全等三角形证实经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD延伸AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD 是整数,则AD=52. 已知：D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证：12CD AB3. 已知：BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F 是CD 中点,求证：∠1=∠2证实：衔接BF 和EF. 因为AD BCBC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF. 所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边). 所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF. 衔接BE. 在三角形BEF 中,BF=EF. 所以 ∠EBF=∠BEF. 又因为 ∠ABC=∠AED. 所以 ∠ABE=∠AEB. 所以 AB=AE. 在三角形ABF 和三角形AEF 中, AB=AE,BF=E F, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF. 所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等. 所以∠BAF=∠EAF (∠1=∠2).4. 已知：∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证：EF=AC 证实： 过E 点,作EG//AC,交AD 延伸线于G则∠DEG=∠DCA,∠DGE=∠2 又∵CD=DE ∴⊿ADC≌⊿GDE （AAS ） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1 ∵∠1=∠2 ∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知：AD 等分∠BAC,AC=AB+BD,求证：∠B=2∠C证实： 在AC 上截取AE=AB,衔接ED ∵AD 等分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB,AD=AD ∴⊿AED≌⊿ABD （SAS ） ∴∠AED=∠B,DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知：AC 等分∠BAD,CE ⊥AB,∠B+∠D=180°,求证：AE=AD+BE 证实： 在AE 上取F,使EF ＝EB,衔接CF 因为CE⊥AB 所以CD B AB AC DF 2 1 E∠CEB＝∠CEF＝90° 因为EB ＝EF,CE ＝CE, 所以△CEB≌△CEF 所以∠B＝∠CFE 因为∠B＋∠D＝180°,∠CFE＋∠CFA＝180° 所以∠D＝∠CFA 因为AC 等分∠BAD 所以∠DAC＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC≌△AFC（SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE12. 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC,BE.CE 分离等分∠ABC.∠BCD,且点E 在AD 上.求证：BC=AB+DC.证实:在BC 上截取BF=BA,衔接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A; AB 平行于CD,则:∠A+∠D=180°; 又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D; 又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD. 所以,BC=BF+FC=AB+CD.13.已知：AB//ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,求证：∠F=∠C D CB A FEAB//ED,AE//BD 推出AE=BD,又有AF=CD,EF=BC所以三角形AEF 全等于三角形DCB,所以:∠C=∠F14. 已知：AB=CD,∠A=∠D,求证：∠B=∠C证实：设线段AB,CD 地点的直线交于E,（当AD<BC 时,E 点是射线BA,CD 的交点,当AD>BC时,E 点是射线AB,DC 的交点）.则： △AED 是等腰三角形. 所以：AE=DE 而AB=CD 所以：BE=CE (等量加等量,或等量减等量） 所以：△BEC 是等腰三角形 所以：角B=角C.15. P 是∠BAC 等分线AD 上一点,AC>AB,求证：PC-PB<AC-AB作B 关于AD 的对称点B‘,因为AD 是角BAC 的等分线,B'在线段AC 上（在AC 中央,因为AB 较短） 因为PC<PB’+B‘C,PC -PB’<B‘C,而B'C=AC-AB'=AC-AB,所以PC-PB<AC-AB16. 已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE ⊥AE,求证：AC-AB=2BE∠BAC=180-（∠ABC+∠C=180-4∠C∠1=∠BAC/2=90-2∠C∠ABE=90-∠1=2∠C延伸BE 交AC 于F A BC D PD A C B因为,∠1 =∠2,BE⊥AE所以,△ABF 是等腰三角形 AB=AF,BF=2BE ∠FBC=∠ABC -∠ABE=3∠C -2∠C=∠C BF=C F AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE17. 已知,E 是AB 中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC 作AG∥BD 交DE 延伸线于G AGE 全等BDE AG=BD=5 AGF∽CDFAF=AG=5所以DC=CF=218．（5分）如图,在△ABC 中,BD =DC ,∠1=∠2,求证：AD ⊥BC ．延伸AD 至H 交BC 于H; BD=DC;所以: ∠DBC=∠角DCB; ∠1=∠2;∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2; ∠ABC=∠ACB;所以: AB=AC;三角形ABD 全等于三角形ACD;∠BAD=∠CAD; AD 是等腰三角形的顶角等分线 所以: AD 垂直BC19．（5分）如图,OM 等分∠POQ ,MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ,A .B 为垂足,AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA因为AOM 与MOB 都为直角三角形.共用OM,且∠MOA=∠MOB F A EDCB所以MA=MB 所以∠MAB=∠MBA因为∠OAM=∠OBM=90度所以∠OAB=90-∠MAB ∠OBA=90-∠MBA 所以∠OAB=∠OBA20．（5分）如图,已知AD ∥BC ,∠PAB 的等分线与∠CBA 的等分线订交于E ,CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．证实： 做BE 的延伸线,与AP 订交于F 点, ∵PA//BC ∴∠PAB+∠CBA=180°,又∵,AE,BE 均为∠PAB 和∠CBA 的角等分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB 为直角三角形 在三角形ABF 中,AE⊥BF,且AE 为∠FAB 的角等分线∴三角形FAB 为等腰三角形,AB=AF,BE=EF 在三角形DEF 与三角形BEC 中, ∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB, ∴三角形DEF 与三角形BEC 为全等三角形,∴DF=BC ∴AB=A F=AD+DF=AD+BC21．（6分）如图,△ABC 中,AD 是∠CAB 的等分线,且AB =AC +CD ,求证：∠C =2∠B证实：在AB 上找点E,使AE=AC∵AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD∴△ADE≌△ADC.DE=CD,∠AED=∠C∵AB=AC+CD,∴DE=CD=AB -AC=AB-AE=BE∠B=∠EDB ∠C=∠B+∠EDB=2∠B22．（6分）如图①,E .F 分离为线段AC 上的两个动点,且DE ⊥AC 于E,BF ⊥AC 于F ,若AB =CD ,AF =CE ,BD 交AC 于点M ．PED C BA D C BA（1）求证：MB =MD ,ME =MF（2）当E .F 两点移动到如图②的地位时,其余前提不变,上述结论可否成立？若成立请赐与证实;若不成立请解释来由．剖析：经由过程证实两个直角三角形全等,即Rt△DEC≌Rt△BFA 以及垂线的性质得出四边形BEDF 是平行四边形．再依据平行四边形的性质得出结论．解答：解：（1）衔接BE,DF ． ∵DE⊥AC 于E,BF⊥AC 于F,, ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF, 在Rt△DEC 和Rt△BFA 中, ∵AF=CE,AB=CD, ∴Rt△DEC≌Rt△BFA, ∴DE=BF ． ∴四边形BEDF 是平行四边形． ∴MB=MD,ME=MF;（2）衔接BE,DF ． ∵DE⊥AC 于E,BF⊥AC 于F,, ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF, 在Rt△DEC 和Rt△BFA 中, ∵AF=CE,AB=CD, ∴Rt△DEC≌Rt△BFA, ∴DE=BF ． ∴四边形BEDF 是平行四边形． ∴MB=MD,ME=MF．23．（7分）已知：如图,DC ∥AB ,且DC =AE ,E 为AB 的中点,（1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）不雅看图前,在不添帮助线的情形下,除△EBC 外,请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出成果,不请求证实）：(1)DC∥AE,且DC=AE,所以四边形AECD 是平行四边形.于是知AD=EC,且∠EAD=∠BEC.由AE=BE,所以△AED≌△EBC.O ED C B A（2）△AEC.△ACD.△ECD 都面积相等.24．（7分）如图,△ABC 中,∠BAC =90度,AB =AC ,BD 是∠ABC 的等分线,BD 的延伸线垂直于过C 点的直线于E ,直线CE 交BA 的延伸线于F ．求证：BD =2CE ． 证实：延伸BA.CE,两线订交于点 F ∵BE⊥CE ∴∠BEF=∠BEC=90° 在△BEF 和△BEC 中∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC∴△BEF≌△BEC(ASA) ∴EF=EC ∴CF=2CE∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90° 又∵∠ADB=∠CDE ∴∠ABD=∠ACF 在△ABD 和△ACF 中 ∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90° ∴△ABD≌△ACF(ASA) ∴BD=CF ∴BD=2CE25.（10分）如图：DF=CE,AD=BC,∠D=∠C.求证：△AED ≌△BFC.26.（10分）如图：AE.BC 交于点M,F 点在AM 上,BE ∥CF,BE=CF.求证：AM 是△ABC 的中线.证实： ∵BE‖CF∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM ∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴BM=CM ∴AM 是△ABC 的中线.27.（10分）如图：在△ABC 中,BA=BC,D 是AC 的中点.求证：BD ⊥AC.FED C B AM F E CBA三角形ABD 和三角形BCD 的三条边都相等,它们全等,所以角ADB和角CDB 相等,它们的和是180度,所以都是90度,BD 垂直AC28.（10分）AB=AC,DB=DC,F 是AD 的延伸线上的一点.求证：BF=CF证实：在△ABD 与△ACD 中AB=AC BD=DCAD=AD∴△ABD≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC 在△BDF 与△FDC 中 BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF∴△FBD≌△FCD ∴BF=FC29.（12分）如图：AB=CD,AE=DF,CE=FB.求证：AF=DE.因为AB=DC AE=DF, CE=FBCE+EF=EF+FB 所以三角形ABE=三角形CDF因为 角DCB=角ABF AB=DC BF=CE 三角形ABF=三角形CDE 所以AF=DE 30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD ,如图所示,个中AB ∥CD ,在AB ,CD ,BC 三段路旁各有一只小石凳E ,F ,M ,且BE ＝CF ,M 在BC 的中点,试解释三只石凳E ,F ,M 正好在一条直线上.证： ∵AB 平行CD （已知） ∴∠B=∠C（两直线平行,内错角相等） ∵M 在BC 的中点（已知） ∴EM=FM（中点界说） 在△BME DCB A FD CB A F E DC BA和△CMF 中 BE=CF （已知） ∠B=∠C （已证） EM=FM （已证） ∴△BME 全等与△CMF（SAS ） ∴∠EMB=∠FMC（全等三角形的对应角相等）∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质） ∴E,M,F 在统一向线上31．已知：点A.F.E.C 在统一条直线上, AF ＝CE,BE∥DF,BE＝DF ．求证：△ABE≌△CDF．证实： ∵AF=CE ∴AF+EF=CE+EF ∴AE=CF∵BE//DF ∴∠BEA=∠DFC 又∵BE=DF∴⊿ABE≌⊿CDF（SAS ）32.已知：如图所示,AB ＝AD,BC ＝DC,E.F 分离是DC.BC 的中点,求证： AE ＝AF.贯穿连接BD,得到等腰三角形ABD 和等腰三角形BDC,由等腰△两底角相等得：角ABC=角ADC 在联合已知前提证得：△ADE ≌△ABF得AE=AF 33．如图,在四边形ABCD 中,E 是AC 上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6．因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC. 又因为AC 是公共边,所以AAS==>三角形ADC 全等于三角形ABC. 所以BC 等于DC,角3等于角4,EC=EC 三角形DEC 全等 DA F E 654321E D CB A于三角形BEC 所以∠5=∠634．已知AB ∥DE ,BC ∥EF ,D ,C 在AF 上,且AD ＝CF ,求证：△ABC ≌△DEF ．因为D,C 在AF 上且AD=CF 所以AC=DF 又因为AB 平行DE,BC 平行EF 所以角A+角EDF,角BCA=角F （两直线平行,内错角相等） 然后SSA （角角边）三角形全等35．已知：如图,AB =AC ,BD AC ,CE AB ,垂足分离为D .E ,BD .CE 订交于点F ,求证：BE =CD ．证实：因为 AB=AC, 所以∠EBC=∠DCB 因为 BD⊥AC,CE⊥AB 所以 ∠BEC=∠CDB BC=CB (公共边) 则有 三角形EBC 全等于三角形DCB 所以 BE ＝CD36、如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的等分线,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F .求证：DE =DF ．AAS 证△ＡＤＥ≌△ADF37.已知：如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE ．若AB =5 ,求AD 的长？ 角C=角E=90度 角B=角EAD=90度-角BACBC=AE A C B DE F A EDC FD C B A E△ABC ≌△DAEAD=AB=538．如图：AB=AC,ME ⊥AB,MF ⊥AC,垂足分离为E.F,ME=MF.求证：MB=MC证实∵AB=AC∴△ABC 是等腰三角形 ∴∠B=∠C又∵ME=MF,△BEM 和△CEM 是直角三角形∴△BEM 全等于△CEM ∴MB=MC39.如图,给出五个等量关系：①AD BC =②AC BD =③CE DE =④D C ∠=∠⑤DAB CBA ∠=∠．请你以个中两个为前提,另三个中的一个为结论,推出一个准确的结论（只需写出一种情形）,并加以证实．已知：求证：证实：已知1,2 求证4 因为AD=BC AC=BD,在四边形ADBC 中,连AB 所以△ADB 全等于△BCA 所以角D=角C以4,5为前提,1为结论. 即：在四边形ABCD 中,∠D=∠C,∠A=∠B,求证：AD=BC 因为 ∠A+∠B+∠C+∠D=360∠D=∠C,∠A=∠B, 所以 2(∠A+∠D)=360°, ∠A+∠D=180°, 所以 AB//DC40．在△ABC 中,︒=∠90ACB ,BC AC =,直线MN 经由点C ,且C A B CＤ ＥMN AD ⊥于D ,MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 扭转到图1的地位时,求证： ①ADC ∆≌CEB ∆;②BE AD DE +=;(2)当直线MN 绕点C 扭转到图2的地位时,（1）中的结论还成立吗？若成立,请给出证实;若不成立,解释来由.（1）证实：∵∠ACB=90°, ∴∠ACD+∠BCE=90°, 而AD⊥MN 于D,BE⊥MN 于E, ∴∠ADC=∠CEB=90°,∠BCE+∠CBE=90°, ∴∠ACD=∠CBE． 在Rt△ADC 和Rt△CEB中,{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBE AC=CB, ∴Rt△ADC≌Rt△CEB （AAS ）, ∴AD=CE,DC=BE, ∴DE=DC+CE=BE+AD;（2）不成立,证实：在△ADC 和△CEB中,{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBE AC=CB, ∴△ADC≌△CEB （AAS ）, ∴AD=CE,DC=BE, ∴DE=CE -CD=AD-BE;41．如图所示,已知AE ⊥AB,AF ⊥AC,AE=AB,AF=AC.求证：（1）EC=BF;（2）EC ⊥BF（1）证实;因为AE 垂直AB 所以角EAB=角EAC+角CAB=90度 因为AF 垂直AC 所以角CAF=角CAB+角BAF=90度 所以角EAC=角BAF 因为AE=AB AF=AC 所以三角形EAC和三角形FAB 全等 所以EC=BF 角ECA=角F（2）(2)延伸FB 与EC 的延伸线交于点G 因为角ECA=角F(已证） 所以角G=角CAF 因为角CAF=90度 所以EC 垂直BF42．如图：BE ⊥AC,CF ⊥AB,BM=AC,CN=AB.求证：（1）AM=AN;A E B M C F（2）AM ⊥AN.证实： （1） ∵BE⊥AC,CF⊥AB ∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90° ∴∠ABM=∠ACN ∵BM=AC,CN=AB ∴△ABM≌△NAC ∴AM=AN（2） ∵△ABM≌△NAC ∴∠BAM=∠N ∵∠N+∠BAN=90° ∴∠BAM+∠BAN=90° 即∠MAN=90° ∴AM⊥AN43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC ∥EF 衔接BF.CE,证实△ABF 全等于△DEC（SAS ）,然后经由过程四边形BCEF 对边相等的证得平行四边形BCEF从而求得BC 平行于EF44．如图,已知AC ∥BD,EA.EB 分离等分∠CAB 和∠DBA,CD 过点E,则AB 与AC+BD 相等吗？请解释来由在AB 上取点N ,使得AN=AC∠CAE=∠EAN ,AE 为公共边,所以三角形CAE 全等三角形EAN所以∠ANE=∠ACE 又AC 平行BD所以∠ACE+∠BDE=180 而∠ANE+∠ENB=180所以∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBN BE 为公共边,所以三角形EBN 全等三角形EBD F C AM N E1234所以BD=BN 所以AB=AN+BN=AC+BD45.（10分） 如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．证实： ∵AD 是中线 ∴BD=CD∵DF=DE,∠BDE=∠CDF ∴△BDE≌△CDF∴∠BED=∠CFD ∴BE‖CF46.(10分)已知：如图,AB ＝CD ,DE ⊥AC ,BF⊥AC ,E ,F 是垂足,DE BF ．求证：AB CD ∥．证实：∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠DEC=∠AFB=90°, 在Rt△DEC 和Rt△BFA 中,DE=BF,AB=CD, ∴Rt△DEC≌Rt△BFA, ∴∠C=∠A, ∴AB∥CD．47.(10分)如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证：AB=CD【待定】48.(10分)如图,已知AC ⊥AB,DB ⊥AB,AC ＝BE,AE ＝BD,试猜测线段CE 与DE 的大小与地位关系,并证实你的结论.结论：CE>DE.当∠AEB 越小,则DE 越小. 证实： 过D 作AE 平行线与AC 交于F,衔接FB 由已知前提知AFDE 为平行四边形,ABEC 为矩形 ,且△DFB 为等腰三角形. RT△BAE 中,∠AEB 为锐角,即∠AEB<90° AC E DB A D EC B F∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90° △DFB 中∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45° RT△AFB 中,∠FBA=90°-∠DBF <45° ∠AFB=90°-∠FBA>45° ∴AB>AF ∵AB=CE AF=DE ∴CE>DE49.(10分)如图,已知AB ＝DC,AC ＝DB,BE ＝CE,求证：AE ＝DE. 先证实△ABC ≌△BDC 的出角ABC=角DCB 在证实△ABE ≌△DCE得出AE=DE 50．如图9所示,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB ＝90°,AD 是BC 边上的中线,过C 作AD 的垂线,交AB 于点E,交AD 于点F,求证：∠ADC ＝∠BDE ．证实：作CG 等分∠ACB 交AD 于G∵∠ACB=90° ∴∠ACG= ∠DCG=45°∵∠ACB=90° AC=BC ∴∠B=∠BAC=45° ∴∠B=∠DCG=∠ACG ∵CF⊥AD ∴∠ACF+∠DCF=90° ∵∠ACF+∠CAF=90°∴∠CAF=∠DCF ∵ AC=CB ∠ACG=∠B ∴△ACG≌△CBE ∴CG=BE ∵∠DCG=∠B CD=BD ∴△CDG ≌△BDE ∴∠ADC=∠BDE AB EC DA B C D E F 图9。
