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《1.2.1充分条件与必要条件》教学案5

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《1.2.1充分条件与必要条件》教学案5
【教学目标】
1. 正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；
2. 会判断命题的充分条件、必要条件.
3. 正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不
必要条件的定义.
4. 正确判断充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件.
【导入新课】
复习导入
1. 命题的概念、命题的组成；
2. 四种命题之间的关系；
3.判断下列命题是真命题还是假命题?
（1）若x>a2+b2,则x>2ab.
（2）若ab=0，则a=o.
（3）有两角相等的三角形是等腰三角形.
（4）若a2>b2，则a>b.
4 写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？
（1）若x＞a2+ b2，则x＞2ab； （2）若ab＝0，则a＝0.

..
新授课阶段
问题3的答案： (1)、（3）为真命题；（2）、（4）为假命题.
对问题4的归纳：命题(1)为真命题，命题(２)为假命题.
置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？
答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题.
1.充分条件和必要条件的定义
命题“若p，则q” 为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那
么q一定成立．换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p
是q成立的充分条件.
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p
可推出q，记作：pq.
定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p  q,那么我们就说p是q的充分条件；q
是p必要条件.
上面的命题(1)为真命题，即x＞a2+b2 x＞2ab，所以“x＞a2+ b
2
”是“x＞2ab”的充分条件，

“x＞2ab”是“x＞a2+ b2”的必要条件.
例1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

2

2

1133213203()()34xxxxxxfxfxxx（）若，则；
（）若，则；

（）若，则为减函数；
（）若为无理数，则为无
解析： 根据命题的组成特征得到：只有第四个命题不符合条件.
例2：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若a=0，则ab=0 ；

（2）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等；
（3）若a>b，则ac>bc ；
（4）若x=y，则x2=y2.
解析：根据必要条件的概念，得到只有第2个符合条件.
2. 充要条件的有关概念
已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数.
请判断： p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？
分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，
就要看q能否推出p．
易知：pq，故p是q的充分条件；
又q  p，故p是q的必要条件．
此时,我们说, p是q的充分必要条件.
类比归纳
一般地,如果既有pq ，又有qp 就记作p  q.此时,我们说,那么p是q的充分必
要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,
如果p  q,那么p 与 q互为充要条件.
例3：下列各题中，哪些p是q的充要条件？
（１） p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；
（２） p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy＞ 0；
（３） p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c；
（４） p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10；
（５） p: a ＞ b ,q: a2 ＞ b2.
分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p.
解：命题（１）和（３）中，pq ，且qp，即p  q，故p 是q的充要条件；
命题（２）中，pq ,但q  p，故p 不是q的充要条件；
命题（４）中，pq ，但qp，故p 不是q的充要条件；
命题（５）中，pq ，且qp，故p 不是q的充要条件.
归纳：一般地，
若pq ,但q  p，则称p是q的充分但不必要条件；
若pq，但q  p，则称p是q的必要但不充分条件；
若pq，且q  p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：
①若pq ,但q  p，则p是q的充分但不必要条件；
②若qp，但p  q，则p是q的必要但不充分条件；
③若pq，且qp，则p是q的充要条件；
④若p  q，且q  p，则p是q的既不充分也不必要条件.
课堂小结
1.总结如下：①若pq ,但q p，则p是q的充分但不必要条件；
②若qp，但p q，则p是q的必要但不充分条件；
③若pq，且qp， 则p是q的充要条件；
④若pq，且q  p，则p是q的既不充分也不必要条件．
2.充要条件的判定方法：如果“若p，则q”与“ 若p则q”都是真命题，那么p就是q的
充要条件，否则不是.
作业
见同步练习部分
拓展提升

1.设Ra，则1a是11a 的 （ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.设,Rab，则不等式ab与11ab都成立的充要条件是（ ）
A.0ab B.0,0ab C.0ab D.0ab
3.给出下列命题：①0ab是22ab的充要条件； ②0ab是ba11的充要条件；
③0ab是33ab的充要条件.则其中为真命题的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4.已知命题:p40k;命题:q函数21ykxkx的值恒为负.则命题p是命题q成
立的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.不等式(1||)(1)0xx成立的充要条件是 .

6.命题:20,01pmn；命题:q关于x的方程20xmxn有两个小于1的正
根，试分析p是q的什么条件.
参考答案
1. A【解析】1a，则1110aaa， ∴11a，条件充分，反之不真，如1a.
2.B【解析】110baabab， ∵ab， ∴0ab.而ab，故得0,0ab.
3.A【解析】①220abab，反之不真；②0abba11 ，反之不真；③
33
0abab
，反之不真.

4.A【解析】2400,40kkkk；函数21ykxkx的值恒为负，不一
定有40k，如0k时，函数21ykxkx的值恒为负.
5. 1x且1x【解析】0x时，2(1||)(1)010xxx, ∴01x；
0x
时， 2(1||)(1)0(1)0xxx此式当1x时恒成立.
6.解：设关于x的方程20xmxn有两个小于1的正根12,xx，则12xxm，

12xxn，∵12
01,01xx
， ∴02,01mn， ∴20,01mn，

这说明p是q的必要条件.设20,01mn，关于x的方程20xmxn不一定有
两个小于1的正根，如1,m34n时，方程2304xx没有实数根，这说明p不是
q
的充分条件.综上，p是q的必要不充分条件.

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1.2.1充分条件与必要条件

1.2.1充分条件与必要条件

1、用符号“充分”或“必要”填空：
充分 （1）“0<x <5‖是“ x – 2 <3‖的 ______条件。
（2）“四边形的对角线相等”是“这个平行四边形 为正方形”的必要 ______条件。 充分 （3）“xy > 0‖是“ x+y = x + y ‖的 ______条件。

（4）“个位数是5的整数”是“这个数能被5整除” 充分 条件。 的________
导
入
事例一：
鱼非常需要水，没了水，鱼就无法生存， 但是只有水够吗？
p:没有水
q：鱼不能生存
事例二：
有一位母亲要给女儿做一件衬衫，母亲带 女儿去商店买布，母亲问营业员：“要做一件 衬衫，应该买多少布料？”营业员回答：“买 三米足够了！”
P:有三米布料
q:做一件衬衫的布料足够
事例三：
同学们，当某一天你和你妈妈在街上遇到老师的时
【课堂小结】
1、定义：
如果已知p
q，则说p是q的充分
条件， q是p的必要条件。
2、判别步骤：
① 认清条件和结论。 ②考察p
3、判别技巧：
q和q
p的真假。
① 可先简化命题。
② 否定一个命题只要举出一个反例即可。
③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
”与“ ” 认识“
• 如果命题“若p，则q”为真，则由p可推出q， 记作 p q 并说，p是q的充分条件,q是p的必要条件.

如果命题“若p，则q”为假，则由p推不出q， 记作 p q 并说，p不是q的充分条件,q不是p的必要条件.
真命题：p q，假命题：p
q
用符号“
• • • •
”与“
§1.2.1充分条件与必要条件

§1.2.1充分条件与必要条件

第一章§1.2.1充分条件与必要条件学习目标：1、理解推断符号“⇒”的含义；2、理解掌握充分条件、必要条件的意义及应用；3、培养逻辑推理能力。

重点：理解充分条件和必要条件的概念. 难点：理解必要条件的概念预备知识1：(1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.(2)分类：命题⎩⎨⎧真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句(3)命题的结构：命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常可以写为“如果…，那么…”的形式，“如果”后面接题设，而“那么”后面接结论.说明：1.命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”.我们学习过的定理、推论都是命题.2.命题的条件与结论之间属于因果关系，一般的，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可.3.任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p ，则q ”的形式.含有大前提的命题写成“若p ，则q ”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p 中. 练习1、判断下列命题是真命题还是假命题?（1）若x>a 2+b 2,则x>2ab 。

（2）若ab=0，则a=0。

（3）有两角相等的三角形是等腰三角形。

（4）若a 2>b 2，则a>b 。

2. 认识“⇒”与“”： 练习1：课本P10 T1问题探究1．充分条件与必要条件： 一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .我们就说,由p 推出q ,记作p q ⇒,并且说p 是q 的 条件，q 是p 的 条件。

说明（1）若p ⇒q ,那么我们就说p 是q 的充分条件①说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．可以解释为：为了使q 成立，具备条件p 就足够了。

②可进一步解释为：有它即行，无它也未必不行。

③结合实例解释为：a=0 是 ab=0 的充分条件，ab=0不一定要 a=0. 思考(1)若p 是q 的充分条件,p 是唯一的吗?提示:不一定唯一,凡是能使q 成立的条件都是它的充分条件,如x>3是x>0的充分条件,x>5,x>10等都是x>0的充分条件.（2）若p ⇒q,则q 叫做p 的必要条件。

充分条件与必要条件(教学设计)

充分条件与必要条件(教学设计)

充分与必要条件（1）（教学设计）1.2.1充分条件与必要条件教学目标知识与技能：正确理解充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．进一步会判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。

过程与方法：充分感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想，培养学生现问题的能力，通过对充分条件、必要条件的判定，提高分析问题、解决问题的能力；学会观察，敢于归纳，关于建构；充分培养学生的发散思维能力，挖掘学生的创新思维能力。

情感、态度与价值观通过“p⇒q”与“q⇒p”的判断，感受对立，统一的思想，培养辩证唯物主义观；通过学习本节课体验成功的愉悦，激发学习的兴趣；通过探究学习培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质。

教学重点与难点重点：充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念．(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．)难点：判断命题的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。

关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件。

教学过程：一、复习回顾1、四种命题的形式与关系二、创设情境，新课引入当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件.三、师生互动，新课讲解问题1：前面讨论了“若p则q”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假，并说明条件和结论有什么关系？（1）若x＝y，则x2＝y2（2）若ab = 0，则a = 0（3）若x2>1，则x>1（4）若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0推断符号“⇒”的含义“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作p⇒q，或者q⇐p；如果由p推不出q，命题为假，记作p q.简单地说，“若p则q”为真，记作p⇒q（或q⇐p）；“若p则q”为假，记作p q（或q p）.命题(1)、(4)为真，是由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立，此时可记作“p⇒q”，命题(2)、（3）为假，是由p经过推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记作“p q.”说明：“p⇒q”表示“若p则q”为真，可以解释为：如果具备了条件p，就是以保证q成立，即表示“p蕴含q”，理解为“p”为“q”的子集。

【1.2.1充分条件与必要条件

【1.2.1充分条件与必要条件


-3-
第1课时 充分条件与必要条件
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
1.充分条件与必要条件 若“p”成立,则“q”一定成立.记作“p⇒q”,称p是q的充分条件,q是p 的必要条件.换个角度考虑,p⇒q,就是说,为了使q成立,具备条件p就 足够了.反过来说,一旦q不成立,p一定也不成立,q成立对于p成立是 必要的. 说明:事实上,p是q的充分条件,就是条件p足以能保证结论q成立. 这种情况下,也可以理解为:条件p成立,必须q成立,说明对p来说,q是 必要的,所以q是p的必要条件.由此可见,判断充分条件或者必要条 件实质上就是要判断命题“若p,则q”(或者其逆命题)的真假,即判断 条件p能否推出q(或者条件q能否推出p).
-16-
第1课时 充分条件与必要条件
题型一 题型二 题型三 题型四
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
(2)解:l=-1是{an}是等差数列的充要条件,理由如下: 当l=-1时,Sn=(n+1)2-1,a1=S1=3. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1. ∵a1=3适合上式,∴an=2n+1(n∈N+). ∵an+1-an=2, ∴{an}是公差为2,首项为3的等差数列, ∴l=-1为{an}是等差数列的充分条件. 又由(1),知l=-1是{an}是等差数列的必要条件, ∴l=-1是{an}是等差数列的充要条件. 反思根据充要条件的定义证明充要条件时,要从充分性和必要性 两个方面分别证明,首先分清哪个是条件,哪个是结论,然后确定方 向,即充分性是证明“条件”⇒“结论”,必要性是证明“结论”⇒“条件”.