无刷直流电机的建模与仿真
一、引言
随着无刷直流电机在伺服系统、电动汽车、机器人及家用电器等领域的广泛应用，人们对电机及其系统的运行分析和优化设计也越来越关注。
借助建模与仿真技术，人们可以研究、分析整个电机系统的各类定量关系，提取设计、分析和调试电机及其驱动系统所需的信息、数据和资料。
本文主要研究反电动势近似梯形波的永磁无刷直流电机模型的建立与仿真，通过MATLAB/SIMULINK ，构建一个无刷直流电机的控制系统模型，并对其进行仿真分析。
二、无刷直流电机的数学模型
无刷直流电机具有梯形的反电动势、矩形电流波形，定子与转子的互感是非线性的，因此不宜采用坐标变换的方法进行分析。
为了便于分析，简化系统的模型，假设电机铁磁部分的磁路为线性，即不计饱和、剩磁、磁滞和涡流的影响；不考虑电枢反应对气隙磁场的影响；三相定了为Y 形连接。
由此可得无刷直流电机三相绕组的电压方程如下：
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a c b a C CB
CA
BC B BA
AC AB A c b a c b a e e e i i i p L L L L L L L L L i i i R R R
u u u 0
00000 （1）
其中a u ，b u ，c u ——三相相电压； a i ，b i ，c i ——三相相电流；
a e ，
b e ，
c e ——三相反电动势； A L ，B L ，C L ——三相绕组的自感；
AB L ，AC L ，BA L ，BC L ，CA L ，CB L ——各相绕组间的互感； R ——绕组电组（假设三相相等）； p ——微分算子；
对于转子使用永磁材料构成的无刷直流电动机，转子的影响可忽略，可认为电感是常数，与转子位置无关， 即：
C B A L L L == ；M L L L L L L CB CA BC BA AC AB ======
又因为三相绕组为Y 形连接，无中线，所以任意时刻总有0=++c b a i i i 成立。
由此，三相绕组的电压方程（1）可简化成：
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a c b a c b a c b a e e e i i i p L L L i i i R R R
u u u 0000000
00
000 （2） 据此可以推得无刷直流电动机三相定子绕组的等效电路，如下图1所示：
a
b
c
L
e S
+
-
u i
图1：无刷直流电动机三相定子绕组的等效电路图
又由运动学方程可得：
L d e T f dt
d J
T ++=ωω
（3） 其中J 为无刷直流电动机的转动惯量，d f 为阻尼系数，L T 为负载转矩。
由能量定理，可得电磁转矩：
e c
c b b a a c c b b a a e e i e i e i e p i e i e i e P T ωωω++=++== （4）
其中e P 为电磁功率，e ω为电角速度，p 为无刷直流电动机的极对数。
设无刷直流电动机各相反电动势的幅值为m E ，则：
ωω⨯⨯⨯⨯⨯=e m K r l B N E ＝2 （5）
由于定子线圈绕组匝数N ，气隙磁通密度B ，定子导体的等效长度l ，转子半径r ，都是常数，所以e K 是仅与电机结构有关的常数。
若无刷直流电机采用两两导通的方式，则加上两相通电绕组上的平均电压：
R I E V m m d 22+= （6）
m I 为通电绕组上的电流；
由于无刷直流电动机的电磁转矩： m e e m m m m e e I K I E p I E P T 222====ωωω （7）
由式（3）、（5）、（6）可得： e m e d K R I K V -⨯=2ω （8）
通过式（7）、（8）可以看出，在两两导通方式下，电机的电磁转矩与通电绕组中的电流成正比，且系统数为常值，而转速可以通过改变通电绕组上的平均电压d V 进行控制。
三、电机构建
3．1电压方程模块
根据电压方程（2）与图上，可以在MATLAB/SIMULINK 中构建如下的模型：
图2：电机电压方程
在此模型中，利用电流测试模块直接获得三相电流，反电动势利用可控制电压源实现。
3．2反电动势模块
理想的无刷直流电动机三相反电动势为梯形波、依次相差
120电角度。
由于MATLAB 中实现梯形波比较困难，所以采用削去顶部的正弦波代替（该方法原理图见图3）。
e
ωt A
π/6
π2π
5π/67π/611π/6
0.5
1
-1
-0.5
a
sin(ωt)
图3 近似梯形反电动势
利用公式（5），与图3中的近似梯形反电动势，在MATLAB中构造如下的反电动势模块。
图4反电动势模块
3．3电磁转矩模块
在j e ，j i （j =a,b,c ）与 获得的情况下，电磁转矩模块可以直接套用公式（4）搭建相应的模块，如下图所示：
图5电磁转矩模块
3．4机械运动方程模块
在忽略阻尼的情况下，根据运动方程（3），可以构造电机的运动方程模块如下：
图6机械运动模块
3．5电机整体模块
以上四个模块连接起来，就构成了电机的整体模块，如下图所示：
四、控制系统建模
无刷直流电机的换相是个关键，在本实验中，构建了一个霍尔位置传感器模块，其仿真算法方程如下：
6
5
6
2
a
b
c
H relay sin()
H relay sin()
H relay sin()
π
θ
π
θ
π
θ
⎧⎡⎤
=-
⎪⎢⎥
⎣⎦
⎪
⎪⎡⎤
=-
⎨⎢⎥
⎣⎦
⎪
⎪⎡⎤
=+
⎪⎢⎥
⎣⎦
⎩
（9）
10
()
00
x
y relay x
x
≥
⎧
==⎨
<
⎩
（10）其中θ是电机的转角位置，通过对转速积分获得，具体仿真模块如下图：
图8霍尔模块
ha hb hc Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 1 0
0 1 0 0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 1 0 0 1 0
1 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 1 1 0 0 1 0 0
1 1 0 0 0 1 0 0 1
1 1 1 0 0 0 0 0 0
表1换相逻辑
由以表可搭建换相模块如下：
图9换相模块
控制系统的桥路采用SIMULINK里的通用桥路，通过一个可控制电压源提供电源，采用转速单闭环（PI调节器）控制，整个系统的模型如下图：
图10系统整体仿真模型
五、仿真
U为48V，相电阻Rs为2.56Ω，等效相电感实验中，仿真的电机参数如下：额定电压
N
L为0.00017H，极对数P为10，电机转动惯量J为0.001kg2
m，电势系数
K为0.175，忽略
e
阻尼。
仿真时,速度设定值为80rad/s,电机由空载启动,在0.1 s时,加入负载3 Nm.
仿真结果如下：
图11转速输出
图12 A相电流
图13 A相反电动势
图14 电磁转矩
对照给定输入转速，可以看出，系统可以很快进入稳态，当负载转矩突变（0.1s）时，系统对负载的扰动有较好的抗干扰性能。
六、结论
本文在无刷直流电机的数学模型基础之上，建立了电机本体与控制系统的仿真模型，仿真试验结果符合理论分析，并具有较好的动态、静态响应，系统的脉运较小。
在些模型基础之上，可以方便地进行进一步的研究，例如控制算法的仿真，参数的整定等等，它为分析和设计无刷直流电机控制系统提供了有效的手段与工具。
