第四章 正态分布与中心极限定理

解：设发生故障的机器 台数 ，则 ~ B(n, p), n 400, p 0.02
(1)二项分布 (精确）
P{0 2} P{ 0} P{ 1} P{ 2} 0.0131
(2)泊松分布 (近似） np 400 0.02 8 P{0 2} P{ 0} P{ 1} P{ 2} 0.0137
机 变 量 n 近 似 地 服 从 正 态 分 布
N (np,npq) ；
(2)当抽取比例小于 10%时，超几何分布用二 项分布来近似；
(3)当次品率小于 10%时，二项分布用普松分 布来近似。
例 1.设一批产品共 2000 个，其中 40 个次品，随机抽取 100 个样品，求样品中次品数 X 的概率分布。 (1)不放回抽样；(2)放回抽样。
其中， z1,z2 是任何实数。
例 2 计算机进行加法计算时，把每个加数取为最接近 于它的整数来计算。设所有的取整误差是相互独 立的随机变量，并且都在区间[-0.5,0.5]上服从均 匀分布，求 300 个数相加时误差总和的绝对值小 于 10 的概率。
解：设 i 表示第 i 个加数的取整误差，则 i 在区间 [-0.5,0.5]上服从均匀分布，并且有
600 6 2 0.9057 1 0.8114
600 ) 1 2(1.3145) 1 1 (1 1) 66
D i
2 i
s
2 n
，
i1
i1
再 令 n
n E n D n
1 sn
n
( i i )
i1
E n 0, D n 1
林德贝格－列维（中心极限定理） 设独立随机变量 1 , 2 , , n ，服从相同分布，且
Ei D i 2 ， i 1,2,, n ，

中心极限定理是概率论中一个非常重要的定理，它告诉我们在一定条件下，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似于正态分布。

这个定理对于统计推断和假设检验有着重要的意义，因此被广泛应用于各个领域。

1. 中心极限定理的概念中心极限定理是指在一定条件下，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似于正态分布。

无论总体的分布是什么样子，只要样本容量足够大，样本均值的分布都会接近正态分布。

这个定理对于统计学来说非常重要，因为它告诉我们在很多情况下，我们可以使用正态分布来近似描述样本均值的分布。

2. 为什么中心极限定理成立中心极限定理之所以成立，是因为当样本容量足够大时，样本均值的分布受到多个随机因素的影响，而这些随机因素的总和近似呈现出正态分布的特征。

这也是为什么无论总体的分布是什么样子，只要样本容量足够大，样本均值的分布都会近似于正态分布的原因。

3. 中心极限定理的应用中心极限定理在统计学中有着广泛的应用。

在假设检验中，我们经常需要根据样本均值对总体均值做出推断。

而根据中心极限定理，我们可以知道当样本容量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布，这样我们就可以使用正态分布的性质来进行推断和计算。

4. n趋近无穷的意义在中心极限定理中，n代表样本容量，当n趋近无穷时，样本均值的分布就会趋近于正态分布。

这也说明了中心极限定理的一个重要特点，即样本容量越大，样本均值的分布越接近正态分布。

当我们需要进行统计推断时，可以通过增大样本容量来让样本均值的分布更接近于正态分布，从而使得推断结果更加可靠。

5. 标准正态分布的意义标准正态分布是统计学中一个非常重要的分布，它的概率密度函数是一个钟形曲线，均值为0，标准差为1。

在实际的统计推断和假设检验中，很多情况下都需要使用标准正态分布来进行计算和推断。

而根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布，因此我们可以使用标准正态分布的性质来进行推断和计算，这对于统计学的应用具有重要的意义。

k 1
当 n 很大时,近似地服从正态分布.
第四章 中心极限定理与参数估计
例 1、对敌人的防御工事进行 80 次轰炸，每次轰炸命中目标炸弹 数目的数学期望为 2，方差为 0.8，且各次轰炸相互独立，求在 80 次轰炸中有 150 颗～170 颗炸弹命中目标的概率。 解：第 i 次轰炸命中目标炸弹的数目 X i (i 1,2,,80) 都是离散型随机
根据随机变量数学期望的性质，计算数学期望
80
80
80
E( X ) E( X i ) E( X i ) 2 160
i 1
i 1
i 1
第四章 中心极限定理与参数估计
由于离散型随机变量变量 X 1 , X 2 ,, X 80 相互独立，根据随机
变量方差的性质，计算方差
80
80
80
D( X ) D( X i ) D( X i ) 0.8 64 82
分大时，离散型随机变量 X 近似服从参数为 np, npq ( p q 1)
的正态分布，即近似有离散型随机变量 X ～ N(np, npq) 定理4.22表明:
正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大时, 可 以利用该定理来计算二项分布的概率.
随机变量 X 的取值在数学期望 E(X ) 附近的密集程度越低。
第四章 中心极限定理与参数估计
（3）在使用切贝谢夫不等式时，要求随机变量 X 的数学期望 E( X ) 与方差 D( X ) 一定存在，这时无论随机变量 X 的概率分布已知或未
知，都可以对事件 X E(X ) 发生的概率进行估计。 2、切贝谢夫不等式的应用举例 例1、 已知电站供电网有电灯 10000 盏，夜间每一盏灯开灯的概率 皆为 0.8，且它们开关与否相互独立，试利用切贝谢夫不等式估计夜 晚同时开灯的灯数在 7800 盏～8200 盏之间的概率。

n→∞
则称{X 依概率收敛 依概率收敛于 则称 n}依概率收敛于X. 可记为
X n →X.
P
或
lim P{| X n − X |≥ ε} = 0
n→∞
二.几个常用的大数定律 几个常用的大数定律
1. 契贝晓夫大数定律 契贝晓夫大数定律 设{Xk,k=1,2,...}为两两不相关的随机变量序 为两两不相关的随机变量序 且它们的方差有界 即存在常数C>0，使 方差有界， 列，且它们的方差有界，即存在常数 ，
lim P{|
n→∞
µn
n
− p |< ε} = 1
即：µn
n
=
∑X
i= 1
i
n
→p
P
3. 辛钦大数定律
为独立同分布随机变量序列, 若{Xi,i=1.2,...}为独立同分布随机变量序列 为独立同分布随机变量序列 EXi=a <∞, i=1, 2, … 则对任意的 ε > 0，有 ∞
1 n 1 n P lim P{| ∑Xi − a |< ε} = 1，即 Yn = ∑Xi →a n→∞ n i=1 n ii=1 =1
2.德莫佛 拉普拉斯中心极限定理 德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 德莫佛 拉普拉斯中心极限定理(De Moivre-Laplace) 设随机变量η 服从参数为n, 设随机变量ηn(n=1, 2, ...)服从参数为 p(0<p<1) 服从参数为 的二项分布， 的二项分布，则有 ηn − np L→ξ ~ N(0, 1).
§4.3. 中心极限定理 一.依分布收敛 依分布收敛
为随机变量序列， 为随机变量 为随机变量， 设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其 为随机变量序列 若在F(x)的 对应的分布函数分别为F 的 对应的分布函数分别为 n(x), F(x). 若在 连续点，有 连续点， limF (x) = F(x),