数学B版教学设计-第一册第二章第9课时-均值不等式及其应用1

均值不等式及其应用教学设计1. 引言嘿，大家好！今天咱们聊聊一个看似复杂，其实挺简单的数学话题——均值不等式。

别担心，我不是要让你们头疼，只是想让大家轻松地了解这个有趣的概念。

说到均值不等式，首先要明白它是啥。

简单来说，它就像是数学界的“公平游戏”，告诉我们不同的平均数之间的关系。

你们有没有发现，生活中其实随处可见均值的影子？比如，吃饭的时候，大家点的菜，最后账单一分，大家心里都算得明明白白的，这就是个平均数的例子啊！2. 均值不等式的基础2.1 什么是均值不等式？那么，什么是均值不等式呢？很简单，均值不等式告诉我们，如果我们把一些数相加，算出平均值后，再和其中的最大值和最小值进行比较，会发现一些有趣的事情。

比如说，如果你们有三个数字，像是3、5、7，算出平均数是5。

而这时候，你会发现5比3和7都要“处于中间”，这就是均值不等式的妙处。

它好比说，你这碗汤太咸了，得加点水，才能让味道更均衡。

2.2 均值不等式的种类均值不等式也分几种，比如算术平均数和几何平均数。

算术平均数就像是我们平时算的平均分，而几何平均数就有点像魔法了，它可以用来处理一些指数关系。

举个例子，如果你有两个数，想算它们的几何平均数，你就得先把它们相乘，然后开方。

这听起来有点复杂，但实际上，它能帮我们更好地理解一些数的关系，就像在跟朋友聊天，分享生活的点点滴滴一样。

3. 均值不等式的应用3.1 生活中的应用均值不等式可不止是在数学书上见到的概念，生活中到处都能用得上。

比如在购物的时候，我们常常会考虑性价比，也就是用价格和质量的“平均”来判断哪个商品更划算。

这样一来，我们的生活也变得更简单、更方便了，买东西也不至于像头猪一样乱撞。

还有啊，在制定计划的时候，我们常常会用到均值不等式，来帮助我们分配时间和资源。

3.2 教学中的应用在教学中，如何将均值不等式生动地传达给学生呢？首先，老师可以通过生活中的实例引入，比如用大家喜欢的游戏来做比喻，告诉他们在游戏中，获取最高分和最低分的关系，以及它们如何影响整体的表现。

【趣味数学】高中数学第9课时不等式性质应用趣题-均值不等式的应用教学案新人教版必修1[范文]第一篇：【趣味数学】高中数学第9课时不等式性质应用趣题-均值不等式的应用教学案新人教版必修1[范文]第9课时不等式性质应用趣题―均值不等式的应用教学要求：了解均值不等式在日常生活中的应用教学过程：一、情境引入；日常生活中常用的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式和平均值不等式。

前两类不等式的应用与其对应函数及方程的应用如出一辙，而平均值不等式在生产生活中起到了不容忽视的作用。

下面，我主要谈一下均值不等式和均值定理的应用。

在生产和建设中，许多与最优化设计相关的实际问题通常可应用平均值不等式来解决。

平均值不等式知识在日常生活中的应用，笔者虽未亲身经历，但从电视、报纸等新闻媒体及我们所做的应用题中不难发现，均值不等式和极值定理通常可有如下几方面的极其重要的应用：（表后重点分析“包装罐设计”问题）实践活动已知条件最优方案解决办法设计花坛绿地周长或斜边面积最大极值定理一经营成本各项费用单价及销售量成本最低函数、极值定理二车船票价设计航行里程、限载人数、票价最低用极值定理二求出速度、各项费用及相应最低成本，再由此比例关系计算出最低票价（票价=最低票价+ +平均利润）例1、包装罐设计问题1、“白猫”洗衣粉桶“白猫”洗衣粉桶的形状是等边圆柱（如右图所示），若容积一定且底面与侧面厚度一样，问高与底面半径是什么关系时用料最省（即表面积最小）？分析：容积一定=>лr h=V（定值）=>S=2лr +2лrh=2л(r +rh)= 2л(r +rh/2+rh/2)≥2л3(r h)/4 =3 2лV(当且仅当r =rh/2=>h=2r时取等号), ∴应设计为h=d的等边圆柱体.例2、“易拉罐”问题圆柱体上下第半径为R,高为h，若体积为定值V,且上下底厚度为侧面厚度的二倍，问高与底面半径是什么关系时用料最省（即表面积最小）？分析：应用均值定理，同理可得h=2d（计算过程请读者自己写出,本文从略）∴应设计为h=2d的圆柱体.第二篇：《一元一次不等式的应用》教学案第2课时一元一次不等式的应用学习目标：1.能根据实际问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单问题.2.初步体会一元一次不等式的应用价值，发展学生的分析问题和解决问题的能力.预习导学：自学指导：阅读教材第124至125页，完成下列问题(先独立完成，再小组讨论)知识探究问题1：某人问一位老师，他所教的班有多少名学生，老师说：“一半的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在学外语，还剩不足6位同学在操场上踢足球”.求这个班共有多少名学生？解：设这个班有学生x名.根据题意，得：111x-x-x-x<6，解得：x＜56.247xxx∵x，,都是正整数，247∴x 取2、4、7的最小公倍数，即x＝28.问题2：为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，A型设备的价格是每台12万元，B型设备的价格是每台10万元.经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元.请你设计该企业有几种购买方案.解：设购买污水处理设备A型x台，则B型为(10-x)台，依题意得：12x+10(10-x)≤105，解得：x≤2.5.因为x取非负整数，所以x取0、1、2.所以有三种购买方案：A型0台，B型10台；A型1台，B 型9台；A型2台，B型8台.变式：若企业每月生产的污水量为2 040吨，A型设备每月可处理污水240吨，B型机每月处理污水200吨，为了节约资金，应选择哪种方案？解：由题意得：240x+200(10-x)≥2 040，解得：x≥1.1 / 3所以x为1或2.当x=1时，购买资金为12×1+10×9=102万元当x=2时，购买资金为12×2+10×8=104万元又因为102<104 因此，为节约资金，应选购A型1台，B型9台.活动1 例题解析例12002年北京空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数之比达到55%，如果2008年这样的比值要超过70%，那么2008年空气质量良好的天数要比2002年至少增加多少？分析：1.2002年北京空气质量良好的天数是多少？2.用x表示2008年增加的空气质量良好的天数，则2008年北京空气质量良好的天数是多少？3.与x有关的哪个式子的值应超过70%？解：设2008年空气质量良好的天数比2002年增加x天.2002年有（365×0.55）天空气质量良好，2008年有(x+365×0.55)天空气质量良好，并且x+365⨯0.55>70%，366去分母，得x+200.75>256.2，移项，合并，得x>55.45.由x应为正整数，得x≥56.答：2008年要比2002年空气质量好的天数至少增加56天.例2某次知识竞赛共有20道题.每道题答对加10分，答错或不答均扣5分：小明要想得分超过90分，他至少要答对多少道题？解：设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为（20-x）.根据他的得分要超过90，得210x-5(20-x)>90，解这个不等式，得x>12.3由题意，小明至少要答对13道题.活动2 课堂小结列一元一次不等式解应用题的一般步骤：/ 3(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系；(2)设：设出适当的未知数；(3)列：根据题中的不等关系，列出不等式；(4)解：解所列的不等式，求得不等式的解集；(5)答：写出答案并检验是否符合题意.3 / 3第三篇：九年级数学中考一轮复习教学案：第8课时一次不等式(组)及其应用第8课时一次不等式（组）及其应用【复习目标】1．能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，探索并掌握不等式的基本性质．2．能运用不等式的基本性质解一元一次不等式（组），能在数轴上表示一元一次不等式的解集，会用数轴确定一元一次不等式组的解集．3．能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式或一元一次不等式组，解决简单的实际问题．【知识梳理】1．不等式的相关概念：(1)用“>”、“<”等不等号表示_______的式子，叫做不等式．(2)使不等式成立的_______的值叫做不等式的解．(3)使不等式成立的未知数的_______叫做不等式的解集．(4)求一个不等式的_______的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式． 2．不等式的性质：3．一元一次不等式：只含有_______个未知数，且未知数的次数是_______的不等式．4．一元一次不等式组：几个_______合在一起就组成一个一元一次不等式组．一般地，几个不等式的解集_______，叫做由它们组成的不等式组的解集．5．解一元一次不等式的基本步骤：(1)去分母．(2)________．(3)_ _______．(4)________．(5)系数化为1．在(1)、(5)的变形中要注意不等式的性质2、3的正确使用．6．求一元一次不等式组的解集，应先分别求出_______，再求出它们的_______部分，就得到一元一次不等式组的解集．7．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况(a⎧x>a(1)⎨的解集是x>b，即“大大取大”．，⎩x>b-1－2考点三一次不等式（组）的解法例3解不等式：5(x－2)＋8<6(x－1)＋7．提示本题是含括号的一元一次不等式，通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1等不难求得不等式的解集．⎧x-3+3≥x+1① ⎪例4解不等式组⎨2并把解集在数轴上表示出来．② ⎪1-3(x-1)<8-x⎩提示先求出每个不等式的解集，再找出解集的公共部分就是这个不等式组的解集．考点四确定不等式（组）的特殊解⎧⎪x+3≥2-x 例5解不等式组，并写出不等式组的整数解：⎨⎪⎩3(x-1)+1<2(x+1)提示先确定不等式组的解集，然后确定整数解．考点五利用不等式（组）的解集确定字母的值或取值范围① ②⎧1+x>a 例6 若关于x的不等式组⎨有解，则a的取值范围是()2x-4≤0⎩ A．a≤3 B．a<3 C．a<2 D．a≤2 提示已知不等式组有解，于是我们就先确定不等式组中每一个不等式的解集，再利用解集的意义确定实数a的取值范围．考点六一元一次不等式（组）的应用例7 为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．(1)若购进A、B两种树苗刚好用去1 220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．提示(1)假设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗(17－x)棵，利用购进A、B两种树苗刚好用去1 220元，结合单价，得出方程求解即可；(2)根据购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，可找出最省方案．⎧2x+3>3x⎪5．解不等式组⎨x+3x-11并求出它的整数解的和．-≥⎪62⎩36．为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，则需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，则需要800元．(1)购进A、B两种纪念品每件各需多少元？(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，则该商店共有几种进货方案？(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第(2)问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？第四篇：高三数学总复习 5.4 不等式的应用教学案新人教版必修1 §5.4不等式的应用一、基础知识导学1.利用均值不等式求最值：如果a1，a2∈R，那么+a+b≥ab.22.求函数定义域、值域、方程的有解性、判断函数单调性及单调区间，确定参数的取值范围等.这些问题一般转化为解不等式或不等式组，或证明不等式.3.涉及不等式知识解决的实际应用问题，这些问题大体分为两类：一是建立不等式解不等式；二是建立函数式求最大值或最小值.二、疑难知识导析不等式既属数学的基础知识，又是解决数学问题的重要工具，在解决函数定义域、值域、单调性、恒成立问题、方程根的分布、参数范围的确定、曲线位置关系的讨论、解析几何、立体几何中的最值等问题中有广泛的应用，特别是近几年来，高考试题带动了一大批实际应用题问世，其特点是：1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、税收、销售收入、市场信息”等，题目往往篇幅较长.2．函数模型除了常见的“正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数”等标准形式外，又出现了以“函数bby=ax+,y=ax2+,y=k[(a+b)x(c-ax)(d-bx)]”xx为模型的新的形式.三经典例题导讲 [例1]求y=x2+5x+42的最小值.错解：Θ y=x2+5x+42=x2+4+1x+42≥2x2+4⋅1x+42＝2 ∴ y的最小值为2.错因：等号取不到，利用均值定理求最值时“正、定、等”这三个条件缺一不可.正解：令t=x2+4,则t≥2,于是y=t+,(t≤2) 1t由于当t≥1时，y=t+51是递增的，故当t＝2即x=0时，y取最小值.2t22[例2]m为何值时，方程x+(2m+1)x+m－3=0有两个正根.⎧2m+1<0错解：由根与系数的关系得⎨2⇒m<-3，因此当m<-3时，原方程有两个正根.⎩m-3>0错因：忽视了一元二次方程有实根的条件，即判别式大于等于0.113⎧m≥-⎪4⎧∆=(2m+1)2-4(m2-3)≥0⎪⎪1⎪⇒⎨m<-正解：由题意：⎨2m+1<02⎪2⎪⎩m-3>0⎪m<-3或m>3⎪⎩⇒-1313≤m≤-3,因此当-≤m≤-3时，原方程有两个正根.44[例3]若正数x，y满足6x+5y=36，求xy的最大值．解：由于x，y为正数，则6x，5y也是正数，所以6x+5≥6x⋅5y=30xy 2当且仅当6x=5y时，取“=”号．因6x+5y=36，则30xy≤365454，即xy≤，所以xy的最大值为.255[例4] 已知：长方体的全面积为定值S，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．分析：经过审题可以看出，长方体的全面积S是定值．因此最大值一定要用S来表示．首要问题是列出函数关系式．设长方体体积为y，其长、宽、高分别为a，b，c，则y=abc．由于a+b+c不是定值，所以2肯定要对函数式进行变形．可以利用平均值定理先求出y的最大值，这样y的最大值也就可以求出来了．解：设长方体的体积为y，长、宽、高分别是为a，b，c，则y=abc，2ab+2bc+2ac=S．而 22y=（abc）=（ab）（bc）（ac）当且仅当ab=bc=ac，即a=b=c时，上式取“=”号，y有最小值答：长方体的长、宽、高都等于6ss6s时体积的最大值为.636说明：对应用问题的处理，要把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求解问题的关健.四、典型习题导练321.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m,深为3m，如果池底每1m的造价为150元，2池壁每1m的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？2.证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.23.在四面体P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，各棱长的和为m，求这个四面体体积的最大值．4.设函数f(x)=ax+bx+c的图象与两直线y=x，y=-x，均不相交，试证明对一切x∈R都有|ax2+bx+c|>1.4|a|25．青工小李需制作一批容积为V的圆锥形漏斗，欲使其用料最省，问漏斗高与漏斗底面半径应具有怎样的比例？6．轮船每小时使用燃料费用(单位：元)和轮船速度(单位：海里／时)的立方成正比．已知某轮船的最大船速是18海里／时，当速度是10海里／时时，它的燃料费用是每小时30元，其余费用(不论速度如何)都是每小时480元，如果甲、乙两地相距1000海里，求轮船从甲地行驶到乙地，所需的总费用与船速的函数关系，并问船速为多少时，总费用最低？第五篇：2011年高一数学学案：2.2.3《对数函数及其性质的应用》(新人教A版必修1)2.2.3对数函数的性质（性质的应用）A(1)进一步熟练掌握对数函数的概念、图象和性质，设计对数型函数的定义域、值域、单调性等问题。

3．2 均值不等式整体设计教学分析均值不等式也称基本不等式．本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义，几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用．本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明，在思考与讨论过渡下，给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深学生对均值不等式的理解．教材用作差配方法证明均值不等式．作差配方法是证明不等式的基本方法，在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法．在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件，并掌握基本技能．一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”．本节的《新课标》要求是：探索并了解均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决简单的最大(小)问题．从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等．不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点．几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影．书中练习A、B和习题都是基本题，要求全做．鉴于均值不等式的特殊作用，因此本节设计为2课时完成，但仅限于基本方法和基本技能的掌握，不涉及高难度的技巧．第一课时重在均值不等式的探究，第二课时重在均值不等式的灵活运用．且在教学中，将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来，让学生通过思考与讨论建立均值不等式与不等式a2＋b2≥2ab的联系．三维目标1．通过本节探究，使学生学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．2．通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．3．通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．重点难点教学重点：用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索不等式a ＋b2≥ab 的证明过程；用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题．教学难点：用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式a ＋b2≥ab 等号成立条件的运用，应用均值不等式解决实际问题．课时安排 2课时教学过程 第1课时导入新课思路 1.(直接引入)像教材那样，直接给出均值定理，然后引导学生利用上节课的基本性质来探究它的证明方法．因为有了上两节的不等式的探究学习，因此这样引入虽然直白却也是顺其自然．思路 2.(情境导入)教师自制风车，让学生把教师自制的风车转起来，这是学生小时候玩过的得意玩具；手持风车把手，来了一个360°的旋转，不但风车转得漂亮，课堂气氛也活跃，学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐，情境引入达到高潮，此时教师再提出问题．推进新课新知探究 提出问题1 均值定理的内容是什么？怎样进行证明？2 你能证明a 2＋b 2≥2ab吗？3 你能尝试给出均值不等式的一个几何直观解释吗？4 均值不等式有哪些变形式？活动：教师引导学生阅读均值定理的内容，或直接用多媒体给出．点拨学生利用上两节课所学知识进行证明，这点学生会很容易做到，只需作差配方即可．接着让学生明确，这个结论就是均值不等式，也叫基本不等式．其中，任意两个正实数a 、b 的a ＋b2叫做数a 、b的算术平均值，数ab 叫做a 、b 的几何平均值．均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．强调这个结论的重要性，在证明不等式、求函数的最大值最小值时有着广泛的应用，是高考的一个热点．可以通过反例或特例让学生进一步认识这个结论成立的条件，a、b必须是正数，等号成立当且仅当a＝b，以加深学生对此结论的理解，为后面求最值时的“一正二定三相等”打下基础．利用不等式的性质对均值不等式两边平方，则很容易得到a2＋b2≥2ab.这是一个很重要的结论．一般地，如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)也可让学生重新证明这个结论：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2，当a≠b时，有(a－b)2＞0.当a＝b时，有(a－b)2＝0，所以(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab.这个不等式对任意实数a，b恒成立，是一个很重要的不等式，应用非常广泛．请同学们注意公式的结构形式，成立的条件是a、b为实数，等号成立的条件是当且仅当a＝b时成立．“当且仅当”即指充要条件．下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究．如图1，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗？图1(本节课开展到这里，学生从均值不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对均值不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础) 这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形．容易证明△ACD∽△DCB.所以可得CD ＝ab.或由射影定理也可得到CD＝ab.从图中我们可直观地看到ab表示的是半弦长，a＋b表示的是半径长．由于半弦长不大于半径，即CD小于或等于圆的半径，用不等式表示2为：a＋b≥ab.2显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，等号成立．还应让学生熟悉均值不等式的其他变形式．如若a 、b∈R ＋，则ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，式中等号成立．好多书上就把它称为基本不等式．在同样条件下还可写成：a ＋b≥2ab 或2ab ≤a＋b 等．讨论结果： (1)(2)略．(3)均值不等式的几何解释是：半径不小于半弦长． (4)若a 、b∈R ＋，则ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，式中等号成立； 若a 、b∈R ＋，则a ＋b≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，式中等号成立； 若a 、b∈R ，则a 2＋b 2≥2ab，当且仅当a ＝b 时，式中等号成立．应用示例例1(教材本节例1)活动：本例是均值不等式的简单应用，教师点拨学生证明时注意式中成立的条件，本例中的b a 和a b 相当于均值不等式中的a 、b.因此必须有b a ，a b∈R ＋.点评：初用均值不等式，学生往往容易忽视不等式成立的条件，点拨学生注意，只要使用均值定理，马上先想到条件，养成良好的解题习惯.例2已知(a ＋b)(x ＋y)＞2(ay ＋bx)，求证：x －y a －b ＋a －b x －y≥2.活动：教师引导学生探究题目中的条件与结论．本题结论中，注意x －y a －b 与a －bx －y 互为倒数，它们的积为1，故此题应从已知条件出发，经过变形，说明x －y a －b 与a －bx －y为正数开始证题．证明：∵(a＋b)(x ＋y)＞2(ay ＋bx)， ∴ax＋ay ＋bx ＋by ＞2ay ＋2bx. ∴ax－ay ＋by －bx ＞0. ∴(ax－bx)－(ay －by)＞0. ∴(a－b)(x －y)＞0， 即a －b 与x －y 同号． ∴x －y a －b 与a －bx －y 均为正数． ∴x －y a －b ＋a －bx －y ≥2x －y a －b ·a －b x －y ＝2(当且仅当x －y a －b ＝a －bx －y时取“＝”)． ∴x －y a －b ＋a －bx －y≥2. 点评：本题通过对已知条件变形，恰当地因式分解，从讨论因式乘积的符号来判断x －ya －b 与a －b x －y是正还是负，是我们今后解题中常用的方法． 例3若a ＞b ＞1，P ＝lga·lgb，Q ＝12(lga ＋lgb)，R ＝lg a ＋b2，则( )A ．R ＜P ＜QB ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q活动：这是均值不等式及其变形式的典型应用．根据P 、Q 、R 三个式子的结构特点，应考虑利用均值不等式，再运用函数y ＝lgx 的单调性．答案：B解析：∵a＞b ＞1， ∴lga ＞lgb ＞0.∴12(lga ＋lgb)＞12·2lga·lgb，即Q ＞P. 又∵a ＋b 2＞ab ，∴lg a ＋b 2＞lg ab ＝12(lga ＋lgb)．∴R＞Q.故P ＜Q ＜R.点评：应准确理解均值不等式成立的条件，创造性地应用均值不等式． 例4(教材本节例2)活动：这是一个实际问题．教师引导学生分析，根据题意在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，求长与宽的和的两倍的最小值；在(2)中，矩形的长与宽的和的两倍是一个常数，求长与宽的积的最大值．联想到均值不等式的两边恰是两个正数的和与积，因此建立均值不等式的数学模型．点评：本例也可用函数模型解决，课后可让学生试一试．这里用均值不等式来解，一是说明利用均值不等式求最值的方法，二是说明这种方法的快捷．解完本例后，让学生领悟到：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．简单地说就是：在应用这个结论求最值时应把握“一正、二定、三相等”．正是正数，定是定值，相等是能取到等号．知能训练1．“a＝18”是“对任意的正数x,2x ＋ax ≥1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2．若正数a 、b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． 答案：1．A 解析：一方面，当a ＝18时，对任意的正数x ，有2x ＋a x ＝2x ＋18x ≥1；另一方面，对任意正数x ，都有2x ＋a x ≥1，只要2x ＋a x ≥22a ≥1，即得a≥18.2．[9，＋∞) 解法一：令ab ＝t(t ＞0)， 由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，得t 2≥2t＋3， 解得t≥3，即ab ≥3，故ab≥9.解法二：由已知得ab －b ＝a ＋3，b(a －1)＝a ＋3， ∴b＝a ＋3a －1(a ＞1)．∴ab＝a·a ＋3a －1＝[(a －1)＋1]a ＋3a －1＝a ＋3＋a ＋3a －1＝a －1＋4＋a －1＋4a －1＝a －1＋4a －1＋5≥2a－1 ·4a －1＋5＝9.当且仅当a －1＝4a －1时取等号，即a ＝b ＝3时，ab 的最小值为9.∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．点评：此题较全面地考查了均值不等式的应用及不等式的解法与运算能力．通过思考a ＋b 与ab 的关系联想到均值不等式，或建立在函数思想上，求函数的值域．由于视角的不同，有多种方法，以上仅是其中的两种解法．课堂小结1．由学生自己理顺整合本节都学到了哪些知识方法？有哪些收获？2．教师强调，本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab；两正数a 、b 的算术平均数(a ＋b 2)，几何平均数(ab)及它们的关系(a ＋b 2≥ab)．两关系式成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数．它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具．作业习题3—2A 组，4,5,6.习题3—2B 组，1,2.设计感想1．本节设计突出重点．均值不等式的功能在于求最值，这是本节的重点，要牢牢地抓住．但使用均值不等式求函数最值时要注意：①x，y 都是正数；②积xy(或和x ＋y)为定值；③x 与y 必须能够相等．2．本节课我们探究了均值不等式，拓展了我们的视野；证明不等式是高中数学的重点，也是难点，在设计中加强了证明不等式的题量，但难度并不大，重在让学生体会方法．将解题思路转化为解题过程，往往不是一帆风顺的，谈思路可能头头是道，具体求解却可能会处处碰壁，消除思路与求解的差异，要靠探究，在探究中不断更新，在探究中逐步完善．(设计者：郑吉星)第2课时导入新课思路 1.(复习导入)让学生回忆上节课我们探究的重要结果：一是如果a ，b∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab(当且仅当a ＝b 时取“＝”)；二是均值不等式：如果a ，b 是正数，那么a ＋b2≥ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)．在这个不等式中，a ＋b2为a ，b 的算术平均数，ab 为a ，b的几何平均数，这样均值不等式就有了几何意义：半弦长不大于半径．a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 成立的条件是不同的，前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数．本节课我们进一步探究均值不等式的应用．由此展开新课．思路2.(直接导入)通过上节课a 2＋b 2≥2ab(a、b∈R )与a ＋b 2≥ab(a ＞0，b ＞0)的探究证明，我们熟悉了不等式的一些证明方法．本节课我们进一步领悟不等式的证明思路、方法，进一步熟悉利用均值不等式解决函数的最值问题的思路．教师打开多媒体课件，从而展开新课．推进新课新知探究 提出问题1 回忆上节课探究的均值不等式，怎样理解均值不等式的意义？都有哪些变形？2 均值不等式都有哪些方面的应用？3 在应用均值不等式求最值时，应注意什么问题？活动：教师引导学生回忆上节课我们共同探究的均值不等式，以及均值不等式与a 2＋b 2≥2ab 的联系．给出了均值不等式的一个几何直观解释．均值不等式与a 2＋b 2≥2ab 都有着广泛的应用．对这两个重要不等式，要明确它们成立的条件是不同的．后者成立的条件是a 与b 都为实数，并且a 与b 都为实数是不等式成立的充分必要条件；而前者成立的条件是a 与b 都为正实数，并且a 与b 都为正数是不等式成立的充分不必要条件，如a ＝0，b ＝0，仍然能使a ＋b 2≥ab 成立．两个不等式中等号成立的条件都是a ＝b ，故a ＝b 是不等式中等号成立的充要条件． 在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握“一正、二定、三相等”．当条件不完全具备时，应创造条件．本节课我们将进一步探究均值不等式的应用． 讨论结果： (1)(2)略．(3)应注意不等式成立的条件，即把握好“一正，二定，三相等”．应用示例例1(教材本节例3)活动：本例是求函数的最值．教师引导学生将f(x)变形，注意观察代数式中可否出现和或积的定值．本例可放手让学生自己探究，教师给予适当点拨．点评：解完本例后，让学生反思并领悟在求函数最值时，如何使用均值不等式的条件，并掌握基本技能.例2(1)已知x ＜54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知a 、b 为实数，求函数y ＝(x －a)2＋(x －b)2的最小值．活动：(1)因为4x －5＜0，所以首先要“调整”符号．又(4x －2)·14x －5不是常数，所以应对4x －2进行拆(添)项“配凑”．(2)从函数解析式的特点看，本题可化为关于x 的二次函数，再通过配方法求其最小值．但若注意到(x －a)＋(b －x)为定值，则用变形不等式m 2＋n 22≥(m ＋n 2)2更简捷． 解：(1)∵x＜54，∴5－4x ＞0.∴y＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x )＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立．∴当x ＝1时，y max ＝1.(2)∵y＝(x －a)2＋(x －b)2＝(x －a)2＋(b －x)2≥2[ x－a ＋ b－x 2]2＝ a－b 22，当且仅当x －a ＝b －x ，即x ＝a ＋b2时，上式等号成立．∴当x ＝a ＋b 2时，y min ＝ a－b22.点评：若x 、y∈R ＋，x ＋y ＝s ，xy ＝p.若p 为定值，则当且仅当x ＝y 时，s 的值最小；如果s 为定值，则当且仅当x ＝y 时，p 的值最大．简称“和定积最大，积定和最小”．从本例的解答可以看出，求最值时往往需要拆(添)项，其目的是创设应用均值不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的要求.所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则直线＞0)．例3当x ＞－1时，求函数f(x)＝x 2－3x ＋1x ＋1的值域．活动：教师引导学生观察函数f(x)的分子、分母特点，可作如下变形：f(x)＝x 2－3x ＋1x ＋1＝ x＋1 2－5 x ＋1 ＋5x ＋1＝x ＋1＋5x ＋1－5.这样就可以应用均值不等式了． 解：∵x＞－1， ∴x＋1＞0.∴f(x)＝x 2－3x ＋1x ＋1＝ x＋1 2－5 x＋1 ＋5x ＋1＝x ＋1＋5x ＋1－5≥2x＋1 5x ＋1－5＝25－5，当且仅当(x ＋1)2＝5时，即x ＝5－1时取“＝”．另一解x ＝－5－1＜－1(舍去)，故函数值域为[25－5，＋∞)．点评：本题解法具有典型性，解后教师引导学生领悟反思．这种求值域的题目，在“函数”一章中我们接触较多，其常用方法有单调性、图象法，还有判别式法．利用判别式法不仅计算量大，而且极易因忽视某些条件而出错．本例给出了用均值不等式法求值域的方法，既简单又不易出错．但提醒学生一定要注意必须满足的三个条件：①各项均为正数；②和或积有一个为定值；③等号一定取到，这三个条件缺一不可.例4设0＜x ＜2，求函数f(x)＝3x 8－3x 的最大值，并求相应的x 值．试问0＜x＜43时，原函数f(x)有没有最大值？0＜x≤1时，f(x)有没有最大值？若有，请你求出来；若没有，请你说明理由．活动：对本例中的函数可变形为f(x)＝24x －9x 2，根号内是我们熟悉的二次函数，完全可以用二次函数的知识方法解决，这种方法学生很熟悉．教师可引导学生利用均值不等式求解，让学生自己探究，教师可适时地点拨．解：∵0＜x ＜2，∴8－3x ＞0. ∴f(x)＝3x 8－3x ≤3x ＋8－3x 22＝4，当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时取“＝”．∴函数f(x)的最大值为4，此时x ＝43.又f(x)＝－9x 2＋24x ＝－ 3x－4 2＋16， ∴当0＜x ＜43时，f(x)递增；当x ＞43时，f(x)递减．∴当0＜x ＜43时，原函数f(x)没有最大值．当0＜x≤1时，有最大值f(1)，即f(1)＝15.点评：通过本例再次加深对均值不等式条件的理解．体会不等式的功能在于“和与积”的互化，构造均值不等式，解题的技巧是拆(添)项或配凑因式．知能训练1．函数f(x)＝xx ＋1的最大值为( ) A.25 B.12 C.22 D ．1 2．求函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的最小值，以及此时x 的值．3．已知x 、y∈R ＋，且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值． 答案：1．B 解析：当x ＝0时，f(x)＝0；当x ＞0时，f(x)＝xx ＋1＝1x ＋1x≤12，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．2．解：∵x＞0，∴x＋1x≥2·x·1x＝2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．∴当x ＝1时，x ＋1x 的值最小，最小值是2.3．解：由2x ＋8y －xy ＝0得y(x －8)＝2x. ∵x＞0，y ＞0，∴x－8＞0.∴x＋y ＝2x x －8＋x ＝x －8＋16x －8＋10≥2x－8 ·16x －8＋10＝18，当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，x ＋y 取最小值18.课堂小结1．由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想方法，回顾本节课解决了哪些问题？应注意些什么？2．教师点拨，本节课我们用均值不等式解决了函数的一些最值问题，在用均值不等式求函数的最值时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正、二定、三相等．在利用均值不等式证明一些不等式时，也应注意均值不等式成立的条件及构建均值不等式结构．作业习题3—2A 组2、3、7、8、9；习题3—2B 组3、4.设计感想1．本节设计意在体现均值不等式的应用，因此用不等式求解函数的最值与证明不等式是穿插进行的，且强调一题多解的训练．2．本节设计关注了教学进程的和谐发展．整个设计给人自然流畅的感觉，没有教师过分自我展示的味道，能使学生的思维得到充分的锻炼，能力得到很大的提高．3．本节设计重视了学生的主体地位，从例题到变式训练，从新课导入到课堂小结，都注意了学生的主动思维活动，充分让学生占据思维的时空，这是提高学生思维能力的有效良方．备课资料一、算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法)(1)设a 1，a 2，a 3，…，a n 为正实数，这n 个数的算术平均值记为A ，几何平均值记为G ，即A ＝a 1＋a 2＋…＋ a n n ，G ＝n a 1a 2…a n ，即A≥G，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，A ＝G.特别地，当n ＝2时，a ＋b 2≥ab ；当n ＝3时，a ＋b ＋c 3≥3abc.(2)用局部调整法证明均值不等式A≥G.设这n 个正数不全相等．不失一般性，设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，易证a 1＜A ＜a n ，且a 1＜G ＜a n .在这n 个数中去掉一个最小数a 1，将a 1换成A ，再去掉一个最大数a n ，将a n 换成a 1＋a n －A ，其余各数不变，于是得到第二组正数：A ，a 2，a 3，…，a n －1，a 1＋a n －A.这一代换具有下列性质：①两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为A 1，那么A 1＝A ＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a 1＋a n －An ＝A ，②第二组数的几何平均值最大．设第二组数的几何平均值为G 1，则G 1＝nAa 2a 3…a n －1 a 1＋a n －A ，∵A(a 1＋a n －A)－a 1a n ＝(A －a 1)(a n －A)，由a 1＜A ＜a n ，得(A －a 1)(a n －A)＞0，则A(a 1＋a n －A)＞a 1a n .∴Aa 2a 3…a n －1(a 1＋a n －A)＞a 1a 2…a n －1·a n ，即G 1＞G.二、备用习题1．已知a≥0，b≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．ab≤12B ．ab≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤32．若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy ·b x ＋dy，则( )A ．P ＝QB ．P ＜QC ．P≤Q D．P≥Q 3．若函数y ＝f(x)的值域是[12，3]，则函数F(x)＝f(x)＋1f x 的值域是( )A ．[12，3]B ．[2，103]C ．[52，103]D ．[3，103]4．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．5．直线l 过点M(2,1)且分别交x 轴，y 轴正半轴于点A ，B ，O 为坐标原点，求△AOB 面积最小时l 的方程．6．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 参考答案：1．C 解析：对于选项C ：a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋a 2＋b 22≥a 2＋b 2＋2ab 2＝ a＋b 22＝2.故C 正确．2．C 解析：∵a、b 、c 、d 、x 、y 是正实数， ∴Q＝ax ＋cy ·b x ＋dy＝ab ＋cd ＋adx y ＋bcyx≥ab ＋cd ＋2abcd ＝ab ＋cd ＝P.3．B 解析：令t ＝f(x)，则t∈[12，3]．∴F(x)＝G(t)＝t ＋1t .该函数在t ＝1处取得最小值2，在t ＝3处取得最大值103.故选B.4．20 解析：设一年总费用为y 万元，则y ＝4·400x ＋4x ＝1 600x ＋4x≥21 600x·4x ＝160，当且仅当1 600x＝4x ，即x ＝20时，等号成立．5．解：设直线l 的方程为y －1＝k(x －2)，即y ＝kx ＋1－2k(k ＜0)． 令x ＝0，得y ＝1－2k ； 令y ＝0，得x ＝2k －1k ＝2－1k.∴S △AO B ＝12(1－2k)(2－1k )＝2＋1－2k ＋(－2k)．∵k＜0，∴－2k ＞0.∴S △AOB ≥2＋2＝4，当且仅当－12k ＝－2k ，即k ＝－12时取等号．此时l 的方程为y ＝－12x ＋2.6．解： (1)依题意，得y ＝9203＋ v＋1 600v≤9203＋2 1 600＝92083，当且仅当v ＝1 600v ，即v ＝40时，上式等号成立，所以y max ＝92083≈11.1(千辆/时)．(2)由条件得920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理，得v 2－89v ＋1 600＜0， 即(v －25)(v －64)＜0， 解得25＜v ＜64.答：当v ＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时．如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时．。

考点学习目标核心素养证明不等式会利用均值不等式证明不等式问题逻辑推理解决实际问题会利用均值不等式解决与函数y＝ax＋错误!有关的实际问题数学建模解决恒成立问题会将不等式的恒成立问题，通过分离参数转化为均值不等式问题求解逻辑推理、数学运算利用均值不等式证明不等式已知a，b，c∈（0，＋∞），且a＋b＋c＝１．求证：错误!错误!错误!≥8．【证明】因为a，b，c∈（0，＋∞），a＋b＋c＝１，所以错误!—１＝错误!＝错误!≥错误!，同理错误!—１≥错误!，错误!—１≥错误!.上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得错误!错误!错误!≥错误!·错误!·错误!＝8．当且仅当a＝b＝c＝错误!时，等号成立．在本例条件下，求证：错误!＋错误!＋错误!≥9．证明：因为a，b，c∈（0，＋∞），且a＋b＋c＝１，所以错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝３＋错误!＋错误!＋错误!≥３＋２＋２＋２＝9．当且仅当a＝b＝c＝错误!时，等号成立．错误!利用均值不等式证明不等式的思路利用均值不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用均值不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“１”时，要注意“１”的代换．另外，解题时要时刻注意等号能否取到．１．已知a，b都是正实数，且ab＝２，求证：（１＋２a）（１＋b）≥9．证明：因为a，b都是正实数，且ab＝２，所以２a＋b≥２错误!＝４，所以（１＋２a）（１＋b）＝１＋２a＋b＋２ab＝５＋２a＋b≥５＋４＝9．即（１＋２a）（１＋b）≥9．２．已知a，b，c＞0，求证：错误!＋错误!＋错误!≥a＋b＋c.证明：因为a，b，c＞0，所以利用均值不等式可得错误!＋b≥２a，错误!＋c≥２b，错误!＋a≥２c，所以错误!＋错误!＋错误!＋a＋b＋c≥２a＋２b＋２c，故错误!＋错误!＋错误!≥a＋b＋c，当且仅当a ＝b＝c时，等号成立．利用均值不等式解实际应用题某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为１800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天３元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少？【解】设该厂每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．由题意可知，面粉的保管费等其他费用为３×[6x＋6（x—１）＋6（x—２）＋…＋6×１]＝9x（x＋１）（元）．设平均每天所支付的总费用为y元，则y＝错误![9x（x＋１）＋900]＋6×１800＝9x＋错误!＋１0 809≥２错误!＋１0 809＝１0 989（元），当且仅当9x＝错误!，即x＝１0时，等号成立．故该厂每１0天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．错误!利用均值不等式解决实际问题的思路利用均值不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题过程中尽量向模型ax＋错误!≥２错误!（a>0，b>0，x>0）上靠拢．１．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y（单位：万元）与机器运转时间x（单位：年）的关系为y＝—x２＋１8x—２５（x∈N*），则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析：每台机器运转x年的年平均利润为错误!＝１8—错误!，且x>0，故错误!≤１8—２错误!＝8，当且仅当x＝５时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：５8２．用一段长为３6 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为x m、宽为y m，则２（x＋y）＝３6，x＋y＝１8，矩形菜园的面积为xy m２.由错误!≤错误!＝错误!＝9，可得xy≤8１，当且仅当x＝y，即x＝y＝9时，等号成立．因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为8１m２.均值不等式的综合问题不等式9x＋错误!≥a＋１（常数a＞0），对一切正实数x成立，求a的取值范围．【解】常数a＞0，若9x＋错误!≥a＋１对一切正实数x成立，则a＋１≤9x＋错误!的最小值，又9x＋错误!≥6a，当且仅当9x＝错误!，即x＝错误!时，等号成立．故必有6a≥a＋１，解得a≥错误!.所以a的取值范围为a≥错误!.错误!（１）a≤f（x）恒成立⇔a≤f（x）的最小值．（２）a≥f（x）恒成立⇔a≥f（x）的最大值．[注意] f（x）表示有关x的代数值．已知不等式（x＋y）错误!≥１6对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）Ａ．１B．２Ｃ．４Ｄ．6解析：选Ｃ．（x＋y）错误!＝４＋a＋错误!，因为x＞0，y＞0，a＞0，所以错误!＋错误!≥２错误!＝４错误!，当且仅当错误!＝错误!时取等号．由已知可得４＋a＋４错误!≥１6，即a＋４错误!—１２≥0，解得错误!≥２或错误!≤—6（舍去），所以a≥４，即a的最小值为４．１．若a，b∈R，则判断大小关系a２＋b２________２|ab|.（）Ａ．≥B．＝Ｃ．≤Ｄ．＞解析：选Ａ．由均值不等式得a２＋b２＝|a|２＋|b|２≥２|a||b|＝２|ab|，当且仅当|a|＝|b|时，等号成立．２．某公司一年购买某种货物４00吨，每次都购买x吨，运费为４万元/次，一年的总存储费用为４x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．解析：每年购买次数为错误!次．所以总费用＝错误!·４＋４x≥２错误!＝１60，当且仅当错误!＝４x，即x＝２0时等号成立．答案：２0３．已知a，b，c，d都是正数，求证：（ab＋cd）（ac＋bd）≥４abcd.证明：由a，b，c，d都是正数，得错误!≥错误!，错误!≥错误!，所以错误!≥abcd，即（ab＋cd）·（ac ＋bd）≥４abcd.[A 基础达标]１．设a>0，b>0，则下列不等式中不一定成立的是（）Ａ．a＋b＋错误!≥２错误!Ｂ．错误!≥错误!Ｃ．错误!≥a＋b D．（a＋b）错误!≥４解析：选B.因为a>0，b>0，所以a＋b＋错误!≥２错误!＋错误!≥２错误!，当且仅当a＝b且２错误!＝错误!，即a＝b＝错误!时取等号，故A成立．因为a＋b≥２错误!>0，所以错误!≤错误!＝错误!，当且仅当a＝b时取等号，所以错误!≥错误!不一定成立，故B不成立．因为错误!≤错误!＝错误!，当且仅当a＝b时取等号，错误!＝错误!＝a＋b—错误!≥２错误!—错误!，当且仅当a＝b时取等号，所以错误!≥错误!，所以错误!≥a＋b，故C一定成立．因为（a＋b）错误!＝２＋错误!＋错误!≥４，当且仅当a＝b时取等号，故D一定成立，故选Ｂ．２．若0<a<b，a＋b＝１，则a，错误!，２ab中最大的数为（）Ａ．aＢ．２abＣ．错误!Ｄ．无法确定解析：选Ｃ．因为0<a<b，a＋b＝１，所以a<错误!，因为ab<错误!错误!＝错误!，所以２ab<错误!，则a，错误!，２ab中最大的数为错误!，故选Ｃ．３．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为错误!天，且每件产品每天的仓储费用为１元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）Ａ．60件B．80件Ｃ．１00件D．１２0件解析：选Ｂ．设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝错误!＋错误!≥２错误!＝２0．当且仅当错误!＝错误!（x>0），即x＝80时“＝”成立，故选Ｂ．４．已知a<b，则错误!＋b—a的最小值为（）Ａ．３Ｂ．２Ｃ．４Ｄ．１解析：选Ａ．因为a<b，所以b—a>0，由均值不等式可得错误!＋b—a＝１＋错误!＋（b—a）≥１＋２错误!＝３，当且仅当错误!＝b—a（b>a），即当b—a＝１时，等号成立，因此，错误!＋b—a的最小值为３，故选Ａ．５．已知a>0，b>0，错误!＋错误!＝错误!，若不等式２a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为（）Ａ．8 Ｂ．7Ｃ．6 Ｄ．５解析：选Ｃ．由已知，可得6错误!＝１，所以２a＋b＝6错误!·（２a＋b）＝6错误!≥6×（５＋４）＝５４，当且仅当错误!＝错误!，即a＝b ＝１8时等号成立，所以9m≤５４，即m≤6，故选Ｃ．6．已知y＝４x＋错误!（x>0，a>0）在x＝３时取得最小值，则a＝________．解析：y＝４x＋错误!≥２错误!＝４错误!（x>0，a>0），当且仅当４x＝错误!，即x＝错误!时等号成立，此时y取得最小值４错误!.又由已知x＝３时，y min＝４错误!，所以错误!＝３，即a＝３6．答案：３67．若a＜１，则a＋错误!与—１的大小关系是________．解析：因为a＜１，即１—a>0，所以—错误!＝（１—a）＋错误!≥２错误!＝２．当且仅当１—a＝错误!，即a＝0时取等号．所以a—１＋错误!≤—２，即a＋错误!≤—１．答案：a＋错误!≤—１8．（２0１9·扬州期末）如图，在半径为４（单位：cm）的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为________（单位：cm２）．解析：如图所示，连接OC，设|OB|＝x（0<x<４），则|BC|＝错误!＝错误!，|AB|＝２|OB|＝２x，所以，由均值不等式可得，矩形ABCD的面积为S＝|AB|·|BC|＝２x·错误!＝２错误!≤（１6—x２）＋x２＝１6，当且仅当１6—x２＝x２时，即当x＝２错误!时，等号成立，答案：１69．已知x＞0，y＞0，z＞0．求证：错误!错误!错误!≥8．证明：因为x＞0，y＞0，z＞0，所以错误!＋错误!≥错误!＞0，错误!＋错误!≥错误!＞0，错误!＋错误!≥错误!＞0，所以错误!错误!错误!≥错误!＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立．１0．已知a＞b＞c且错误!＋错误!≥错误!恒成立，求实数m的最大值．解：由题意，a—b＞0，b—c＞0，a—c＞0，又错误!＋错误!≥错误!，即错误!＋错误!≥m，即错误!＋错误!≥m，因为２＋错误!＋１＋错误!≥３＋２错误!（当且仅当a—b＝错误!（b—c）时取等号），所以m≤３＋２错误!，所以实数m的最大值为３＋２错误!.[B 能力提升]１１．若实数x>0，y>0，且x＋４y＝xy，则x＋y的最小值为（）Ａ．7 Ｂ．8Ｃ．9 Ｄ．１0解析：选Ｃ．根据题意，实数x>0，y>0，若x＋４y＝xy，则错误!＋错误!＝１，x＋y＝（x＋y）错误!＝错误!＋错误!＋５≥２错误!＋５＝9，当且仅当x＝２y，即x＝6，y＝３时等号成立，即x＋y的最小值为9，故选Ｃ．１２．已知a＞0，b＞0，若不等式错误!＋错误!≥错误!恒成立，则m的最大值等于（）Ａ．１0 Ｂ．9Ｃ．8 Ｄ．7解析：选Ｂ．因为a＞0，b＞0，所以错误!＋错误!≥错误!⇔错误!＋错误!＝５＋错误!＋错误!≥m，由a＞0，b＞0得，错误!＋错误!≥２错误!＝４（当且仅当a＝b时取“＝”）．所以５＋错误!＋错误!≥9，所以m≤9．故选Ｂ．１３．已知正实数a，b满足a＋b＝４，求错误!＋错误!的最小值．解：因为a＋b＝４，所以（a＋１）＋（b＋３）＝8，所以，8错误!＝[（a＋１）＋（b＋３）]错误!＝错误!＋错误!＋２≥２错误!＋２＝４，所以错误!＋错误!≥错误!，当且仅当a＋１＝b＋３，即a＝３，b＝１时，等号成立，所以错误!＋错误!的最小值为错误!.１４．已知x，y，z均为正数，求证：错误!＋错误!＋错误!≥错误!＋错误!＋错误!.证明：因为x，y，z均为正数，所以错误!＋错误!＝错误!错误!≥错误!，当且仅当x＝２y时等号成立，同理可得错误!＋错误!≥错误!，当且仅当２y＝３z时等号成立，错误!＋错误!≥错误!，当且仅当x＝３z时等号成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以２，得错误!＋错误!＋错误!≥错误!＋错误!＋错误!，当且仅当x＝２y＝３z时等号成立．[C 拓展探究]１５．如图，为加强社区绿化建设，欲将原有矩形小花坛ABCD适当扩建成一个较大的矩形花坛AMPN.要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝３米，AD＝２米．若设DN＝x，则DN为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．解：因为DC∥AM，所以错误!＝错误!，所以错误!＝错误!所以|AM|＝错误!，（x>0）矩形花坛AMPN的面积y＝|AM|·|AN|＝错误!＝３错误!≥３错误!＝２４，当且仅当x＝错误!，即x ＝２时取等号，所以矩形花坛AMPN的面积的最小值为２４，此时DN＝２．。

均值不等式及其应用【第1课时】【教学过程】一、新知初探1．算术平均值与几何平均值对于正数a ，b ，常把a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，把ab 叫做a ，b 的几何平均值． 2．均值不等式（1）当a ＞0，b ＞0a ＝b 时，等号成立； （2）均值不等式的常见变形 ①当a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ；②若a ＞0，b ＞0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22． 二、初试身手1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是（） A ．a ＝±1 B ．a ＝1 C ．a ＝－1 D ．a ＝0答案：B解析：当a 2＋1＝2a ，即（a －1）2＝0，即a ＝1时“＝”成立． 2．已知a ，b ∈（0，1），且a ≠b ，下列各式中最大的是（） A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b 答案：D解析：∵a ，b ∈（0，1），∴a 2＜a ，b 2＜b ，∴a 2＋b 2＜a ＋b ，又a 2＋b 2＞2ab （a ≠b ）， ∴2ab ＜a 2＋b 2＜a ＋b ．又∵a ＋b ＞2ab （a ≠b ），∴a ＋b 最大．3．已知ab ＝1，a >0，b >0，则a ＋b 的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 答案：B解析：∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故a ＋b 的最小值为2．4．当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是________． ①a ＋b2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab ． 答案：③解析：根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确． 三、合作探究类型1：对均值不等式的理解例1：给出下面三个推导过程：①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2；②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4；③∵x ，y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－－x y ＋－yx ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2． 其中正确的推导为（） A ．①②B ．①③ C ．②③ D ．①②③答案：B解析：①∵a ，b 为正实数，∴b a ，ab 为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确． ②∵a ∈R ，a ≠0，不符合均值不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4是错误的．③由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x 提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．规律方法1．均值不等式ab ≤a ＋b2（a ＞0，b ＞0）反映了两个正数的和与积之间的关系． 2．对均值不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： （1）定理成立的条件是a ，b 都是正数．（2）“当且仅当”的含义：当a ＝b 时，ab ≤a ＋b 2的等号成立，即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 时，a ＋b 2≥ab 的等号成立，即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b ．跟踪训练1．下列不等式的推导过程正确的是________．①若x ＞1，则x ＋1x ≥2x ·1x ＝2；②若x ＜0，则x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ≤－2－x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＝－4；③若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2． 答案：②解析：①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x ＝1x 时，即x ＝1时，x ＋1x ≥2等号成立，因为x ＞1，所以x ＋1x ＞2，③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件．类型2：利用均值不等式比较大小例2：（1）已知a ，b ∈（0，＋∞），则下列各式中不一定成立的是（）A ．a ＋b ≥2abB ．b a ＋ab ≥2C ．a 2＋b 2ab≥2ab D ．2ab a ＋b ≥ab（2）已知a ，b ，c 是两两不等的实数，则p ＝a 2＋b 2＋c 2与q ＝ab ＋bc ＋ca 的大小关系是________．答案：（1）D（2）a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋ac解析：（1）由a ＋b2≥ab 得a ＋b ＝2ab ， ∴A 成立；∵b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2，∴B 成立；∵a 2＋b 2ab ≥2ab ab ＝2ab ，∴C 成立；∵2ab a ＋b ≤2ab 2ab ＝ab ，∴D 不一定成立． （2）∵a ，b ，c 互不相等，∴a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2bc ，a 2＋c 2>2ac ． ∴2（a 2＋b 2＋c 2）>2（ab ＋bc ＋ac ）． 即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac ． 规律方法1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a >0，b >0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b ．跟踪训练2．如果0＜a ＜b ＜1，P ＝a ＋b2，Q ＝ab ，M ＝a ＋b ，那么P ，Q ，M 的大小顺序是（） A ．P ＞Q ＞M B ．M ＞P ＞Q C ．Q ＞M ＞P D ．M ＞Q ＞P答案：B解析：显然a ＋b 2＞ab ，又因为a ＋b 2＜a ＋b ⎝⎛⎭⎪⎫由a ＋b ＞a ＋b 24也就是a ＋b 4＜1可得，所a ＋b ＞a ＋b2＞ab ．故M ＞P ＞Q ．类型3：利用均值不等式证明不等式例3：已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c >9．思路点拨：看到1a ＋1b ＋1c >9，想到将“1”换成“a ＋b ＋c ”，裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明．证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2b a ·a b ＋2c a ·a c ＋2c b ·bc＝3＋2＋2＋2 ＝9．当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴1a ＋1b ＋1c >9． 母题探究本例条件不变，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1>8．证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c >0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1 ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＞8． 规律方法1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质（注意限制条件），通过相加（乘）合成为待证的不等式，既是运用均值不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．跟踪训练3．已知a ，b ，c ∈R ，求证：a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2． 证明：由均值不等式可得 a 4＋b 4＝（a 2）2＋（b 2）2≥2a 2b 2， 同理，b 4＋c 4≥2b 2c 2， c 4＋a 4≥2a 2c 2，∴（a 4＋b 4）＋（b 4＋c 4）＋（c 4＋a 4）≥2a 2b 2＋2b 2c 2＋2a 2c 2， 从而a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2．4．已知a ＞1，b ＞0，1a ＋3b ＝1，求证：a ＋2b ≥26＋7．证明：由1a ＋3b ＝1，得b ＝3aa －1（a ＞1），则a ＋2b ＝a ＋6aa －1＝a ＋6a －1＋6a －1＝a ＋6a －1＋6＝（a －1）＋6a －1＋7≥26＋7， 当且仅当a －1＝6a －1时，即a ＝1＋6时，取等号． 四、课堂小结1．应用均值不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a >0，b >0时，才会有ab ≤a ＋b 2．对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话要从两个方面理解：一方面，当a ＝b 时，a ＋b2ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b ．2．应用均值不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合均值不等式的条件结构． 五、当堂达标1．思考辨析（1）对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．（）（2）若a ≠0，则a ＋1a ≥2a ·1a ＝2．（）（3）若a >0，b >0，则ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22．（） 提示：（1）任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．（2）只有当a >0时，根据均值不等式，才有不等式a ＋1a ≥2a ·1a ＝2成立．（3）因为ab ≤a ＋b 2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22． 答案：（1）×（2）×（3）√2．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是（）A ．a －b <0B ．0<ab <1C ．ab <a ＋b2 D ．ab >a ＋b 答案：C解析：∵a >b >0，由均值不等式知ab <a ＋b2一定成立．3．不等式9x －2＋（x －2）≥6（其中x ＞2）中等号成立的条件是（）A ．x ＝3B ．x ＝－3C ．x ＝5D ．x ＝－5答案：C解析：由均值不等式知等号成立的条件为9x －2＝x －2，即x ＝5（x ＝－1舍去）． 4．设a >0，b >0，证明：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b ． 证明：∵a >0，b >0， ∴b 2a ＋a ≥2b ，a 2b ＋b ≥2a ， ∴b 2a ＋a 2b ≥a ＋b ．【第2课时】【教学过程】一、新知初探已知x ，y 都是正数．（1）若x ＋y ＝S （和为定值），则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 24． （2）若xy ＝p （积为定值），则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p ． 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大． 二、初试身手1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是（）A ．72B ．4C ．92D ．5 答案：C解析：∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1． ∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋22a b ·b 2a ＝92 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立． 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92．2．若x >0，则x ＋2x 的最小值是________． 答案：22解析：x ＋2x ≥2x ·2x ＝22，当且仅当x ＝2时，等号成立．3．设x ，y ∈N *满足x ＋y ＝20，则xy 的最大值为________． 答案：100解析：∵x ，y ∈N *， ∴20＝x ＋y ≥2xy ， ∴xy ≤100． 三、合作探究类型1：利用均值不等式求最值例1：（1）已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值；（2）已知0<x <12，求y ＝12x （1－2x ）的最大值．思路点拨：（1）看到求y ＝4x －2＋14x －5的最值，想到如何才能出现乘积定值；（2）要求y ＝12x （1－2x ）的最值，需要出现和为定值．解：（1）∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1．（2）∵0<x <12，∴1－2x >0，∴y ＝14×2x （1－2x ）≤14×⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116． ∴当且仅当2x ＝1－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，即x ＝14时，y max ＝116． 规律方法利用均值不等式求最值的关键是获得满足均值不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”．解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件．具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定，应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章函数的基本性质的知识解决．跟踪训练1．（1）已知x >0，求函数y ＝x 2＋5x ＋4x的最小值；（2）已知0<x <13，求函数y ＝x （1－3x ）的最大值．解：（1）∵y ＝x 2＋5x ＋4x ＝x ＋4x ＋5≥24＋5＝9，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立．故y ＝x 2＋5x ＋4x（x >0）的最小值为9．（2）法一：∵0<x <13，∴1－3x >0．∴y ＝x （1－3x ）＝13·3x （1－3x ）≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋1－3x 22＝112． 当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立．∴当x ＝16时，函数取得最大值112．法二：∵0<x <13，∴13－x >0．∴y ＝x （1－3x ）＝3·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ≤3·⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13－x 22 ＝112，当且仅当x ＝13－x ，即x ＝16时，等号成立．∴当x ＝16时，函数取得最大值112． 类型2：利用均值不等式求条件最值例2：已知x ＞0，y ＞0，且满足8x ＋1y ＝1．求x ＋2y 的最小值． 解：∵x ＞0，y ＞0，8x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y （x ＋2y ）＝10＋x y ＋16y x≥10＋2x y ·16yx ＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋1y ＝1，x y ＝16y x，即⎩⎨⎧x ＝12，y ＝3时，等号成立，故当x ＝12，y ＝3时，（x ＋2y ）min ＝18．母题探究 若把“8x ＋1y ＝1”改为“x ＋2y ＝1”，其他条件不变，求8x ＋1y 的最小值． 解：∵x ，y ∈R ＋， ∴8x ＋1y ＝（x ＋2y ）⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y＝8＋16y x ＋x y ＋2＝10＋16y x ＋xy ≥10＋216＝18．当且仅当16y x ＝xy 时取等号，结合x ＋2y ＝1，得x ＝23，y ＝16，∴当x ＝23，y ＝16时，8x ＋1y 取到最小值18． 规律方法1．本题给出的方法，用到了均值不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足均值不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．2．常见的变形技巧有：（1）配凑系数；（2）变符号；（3）拆补项．常见形式有y ＝ax ＋bx 型和y ＝ax （b －ax ）型．跟踪训练2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝1，求1a ＋1b 的最小值． 解：法一：1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·（a ＋2b ） ＝1＋2b a ＋a b ＋2＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22b a ·a b＝3＋22， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2b a ＝a b ，a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧ a ＝2－1，b ＝1－22时等号成立． ∴1a ＋1b 的最小值为3＋22． 法二：1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b ＝1＋2b a ＋a b ＋2＝3＋2b a ＋a b ≥3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2b a ＝a b，a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧ a ＝2－1，b ＝1－22时等号成立，∴1a ＋1b 的最小值为3＋22．类型3：利用均值不等式解决实际问题例3：如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？解：设每间虎笼长x m ，宽y m ，则由条件知，4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18．设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy ．法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S max ＝272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎨⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝4.5，y ＝3. 故每间虎笼长为4．5m ，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y ．∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝y ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y ＝32y （6－y ）． ∵0<y <6，∴6－y >0．∴S ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－y ＋y 22＝272． 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4．5．故每间虎笼长为4．5m ，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．规律方法在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：（1）先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；（2）建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；（4）正确写出答案．跟踪训练3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x （单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积解：设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x ＝10 800x ．∴每平方米的平均综合费用y ＝560＋48x ＋10 800x ＝560＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋225x ． 当x ＋225x取最小值时，y 有最小值． ∵x >0，∴x ＋225x ≥2x ·225x ＝30． 当且仅当x ＝225x ，即x ＝15时，上式等号成立．∴当x ＝15时，y 有最小值2000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．四、课堂小结1．利用均值不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用均值不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用均值不等式的情境．2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，均值不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到．五、当堂达标1．思考辨析（1）两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．（）（2）若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则ab ≤4．（）（3）当x >1时，函数y ＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数y 的最小值是2x x －1．（） 提示：（1）由a ＋b ≥2ab 可知正确．（2）由ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4可知正确． （3）x x －1不是常数，故错误． 答案：（1）√（2）√（3）×2．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则ab 的最大值为（）A ．1B ．22C ．2D ．4答案：A解析：由均值不等式得，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1． 3．已知0<x <1，则x （3－3x ）取最大值时x 的值为（）A ．12B ．34C ．23D ．25答案：A解析：∵0<x <1，∴1－x >0，则x （3－3x ）＝3[x （1－x ）]≤3×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34， 当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号． 4．已知x >0，求y ＝2x x 2＋1的最大值． 解：y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x． ∵x >0，∴x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，∴y ≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立．。

2.2.4 均值不等式及其应用》第1课时教学课时：2课时教学目标：1、使学生学会推导均值不等式；2、帮助学生理解均值不等式；3、训练学生初步掌握均值不等式的应用；4、进一步训练学生的逻辑推理、数学运算、直观想象等数学素养。

教学重点：学生对均值不等式的推导、理解及初步应用。

教学难点：学生对均值不等式的理解。

教学过程：一、新课讲解：（一）相关概念：1.给定两个正数a，b，数a+b称为a，b的算术平均数；数√ab称为a，b的几何平2均数。

2.多个正数的算术平均值和几何平均值的定义。

【设计意图】学好本节内容的预备知识。

（二）学生活动1：完成教材P72“尝试与发现”，解决下列问题：1.算术平均数的几何意义？几何平均值的几何意义？2.它们的大小关系如何呢？【设计意图】从具体事例理解和掌握算术平均值和几何平均值的几何意义以及大小关系。

（三）均值不等式：1.语言表述：两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值。

≥√ab，当且仅当a=b时，等号成立。

2.数学表达：如果a，b都是正数，那么a+b2证明：教材P73页。

（四）深度分析：【均值不等式】——又称基本不等式1.基本不等式中的a，b还可以是零，其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值。

2.均值不等式有什么几何意义呢？研究：将均值不等式两边平方得，（a+b2）2≥ab，可以得出：均值不等式的一个几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大。

3.【拓展】：请回答教材P73页的“想一想”。

【设计意图】让学生从多角度来理解和掌握均值不等式。

（五）学生活动2：师生一起研究教材P73 —“探索与研究”中的问题，可以和你的同桌交流，给出相应的结论。

【设计意图】让学生看到均值不等式的“美”，感受到数学的几何之美。

二、（学科教研组期末学业水平汇编）典型例题：例1 已知x>0，求y=x+1x的最小值，并说明x为何值时y取得最小值。

解：因为x>0，所以根据均值不等式有x+1x ≥2√x∙1x=2，其中等号成立当且仅当x=1x，即x2=1，解得x=1或x=−1（舍）。

2.2.4 均值不等式及其应用》第1课时教学课时：2课时教学目标：1、使学生学会推导均值不等式；2、帮助学生理解均值不等式；3、训练学生初步掌握均值不等式的应用；4、进一步训练学生的逻辑推理、数学运算、直观想象等数学素养。

教学重点：学生对均值不等式的推导、理解及初步应用。

教学难点：学生对均值不等式的理解。

教学过程：一、新课讲解：（一）相关概念：1.给定两个正数，，数称为，的算术平均数；数称为，的几何平均数。

2.多个正数的算术平均值和几何平均值的定义。

【设计意图】学好本节内容的预备知识。

（二）学生活动1：完成教材P72“尝试与发现”，解决下列问题：1.算术平均数的几何意义？几何平均值的几何意义？2.它们的大小关系如何呢？【设计意图】从具体事例理解和掌握算术平均值和几何平均值的几何意义以及大小关系。

（三）均值不等式：1.语言表述：两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值。

2.数学表达：如果，都是正数，那么，当且仅当时，等号成立。

证明：教材P73页。

（四）深度分析：【均值不等式】——又称基本不等式1.基本不等式中的，还可以是零，其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值。

2.均值不等式有什么几何意义呢？研究：将均值不等式两边平方得，（），可以得出：均值不等式的一个几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大。

3.【拓展】：请回答教材P73页的“想一想”。

【设计意图】让学生从多角度来理解和掌握均值不等式。

（五）学生活动2：师生一起研究教材P73 —“探索与研究”中的问题，可以和你的同桌交流，给出相应的结论。

【设计意图】让学生看到均值不等式的“美”，感受到数学的几何之美。

二、典型例题：例1 已知，求的最小值，并说明为何值时取得最小值。

解：因为，所以根据均值不等式有，其中等号成立当且仅当，即，解得或（舍）。

因此时，取得最小值2。

【设计意图】引导学生注意使用均值不等式的条件以及解题的规范性培养。