解弹道方程求解舰炮武器系统射击诸元的数学模型

舰炮一维弹道修正弹校射方法研究李元生;陈礼国【摘要】In order to improve the firing effect of one-dimensional trajectory correction projectile ( TCP) fired by naval gun ,the reasons that the firing correction methods can not be applied to one-dimensionaTCP was analyzed according to the work principle of one-dimensional TCP .The firing correction methods of one-dimensional TCP was divided into shooting elements correction and target position correction .The new method that the distance deviation was used to correct target location parameters was proposed , and the pseudorange correction amount calculation way was put forward .The firing effect before and after applying the new method was numerically simulated .The simulation result shows that this model can greatly improve the firing effect of naval gun weapon system .The proposed method has a strong theoretical value and reference significance for improving the firing effect of naval gun weapon system .%为提高舰炮使用一维弹道修正弹的作战效能，根据一维弹道修正弹射击工作原理，分析传统修正射击诸元方法无法适用于一维弹道修正弹的原因。

数学建模竞赛承诺书我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

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我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）：我们的队号为：参赛队员：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人：数模组日期： 2009 年 8 月 11 日评阅编号（由评阅老师评阅前进行编号）：数学建模竞赛编号专用页评阅编号：基于导弹发射问题的数学模型摘要本文主要讨论了导弹发射问题，同时通过建立合理的数学模型确定导弹能够成功击毁敌机的条件。

运用多种模型及计算机软件模拟击毁敌机的过程。

针对问题一：我们用微分方程的知识建立了二维平面上的导弹追逐模型。

利用在任何时刻导弹的飞行方向指向敌机的位置得出微分方程和初值条件，并经过严格的数学公式推导和合理的假设，求解出导弹追踪敌机的轨迹方程。

通过模型的求解，我们得出这样的结论：发射该种导弹击毁敌机的条件是：M y <，即M v v v Nv <-212221.针对问题二：由于导弹是来自地面所以用微分方程的知识建立了三维空间上的导弹追逐模型，并把该三维空间上的导弹追逐问题转化为二维平面上的导弹追逐问题，运用问题1的解决方法求解得出II 型地对空导弹追踪敌机的轨迹方程针对问题三：我们建立了比例制导模型和RBF-BP 神经网络模型两个模型，其中比例制导模型运用matlab 软件编程模拟导弹击毁敌机的整个过程，运行程序后输入N ，M ，高度H ，敌机速度v 等各个参数，程序会输出导弹能击毁敌机的最小速度，并且将这个过程表现在三维图像中。

湖南第一师范学院HUNAN FIRST NORMAL UNIVERSITY论文题目: 导弹攻击姓名专业班级及学号分工队员1 李丽11402050122 建立模型，计算队员2 盛名11402050128 建立模型，编程队员3 张旋11402050148 建立模型，画图摘要本文研究导弹攻击敌艇的问题。

首先，本文关于可改变角度的导弹攻击敌艇的问题建立了相关数学模型。

针对第一问，研究速度大小恒定，速度方向随时间改变的导弹，来攻击沿水平方向运动，速度大小不变的敌艇的问题。

由于导弹在任意时刻都指向敌艇，我们通过图形找到了速度和坐标的相似三角形，又根据速度和时间有函数关系，以及对导弹合速度的分解，使用了微分方程模型。

在第二个问题中，由于敌艇的运动方向与导弹每个时刻都成固定90度的角，再利用第一问的方法不再那么简单。

所以采取微元思想把整个攻击过程划分为非常小的时间段来进行研究，然后再用数学归纳法得出一般化的迭代格式，再利用迭代格式得到击中点。

在第三个问题中，本文对第二个问题的特殊角度进行了推广来得出最优逃离角度，即逃离时间周期最长的角度。

第四问根据前三问算出来的数据和画出的图像得出结论。

针对模型的求解，本文第一问使用偏微分方程和参数方程的求解方法计算出，并只用c语言编写程序求解出第二，三问题。

本文模型方法简单易懂，结果采用相关程序用计算机计算，并用matlab画出图像，明了，准确。

在模型的检验模型中，本文分别讨论了以上模型的精度和稳定性。

最后通过修改模型，得出导弹追击敌艇的模型。

关键词：微分方程模型、微元思想、数学归纳法、迭代公式一、问题重述1、问题背景：导弹自第二次世界大战问世以来，受到各国普遍重视，得到很快发展。

导弹的使用，使战争的突然性和破坏性增大，规模和范围扩大，进程加快，从而改变了过去常规战争的时空观念，给现代战争的战略战术带来巨大而深远的影响。

导弹技术是现代科学技术的高度集成，它的发展既依赖于科学与工业技术的进步，同时又推动科学技术的发展，因而导弹技术水平成为衡量一个国家军事实力的重要标志之一。

火炮内弹道求解与计算摘要：本文结合火炮内弹道基本方程，得出压力、速度与行程、时间的关系式。

并利用了MATLAB 的程序对该火炮系统的内弹道过程进行求解。

关键词：内弹道基本方程；MATLAB ；1.火炮内弹道诸元火炮内弹道诸元数据如下表所示：αχ2.①前期：考虑为定容燃烧过程，则有条件：MPa p p V V v x 30,0,0,000======则有025.011V 0000=-+-=ραρωψp f ，013.0214100=-+=λψχλZ令99.04100=+=ψχλσ ②第一时期：将前期的参量计算得出之后，代入方程组，解算第一时期的v 、p 值。

考虑ψV 平均法，利用20ψψψψV V V V +==若设x=Z-Z 0则可得x x mSI v k 3.658==ϕ，ψψθψωθψωl l xB S f V V x B f p +-=+-=2222③第二时期：考虑第二时期无火药燃烧，则有：v =3.使用对，theta =0.2; %火药热力系数%========================================= f=960000; %火药力 kg*dm/kg alpha=1; %余容 dm^3/kgdelta=1.6; %火药密度ρ kg/dm^3%================================== ome=5.5; %装药量 kgu1=1.6184*10^-5; %第一种装药烧速系数 dm^3/(s*kg) n1=1; %装药压力指数n1lambda=-0.5; %装药形状特征量λlambda_s=0; %装药分裂点形状特征量λschi=2.01; %装药形状特征量χchi_s=0; %装药分裂点形状特征量χsmu=0; %装药形状特征量μet1=1.7*10^-2; %装药药厚δ0d1=1.7*10^-2; %装药火药内径dB=1.602;%=========================================%常数与初值计算----------------------------------------------------------------- l_0=V0/S;Delta=ome/V0;phi=1.276;%C;p = px*f*Delta/100;v = vx*v_j/10;l = lx*l_0;t = tt*l_0*1000/v_j;fl = find(l>=I_g);fl = min(fl)+1;p(fl:end)=[];v(fl:end)=[];l(fl:end)=[];t(fl:end)=[];pd=px*f*Delta/100/(1+ome/3/fai1/M);pt=pd*(1+ome/2/fai1/M);aa=max(px);M=find(px==aa);Pm=[tt(M)*l_0*1000/v_j lx(M)*l_0 vx(M)*v_j/10 px(M)*f*Delta/100 pt(M) pd(M) psi(M) Z(M)];%ll=length(tt);ran=find(Z>=1);ran=min(ran);Zf=[tt(ran)*l_0*1000/v_j lx(ran)*l_0 vx(ran)*v_j/10 px(ran)*f*Delta/100 pt(ran) pd(ran) psi(ran)Z(ran)];jie=find(psi>=1);jie=min(jie);psij=[tt(jie)*l_0*1000/v_j lx(jie)*l_0 vx(jie)*v_j/10 px(jie)*f*Delta/100 pt(jie) pd(jie) psi(jie) Z(jie)];pg=[tt(end)*l_0*1000/v_j lx(end)*l_0 vx(end)*v_j/10 px(end)*f*Delta/100 pt(end) pd(end) psi(end) Z(end)];title('\fontsize{8}\bfl-v曲线');tspan = length(t)/20;tspan = 1:ceil(tspan):length(t);tspan(end) = length(t);fprintf(' t(ms) p(kg/cm^2) v(m/s) l(dm)');format short g;Result = [t(tspan) p(tspan) v(tspan) l(tspan)]format;%--------------------------------------------------------------------------function dy = ndd_fun(t,y,C)chi=C(1);lambda=C(2);lambda_s=C(3);chi_s=C(4);Z_s=C(5);mu=C(12);theta=C(6);B=C(7);V=C(8);Delta=C(9);delta=C(10);alpha=C(11);Z = y(1); l = y(2); v = y(3);psi = (Z>=0&Z<1).*( chi*Z.*(1 + lambda*Z + mu*Z) ) +...(Z>=1&Z<Z_s).*( chi_s*Z.*(1 + lambda_s*Z) ) +...(Z>=Z_s)*1;l_psi = 1 - (Delta/delta)*(1-psi) - alpha*Delta*psi;p = ( psi - v*v )/( l + l_psi );dy(1) = sqrt(theta/(2*B))*(p^V)*(Z>=0&Z<=Z_s);dy(2) = v;dy(3) = theta*p/2;dy = [dy(1);dy(2);dy(3)];[1][2]吴晶,程[3]。

数学建模实验报告实验名称：导弹追踪问题问题背景描述：设位于坐标原点的甲舰向位于x 轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v0(是常数)沿平行于y 轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？主要内容（要点）：解法一（解析法）设导弹在t 时刻的位置为P(x(t), y(t))，乙舰位于),1(0t v Q .由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线PQ就是导弹的轨迹曲线弧OP 在点P 处的切线，即有 x y t v y --=1'0 即 y y x t v +-=')1(0 (1)又根据题意，弧OP 的长度为AQ 的5倍，即 t v dx y x0025'1=+⎰ (2)由(1),(2)消去t 整理得模型:(3) '151")1(2y y x +=- 初值条件为: 0)0(=y 0)0('=y解即为导弹的运行轨迹:245)1(125)1(855654+-+--=x x y 当1=x 时245=y ，即当乙舰航行到点)245 ,1(处时被导弹击中. 被击中时间为:00245v v y t ==. 若v 0=1, 则在t=0.21处被击中. 解法二(数值解)令y1=y,y2=y1’，将方程（3）化为一阶微分方程组。

2151'')1(y y x +=- ⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧-+==)1/(151''21221x y y y y 1.建立m-文件eq1.mfunction dy=eq1(x,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x);2. 取x0=0，xf=0.9999，建立主程序ff6.m 如下：x0=0，xf=0.9999[x,y]=ode15s('eq1',[x0 xf],[0 0]);plot(x,y(:,1),’b.')hold ony=0:0.01:2;plot(1,y,’b*')结论: 导弹大致在（1，0.2）处击中乙舰解法三(建立参数方程求数值解)设时刻t 乙舰的坐标为(X(t)，Y(t))，导弹的坐标为(x(t)，y(t)).1．设导弹速度恒为w ，则 222)()(w dtdy dt dx =+ （1） 2. 由于弹头始终对准乙舰，故导弹的速度平行于乙舰与导弹头位置的差向量，即： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y Y x X dt dy dt dx λ， 0>λ （2） 消去λ得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+-=--+-=)()()()()()(2222y Y y Y x X w dt dy x X y Y x X w dt dx （3） 3．因乙舰以速度v0沿直线x=1运动，设v0=1，则w=5，X=1，Y=t因此导弹运动轨迹的参数方程为： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--+-=--+-=0)0(,0)0()()()1(5)1()()1(52222y x y t y t x dt dy x y t x dt dx 4. 解导弹运动轨迹的参数方程建立m-文件eq2.m 如下：function dy=eq2(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=5*(1-y(1))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);dy(2)=5*(t-y(2))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);取t0=0，tf=2，建立主程序chase2.m如下：[t,y]=ode45('eq2',[0 2],[0 0]);Y=0:0.01:2;plot(1,Y,'-')， hold onplot(y(:,1),y(:,2),'*')实验过程记录（含：基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：图1 图2导弹大致在（1，0.2）处击中乙舰，与前面的结论一致.在chase2.m中，按二分法逐步修改tf，即分别取tf=1，0.5,0.25,…,直到tf=0.21时，得图2.实验结果报告与实验总结：结论：t=0.21时，导弹在（1，0.21）处击中乙舰。

火炮内弹道求解与计算 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】火炮内弹道求解与计算摘要：本文结合火炮内弹道基本方程，得出压力、速度与行程、时间的关系式。

并利用了MATLAB的程序对该火炮系统的内弹道过程进行求解。

关键词：内弹道基本方程；MATLAB；1.火炮内弹道诸元火炮内弹道诸元数据如下表所示：炮膛断面积S药室容积V0弹丸全行程I g弹丸质量m装药质量ωdm2dm3dm kg kg0.8187.9247.4815.6 5.5火药参数如下表所示：F燃气比热比k 管状火药长2a管状火药厚δ2kJ/kg dm3/kg kg/dm31mm mm 9601 1.6 1.2260 1.7协调常量如下表所示：B Ik 挤进压力P01 1 kPa ·s MPa1.602 1.276 1601.9 30其他所需的参数计算：1b 0==δα；301054.6a -⨯==δβ；01.21=++=βαχ；50.01--=++++=βααββαλ； 2.内弹道基本方程组及其解析解法方程组建立如上，则考虑三个时期分别求解：①前期：考虑为定容燃烧过程，则有条件：MPa p p V V v x 30,0,0,000====== 则有025.011V 00000=-+-=ραρωψp f ，013.0214100=-+=λψχλZ 令99.04100=+=ψχλσ ②第一时期：将前期的参量计算得出之后，代入方程组，解算第一时期的v 、p 值。

考虑ψV 平均法，利用20ψψψψV V V V +==若设x=Z-Z 0 则可得x x m SI v k 3.658==ϕ，ψψθψωθψωl l x B S f V V x B f p +-=+-=2222 ③第二时期：考虑第二时期无火药燃烧，则有： 设极限速度66.162812=-=mk f v j ϕω）（ )1()(122111j k k k j v v l l l l v v -++-=-，ll v v S f P j +-⋅=1221ω 利用①~③可得各个时期的p-l ，v-l 曲线。

导弹弹道微分方程
导弹弹道问题涉及微分方程的应用。

在物理学和工程学中，我们经常需要研究导弹的飞行轨迹，这可以通过微分方程来描述。

导弹的弹道通常受到重力、空气阻力和推进力等因素的影响，因此可以用微分方程来建模。

首先，我们可以考虑导弹在水平和垂直方向上的运动。

在水平方向上，导弹受到空气阻力的影响，可以用阻尼微分方程来描述。

在垂直方向上，导弹受到重力和推进力的影响，可以用牛顿第二定律和运动学方程来描述。

在考虑导弹弹道的微分方程时，需要考虑导弹的质量、速度、位置和受力情况。

通常情况下，我们可以将导弹的运动分解为水平和垂直两个方向的运动，并分别建立微分方程模型。

这些微分方程可以是一阶、二阶或更高阶的，具体形式取决于考虑的因素和问题的复杂程度。

在实际应用中，为了求解这些微分方程，我们通常会借助数值方法或符号计算软件来进行模拟和求解。

这些方法可以帮助我们预测导弹的飞行轨迹、优化飞行路径以及设计导弹的控制系统。

总之，导弹弹道问题涉及微分方程的建模和求解。

通过建立合适的微分方程模型，我们可以更好地理解导弹的飞行特性，并为导弹的设计和控制提供理论支持。

炮弹弹道计算公式炮弹的弹道问题可以简化为一个二维平面上的运动问题。

我们假设炮弹在空中只受到重力和空气阻力的作用，忽略其他因素如风向和风速等。

在这种情况下，我们可以使用牛顿的运动定律来描述炮弹的运动。

首先，我们需要定义一些基本参数来描述炮弹的运动。

这些参数包括：初始速度v0，发射角度α，炮弹质量m，重力加速度g，空气阻力系数k，以及计算的时间步长Δt。

根据牛顿的运动定律，我们可以得到炮弹在X和Y方向上的加速度分量：ax = -k/m * v * vxay = -g - k/m * v * vy其中，vx和vy分别是炮弹在X和Y方向上的速度分量。

由于炮弹只受到水平方向上的风阻力，所以在x方向上的加速度只与水平速度vx有关。

而在y方向上，炮弹除了受到竖直向下的重力加速度外，还受到竖直向上的风阻力。

根据以上的加速度分量和运动学公式，我们可以得到炮弹在X和Y方向上的速度和位移变化：vx(t+Δt) = vx(t) - (k/m * v * vx(t)) * Δtvy(t+Δt) = vy(t) - (g + (k/m * v * vy(t))) * Δtx(t+Δt) = x(t) + vx(t) * Δty(t+Δt) = y(t) + vy(t) * Δt其中，t为当前时间，t+Δt为下一个时间步长的时间。

根据以上的公式，我们可以通过递推的方式，计算炮弹在每个时间步长的速度和位移变化。

当然，以上的公式仅考虑了炮弹在空中的运动情况，并没有考虑炮弹的发射和命中目标的情况。

为了进一步计算炮弹的发射和命中目标的情况，我们还需要考虑发射条件和目标参数。

发射条件主要包括炮弹的初始速度v0和发射角度α。

目标参数主要包括目标的位置坐标和半径。

假设炮弹的出发点为(0,0)，根据发射条件我们可以计算出炮弹的初始速度分量：vx(0) = v0 * cos(α)vy(0) = v0 * sin(α)在每个时间步长，我们可以计算炮弹的速度和位移变化：vx(t+Δt) = vx(t) - (k/m * v * vx(t)) * Δtvy(t+Δt) = vy(t) - (g + (k/m * v * vy(t))) * Δtx(t+Δt) = x(t) + vx(t) * Δty(t+Δt) = y(t) + vy(t) * Δt如果我们设置一个终止条件，例如炮弹的Y坐标小于0或者炮弹和目标的距离小于目标的半径，那么我们可以通过不断迭代上述的公式，获得炮弹的最终的飞行轨迹。