八级数学全等三角形竞赛试题精选

八年级数学全等三角形检测题（WORD 版含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，在长方形ABCD 的边AD 上找一点P ，使得点P 到B 、C 两点的距离之和最短，则点P 的位置应该在_____．【答案】AD 的中点【解析】【分析】【详解】分析：过AD 作C 点的对称点C′，根据轴对称的性质或线段垂直平分线的性质得出AC=PC′，从而根据两点之间线段最短，得出这时的P 点使BP+PC 的之最短.详解：如图，过AD 作C 点的对称点C′，根据轴对称的性质可得：PC=PC′，CD=C′D∵四边形ABCD 是矩形∴AB=CD∴△ABP ≌△DC′P∴AP=PD即P 为AD 的中点.故答案为P 为AB 的中点.点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，两点之间线段最短的性质．得出动点P 所在的位置是解题的关键．2．在ABC ∆中，边AB 、AC 的垂直平分线分别交边BC 于点D 、点E ，20DAE ∠=︒，则BAC ∠=______°.【答案】80或100【解析】【分析】根据题意，点D 和点E 的位置不确定，需分析谁靠近B 点，则有如下图（图见解析）两种情况：（1）图1中，点E 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有1,2B DAE C DAE ∠=∠+∠∠=∠+∠，再根据三角形的内角和定理可得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得；（2）图2中，点D 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有3,4B C ∠=∠∠=∠，由三角形的内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得.【详解】由题意可分如下两种情况：（1）图1中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，1,2B DAE C DAE ∴∠=∠+∠∠=∠+∠（等边对等角），两式相加得12B C DAE DAE ∠+∠=∠+∠+∠+∠，又12DAE BAC ∠+∠+∠=∠20B C BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠+︒，由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，20180BAC BAC ∴∠+︒+∠=︒，80BAC ∴∠=︒；（2）图2中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，3,4B C ∴∠=∠∠=∠（等边对等角），两式相加得34B C ∠+∠=∠+∠，又34DAE BAC ∠+∠+∠=∠，3420BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠-∠=∠-︒，20B C BAC ∴∠+∠=∠-︒由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，20180BAC BAC ∴∠-︒+∠=︒，100BAC ∴∠=︒.故答案为80或100.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）、等腰三角形的定义和性质（等边对等角）、以及三角形内角和定理，本题的难点在于容易漏掉第二种情况，出现漏解.3．如图，点A,B,C在同一直线上,△ABD和△BCE都是等边三角形，AE,CD分别与BD,BE交于点F,G，连接FG，有如下结论：①AE=CD ②∠BFG= 60°；③EF=CG；④AD⊥CD⑤FG ∥AC 其中，正确的结论有__________________. (填序号)【答案】①②③⑤【解析】【分析】易证△ABE≌△DBC，则有∠BAE＝∠BDC，AE＝CD，从而可证到△ABF≌△DBG，则有AF＝DG，BF＝BG，由∠FBG＝60°可得△BFG是等边三角形，证得∠BFG＝∠DBA＝60°，则有FG∥AC，由∠CDB≠30°，可判断AD与CD的位置关系．【详解】∵△ABD和△BCE都是等边三角形，∴BD＝BA＝AD，BE＝BC＝EC，∠ABD＝∠CBE＝60°．∵点A、B、C在同一直线上，∴∠DBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ABE＝∠DBC＝120°．在△ABE和△DBC中，∵BD BAABE DBCBE BC∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC，∴AE＝CD，∴①正确；在△ABF和△DBG中，60BAF BDGAB DBABF DBG∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪==︒⎩，∴△ABF≌△DBG，∴AF＝DG，BF＝BG．∵∠FBG＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴△BFG是等边三角形，∴∠BFG=60°，∴②正确；∵AE＝CD，AF＝DG，∴EF=CG；∴③正确；∵∠ADB＝60°，而∠CDB=∠EAB≠30°，∴AD与CD不一定垂直，∴④错误．∵△BFG是等边三角形，∴∠BFG=60°，∴∠GFB＝∠DBA＝60°，∴FG∥AB，∴⑤正确．故答案为①②③⑤．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、平行线的判定和性质，证得△ABE≌△DBC是解题的关键．4．如图，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若AQ PQ=，PR PS=，那么下面四个结论：①AS AR=；②QP//AR；③△BRP≌△QSP；④BR QS，其中一定正确的是（填写编号）_____________.【答案】①，②【解析】【分析】连接AP，根据角平分线性质即可推出①，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS．无法判断△BRP≌△QSP也无法证明BR QS．【详解】解：连接AP①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，∴点P在∠BAC的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，∴∠SAP=∠RAP，在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2-PR2，AS2=AP2-PS2，∵AP=AP，PR=PS，∴AR=AS，∴①正确；②∵AQ=QP，∴∠QAP=∠QPA，∵∠QAP=∠BAP，∴∠QPA=∠BAP，∴QP∥AR，∴②正确；③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，不满足三角形全等的条件，故③④错误；故答案为：①②.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与勾股定理的应用，熟练掌握根据垂直与相等得出点在角平分线上是解题的关键.5．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm，DE=3cm，则BC的长是 ______cm．【答案】8．【解析】【分析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN 的长，进而求出答案．【详解】解：延长DE 交BC 于M ，延长AE 交BC 于N ，作EF ∥BC 于F ，∵AB=AC ，AE 平分∠BAC ，∴AN ⊥BC ，BN=CN ，∵∠DBC=∠D=60°，∴△BDM 为等边三角形，∴△EFD 为等边三角形，∵BD=5，DE=3，∴EM=2，∵△BDM 为等边三角形，∴∠DMB=60°，∵AN ⊥BC ，∴∠ENM=90°，∴∠NEM=30°，∴NM=1，∴BN=4，∴BC=2BN=8（cm ），故答案为8．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．6．如图，在ABC ∆和DBC ∆中，40A ∠=，2AB AC ==，140BDC ∠=，BD CD =，以点D 为顶点作70MDN ∠=，两边分别交,AB AC 于点,M N ，连接MN ，则AMN ∆的周长为_______.【答案】4【解析】【分析】延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CDN，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．【详解】延长AB至F，使BF=CN，连接DF．∵BD=CD，且∠BDC=140°，∴∠BCD=∠DBC=20°．∵∠A=40°，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠DBA=∠DCA=90°．在Rt△BDF和Rt△CND中，∵BF=CN，∠DBA=∠DCA，DB=DC，∴△BDF≌△CDN，∴∠BDF=∠CDN，DF=DN．∵∠MDN=70°，∴∠BDM+∠CDN=70°，∴∠BDM+∠BDF=70°，∴∠FDM=70°=∠MDN．∵DF=DN，∠FDM=∠MDN，DM=DM，∴△DMN≌△DMF，∴MN=MF，∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=4．故答案为：4．【点睛】本题主要利用等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造全等三角形是解答本题的关键．7．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是__．【答案】22【解析】【分析】等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形；【详解】解：因为4+4=8<9，0<4<9+9=18，∴腰的不应为4，而应为9，∴等腰三角形的周长=4+9+9=22.故答案为22.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去.8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC的延长线上，G是AC上一点，且CG＝CD，F是GD上一点，且DF＝DE．若∠A＝100°，则∠E的大小为_____度．【答案】10【解析】【分析】由DF=DE，CG=CD可得∠E=∠DFE，∠CDG=∠CGD，再由三角形的外角的意义可得∠GDC=∠E+∠DFE=2∠E，∠ACB=∠CDG+∠CGD=2∠CD G，进而可得∠ACB=4∠E，最后代入数据即可解答.【详解】解：∵DF＝DE，CG＝CD，∴∠E＝∠DFE，∠CDG＝∠CGD，∵GDC＝∠E+∠DFE，∠ACB＝∠CDG+∠CGD，∴GDC＝2∠E，∠ACB＝2∠CDG，∴∠ACB＝4∠E，∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ACB＝40°，∴∠E＝40°÷4＝10°．故答案为10．【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形外角的定义，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质和三角形的外角的定义确定各角之间的关系.9．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，E、F分别在BC、CD上，且AB＝BE，AD ＝DF，M为EF的中点，DM＝3，BM＝4，则五边形ABEFD的面积是_____．【答案】12【解析】【分析】延长BM至G，使MG＝BM，连接FG、DG，证明△BME≌△GMF（SAS），得出FG＝BE，∠MBE＝∠MGF，证出AB＝FG，证明△DAB≌△DFG（SAS），得出DB＝DG，由等腰三角形的性质即可得DM⊥BM，由五边形ABEFD的面积＝△DBG的面积，可求解．【详解】延长BM至G，使MG＝BM＝4，连接FG、DG，如图所示：∵M 为EF 中点，∴ME ＝MF ，在△BME 和△GMF 中，BM MG BME GMFME MF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BME ≌△GMF （SAS ），∴FG ＝BE ，∠MBE ＝∠MGF ，S △BEM ＝S △GFM ，∴FG ∥BE ，∴∠C ＝∠GFC ，∵∠A +∠C ＝180°，∠DFG +∠GFC ＝180°，∴∠A ＝∠DFG ，∵AB ＝BE ，∴AB ＝FG ，在△DAB 和△DFG 中，AB FG A DFGAD DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DAB ≌△DFG （SAS ），∴DB ＝DG ，S △DAB ＝S △DFG ，∵MG ＝BM ，∴DM ⊥BM ，∴五边形ABEFD 的面积＝△DBG 的面积＝12×BG ×DM ＝12×8×3＝12， 故答案为：12．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定由性质，证明三角形全等是解题的关键．10．如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ADC=∠ABC=90°，在AB、AD上分别找一点F、E，连接CE、EF、CF，当△CEF的周长最小时，则∠ECF的度数为______．【答案】60°【解析】【分析】此题需分三步：第一步是作出△CEF的周长最小时E、F的位置（用对称即可）；第二步是证明此时的△CEF的周长最小（利用两点之间线段最短）；第三步是利用对称性求此时∠ECF的值.【详解】分别作出C关于AD、AB的对称点分别为C1、C2，连接C1C2，分别交AD，AB于点E、F再连接CE、CF此时△CEF的周长最小，理由如下：在AD、AB上任意取E1、F1两点根据对称性：∴CE=C1E，CE1=C1E1，CF=C2F，CF1=C2F1∴△CEF的周长= CE＋EF＋CF= C1E＋EF＋C2F= C1C2而△CE1F1的周长= CE1＋E1F1＋CF1= C1E1＋E1F1＋C2F1根据两点之间线段最短，故C1E1＋E1F1＋C2F1＞C1C2∴△CEF的周长的最小为：C1C2.∵∠A=60°，∠ADC=∠ABC=90°∴∠DCB=360°－∠A－∠ADC－∠ABC=120°∴∠C C1C2＋∠C C2C1=180°－∠DCB=60°根据对称性：∠C C1C2=∠E CD，∠C C2C1=∠F CB∴∠E CD＋∠F CB=∠C C1C2＋∠C C2C1=60°∴∠ECF=∠DCB－（∠E CD＋∠F CB）=60°故答案为：60°【点睛】此题考查的是周长最小值的作图方法（对称点），及周长最小值的证法：两点之间线段最短，掌握周长最小值的作图方法是解决此题的关键.二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )A．3B．332C．32D．不能确定【答案】B【解析】已知，如图，P为等边三角形内任意一点，PD、PE、PF分别是点P到边AB、BC、AC的距离，连接AP、BP、CP，过点A作AH⊥BC于点H，已知等边三角形的边长为3，可求得高线AH=332，因S△ABC=12BC•AH=12AB•PD+12BC•PE+12AC•PF，所以1 2×3×AH=12×3×PD+12×3×PE+12×3×PF，即可得PD+PE+PF=AH=332，即点P到三角形三边距离之和为332．故选B.点睛：本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P到三边的距离之和等于等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观．12．平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（0，2）若在坐标轴上取C点，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】【分析】【详解】解：如图，①以A为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点B，C1，C2，C5，得到以A为顶点的等腰△ABC1，△ABC2，△ABC5；②以B为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点A，C3，C6，C7，得到以B为顶点的等腰△BAC3，△BAC6，△BAC7；③作AB的垂直平分线，交x轴于点C4，得到以C为顶点的等腰△C4AB∴符合条件的点C共7个故选C13．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC等于（）A．7.5°B．10°C．15°D．18°【答案】C【解析】根据等腰三角形性质求出∠C=∠B，根据三角形的外角性质求出∠B=∠C=∠AED+α﹣30°，根据AE=AD，可得∠AED=∠ADE=∠C+α，得出等式∠AED=∠AED+α﹣30°+α，求出α=15°，即得到∠DEC=α=15°，故选C.点睛：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，本题有一点难度，但题型不错．14．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D E 、是AB 边上两点，且CE 垂直平分,AD CD 平分,6BCE AC cm ∠=，则BD 的长为（ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm【答案】A【解析】【分析】 根据CE 垂直平分AD ，得AC=CD ，再根据等腰在三角形的三线合一，得ACE ECD ∠=∠，结合角平分线定义和90ACB ︒∠=，得30ACE ECD DCB ︒∠=∠=∠=，则BD CD AC ==．【详解】∵CE 垂直平分AD∴AC=CD ＝6cm ，ACE ECD ∠=∠∵CD 平分BCE ∠∴BCD ECD ∠=∠∴30ACE ECD DCB ︒∠=∠=∠=∴60A ︒∠=∴30B BCD ︒∠==∠∴6CD BD AC cm ===故选：A【点睛】本题考查的知识点主要是等腰三角形的性质的“三线合一”性质定理及判定“等角对等边”，熟记并能熟练运用这些定理是解题的关键．15．如图，已知一条线段的长度为a ，作边长为a 的等边三角形的方法是：①画射线AM ；②连结AC 、BC ；③分别以A 、B 为圆心，以a 的长为半径作圆弧，两弧交于点C ；④在射线AM 上截取AB ＝a ；以上画法正确的顺序是（ ）A ．①②③④B ．①④③②C ．①④②③D ．②①④③【答案】B【解析】【分析】根据尺规作等边三角形的过程逐项判断即可解答.【详解】解：已知一条线段的长度为a，作边长为a的等边三角形的方法是：①画射线AM；②在射线AM上截取AB＝a；③分别以A、B为圆心，以a的长为半径作圆弧，两弧交于点C；④连结AC、BC．△ABC即为所求作的三角形．故选答案为B．【点睛】本题考查了尺规作图和等边三角形的性质，解决本题的关键是理解等边三角形的作图过程.16．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC 于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是( )A．AD＝BE B．BE⊥ACC．△CFG为等边三角形D．FG∥BC【答案】B【解析】试题解析：A.ABC和CDE△均为等边三角形，60AC BC EC DC ACB ECD∴==∠=∠=︒，，，在ACD与BCE中，{AC BCACD BCECD CF=∠=∠=，ACD BCE∴≌，AD BE∴=，正确.B.据已知不能推出F是AC中点，即AC和BF不垂直，所以AC BE⊥错误，故本选项符合题意.C.CFG是等边三角形，理由如下：180606060ACG BCA∠=︒-︒-︒=︒=∠，ACD BCE≌，CBE CAD∴∠=∠，在ACG和BCF中，{CAG CBFAC BCBCF ACG∠=∠=∠=∠，ACG BCF∴≌，CG CH∴=，又∵∠ACG=60°CFG∴是等边三角形，正确.D.CFG是等边三角形，60CFG ACB∴∠︒=∠﹦，.FG BC∴正确.故选B.17．如图，C 是线段 AB 上一点，且△ACD 和△BCE 都是等边三角形，连接 AE、BD 相交于点O，AE、BD 分别交 CD、CE 于 M、N，连接 MN、OC，则下列所给的结论中：①AE＝BD；②CM＝CN；③MN∥AB；④∠AOB＝120º；⑤OC 平分∠AOB．其中结论正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】【分析】由题意易证：△ACE≅△DCB，进而可得AE＝BD；由△ACE≅△DCB，可得∠CAE=∠CDB，从而△ACM ≅△DCN，可得：CM＝CN；易证△MCN是等边三角形，可得∠MNC=∠BCE，即MN∥AB；由∠CAE=∠CDB，∠AMC=∠DMO，得∠ACM=∠DOM=60°，即∠AOB＝120º；作CG⊥AE，CH⊥BD，易证CG=CH，即：OC 平分∠AOB．【详解】∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠ACE=∠DCB=120°，∴△ACE≅△DCB(SAS)∴AE ＝BD ，∴①正确；∵△ACE ≅△DCB ，∴∠CAE=∠CDB ，∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=∠DCE=60°，AC=DC ，在△ACM 和△DCN 中，∵60CAE CDB AC DCACD DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△ACM ≅△DCN （ASA ）,∴CM ＝CN ，∴②正确；∵CM ＝CN ，∠DCE=60°，∴△MCN 是等边三角形，∴∠MNC=60°，∴∠MNC=∠BCE ，∴MN ∥AB ，∴③正确；∵△ACE ≅△DCB ，∴∠CAE=∠CDB ，∵∠AMC=∠DMO ，∴180°-∠CAE-∠AMC=180°-∠CDB-∠DMO ，即：∠ACM=∠DOM=60°，∴∠AOB ＝120º，∴④正确；作CG ⊥AE ，CH ⊥BD ，垂足分别为点G ，点H ，如图，在△ACG 和△DCH 中，∵90?AMC DHC CAE CDB AC DC ∠=∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACG ≅△DCH （AAS ），∴CG =CH ，∴OC 平分∠AOB ，∴⑤正确.故选D.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理和性质定理，等边三角形的性质定理以及角平分线性质定理的逆定理，添加合适的辅助线，是解题的关键.18．如图, 在△DAE中, ∠DAE＝40°, B、C两点在直线DE上，且∠BAE＝∠BEA，∠CAD＝∠CDA，则∠BAC的大小是（）A．100°B．90°C．80°D．120°【答案】A【解析】【分析】由已知条件，利用了中垂线的性质得到线段相等及角相等，再结合三角形内角和定理求解.【详解】解：如图，∵BG是AE的中垂线，CF是AD的中垂线，∴AB=BE，ACECD∴∠AED=∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠CDA=∠CAD=∠DAE+∠CAE，∵∠DAE+∠ADE+∠AED=180°∴∠BAD+∠DAE+∠DAE+∠CAE+∠DAE=3∠DAE+∠BAD+∠EAC=120°+∠BAD+∠EAC=180°∴∠BAD+∠EAC=60°∴.∠BAC=∠BAD+∠EAC+∠DAE=60°+40°=100°；故选：A本题考查了中垂线的性质、三角形内角和定理及等腰三角形的判定与性质；找着各角的关系利用内角和列式求解是正确解答本题的关键.19．如果三角形有一个内角为120°，且过某一顶点的直线能将该三角形分成两个等腰三角形，那么这个三角形最小的内角度数是( )A．15°B．40 C．15°或20°D．15°或40°【答案】C【解析】【分析】依据三角形的一个内角的度数为120°，且过某一顶点能将该三角形分成两个等腰三角形，运用分类思想和三角形内角和定理，即可得到该三角形其余两个内角的度数．【详解】如图1，当∠A=120°，AD=AC，DB=DC时，∠ADC=∠ACD=30°，∠DBC=∠DCB=15°，所以，∠DBC=15°，∠ACB=30°+15°=45°；故∠ABC=60°，∠C=80°；如图2，当∠BAC=120°，可以以A为顶点作∠BAD=20°，则∠DAC=100°，∵△APB，△APC都是等腰三角形；∴∠ABD=20°，∠ADC=∠ACD=40°，如图3，当∠BAC=120°，以A为顶点作∠BAD=80°，则∠DAC=40°，∵△APB，△APC都是等腰三角形，∴∠ABD=20°，∠ADC=100°，∠ACD=40°．故选C．本题主要考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．20．如图，ABC △，AB AC =，56BAC ︒∠=，BAC ∠的平分线与AB 的垂直平分线交于O ，将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与O 点恰好重合，则∠OEC 的度数为（ ）A ．132︒B ．130︒C ．112︒D ．110︒【答案】C【解析】【分析】 连接OB 、OC ，根据角平分线的定义求出∠BAO ，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC ，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB ，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO ，再求出∠OBC ，然后判断出点O 是△ABC 的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC ，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC ，根据翻折的性质可得OE=CE ，然后根据等边对等角求出∠COE ，再利用三角形内角和定理列式计算即可得出答案.【详解】如图，连接OB 、OC ，∵56BAC ︒∠=，AO 为BAC ∠的平分线∴11562822BAO BAC ︒︒∠=∠=⨯= 又∵AB AC =，∴()()11180180566222ABC BAC ︒︒︒︒∠=-∠=-= ∵DO 是AB 的垂直平分线， ∴OA OB =．∴28ABO BAO ︒∠=∠=，∴622834OBC ABC ABO ︒︒︒∠=∠-∠=-=∵DO 是AB 的垂直平分线，AO 为BAC ∠的平分线∴点О是ABC △的外心，∴OB OC =，∴34OCB OBC ︒∠=∠=，∵将C ∠沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合∴OE CE =，∴34COE OCB ︒∠=∠=，在OCE △中，1801803434112OEC COE OCB ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，做辅助线构造出等腰三角形是解决本题的关键.。

全等三角形培优竞赛训练题一、已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系；（2）将图1中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ． 你在（1）中取得的结论是不是发生转变？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是不是仍然成立？二、数学课上，张教师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．通过试探，小明展现了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，那么AM =EC ，易证AME ECF △≌△，因此AE EF =．在此基础上，同窗们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，若是把“点E 是边BC 的中点”改成“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”A D图1A DE图2BE 图3D，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你以为小颖的观点正确吗？若是正确，写出证明进程；若是不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你以为小华的观点正确吗？若是正确，写出证明进程；若是不正确，请说明理由．A DFC GEB图1 A DFC GEB图2A DFC GEB图33、已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==︒，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边别离交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△． 当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情形下，上述结论是不是成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有如何的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．4、在ABC △中，2120AB BC ABC ==∠=，°，将ABC △绕点B 顺时针旋转角α(0<°α90)<°得A BC AB 111△，交AC 于点E ，11AC 别离交AC BC 、于D F 、两点．（1）如图1，观看并猜想，在旋转进程中，线段1EA 与FC 有如何的数量关系？并证明你的结论；AE CF BD图1图3ADFECBADBCE 图2F（2）如图2，当α30=°时，试判定四边形1BC DA 的形状，并说明理由； （3）在（2）的情形下，求ED 的长．ADBECF 1A1CADBECF 1A1C五、如图9，假设△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 别离EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形．（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD=BE 是不是仍然成立？假设成立请证明，假设不成立请说明理由；（4分）（2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是不是仍是等边三角形？假设是，请给出证明，并求出当AB =2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；假设不是，请说明理由．（6分）六、点C 为线段AB 上一点，△ACM, △CBN 都是等边三角形，线段AN,MC 交于点E ，BM,CN 交于点F 。

全等三角形提升练习1. 如下图，△ ABC ≌△ ADE ，BC 的延伸线过点E ，∠ ACB=∠ AED=105°，∠ CAD=10°，∠ B=50°，求∠ DEF 的度数。

EDFCAB2. 如图，△ AOB 中，∠ B=30°，将△ AOB 绕点 O 顺时针旋转 52°，获得△ A ′ OB ′，边 A ′ B ′与边 OB交于点 C （A ′不在 OB 上），则∠ A ′ CO 的度数为多少BA'CB'AO3.如下图，在△ ABC 中，∠ A=90°， D 、 E 分别是 AC 、 BC 上的点，若△ ADB ≌△ EDB ≌△ EDC ，则∠ CA的度数是多少DB CE4.如下图， 把△ ABC 绕点 C 顺时针旋转 35°，获得△ A ′B ′ C ，A ′ B ′交 AC 于点 D ，若∠ A ′ DC=90°，则∠ A=A'ADB'B C5. 已知，如下图， AB=AC ， AD ⊥BC 于 D ，且 AB+AC+BC=50cm,而6.如图， Rt △ ABC 中，∠ BAC=90°， AB=AC ，分别过点 B 、C 作过点若 BD=3， CE=2，则 DE=AB+BD+AD=40cm ，则 AD 是多少CADBA 的垂线 BC 、CE ，垂足分别为 D 、E ，BCD AE7. 如图， AD 是△ ABC 的角均分线， DE ⊥AB ， DF ⊥ AC ，垂足分别是E 、F ，连结 EF ，交 AD 于G ， AD 与EF 垂直吗证明你的结论。

AEGFBDC8. 如下图，在△ ABC 中， AD 为∠ BAC 的角均分线， DE ⊥ AB 于 E ， DF ⊥ AC 于 F ，△ ABC 的面积是28cm 2 ,AB=20cm ， AC=8cm ，求 DE 的长。

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图，△ABC 中，AB=AC=BC，∠BDC=120°且BD=DC，现以D为顶点作一个60°角，使角两边分别交AB，AC边所在直线于M，N两点，连接MN，探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．（1）如图1，若∠MDN的两边分别交AB，AC边于M，N两点．猜想：BM+NC=MN．延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，再证明两次三角形全等可证．请你按照该思路写出完整的证明过程；（2）如图2，若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点，其它条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，请直接写出你的猜想（不用证明）．【答案】（1）过程见解析；（2）MN= NC﹣BM．【解析】【分析】（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，根据△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，可以证得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根据∠MDN=60°，∠BDC=120°，可证∠MDN =∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，进而得到MN=BM+NC．（2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的证明方法，先证△BMD≌△CED（SAS），再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论．【详解】解：（1）如图示，延长AC至E，使得CE=BM，并连接DE．∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°，在△MBD与△ECD中，∵BD CDMBD ECD BM CE，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠BDM=∠CDE∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°，即：∠MDN =∠NDE=60°，在△DMN与△DEN中，∵MD DEMDN EDN DN DN，∴△DMN≌△DEN（SAS），∴MN=NE=CE+NC=BM+NC．（2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM．理由：在CA上截取CE=BM．∵△ABC是正三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BCD=∠CBD=30°，∴∠MBD=∠DCE=90°，在△BMD和△CED中∵BM CEMBD ECD BD CD，∴△BMD≌△CED（SAS），∴DM= DE，∠BDM=∠CDE∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，∴∠NDE=∠BDC-（∠BDN+∠CDE）=∠BDC-（∠BDN+∠BDM）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，即：∠MDN =∠NDE=60°，在△MDN和△EDN中∵ND NDEDN MDN ND ND，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN =NE=NC﹣CE=NC﹣BM．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．如图1，等腰△ABC中，AC=BC＝42∠ACB=45˚，AO是BC边上的高，D为线段AO上一动点，以CD为一边在CD下方作等腰△CDE,使CD=CE且∠DCE=45˚，连结BE.(1) 求证：△ACD≌△BCE；(2) 如图2，在图1的基础上，延长BE至Q, P为BQ上一点，连结CP、CQ,若CP＝CQ＝5,求PQ的长.(3) 连接OE，直接写出线段OE的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）PQ=6；（3）OE=422-【解析】试题分析：()1根据SAS即可证得ACD BCE≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，由等腰三角形的性质，即可求得45DAC∠=︒，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长．()3OE BQ⊥时，OE取得最小值.试题解析：()1证明：∵△ABC与△DCE是等腰三角形，∴AC=BC,DC=EC,45ACB DCE∠=∠=，45ACD DCB ECB DCB∴∠+∠=∠+∠=，∴∠ACD=∠BCE；在△ACD和△BCE中，,AC BCACD BCEDC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ACD BCE∴≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，(2)过点C作CH⊥BQ于H，∵△ABC是等腰三角形，∠ACB=45˚，AO是BC边上的高，45DAC∴∠=，ACD BCE≌，45PBC DAC∴∠=∠=，∴在Rt BHC中,2242422CH BC=⨯=⨯=，54PC CQ CH===，，3PH QH∴==，6.PQ∴=()3OE BQ⊥时，OE取得最小值.最小值为：42 2.OE=-3．（1）已知△ABC是等腰三角形，其底边是BC,点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°（如图①）.求证：EB=AD；（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）作DF∥BC交AC于F，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS证明△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；（2）作DF∥BC 交AC 的延长线于F ，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF ，即可得出结论.试题解析：（1）证明：如图，作DF ∥BC 交AC 于F ，则△ADF 为等边三角形∴AD=DF ，又∵ ∠DEC=∠DCB ，∠DEC+∠EDB=60°，∠DCB+∠DCF=60° ，∴ ∠EDB=∠DCA ，DE=CD ，在△DEB 和△CDF 中，120EBD DFC EDB DCF DE CD ，，∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEB≌△CDF ，∴BD=DF ，∴BE=AD .(2). EB=AD 成立；理由如下：作DF ∥BC 交AC 的延长线于F ，如图所示：同（1）得：AD=DF ，∠FDC=∠ECD ，∠FDC=∠DEC ，ED=CD ，又∵∠DBE=∠DFC=60°，∴△DBE ≌△CFD（AAS ），∴EB=DF ，∴EB=AD.点睛：此题主要考查了三角形的综合，考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，证明三角形全等是解决问题的关键.4．（1）如图1，在Rt△ABC 中，AB AC=，D、E是斜边BC 上两动点，且∠DAE=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF.（1）试说明：△AED≌△AFD；（2）当BE=3,CE=9时，求∠BCF 的度数和DE的长；（3）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D是斜边BC所在直线上一点，BD=3，BC=8，求DE2的长.【答案】（1）略（2）∠BCF=90° DE=5 （3）34或130【解析】试题分析：()1由ABE AFC≌，得到AE AF=，BAE CAF∠=∠，45,EAD∠=45,BAE CAD∴∠+∠=45,CAF CAD∴∠+∠=即45.DAF∠=EAD DAF∠=∠，从而得到.AED AFD≌()2由△AED AFD≌得到ED FD=，再证明90DCF∠=︒，利用勾股定理即可得出结论.()3过点A作AH BC⊥于H,根据等腰三角形三线合一得，14.2AH BH BC===1DH BH BD=-=或7,DH BH BD=+=求出AD的长，即可求得2DE.试题解析：()1ABE AFC≌，AE AF=，BAE CAF∠=∠，45,EAD∠=90,BAC∠=45,BAE CAD∴∠+∠=45,CAF CAD∴∠+∠=即45.DAF∠=在AED和AFD中，{AF AEEAF DAEAD AD，=∠=∠=.AED AFD∴≌()2AED AFD≌，ED FD∴=，,90.AB AC BAC=∠=︒45B ACB∴∠=∠=︒，45ACF ，∠=︒ 90.BCF ∴∠=︒设.DE x =,9.DF DE x CD x ===- 3.FC BE ==222,FC DC DF +=()22239.x x ∴+-=解得： 5.x =故 5.DE = ()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得，1 4.2AH BH BC === 1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+= 22217AD AH DH =+=或65.22234DE AD ==或130.点睛：D 是斜边BC 所在直线上一点,注意分类讨论.5．已知：平面直角坐标系中，点A （a ，b ）的坐标满足|a ﹣b|+b 2﹣8b+16＝0．（1）如图1，求证：OA 是第一象限的角平分线；（2）如图2，过A 作OA 的垂线，交x 轴正半轴于点B ，点M 、N 分别从O 、A 两点同时出发，在线段OA 上以相同的速度相向运动（不包括点O 和点A ），过A 作AE⊥BM 交x 轴于点E ，连BM 、NE ，猜想∠ONE 与∠NEA 之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，F 是y 轴正半轴上一个动点，连接FA ，过点A 作AE⊥AF 交x 轴正半轴于点E ，连接EF ，过点F 点作∠OFE 的角平分线交OA 于点H ，过点H 作HK⊥x 轴于点K ，求2HK+EF 的值．【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 （3）8【解析】【分析】（1）过点A 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，则AN ＝AM,根据非负数的性质求出a 、b 的值即可得结论；（2）如图2，过A 作AH 平分∠OAB ，交BM 于点H ，则△AOE ≌△BAH ，可得AH ＝OE ，由已知条件可知ON=AM ，∠MOE ＝∠MAH ，可得△ONE ≌△AMH ，∠ABH ＝∠OAE ，设BM 与NE 交于K ，则∠MKN ＝180°﹣2∠ONE ＝90°﹣∠NEA ，即2∠ONE ﹣∠NEA ＝90°； （3）如图3，过H 作HM ⊥OF ，HN ⊥EF 于M 、N ，可证△FMH ≌△FNH ，则FM ＝FN ，同理：NE ＝EK ，先得出OE+OF ﹣EF ＝2HK ，再由△APF ≌△AQE 得PF ＝EQ ，即可得OE+OF ＝2OP ＝8，等量代换即可得2HK+EF 的值．【详解】解：（1）∵|a ﹣b|+b 2﹣8b+16＝0∴|a ﹣b|+（b ﹣4）2＝0∵|a ﹣b|≥0，（b ﹣4）2≥0∴|a ﹣b|＝0，（b ﹣4）2＝0∴a ＝b ＝4过点A 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，则AN ＝AM∴OA 平分∠MON即OA 是第一象限的角平分线（2）过A 作AH 平分∠OAB ，交BM 于点H∴∠OAH ＝∠HAB ＝45°∵BM ⊥AE∴∠ABH ＝∠OAE 在△AOE 与△BAH 中OAE ABH OA ABAOE BAH ＝＝∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩， ∴△AOE ≌△BAH （ASA ）∴AH ＝OE在△ONE 和△AMH 中OE AH NOE MAH ON AM =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝， ∴△ONE ≌△AMH （SAS ）∴∠AMH ＝∠ONE设BM 与NE 交于K∴∠MKN ＝180°﹣2∠ONE ＝90°﹣∠NEA∴2∠ONE ﹣∠NEA ＝90°（3）过H 作HM ⊥OF ，HN ⊥EF 于M 、N可证：△FMH ≌△FNH （SAS ）∴FM ＝FN同理：NE ＝EK∴OE+OF ﹣EF ＝2HK过A 作AP ⊥y 轴于P ，AQ ⊥x 轴于Q可证：△APF ≌△AQE （SAS ）∴PF ＝EQ∴OE+OF ＝2OP ＝8∴2HK+EF ＝OE+OF ＝8【点睛】本题考查非负数的性质，平面直角坐标系中点的坐标，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质.6．如图，在平面直角坐标系中，A 、B 坐标为()6,0、()0,6，P 为线段AB 上的一点．（1）如图1，若P 为AB 的中点，点M 、N 分别是OA 、OB 边上的动点，且保持AM ON =，则在点M 、N 运动的过程中，探究线段PM 、PN 之间的位置关系与数量关系，并说明理由．（2）如图2，若P 为线段AB 上异于A 、B 的任意一点，过B 点作BD OP ⊥，交OP 、OA 分别于F 、D 两点，E 为OA 上一点，且PEA BDO =∠∠，试判断线段OD 与AE 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）PM=PN ，PM ⊥PN ，理由见解析；（2）OD=AE ，理由见解析【解析】【分析】（1）连接OP ．只要证明△PON ≌△PAM 即可解决问题；（2）作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ．由△DBO ≌△GOA ，推出OD=AG ，∠BDO=∠G ，再证明△PAE ≌△PAG 即可解决问题；【详解】（1）结论：PM=PN ，PM ⊥PN ．理由如下：如图1中，连接OP ．∵A 、B 坐标为（6，0）、（0，6），∴OB=OA=6，∠AOB=90°，∵P 为AB 的中点，∴OP=12AB=PB=PA ，OP ⊥AB ，∠PON=∠PAM=45°， ∴∠OPA=90°，在△PON 和△PAM 中， ON AM PON PAM OP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PON ≌△PAM （SAS ），∴PN=PM ，∠OPN=∠APM ，∴∠NPM=∠OPA=90°，∴PM ⊥PN ，PM=PN ．（2）结论：OD=AE ．理由如下：如图2中，作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ．∵BD ⊥OP ，∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°，∴∠AOG=∠DBO ，∵OB=OA ，∴△DBO ≌△GOA ，∴OD=AG ，∠BDO=∠G ，∵∠BDO=∠PEA ，∴∠G=∠AEP ，在△PAE 和△PAG 中，AEP G PAE PAG AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PAE ≌△PAG （AAS ），∴AE=AG ，∴OD=AE ．【点睛】考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．7．在ABC 中，AB AC =，点D 在BC 边上，且60,ADB E ∠=︒是射线DA 上一动点(不与点D 重合，且DA DB ≠)，在射线DB 上截取DF DE =，连接EF．()1当点E 在线段AD 上时，①若点E 与点A 重合时，请说明线段BF DC =；②如图2，若点E 不与点A 重合，请说明BF DC AE =+；()2当点E 在线段DA 的延长线上()DE DB >时，用等式表示线段,,AE BF CD 之间的数量关系(直接写出结果，不需要证明)．【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）BF ＝AE-CD【解析】【分析】（1）①根据等边对等角，求到B C∠=∠，再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到ADF∆是等边三角形，之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到120AFB ADC∠=∠=︒，推出ABF ACD∆∆≌，根据全等三角形的性质即可得出结论；②过点A做AG∥EF交BC于点G，由△DEF为等边三角形得到DA＝DG，再推出AE＝GF，根据线段的和差即可整理出结论；（2）根据题意画出图形，作出AG，由（1）可知，AE=GF，DC=BG，再由线段的和差和等量代换即可得到结论．【详解】（1）①证明：AB AC=B C∴∠=∠,60DF DE ADB=∠=︒，且E与A重合，ADF∴∆是等边三角形60ADF AFD∴∠=∠=︒120AFB ADC∴∠=∠=︒在ABF∆和ACD∆中AFB ADCB CAB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABF ACD∴∆∆≌BF DC∴=②如图2，过点A做AG∥EF交BC于点G，∵∠ADB＝60°DE＝DF∴△DEF为等边三角形∵AG∥EF∴∠DAG＝∠DEF＝60°，∠AGD＝∠EFD＝60°∴∠DAG＝∠AGD∴DA＝DG∴DA－DE＝DG－DF，即AE＝GF由①易证△AGB≌△ADC∴BG＝CD∴BF＝BG＋GF＝CD＋AE（2）如图3，和（1）中②相同，过点A做AG∥EF交BC于点G，由（1）可知，AE=GF ，DC=BG ，BF CD BF BG GF AE ∴+=+==故BF AE CD =-．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．8．（1）如图（a ）所示点D 是等边ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方作等边DCF ，连接AF ．你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明．（2）如图（b ）所示当动点D 运动至等边ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？（直接写出结论）（3）①如图（c ）所示，当动点D 在等边ABC 边BA 上运动时（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方、下方分别作等边DCF 和等边DCF '，连接AF 、BF '，探究AF 、BF '与AB 有何数量关系？并证明．②如图（d ）所示，当动点D 在等边ABC 边BA 的延长线上运动时，其他作法与（3）①相同，①中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明．【答案】（1）AF=BD ，理由见解析；（2）AF=BD ，成立；（3）①AF BF AB '+=，证明见解析；②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+，理由见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS 可证得BCD ACF △≌△，然后由全等三角形的对应边相等知AF BD = ．（2）通过证明BCD ACF △≌△，即可证明AF BD =．（3）①'AF BF AB += ，利用全等三角形BCD ACF △≌△的对应边BD AF = ，同理'BCF ACD △≌△ ，则'BF AD = ，所以'AF BF AB +=；②①中的结论不成立，新的结论是'AF AB BF =+ ，通过证明BCF ACD △≌△，则'BF AD =（全等三角形的对应边相等），再结合（2）中的结论即可证得'AF AB BF =+ ．【详解】（1）AF BD =证明如下：ABC 是等边三角形，BC AC ∴=，60BCA ︒∠=．同理可得：DC CF =，60DCF ︒∠=．BCA DCA DCF DCA ∴∠-∠=∠-∠．即BCD ACF ∠=∠．BCD ACF ∴△≌△．AF BD ∴=．（2）证明过程同（1），证得BCD ACF △≌△，则AF BD =（全等三角形的对应边相等），所以当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF BD =依然成立．（3）①AF BF AB '+=证明：由（1）知，BCD ACF △≌△．BD AF ∴=．同理BCF ACD '△≌△．BF AD '∴=．AF BF BD AD AB '∴+=+=．②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+；BC AC =，BCF ACD '∠=∠，F C DC '=，BCF ACD '∴△≌△．BF AD '∴=．又由（2）知，AF BD =．AF BD AB AD AB BF '∴==+=+．即AF AB BF '=+．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质、全等三角形的判定定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．9．如图，在ABC ∆中，5BC = ，高AD 、BE 相交于点O , 23BD CD =，且AE BE = . (1)求线段 AO 的长;(2)动点P从点O出发，沿线段OA以每秒 1 个单位长度的速度向终点A运动，动点Q 从点B出发沿射线BC以每秒 4 个单位长度的速度运动，,P Q两点同时出发，当点P到达A点时，,P Q两点同时停止运动.设点P的运动时间为t秒，POQ∆的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围;(3)在(2)的条件下，点F是直线AC上的一点且CF BO=.是否存在t值，使以点,,B O P为顶点的三角形与以点,,F C Q为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条件的t值; 若不存在，请说明理由.【答案】（1）5；（2）①当点Q在线段BD上时，24QD t=-，t的取值范围是12t <<；②当点Q在射线DC上时，42QD t=-，，t的取值范围是152t<≤；（3）存在，1t=或53.【解析】【分析】（1）只要证明△AOE≌△BCE即可解决问题；（2）分两种情形讨论求解即可①当点Q在线段BD上时，QD=2-4t，②当点Q在射线DC上时，DQ=4t-2时；（3）分两种情形求解即可①如图2中，当OP=CQ时，BOP≌△FCQ．②如图3中，当OP=CQ时，△BOP≌△FCQ；【详解】解：（1）∵AD是高，∴90ADC∠=∵BE是高，∴90AEB BEC∠=∠=∴90EAO ACD∠+∠=，90EBC ECB∠+∠=，∴EAO EBC∠=∠在AOE∆和BCE∆中，EAO EBCAE BEAEO BEC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AOE∆≌BCE∆∴5AO BC==；（2）∵23BD CD =，=5BC ∴=2BD ，=3CD ，根据题意，OP t =，4BQ t =，①当点Q 在线段BD 上时，24QD t =-，∴21(24)22S t t t t =-=-+，t 的取值范围是102t <<. ②当点Q 在射线DC 上时，42QD t =-， ∴21(42)22S t t t t =-=-，t 的取值范围是152t <≤ （3）存在． ①如图2中，当OP=CQ 时，∵OB=CF ，∠POB=∠FCQ ，∴△BOP ≌△FCQ ．∴CQ=OP ，∴5-4t ═t ，解得t=1，②如图3中，当OP=CQ 时，∵OB=CF ，∠POB=∠FCQ ，∴△BOP ≌△FCQ ．∴CQ=OP ，∴4t-5=t ，解得t=53． 综上所述，t=1或53s 时，△BOP 与△FCQ 全等． 【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．综合与实践：我们知道“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等”.但是，乐乐发现：当这两个三角形都是锐角三角形时，它们会全等.（1）请你用所学知识判断乐乐说法的正确性.如图，已知ABC ∆、111A B C ∆均为锐角三角形，且11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠. 求证：111ABC A B C ∆∆≌.（2）除乐乐的发现之外，当这两个三角形都是______时，它们也会全等.【答案】（1）见解析；（2）钝角三角形或直角三角形.【解析】【分析】（1）过B 作BD ⊥AC 于D ，过B 1作B 1D 1⊥B 1C 1于D 1，得出∠BDA=∠B 1D 1A 1=∠BDC=∠B 1D 1C 1=90°，根据SAS 证△BDC ≌△B 1D 1C 1，推出BD=B 1D 1，根据HL 证Rt △BDA ≌Rt △B 1D 1A 1，推出∠A=∠A 1，根据AAS 推出△ABC ≌△A 1B 1C 1即可．（2）当这两个三角形都是直角三角形时，直接利用HL 即可证明；当这两个三角形都是钝角三角形时，与（1）同理可证.【详解】（1）证明：过点B 作BD AC ⊥于D ，过1B 作1111B D A C ⊥于1D ，则11111190BDA B D A BDC B D C ∠=∠=∠=∠=︒.在BDC ∆和111B D C ∆中，1C C ∠=∠，111BDC B D C ∠=∠，11BC B C =，∴111BDC B D C ∆∆≌，∴11BD B D =.在Rt BDA ∆和111Rt B D A ∆中，11AB A B =，11BD B D =，∴111Rt Rt (HL)BDA B D A ∆∆≌，∴1A A ∠=∠.在ABC ∆和111A B C ∆中，1C C ∠=∠，1A A ∠=∠，11AB A B =，∴111(AAS)ABC A B C ∆∆≌.（2）如图，当这两个三角形都是直角三角形时，∵11AB A B =，11BC B C =，190C C ∠==∠︒.∴Rt ABC ∆≌111Rt A B C ∆（HL ）；∴当这两个三角形都是直角三角形时，它们也会全等；如图，当这两个三角形都是钝角三角形时，作BD ⊥AC ，1111B D A C ⊥，与（1）同理，利用AAS 先证明111BDC B D C ∆∆≌，得到11BD B D =，再利用HL 证明111Rt Rt BDA B D A ∆∆≌，得到1A A ∠=∠，再利用AAS 证明111ABC A B C ∆∆≌；∴当这两个三角形都是钝角三角形时，它们也会全等；故答案为：钝角三角形或直角三角形.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法.。