最新人教版八年级数学上册 第十一章“镶嵌”教案

第十一章 课题学习 镶嵌学习目标1．平面图形的镶嵌 2、多边形镶嵌的条件重点：平面镶嵌的条件 难点：一些不规则的多边形覆盖平面的探究自 主 学 习知识链接：大家见过美丽的地板图案吗?它们都是有什么基本图形拼出来的呢?为什么用正方形和正六边形呢?用一般的四边形或六边形可以吗?其他的多边形能行吗?本节课将揭开这个秘密. 阅读感知：阅读教材，找出重点1、用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)的问题2、研究哪些多边形能镶嵌成平面图案,并思考为什么会出现这种结果.合 作 研 习交 流 探 究：探究—：让学生分别用一些边长相等的正三角形,正方形,正五边形,正六边形.如果用其中一种正多边形镶嵌,哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形.(1)________、__________、___________都可以,_____________不可以.①由正三角形拼成的图案中,每个拼接点有_____个角,每个角都等于正三角形的内角为 ________°,六个角等于________°.②在正四边形拼接点处有____个角.每个角都等于____°,四个角的和等于___°③在由正六边形拼成的图案中,每个拼接点处有____个角,每个角都等于___°,三个角的和 等于______°.(2)规律:在用同一种正多边形进行覆盖时,关键是看正多边形的一个内角,当周角360是一个内角的______倍时,即一个内角的正整数倍是360时,这种正多边形可以覆盖平面,否则不可以.探究二：用刚才边长相等的正三角形,正方形,正五边形,正六边形中的两种正多边形镶嵌,哪两种正多边形能镶嵌成一个平面图案?(1)正三角形和正方形能覆盖平面.∵ 用_____个正三角形和______个正方形能覆盖平面.(2)正三角形和正六边形能覆盖平面.∵用_____个正三角形和______个正六边形能覆盖平面.(3) 其他情况呢？4.平面镶嵌的条件是:(1) 用同一种正多边形镶嵌平面的条件是:当正多边形的一个内角的______倍是______度时.这种正多边形可以覆盖平面.360____________=+∴360______________=+∴(2)用两种边长相等的正多边形镶嵌平面的条件是设两钟正多边形的内角分别为在一般的多边形中,只有________和_________可以覆盖平面.由此可知:在多边形中,当多边形的内角和的整数倍为_______时,可以镶嵌平面.拓展提升内化训练：1.一幅精美丽的图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中有两个正八边形，那么另一个是（）A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形2.阳光中学阅览室在装修过程中，准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖镶嵌地面.在每个顶点的周围，正方形、正三角形地砖的块数可以分别是（）A.2，2B.2，3C.1，2D.2，13.幼儿园的小朋友们打算选择一种形状、大小都相同的多边形塑胶板铺活动室的地面，为了保证铺地时既无缝隙又不重叠，请你告诉他们下面形状的塑胶板可以选择的是（）①三角形②四边形③正五边形④正六边形⑤正八边形A.③④⑤B.①②④C.①④D.①③④⑤4.只用下列图形不能镶嵌的是（）A.三角形B.四边形C.正五边形D.正六边形5.如图11.4-1所示的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围第一层有六个白色正六边形，则第n层有________个白色正六边形.图11.4-1 图11.4-26.如图11.4-2①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图11.4-2②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图7.4-2④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有________个.7.工人师傅常把一批形状、大小完全相同，但不规则的四边形边角余料用来铺地板，按如图那样拼接四边形木块，就可不留空隙，拼成一片，你能说出其中的原因吗？.,,____________.,盖平面这两种正多边形可以覆有正整数满足时中的当nmβα。

人教版数学八年级上册第十一章
数学活动
---多边形的平面镶嵌
学习目的
1. 了解什么是平面镶嵌； 2. 知道多边形能进展平面镶嵌的两个条件； 3. 能判别某个正多边形或某几个正多边形能 否进展平面镶嵌； 4. 会求能平面镶嵌的多边形的个数．
1. 什么是平面镶嵌？ 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆 盖，这叫做用多边形覆盖平面〔或平面镶嵌〕.
课堂小结
1.平面镶嵌的两个条件: 1.同一拼接点处的各个角的和恰好等于周角360°;
2.相邻的角形，正四边形，正六边形. 3. 用两种边长相等的正多边形进展平面镶嵌的条件 用式子表示： ax+by=360 〔a，b为同一顶点处正多边形的个数，x, y分别为正多边 形的一个内角度数，a、b、x、y为正整数〕 4. 用一种外形、大小完全一样的恣意三角形、四边形也 能进展平面镶嵌.
镶嵌与艺术
作业
搜集一些其他用多边形镶嵌的平面图案，或者设 计出本人理想中的平面镶嵌图案。
留意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠.
协作探求
活动1：探求用边长一样的一种正多边形镶嵌
分别剪一些边长一样的正三角形，正方形， 正五边形，正六边形，正八边形，正十边形， 假设用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形 能镶嵌成一个平面图案。拼拼看。
正三角形的平面镶嵌
6个正三角形可以镶嵌
正方形的平面镶嵌
60a+120b=360
即 a +2b=6 所以 当a=2时，b=2；当a=4时，b=1. 答：需正三角形2个，正六边形2个或正三角形4个，正六边 形1个.
活动3：探求用边长一样的三种正多边形镶嵌
ax+by+cz=360
〔a、b 、c 为同一顶点处正多边形的个数，x、 y 、z 分别 为正多边形的一个内角度数，a、b、c、x、y、z为正整数〕

看一看
铺地板的学问
• 平面镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形 把平面的一部分完全覆盖,叫做平面镶 嵌.
探究1：仅用一种正多边形镶嵌，
哪些正多边形能单独镶嵌成一个平 面图案？
做一做： 正方形
正三角形
正六边形
用边长相同的正五边形能否镶嵌？
1 2
3
∠1+∠2+∠3=?
正三角形
能
6正方形能Fra bibliotek4(1)镶嵌的含义 (2)镶嵌成平面图案的条件是:多边形围绕 某一点的内角和为360° (3)任意一种三角形,任意一种四边形都能 镶嵌。
想一想
正方形和正八边 形能否镶嵌?
正三角形和正十 二边形能否镶嵌?
正八边形和正方形
90°
135°
135°
正十二边形和正三角形
60°
150° 150°
正方形和正六边形
3 1 2
4 3 1 2
探究3：
用几个形状、大小相同的任意三 角形能镶嵌成一个平面图案吗？四 边形呢？
小结:1通过本节课的学习你有哪些收获? 还有哪些疑惑?
正五边形
不能
正六边形
能
3
镶嵌满足的条件:
能铺满地面的多边形,围绕某 一点的内角和为（360° ）
探究2：用边长相等的两种正多边形
镶嵌，哪两种正多边形能镶嵌成一个平 面图案？
讨 论
正三角形和正方形
60°×3+90°×2=360°
正三角形和正六边形
60°×4 + 120°=360° 60°×2+120°×2=360°

数学活动一、内容和内容解析1．内容用正多边形和全等多边形进行平面镶嵌，探究用多边形完成平面镶嵌的条件．2．内容解析本节数学活动是让学生将多边形及其内角和知识应用于实际生活，尝试用数学知识来表述多边形完成平面镶嵌的条件，是多边形及其内角和知识的实际应用．这节课是运用多边形及其内角和的知识来表述多边形完成平面镶嵌的方法与条件．本节课的核心问题是学会选择多边形及多边形的个数进行平面镶嵌；活动形式是让学生动手实验，在实验操作中发现用什么样的多边形、用多少个才能完成平面镶嵌；活动所用的数学基础知识是多边形及其内角和知识．本节课从生活中的“铺地板”入手引入平面镶嵌的概念，通过学生动手实验，在实验操作与思考归纳中知道任意边长相等同种正三角形、正四边形或正六边形可以镶嵌平面；某些边长相等的两种正多边形也能进行平面镶嵌；一些全等三角形或四边形等也能进行平面镶嵌；从而归纳能进行平面镶嵌的多边形的特征并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计．基于以上分析，确定本节的教学重点：探究多边形镶嵌的条件．二、目标和目标解析1．目标(1)理解平面镶嵌的概念．(2)理解多边形能够平面镶嵌的条件；感受从特殊到一般，从简单到复杂的研究问题的思路与方法．(3)积极参加数学活动，在数学活动中培养敢于动手，合作交流，归纳反思，勇于质疑的品质；锻炼克服困难的意志，体验获得成功的乐趣，建立学好数学的信心，积累数学活动的一些基本经验．2．目标解析达成目标(1)的标志：学生能在欣赏美丽的装饰图案后结合教科书自学，说出平面镶嵌的意义；在问题的驱动下，利用自己制作的正多边形图片，产生设计和学习的欲望．达成目标(2)的标志：在实验操作活动中，让学生尝试解决问题，从特殊到一般，从简单到复杂，在解决问题中归纳提炼，获得数学结论．达成目标(3)的标志：学生对数学有好奇心和求知欲，在小组合作活动中积极思考，勇于质疑，敢于发表自己的想法．在自主探究数学活动的过程中，小组成员合作克服困难，解决数学问题，感受成功的快乐，建立学好数学的信心．积累数学活动的一些基本经验：提出问题→动手实践→寻求规律→归纳总结．学生经历发现问题、独立思考、猜想验证，归纳总结这些数学活动，提高应用意识和创新意识．三、教学问题诊断分析让学生从不同角度，运用不同方法探究平面镶嵌中隐含的数量关系及其规律，对学生来说具有一定的挑战性．本节课的教学难点：探究多边形镶嵌的条件．四、教学支持条件分析活动中需要用到边长为5cm的正三角形、正方形、正五边形、正六边形若干个以及全等的三角形(四边形)若干个．让学生按照规定的尺寸、统一的材料分组制作，并收集生活中的地板和墙面图案．这样即培养学生动手制作、收集信息的能力，又为活动课学习、探究作了准备．五、教学过程设计1．感受并理解平面镶嵌的概念问题 1 你见过的地板砖和墙面砖都有哪些形状？看到这些形状你有没有想过一些数学问题？师生活动：学生回答，教师用多媒体展示生活中的地板和墙面图案，带领学生领略生活中的镶嵌图案，而欣赏的同时，学生感受到一种特殊的数学美——镶嵌美，激发学生探索镶嵌的秘密，引入活动课题——镶嵌．设计意图：培养学生在欣赏美的过程中发现并提出数学问题的能力，培养问题意识．问题2 结合刚才欣赏的美丽图案，你能说说对镶嵌的理解吗？师生活动：学生尝试观察、分析、归纳这些图案的特征，在小组讨论后初步达成共识，理解平面镶嵌的意义．教师给予鼓励和评价，给出镶嵌的概念．设计意图：给学生自主学习、交流的空间，在适当的情境中教会学生学习，积累数学学习活动的经验．2．探究多边形能平面镶嵌的条件问题3 在边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形中取一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形可以进行平面镶嵌？师生活动：学生动手操作，尝试用一种正多边形进行拼接，讨论用一种正多边形进行镶嵌需要满足的条件．每组选一个代表，说明本组的探究过程，展示探究成果，其他组的成员可以进行补充或提出自己的疑问，最终得出用一种正多边形进行镶嵌的条件．(对于探究能力较强探究速度较快的小组，可以建议他们利用剩余的时间继续探究用两种正多边形镶嵌的条件)设计意图：通过研究用一种正多边形进行镶嵌的条件，使学生进一步了解平面镶嵌的含义，能够综合应用多边形内角和知识解决平面镶嵌问题，力图培养学生的动手能力、探究能力、问题意识和合作意识，积累活动的经验，获取解决问题的思想与方法．问题4 在边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形中取两种正多边形镶嵌，哪两种正多边形可以进行平面镶嵌？师生活动：学生动手操作，尝试用两种正多边形进行拼接，讨论用两种正多边形进行镶嵌需要满足的条件．每组选一个代表，说明本组的探究过程，展示探究成果，其他组的成员可以进行补充或提出自己的疑问．最终得出用两种正多边形进行镶嵌的条件．设计意图：将“用一种正多边形进行镶嵌”的问题研究清楚后，鼓励学生继续思考，通过改变正多边形的种数来类比学习用两种正多边形进行镶嵌的情形，从深度和广度上都有提升探究的空间，促进学生探究能力的发展和思维能力的提升．问题5 用形状、大小相同的三角形能否进行平面镶嵌？四边形呢？师生活动：学生动手操作，尝试用全等的三角形(四边形)进行拼接，讨论为什么用形状、大小相同的三角形(四边形)可以进行镶嵌．小组充分讨论后，展示探究成果．其他组的成员可以进行补充或提出自己的疑问．最终得出用一些多边形也可以进行平面镶嵌．设计意图：通过研究用任意的三角形、任意的四边形进行镶嵌的情形，拓宽研究的广度，体会从特殊到一般，从简单到复杂的研究问题的思路，挖掘研究的深度．3．小结教师与学生一起回顾本节课内容，并请学生回答以下问题：(1)解决本节课中的问题，用到了什么数学知识？(2)你能举出多边形镶嵌平面的例子，并指出为什么可以进行镶嵌吗？师生活动：学生回答，教师点评．设计意图：通过小结，使学生认识本节课内容与本章内容的联系，运用所学内容解释镶嵌现象．4．布置作业（1）欣赏下面两组美丽的图案，看看中间空缺处应补上什么图形才能完成平面镶嵌？A组：B组：（2）根据所学知识，请你设计一个正多边形镶嵌的图案．（3）回顾本节学习活动的过程，写一篇关于“镶嵌”知识的小论文．。