2017-2018学年北京101中学下学期高一年级期中考试数学试题(解析版)

第 1 页 共 11 页 2017-2018学年北京101中学下学期高一年级期中考试数学试题

一、单选题

1．在等差数列{an}中，如果a1+a2=25，a3+a4=45，则a1=（ ）

A. 5 B. 7 C. 9 D. 10

【答案】D

【解析】分析：由题意得到关于首项、公差的方程组，求解方程组即可求得最终结果.

详解：设数列的首项为，公差为，由题意结合等差数列的通项公式可得：

，

解得：.

本题选择D选项.

点睛：本题主要考查等差数列的通项公式，函数与方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2．tan（－）=，则tan=（ ）

A. 2 B. －2 C. D. －

【答案】A

【解析】分析：由题意结合两角和差正切公式整理计算即可求得最终结果.

详解：由题意结合两角和差正切公式可得：

.

本题选择A选项.

点睛：三角函数式求值的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．

3．在△ABC中，若bcosA=a sinB，则∠A等于（ ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

【答案】B

【解析】分析：首先利用正弦定理边化角，然后结合同角三角函数基本关系整理计算即可求得最终结果.

详解：由题意结合正弦定理边化角可得：，

，，即， 第 2 页 共 11 页 ，.

本题选择B选项.

点睛：本题主要考查正弦定理的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 己知a=，c=，cosA=，则b=（ ）

A. 1 B. 2 C. D.

【答案】B

【解析】分析：由题意结合余弦定理得到关于b的方程，求解方程即可求得最终结果.

详解：由余弦定理有：，即：，

整理可得：，则(舍去).

本题选择B选项.

点睛：本题主要考查余弦定理解三角形，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

5．设a，b∈R，下列不等式中一定成立的是（ ）

A. a2+3>2a B. a2+b2>0

C. a3+b3≥a2b+ab2 D. a+≥2

【答案】A

【解析】分析：由题意排除错误选项即可确定正确选项.

详解：当时，，选项B错误；

当，时，，，不满足，选项C错误；

当时，，选项D错误；

而，故恒成立.

本题选择A选项.

点睛：本题主要考查不等式的性质，排除法求解选择题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

6．数列{an}为公比为q（q≠1）的等比数列，设b1=a1+a2+a3+a4，b2=a5+a6+a7+a8，…，bn=a4n－3+a4n－2+a4n－1+a4n，则数列（ ）

A. 是等差数列 B. 是公比为q的等比数列

C. 是公比为q4的等比数列 D. 既非等差数列也非等比数列

【答案】C

【解析】分析：由题意结合数列的特征确定数列为等比数列即可. 第 3 页 共 11 页 详解：新定义的数列中：

，

结合等比数列的性质可知：数列是公比为q4的等比数列.

本题选择C选项.

点睛：本题主要考查等比数列片段和的性质，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

7．在超市中购买一个卷筒纸，其内圆直径为4cm，外圆直径为12cm，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，令=3.14，则这个卷筒纸的长度（精确到个位）为（ ）

A. 17m B. 16m C. 15m D. 14m

【答案】C

【解析】分析：将原问题转化为等差数列的问题，结合等差数列前n项和公式整理计算即可求得最终结果.

详解：纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则纸的长度为：

，

其中，

即：.

本题选择C选项.

点睛：本题主要考查等差数列前n项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

8．已知数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和. 若，则=（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】分析：由题意首先求得和的关系，然后求解比值即可.

详解：由等差数列前n项和公式有：，整理可得：，

则.

本题选择B选项.

点睛：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其第 4 页 共 11 页 中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．

(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．

9．下列函数中，最小值为4的函数是（ ）

A. y=x3+ B. y=sinx+

C. y=log3 x+logx81 D. y=ex+4e－x

【答案】D

【解析】分析：由题意排除错误的选项即可确定正确的选项.

详解：利用排除法：

当时，，选项A错误；

当时，，选项B错误；

当时，，选项C错误；

本题选择D选项.

点睛：本题主要考查均值不等式的应用条件，最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

10．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是（ ）

（A）不增不减 （B）约增1.4%

（C）约减9.2% （D）约减7.8%

【答案】D

【解析】试题分析：设商品原始价格为1，则第一年年末的价格是120%，第二年年末的价格为120%×120%=144%，第三年年末的价格为144%×80%=115.2%，第四年年末的价格为115.2%×80%=92.16%，

所以商品四年后的价格比原始价格降低了1-92.16%=7.84%．故选D．

【考点】本题主要考查等比数列的概念、函数模型。

点评：增长率可用函数y=a（1+p）x来表示，其中p为增长率（或减少率）。

二、填空题

11．△ABC中，cosAcosB－sinA sinB=－，则角C的大小为_______.

【答案】60°

【解析】分析：由题意结合两角和差正余弦公式和诱导公式整理计算即可求得最终结果.

详解：由题意可得：，

即，据此可得：. 第 5 页 共 11 页 点睛：本题主要考查逆用两角和差正余弦公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

12．已知sin·cos=，则tan=_________.

【答案】2或.

【解析】分析：由题意结合同角三角函数基本关系整理计算即可求得最终结果.

详解：由题意可得：，

即：，解得：或.

即tan=2或.

点睛：(1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二．

(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．

13．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足对于任意的n∈N，an=（2+Sn），则数列{an}的通项为an=_________.

【答案】

【解析】分析：由题意分类讨论n=1和n≥2两种情况即可确定数列的通项公式.

详解：当n=1时：，解得：，

当时，，即，解得：，

当时，，，

两式作差可得：，

即，则数列从第二项开始构成公比的等比数列，

当时，， 第 6 页 共 11 页 是上式也合适，则数列的通项公式为.

点睛：给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.

14．定义：称为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若数列{an}的前n项的“均倒数”为，则数列{an}的通项公式为an=_________.

【答案】4n－3.

【解析】分析：由题意结合新定义得到数列的前n项和公式， 然后求解数列的通项公式即可.

详解：设数列的前n项和为，由题中的新定义可知：，

则：，

当时，，

当时，，

且时，，则数列的通项公式为：.

点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

15．北京101中学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个音乐教室和一个图书馆，如图，若设音乐教室在A处，图书馆在B处，为测量A，B两地之间的距离，某同学选定了与A，B不共线的C处，构成△ABC，以下是测量的数据的不同方案：①测量∠A，AC，BC；②测量∠A，∠B，BC；③测量∠C，AC，BC；④测量∠A，∠C，∠B.

其中一定能唯一确定A，B两地之间的距离的所有方案的序号是_______.

【答案】②③.

【解析】分析：由题意结合所给的条件确定三角形解的个数即可确定是否能够唯一确定第 7 页 共 11 页 A，B两地之间的距离.

详解：考查所给的四个条件：

①测量∠A，AC，BC，已知两边及对角，由正弦定理可知，三角形有2个解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离；

②测量∠A，∠B，BC，已知两角及一边，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离；

③测量∠C，AC，BC，已知两边及夹角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离；

④测量∠A，∠C，∠B，知道三个角度值，三角形有无数多组解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离；

综上可得，一定能唯一确定A，B两地之间的距离的所有方案的序号是②③.

点睛：本题主要考查解三角形问题，唯一解的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

16．有纯酒精a（a>1）升，从中取出1升，再用水加满，然后再取出1升，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精_______升.

【答案】（1－）8（2－）.

【解析】分析：将原问题转化为等比数列的问题，然后进行求解即可.

详解：由题意可知，取出的纯酒精数量是一个1为首项，公比的等比数列，即：

第一次取出的纯酒精为1升，第二次取出的为升，第三次取出的为升，，

第n次取出的纯酒精为：升，

则第九次和第十次共倒出纯纯酒精数量为：

升.

点睛：用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论．

三、解答题

17．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）－，x∈R.

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（2）设>0，若函数g（x）=f（x+）为奇函数，求的最小值.