六大类基本初等函数
（1）多项式函数：自变量与因变量之间满足一定阶数的多项式关系，如指数函数、二次函数、三次函数等。
（2）指数函数：自变量与因变量之间满足指数关系的函数，如指数函数、对数函数等。
（3）三角函数：自变量与因变量之间满足三角关系的函数，如正弦函数、余弦函数、正切函数等。
（4）幂函数：自变量与因变量之间满足幂次关系的函数，如复幂函数、指数函数、对数函数等。
（5）反比例函数：自变量与因变量之间满足反比例关系的函数，如倒数函数、开方函数等。
（6）指定范围的函数：将自变量的取值范围限定在一定的范围，而因变量的取值仅限于某一特定值，如奇函数、偶函数等。
基本初等函数 初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数。不是初等函数的函数，称为非初等函数，如狄利克雷函数和黎曼函数。有两种分类方法：数学分析有六种基本初等函数，高等数学只有五种。 基本初等函数包括以下几类： (1)常数函数y=c（c为常数） （2）幂函数y=x^a（a为常数） (3)指数函数y=a^x（a>0,a≠1） (4)对数函数y=log(a)x（a>0,a≠1，真数x>0） (5)三角函数和反三角函数(如正弦函数:y=sinx反正弦函数：y=arcsinx等） 幂函数定义：一般来说，形状如y=xα(α具有理数的函数，即以底数为自变量，幂为变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/xy=x0时x ≠0)等等都是幂函数。一般形式如下：（α它是常数，可以是自然数、有理数，也可以是任复数。 指数函数定义：指数函数是数学中的一个重要函数。应用于值e的函数写为exp(x)。也可以等价写作ex，e是数学常数，是自然对数的底数，近似等于2.718281828，又称欧拉数。一般形式如下：（a>0,a≠1） 对数函数定义：一般来说，函数y=logax（a>0，且a≠1)称为对数函数，即以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量函数，称为对数函数。 x是自变量，函数定义域为(0、∞），即x>0.它实际上是指数函数的反函数，可以表示为x=ay。因此，指数函数中对a的规定也适用于对数函数。一般形式如下：（a>0,a≠1，x>0,特别当α=e时，记为y=lnx） 常见的三角函数主要有以下六种： 正弦函数：y=sinx 余弦函数：y=cosx 正切函数：y=tanx 余切函数：y=cotx
基本初等函数初等函数 初等函数是指可以用有限次加、减、乘、除、乘方、开方、指数、对数、函数互反和常数的四则运算来表示的函数。它是高中数学中的一种函数类型，是数学研究和应用中最基本、最常见的一类函数。 最基本的初等函数包括： 1.常数函数：y=C，其中C为任意常数。常数函数在整个定义域上都保持不变。 2. 一次函数：y = mx + b，其中m和b为任意常数，m表示斜率，b 表示截距。一次函数的图像为一条直线。 3.幂函数：y=x^r，其中r为任意的实数。幂函数是由自变量的幂指数决定的。 4.指数函数：y=a^x，其中a为一个正常数且不等于1、指数函数的图像呈现指数增长或指数衰减的形式。 5. 对数函数：y = log_a(x)，其中a为一个正数且不等于1、对数函数是指数函数的反函数，可以解决指数方程。 6. 三角函数：包括正弦函数y = sin(x)，余弦函数y = cos(x)，正切函数y = tan(x)等。三角函数是周期性的函数。 除了以上基本初等函数外，复合函数也属于初等函数的范畴。例如，将两个初等函数通过运算符号连接在一起形成的函数仍然属于初等函数。例如加、减、乘、除、复合函数、互反函数等等。 初等函数在数学的研究和应用中起着非常重要的作用。它们广泛应用于科学、工程、经济、物理、化学、生物学等领域中的数学模型建立和问
题求解。通过使用初等函数，我们可以更好地描述和分析变量之间的关系，从而更好地理解和预测实际问题。 初等函数的性质和特点也是数学学科中的重要内容之一、初等函数的 图像、定义域、值域、对称性、奇偶性、单调性、极值等特征都可以通过 数学工具和方法进行研究和分析。 总之，初等函数是数学中最基本和常见的一类函数。它们通过有限次 的四则运算、函数互反和常数的运算构成，在数学的研究和应用中起着重 要的作用。初等函数的性质和特点也是数学学科中的重要内容之一、通过 学习初等函数，我们可以更好地理解和应用数学知识，解决实际问题。
WORD 格式整理版 六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C （其中 C 为常数）； 常数函数（ y C ） C 0 y y C y 0 x O 平行于 x 轴的直线 定义域 R 二、幂函数 y x ，x是自变量，是常数； y 1 1. 幂函数的图像：y x2 y x2 y x1O 2.幂函数的性质； 性质y x y x2y x3函数 定义域R R R 值域R[0,+ ∞ )R 奇偶性奇偶奇 单调性增[0,+ ∞) 增 增(-∞ ,0]减 公共点（ 1,1） C 0 y O y轴本身 定义域 R y x y x3 x 1 y x2 [0,+ ∞ ) [0,+ ∞ ) 非奇非偶 增 x y x 1 {x|x ≠ 0} {y|y ≠ 0} 奇 (0,+∞) 减 (-∞ ,0) 减
WORD 格式整理版 1）当 α 为正整数时，函数的定义域为区间为 x ( , ) ，他们的图形都经过原点，并当 α >1 时 在原点处与 x 轴相切。且 α为奇数时，图形关于原点对称； α 为偶数时图形关于 y 轴对称； 2）当 α 为负整数时。函数的定义域为除去 x=0 的所有实数； 3）当 α 为正有理数 m 时， n 为偶数时函数的定义域为（ 0, +∞）， n 为奇数时函数的定义域为（ - n ∞ ,+∞），函数的图形均经过原点和（ 1 ,1）； 4）如果 m>n 图形于 x 轴相切，如果 m 六大基本初等函数图像及其性质 一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）； 常数函数（C y =） 0≠C 0=C 平行于x 轴的直线 y 轴本身 定义域R 定义域R 二、幂函数 α x y = ，x 是自变量，α是常数； 1.幂函数的图像： 2.幂函数的性质； 性质 函数 x y = 2x y = 3x y = 2 1x y = 1-=x y 定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 [0,+∞) 增 增 增 (0,+∞) 减 (-∞,0] 减 (-∞,0) 减 公共点 （1,1） x y O x y =2 x y =3 x y =1 -=x y 2 1x y = O =y x C y =O x y y 1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m 六大基本初等函数图像及其性质 一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）； 二、幂函数 α y =1.幂函数的图像： 【 3 y 1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m > 1）当1>a 时函数为单调增,当10<a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； .当10< 六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（此中 C 为常数）； 常数函数（ y C ） C 0C0 y y y C x y 0 x O O 平行于x 轴的直线y 轴自己 定义域R定义域R 二、幂函数 y x ，x是自变量，是常数； 1 y y x 1.幂函数的图像：2 y x2y x y x3 y x1O x 2.幂函数的性质； 性质 y x y x231 y x1 y x y x2 函数 定义域R R R[0,+ ∞ ){x|x ≠ 0}值域R[0,+ ∞ )R[0,+ ∞ ){y|y ≠ 0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇 单一性增[0,+∞) 增 增增 (0,+∞ )减(-∞ ,0] 减(-∞ ,0)减 公共点（ 1,1） 1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为x ( , ) ，他们的图形都经过原点，并当α>1 时 在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形对于原点对称；α为偶数时图形对于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除掉x=0 的全部实数； 3）当α为正有理数m 时，n为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n为奇数时函数的定义域为（-n ∞ ,+∞），函数的图形均经过原点和（ 1 ,1）； 4）假如 m>n 图形于 x 轴相切，假如m 六大基本初等函数 1.常数函数：常数函数是指函数的输出总是一个常数。它的函数表达 式为f(x)=c，其中c是一个常数。常数函数的图像是一条平行于x轴的 直线，它不随x的变化而变化。在实际生活中，常数函数常用来表示不随 时间变化的恒定值，比如温度恒定的物体的温度分布。 2. 一次函数：一次函数是指函数的输出与 x 成线性关系。它的函数 表达式为 f(x) = ax + b，其中 a 和 b 是常数。一次函数的图像是一条 直线，其斜率表示了函数的变化速率。一次函数常用于描述线性关系，比 如速度与时间之间的关系。 3. 二次函数：二次函数是指函数的输出与 x 的平方成二次关系。它 的函数表达式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数且 a 不等于零。二次函数的图像是一条抛物线，开口的方向由 a 的正负决定。二次函数常用于描述抛物线运动、曲线的形状等。 4.指数函数：指数函数是指函数的输出与指数成指数关系。它的函数 表达式为f(x)=a^x，其中a是大于零且不等于1的常数。指数函数的图 像是一条逐渐上升或逐渐下降的曲线，其增长速度取决于底数a的大小。 指数函数常用于描述成长或衰减的过程，比如人口增长、物质的衰变等。 5. 对数函数：对数函数是指函数的输出与指数的自然对数成对数关系。它的函数表达式为 f(x) = log_a(x)，其中 a 是大于零且不等于 1 的常数。对数函数的图像是一条逐渐上升或逐渐下降的曲线，其增长速度 取决于底数 a 的大小。对数函数常用于解决指数方程、计算复杂度等问题。 6. 三角函数：三角函数是指与角度相关的函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。它们的函数表达式分别为 sin(x)、cos(x) 和 tan(x)。三角函数的图像是周期性的波动曲线，用来描述周期性的物理现象或数学模型。三角函数广泛应用于几何、物理、振动等领域。 总结起来，六大基本初等函数包括常数函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数。它们在数学中的应用非常广泛，可以描述和解决各类数学问题。通过理解和掌握这些函数的特点和性质，可以更好地理解数学规律，提高数学解题的能力。 六大基本初等函数图像及其性质 六大基本初等函数图像及其性质 一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数)； α 1 1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ,他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称;α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时,n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞）,n 为奇数时函数的定义域为（—∞,+∞），函数的图形均经过原点和(1 ，1）； 4）如果m 〉n 图形于x 轴相切，如果m 1)当1>a 时函数为单调增，当10<a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10< 六大基本函数 计算机在进行图像处理时，经常需要使用到“六大基本函数”，它们是正弦函数、余弦函数、正切函数、自然对数函数、指数函数和幂函数。这些函数在计算机图像处理中占有非常重要的位置。下面我们来分步骤阐述这六大基本函数。 一、正弦函数 正弦函数是一个周期函数，其函数值在0到1之间。可以用如下公式表示： y = A*sin(ωx + φ) 其中，A是振幅，ω表示角频率，φ是初相位。这个函数常常被用来表示周期随时间变化的情况，如音频信号，动态图等。 二、余弦函数 余弦函数也是一个周期函数，其函数值在-1到1之间。可以用下式表示： y = A*cos(ωx + φ) 其中，A、ω、φ的意义与正弦函数相同。余弦函数在计算机图像中同样得到广泛的应用，它被用来计算图像的边缘和形态。 三、正切函数 正切函数是一个周期函数，其函数值在负无穷到正无穷之间。可以用下式表示： y = A*tan(ωx + φ) 正切函数广泛应用于计算机图像处理中的投影变换方面。 四、自然对数函数 自然对数函数是一个非周期函数，其函数值在0到正无穷之间。可以用下式表示： y = ln(x) 自然对数函数常常用于计算机视觉中的图像分割和边缘检测。 五、指数函数 指数函数也是一个非周期函数，其函数值在0到正无穷之间。可以用下式表示： y = A^x 指数函数在图像的灰度级扩展和动态范围压缩中得到广泛应用。 六、幂函数 幂函数是一个非周期函数，其函数值在负无穷到正无穷之间。可以用下式表示： y = x^a 幂函数在图像的变形和畸变校正中起到了关键作用。 在计算机图像处理中，正弦函数、余弦函数、正切函数、自然对数函数、指数函数和幂函数是六大基本函数。这些函数的使用可以帮助我们进行图像处理，处理更加准确、高效、便捷。六大基本初等函数图像及性质
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