全等三角形复习题及答案经典文件

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. 第十一章全等三角形综合复习

切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。

例1. 如图，,,,AFEB四点共线，ACCE，BDDF，AEBF，ACBD。求证：ACFBDE。

例2. 如图，在ABC中，BE是∠ABC的平分线，ADBE，垂足为D。求证：21C。

例3. 如图，在ABC中，ABBC，90ABCo。F为AB延长线上一点，点E在BC上，BEBF，连接,AEEF和CF。求证：AECF。

例4. 如图，AB//CD，AD//BC，求证：ABCD。

例5. 如图，,APCP分别是ABC外角MAC和NCA的平分线，它们交于点P。求证：BP为MBN的平分线。 .

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例6. 如图，D是ABC的边BC上的点，且CDAB，ADBBAD，AE是ABD的中线。求证：2ACAE。

例7. 如图，在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点。求证：ABACPBPC。

同步练习

一、选择题：

1. 能使两个直角三角形全等的条件是( )

A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等

C. 两锐角对应相等 D. 斜边相等

2. 根据下列条件，能画出唯一ABC的是( )

A. 3AB，4BC，8CA B. 4AB，3BC，30Ao

C. 60Co，45Bo，4AB D. 90Co，6AB

3. 如图，已知12，ACAD，增加下列条件：①ABAE；②BCED；③CD；④BE。其中能使ABCAED的条件有( )

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 .

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4. 如图，12，CD，,ACBD交于E点，下列不正确的是( )

A. DAECBE B. CEDE

C. DEA不全等于CBE D. EAB是等腰三角形

5. 如图，已知ABCD，BCAD，23Bo，则D等于( )

A. 67o B. 46o C. 23o D.

无法确定

二、填空题：

6. 如图，在ABC中，90Co，ABC的平分线BD交AC于点D，且:2:3CDAD，10ACcm，则点D到AB的距离等于__________cm；

7. 如图，已知ABDC，ADBC，,EF是BD上的两点，且BEDF，若100AEBo，30ADBo，则BCF____________；

8. 将一正方形纸片按如图的方式折叠，,BCBD为折痕，则CBD的大小为_________； .

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9. 如图，在等腰RtABC中，90Co，ACBC，AD平分BAC交BC于D，DEAB于E，若10AB，则BDE的周长等于____________；

10. 如图，点,,,DEFB在同一条直线上，AB//CD，AE//CF，且AECF，若10BD，2BF，则EF___________；

三、解答题：

11. 如图，ABC为等边三角形，点,MN分别在,BCAC上，且BMCN，AM与BN交于Q点。求AQN的度数。

12. 如图，90ACBo，ACBC，D为AB上一点，AECD，BFCD，交CD延长线于F点。求证：BFCE。 .

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. 答案

例1. 思路分析：从结论ACFBDE入手，全等条件只有ACBD；由AEBF两边同时减去EF得到AFBE，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是CFDE，也可以是AB。

由条件ACCE，BDDF可得90ACEBDFo，再加上AEBF，ACBD，可以证明ACEBDF，从而得到AB。

解答过程：QACCE，BDDF

90ACEBDFo

在RtACE与RtBDF中

QAEBFACBD

∴RtACERtBDF(HL)

AB

QAEBF

AEEFBFEF，即AFBE

在ACF与BDE中

QAFBEABACBD

ACFBDE(SAS)

解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。

小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。

例2. 思路分析：直接证明21C比较困难，我们可以间接证明，即找到，证明2且1C。也可以看成将2“转移”到。

那么在哪里呢？角的对称性提示我们将AD延长交BC于F，则构造了△FBD，可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。

解答过程：延长AD交BC于F

在ABD与FBD中

Q90ABDFBDBDBDADBFDBo ABDFBD(ASA 2DFB

又Q1DFBC 21C。

解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。

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. 例3. 思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段AE为边的ABE绕点B顺时针旋转90o到CBF的位置，而线段CF正好是CBF的边，故只要证明它们全等即可。

解答过程：Q90ABCo，F为AB延长线上一点

90ABCCBFo

在ABE与CBF中

QABBCABCCBFBEBF

ABECBF(SAS)

AECF。

解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。

小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。

例4. 思路分析：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。

解答过程：连接AC

QAB//CD，AD//BC

12，34

在ABC与CDA中

Q1243ACCA

ABCCDA(ASA)

ABCD。

解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。

例5. 思路分析：要证明“BP为MBN的平分线”，可以利用点P到,BMBN的距离相等来证明，故应过点P向,BMBN作垂线；另一方面，为了利用已知条件“,APCP分别是MAC和NCA的平分线”，也需要作出点P到两外角两边的距离。

解答过程：过P作PDBM于D，PEAC于E，PFBN于F .

. QAP平分MAC，PDBM于D，PEAC于E

PDPE

QCP平分NCA，PEAC于E，PFBN于F

PEPF

QPDPE，PEPF

PDPF

QPDPF，且PDBM于D，PFBN于F

BP为MBN的平分线。

解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。

例6. 思路分析：要证明“2ACAE”，不妨构造出一条等于2AE的线段，然后证其等于AC。因此，延长AE至F，使EFAE。

解答过程：延长AE至点F，使EFAE，连接DF

在ABE与FDE中

QAEFEAEBFEDBEDE

ABEFDE(SAS)

BEDF

QADFADBEDF，ADCBADB

又QADBBAD

ADFADC

QABDF，ABCD

DFDC

在ADF与ADC中

QADADADFADCDFDC

ADFADC(SAS)

AFAC

又Q2AFAE

2ACAE。 .

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解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。

例7. 思路分析：欲证ABACPBPC，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段ABAC。而构造ABAC可以采用“截长”和“补短”两种方法。

解答过程：法一：

在AB上截取ANAC，连接PN

在APN与APC中

Q12ANACAPAP

APNAPC(SAS)

PNPC

Q在BPN中，PBPNBN

PBPCABAC，即AB－AC>PB－PC。

法二：

延长AC至M，使AMAB，连接PM

在ABP与AMP中

Q12ABAMAPAP

ABPAMP(SAS)

PBPM

Q在PCM中，CMPMPC

ABACPBPC。