义与其标准方程解决问题三、教学过程分析1、椭圆定义的回顾椭圆定义中，平面内动点与两个定点F1,F2的距离之和等于常数，当这个常数大于|F1F2|时，动点的轨迹是椭圆；当这个常数等于|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；当这个常数小于|F1F2|时，动点不存在.2、椭圆的标准方程当且仅当椭圆的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才是标准形式。

当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为，其中焦点坐标为，，且；当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为，其中焦点坐标为，，且3、典型例题例1、设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|P F1|：|P F2|＝4：3，求P F1F2的面积。

[分析]由椭圆方程可求出2a与2c，且由|P F1|：|P F2|＝4：3知可求出|P F1|，|P F2|的长度，从而可求三角形的面积。

［解］由于|P F1|＋|P F2|＝7，且|P F1|：|P F2|＝4：3，得|P F1|＝4，|P F2|＝3，又| F1F2|＝2c ＝，显然|P F1|2＋|P F2|2＝| F1F2|2，所以P F1F2是以P F1，P F2为直角边的直角三角形，从而所求P F1F2的面积为S＝|P F1||P F2|＝43＝6.［变式训练］：已知点A(3,0)，B(－2,1)是椭圆内的点，M是椭圆上的一动点，试求|MA|+|MB|的最大值与最小值。

例2、已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过点P作长轴的垂线，恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。

.[分析]方法：由题设条件设出椭圆的标准方程，求出焦距与长轴长是求解本题的关键。

2.2.1 椭圆及其标准方程学习目标1.了解椭圆标准方程的推导.2.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.(重点)3.掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程.(重点、难点) 基础·初探教材整理1 椭圆的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于______的点的轨迹叫做椭圆，这________叫做椭圆的焦点，________叫做椭圆的焦距. 预习自测判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.( )(2)在椭圆定义中，将“大于|F 1F 2|”改为“等于F 1F 2”的常数，其它条件不变，点的轨迹为线段.( )(3)到两定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为3的点M 的轨迹为椭圆.( ) 教材整理2 椭圆的标准方程椭圆x 225＋y 29＝1的焦点在________轴上，焦距为________，椭圆x 29＋y 216＝1的焦点在________轴上，焦点坐标为________. 合作探究类型1 求椭圆的标准方程例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0); (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1). 名师指导1.利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a ，b ，c 的等量关系；(4)求a ，b 的值，代入所设方程.2.当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m ＞0，n ＞0).因为它包括焦点在x 轴上(m ＜n )或焦点在y 轴上(m ＞n )两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算. 跟踪训练1.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点A (0,2)和B ⎝⎛⎭⎫12，3，求椭圆的标准方程.类型2 椭圆的定义及其应用例2 设P 是椭圆x 225＋y 2754＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积. 名师指导1.椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a . 2.椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2，称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解. 跟踪训练2.在本例中，若把椭圆方程改为“x 24＋y 23＝1”，把“∠F 1PF 2＝60°”改为“∠PF 1F 2＝90°”，其余条件不变，试求△PF 1F 2的面积.探究共研型探究点与椭圆有关的轨迹问题 探究1如图，P 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 的坐标为(2,0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程.探究2如图，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹方程是什么？为什么？例3 一个动圆与圆Q 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆Q 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程. 名师指导1.与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例所用方法为代入法.2.对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法.定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法. 3.代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P (x ，y )与另一个已知曲线C ：F (x ，y )＝0上的动点Q (x 1，y 1)存在着某种联系，可以把点Q 的坐标用点P 的坐标表示出来，然后代入已知曲线C 的方程F (x ，y )＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法). 跟踪训练3.已知圆C ：x 2＋y 2＝4，过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设直线m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ →＝OM →＋ON →，则动点Q 的轨迹方程为____________. 课堂检测1.若椭圆x 216＋y 2b 2＝1过点(－2, 3)，则其焦距为( )A.25B.2 3C.4 5D.4 32.已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 3.已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________.4.已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3).若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程.——★ 参 考 答 案 ★——基础·初探教材整理1 椭圆的定义[答案] 常数(大于|F 1F 2|) 两个定点 两焦点间的距离 预习自测[答案] (1)× (2)√ (3)× 教材整理2 椭圆的标准方程[答案] x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) (0，－c ) (0，c ) a 2－b 2预习自测[答案] x 8 y (0，7)和(0，－7)[解析] 由25>9可判断椭圆x 225＋y 29＝1的焦点在x 轴上，由c 2＝25－9＝16，可得c ＝4，故其焦距为8.由16>9，可判断椭圆x 29＋y 216＝1的焦点在y 轴上，c 2＝16－9＝7，故焦点坐标为(0，7)和(0，－7). 合作探究类型1 求椭圆的标准方程例1 解：(1)由于椭圆的焦点在x 轴上， ∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0).∴a ＝5，c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0).∴a ＝2，b ＝1.故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(3)法一：①当焦点在x 轴上时， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0).依题意有⎩⎪⎨⎪⎧32a 2＋(－2)2b 2＝1，(－23)2a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0).依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝1，1a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15，因为a ＞b ＞0，所以无解.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.跟踪训练1.解：设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )， 将A ，B 两点坐标代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧4n ＝1，14m ＋3n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝14，∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1. 类型2 椭圆的定义及其应用例2 解：由椭圆方程知，a 2＝25，b 2＝754，∴c 2＝254，∴c ＝52，2c ＝5.在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 即25＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|. ①由椭圆的定义得10＝|PF 1|＋|PF 2|， 即100＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|. ② ②－①得3|PF 1|·|PF 2|＝75， 所以|PF 1|·|PF 2|＝25，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2534.跟踪训练2.解：由椭圆方程x 24＋y 23＝1，知a ＝2，c ＝1，由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，且|F 1F 2|＝2，在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝90°. ∴|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2.从而(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4，则|PF 1|＝32，因此S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|PF 1|＝32.故所求△PF 1F 2的面积为32.探究共研型探究点与椭圆有关的轨迹问题探究1 【提示】 用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量a ，b ，c . 所求点Q 的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.探究2 【提示】 当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点法求解.用相关点法求轨迹方程的基本步骤为：(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P (x ，y )，已知曲线上动点坐标为Q (x 1，y 1).(2)求关系式：用点P 的坐标表示出点Q 的坐标，即得关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝gx ，y ，y 1＝hx ，y .(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可.所求点M 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.例3 解：由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q 1(－3,0)，R 1＝1；Q 2(3,0)，R 2＝9.设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，如图. 由题设有 |MQ 1|＝1＋R ， |MQ 2|＝9－R ，所以|MQ 1|＋|MQ 2|＝10>|Q 1Q 2|＝6.由椭圆的定义，知点M 在以Q 1，Q 2为焦点的椭圆上，且a ＝5，c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16， 故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.跟踪训练3.[答案] y 216＋x 24＝1(y ≠0)[解析] 设点M 的坐标为(x 0，y 0)，点Q 的坐标为(x ，y )，点N 的坐标为(0，y 0)，∵OQ →＝OM →＋ON →，∴(x ，y )＝(x 0,2y 0)，即x 0＝x ，y 0＝y 2，又∵x 20＋y 20＝4，∴x 2＋y 24＝4.由已知，直线m 平行于x轴，得y ≠0，∴Q 点的轨迹方程是y 216＋x 24＝1(y ≠0).课堂检测 1.[答案] D[解析] 将点(－2, 3)代入椭圆方程求得b 2＝4，于是焦距2c ＝216－4＝4 3. 2.[答案] A[解析] 由题意知c ＝1， a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.3.[答案] y 216＋x 2＝1[解析] 由已知2a ＝8,2c ＝215， ∴a ＝4，c ＝15， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1. 又椭圆的焦点在y 轴上， ∴椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.4.解：设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0).设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0).∵F 1A ⊥F 2A ， ∴F 1A →·F 2A →＝0， 而F 1A →＝(－4＋c,3)， F 2A →＝(－4－c,3)，∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5.∴F1(－5,0)，F2(5,0).∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32＝10＋90＝410.∴a＝210，∴b2＝a2－c2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x240＋y215＝1.。