课题：函数的极限和连续性
教学目标：1.了解函数极限的概念；2.掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限；3.了解函数连续的意义；4.理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质 （一） 主要知识及主要方法： 1.函数极限的定义:
()1当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数()f x 无限趋近于一个常数a ，就说当x
趋向于正无穷大时，函数()f x 的极限是a ，记作：lim ()x f x a →+∞
=，或者当x →+∞时，
()f x a →；()2当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数()f x 无限趋近于一
个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数()f x 的极限是a . 记作lim ()x f x a →-∞
=或者当当x →-∞时，()f x a →
()3如果lim ()x f x a →+∞=且lim ()x f x a →-∞
=，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数()f x 的极限是a ，记作：lim ()x f x a →∞
=或者当x →∞时，()f x a → .
2.常数函数:()f x c =(x R ∈)，有lim ()x f x c →∞
=.
lim ()x f x →∞
存在，表示lim ()x f x →+∞
和lim ()x f x →-∞
都存在，且两者相等所以lim ()x f x →∞
中的∞既
有+∞，又有-∞的意义，而数列极限lim n x a →∞
中的∞仅有+∞的意义.
3.趋向于定值的函数极限概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数
)(x f y =无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是a ，记作
lim ()x x f x a →=.特别地，C C x x =→0
lim ；00
lim x x x x =→.
4.0
lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔==.
其中0
lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，
0lim ()x x f x a +
→=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限.
5.对于函数极限有如下的运算法则：
如果0
lim ()x x f x A →=，lim ()o
x x g x B →=,那么0
lim[()()]x x f x g x A B →+=+,
lim[()()]x x f x g x A B →⋅=⋅, 0
()lim
(0)()x x f x A
B g x B
→=≠. 当C 是常数，n 是正整数时:0
lim[()]lim ()x x x x Cf x C f x →→=,0
lim[()][lim ()]n
n
x x x x f x f x →→=
这些法则对于∞→x 的情况仍然适用.
6.函数在一点连续的定义: 如果函数()f x 在点0x x =处有定义，0
lim ()x x f x →存在，
且0
0lim ()()x x f x f x →=，那么函数()f x 在点0x x =处连续.
7.函数()f x 在(),a b 内连续的定义：
如果函数()f x 在某一开区间(),a b 内每一点处连续，就说函数()f x 在开区间(),a b 内连续，或()f x 是开区间(),a b 内的连续函数.
8.函数()f x 在[],a b 上连续的定义：
如果()f x 在开区间(),a b 内连续，在左端点x a =处有lim ()()x a
f x f a +→=，在右端点x b =处有lim ()()x b
f x f b -
→=就说函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,或()f x 是闭区间[],a b 上的连续函数.
9.最大值：()f x 是闭区间[],a b 上的连续函数，如果对于任意[],x a b ∈，1()f x ≥()f x ，那么()f x 在点1x 处有最大值1()f x .
10.最小值：()f x 是闭区间[],a b 上的连续函数，如果对于任意[],x a b ∈，2()f x ≤()f x ，那么()f x 在点2x 处有最小值2()f x .
11.最大值最小值定理
如果()f x 是闭区间[],a b 上的连续函数，那么()f x 在闭区间[],a b 上有最大值和最小值.
12.极限问题的基本类型：分式型，主要看分子和分母的首项系数；
指数型(
00和∞
∞
型），通过变形使得各式有极限； 根式型(∞-∞型)，通过有理化变形使得各式有极限；
13.根的存在定理：若①函数()f x 在[],a b 上连续，②()()0f a f b ⋅<，则方程()0
f x =
至少有一根在区间(),a b 内；若①函数()f x 在[],a b 上连续且单调，②()()0f a f b ⋅<，则方程()0f x =有且只有一根在区间(),a b 内. （二）典例分析：
问题1．求下列函数的极限：
()14455lim 13x x x x x →∞---；()
2lim x ()
3lim x x →+∞
；
()42cos lim cos
sin 22
x x
x x π→-；()5322232lim 6x x x x x x →-++--；()
60x →0a >);
()7（06某某）22
41lim 42x x x →-⎛
⎫-= ⎪-+⎝⎭()8（07某某）21
21
1lim 21x x x x x +⎛⎫-= ⎪+--⎝⎭
→
问题2．()1若22
2lim 22
x x ax b
x x →++=--，求a 、b 的值.
()2设0a >
，若(lim 1x ax →+∞
=-，求常数a 、b 的值.
()3（07某某）设正数a b ,满足2
2lim()4x x ax b →+-=，则111lim 2n n n n n a ab a b +--→∞+=+.A 0.B 14.C 1
2
.D 1
问题3．讨论下列函数在给定点处的连续性.
()124)(2--=
x x x f ，点2=x ；()2⎩
⎨⎧≤<-≤<-=31,21
0,1)(x x x x x f ，点1=x ；
()3
试讨论函数20()13,02
x f x x x >=⎨
⎪+⎪⎩≤，点0x =
问题4．()1已知(
)
()()
0()101x a x f x x b x +⎧=-<<⎪
=-⎪⎩
≥ ，在区间[)1,-+∞上连续，求,a b
()2（08届高三某某眉山市一诊）已知函数()()1()3
log 1a b
a x f x x x
b x ⎧-<⎪
=-⎨⎪+⎩
≥在R 上连续且单调递增，则实数b ∈
问题5．已知函数()f x x =()1当[]1,1x ∈-时，求()f x 的最大值和 最小值；()2解方程()0f x =；()3求出该函数的值域.
问题6．证明：方程21x
x ⋅=至少有一个小于1的正根.
（三）课后作业：
1.已知222
lim
2
x x mx n x →-++=+，求,m n 的值.
2.若21lim 111x a b x x →⎛⎫+=- ⎪--⎝
⎭（a 、b 为常数），则a =；b =
3.已知()f x =
0x ≠），那么给(0)f 一个定义，使()f x 在0x =处
连续，则(0)f 应是.A 0.B 1-.C 1.D 1
2
4.（07某某一模）设()f x 是一个一元三次函数且1
()lim
61x f x x →-=+，2()3
lim 22
x f x x →=--，
则3
()lim
3x f x x →=-.A 2.B 43.C 8
3
.D 4
5.设函数()f x 在1x =处连续，且1
()lim
21x f x x →=-，则(1)f =.A 1-.B 0.C 1
2
.D 2
（四）走向高考：
6.（05某某）若1
(1)
lim
11
x f x x →-=-，则11lim
(22)x x f x →-=- .A 1-.B 1.C 12-
.D 2
1
7.（05某某）若1)11(lim 21=---→x
b x a x ，则常数b a ,的值为 .A 4,2=-=b a .B 4,2-==b a .C 4,2-=-=b a .D 4,2==b a
8.（05某某）设0abc ≠，1
lim 3
x cx a ax b →∞+=+，223lim 4x ax bx bx c →∞+=-，则332lim x cx bx c bx cx a →∞+-=-+ .A 4.
B 49.
C 14.
D 94
9.（07某某）22
11lim 21x x x x →-=--.A 0.B 1.C 21.D 3
2
（07某某）32
1lim 1
x x x x →--.A 等于0.B 等于1.C 等于3.D 不存在
10.（07某某）设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22
lim n n n
a n S →∞-=
11.（07全国Ⅱ）已知数列的通项52n a n =-+，其前n 项和为n S ，则2
lim
n
n S n ∞=→
12.（07某某）下列四个命题中，不正确．．．
的是 .A 若函数()f x 在0x x =处连续，则0
lim ()lim ()x x x x f x f x +-=→→
.B 函数22
()4
x f x x +=
-的不连续点是2x =和2x =- .C 若函数()f x ，()g x 满足lim[()()]0x f x g x ∞
-=→，则lim ()lim ()x x f x g x ∞
∞
=→→
.D 111
lim
12
x x x -=-→
13.（07某某）如图，抛物线21y x =-+与x 轴的正半轴交于
点A ，将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为12,P P ，…，
1n P -，过这些分点分别作x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为 12Q Q ,，…，1n Q -，从而得到1n -个直角三角形11Q OP △， 212121n n n Q PP Q P P ---△，，
△．当n →∞时，这些三角形 的面积之和的极限为
y x
1Q 2Q
1n Q +
21y x =+
1P 2P
2n P - 1n P -
O
14.（07某某）已知函数21(0)()2(1)
x
c cx x c f x k c x -+<<⎧⎪
=⎨⎪+<⎩ ≤在区间(01)，内连续， 且2
9
()8
f c =．()1某某数k 和c 的值；()2
解不等式()1f x >+．
15.（04某某）设函数()()ln f x x x m =-+，其中常数m 为整数.
()1当m 为何值时，()f x ≥0；()2定理：若函数()g x 在[],a b 上连续，且()g a 与()
g b 异号，则至少存在一点()0,x a b ∈，使得()00g x =.
试用上述定理证明：当整数1m >时，方程()0f x =在2,m m
e m e m -⎡⎤--⎣⎦内有两个实根.
函数的极限及连续性 函数的极限和连续性是微积分学中非常重要的概念，它们在数学和 科学的各个领域中都有广泛的应用。本文将介绍函数的极限和连续性 的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。 一、函数的极限 函数的极限是用来描述函数在某一点上的变化趋势的概念。在数学中，我们通常用极限来研究函数的性质和行为。 1.1 定义 设函数 f(x) 在某一点 a 的某一个邻域内有定义，如果存在一个常数L，对于任意给定的正数ε，都存在另一个正数δ，使得当 0 < |x - a| < δ 时，有 |f(x) - L| < ε成立，那么我们就称函数 f(x) 在点 a 处的极限为 L，记作lim┬(x→a)〖f(x)=L〗。 1.2 性质 函数的极限具有一些特性，如唯一性、局部有界性、保号性等。这 些性质使得我们可以通过极限来推导函数的一些重要性质。 1.3 应用 函数的极限在微积分、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。例如，在物理学中，我们可以通过函数的极限来描述在某一瞬间的速度、加速度等物理量的变化情况。 二、函数的连续性
连续性是函数在某一点上无间断变化的特性。一个函数若在其定义 域上的任意一点都满足连续性，则称该函数为连续函数。 2.1 定义 设函数 f(x) 在点 a 处有定义，如果满足以下三个条件： 1) f(a) 存在； 2) lim┬(x→a)〖f(x) exists〗； 3) lim┬(x→a)〖f(x) = f(a)〗； 那么我们就称函数 f(x) 在点 a 处连续。 2.2 性质 连续函数具有一些重要的性质，如连续函数的局部保号性、介值性等。这些性质使得我们可以通过连续函数来解决一些实际问题。 2.3 应用 函数的连续性在经济学、物理学、统计学等领域中有着广泛的应用。例如，在经济学中，我们可以通过连续函数来描述市场价格的变化情况。 三、函数的极限与连续性的关系 函数的极限和连续性是紧密相关的。在微积分学中，我们通常使用 函数的极限来研究函数的连续性。 3.1 极限存在与连续性
课题：函数的极限和连续性 教学目标： 1.了解函数极限的概念；2.掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限；3.了解函数连续的意义；4.理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质 （一） 主要知识及主要方法： 1.函数极限的定义: ()1当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数()f x 无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数()f x 的极限是a ，记作：lim ()x f x a →+∞ =，或者当x →+∞时， ()f x a → ；()2当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数()f x 无限趋近于 一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数()f x 的极限是a . 记作lim ()x f x a →-∞ =或者当当x →-∞时，()f x a → ()3如果lim ()x f x a →+∞=且lim ()x f x a →-∞ =，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数()f x 的极限是a ，记作：lim ()x f x a →∞ =或者当x →∞时，()f x a → . 2.常数函数:()f x c = (x R ∈)，有lim ()x f x c →∞ =. lim ()x f x →∞ 存在，表示lim ()x f x →+∞ 和lim ()x f x →-∞ 都存在，且两者相等所以lim ()x f x →∞ 中的∞既 有+∞，又有-∞的意义，而数列极限lim n x a →∞ 中的∞仅有+∞的意义. 3.趋向于定值的函数极限概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数 )(x f y =无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是a ，记作 lim ()x x f x a →=.特别地，C C x x =→0 lim ；00 lim x x x x =→. 4.0 lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=?==. 其中0 lim ()x x f x a - →=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限， 0lim ()x x f x a + →=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限. 5.对于函数极限有如下的运算法则： 如果0 lim ()x x f x A →=，lim ()o x x g x B →=,那么0 lim[()()]x x f x g x A B →+=+, 0lim[()()]x x f x g x A B →?=?, 0()lim (0)()x x f x A B g x B →=≠. 当C 是常数，n 是正整数时:0 lim[()]lim ()x x x x Cf x C f x →→=,0 lim[()][lim ()]n n x x x x f x f x →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用. 6.函数在一点连续的定义: 如果函数()f x 在点0x x =处有定义，0 lim ()x x f x →存在， 且0 0lim ()()x x f x f x →=，那么函数()f x 在点0x x =处连续. 7.函数()f x 在(),a b 内连续的定义：如果函数()f x 在某一开区间(),a b 内每一点处连续， 就说函数()f x 在开区间(),a b 内连续，或()f x 是开区间(),a b 内的连续函数.
课 题：函数的连续性 教学目的： 1.理解掌握函数在一点连续须满足的三个条件的基础上，会判断函数在一点是否连续. 2.要会说明函数在一点不连续的理由. 3.要了解并掌握函数在开区间或闭区间连续的定义. 4.要了解闭区间上连续函数的性质，即最大值最小值定理 教学重点：函数在一点连续必须满足三个条件． 教学难点： 借助几何图象得出最大值最小值定理． 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 点连续概念，函数在开区间和闭区间连续的定义，函数在闭区间上有最大、最小值的定义，最大最小值定理 函数的连续性是建立在极限概念基础上的，又为以后微积分的学习做铺垫，它是承上启下的.函数在一点连续必须满足三个条件，这是要学生重点掌握的内容.函数在区间连续的定义也是建立在一点连续的基础上的.借助函数的几何图象得到闭区间上连续函数的一个性质，即最大值最小值定理. 函数在一点连续必须满足三个条件，缺一不可.如何得出这三个条件，可以借助函数图象，让学生观察、总结出来.同样借助几何图象得出最大值最小值定理. 在学生已掌握极限概念的基础上，并通过分析函数图象，让学生主动地总结出函数在一点连续的三个条件及概念.以及通过区间是由点组成的，进行概念的顺应，得出函数在区间上连续的概念.让学生主动地学习. 教学过程： 一、复习引入： 1.000 lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=?== 其中0lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0 lim ()x x f x a +→=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限 2. 我们前面学习了数列极限和函数极限、数列可以看成是一种特殊的函数，不同的是函数的定义域往往是连续的.而数列的定义域是自然数集，是一个一个离散的点.而在我们日常生活中，也会碰到这种情况.比如温度计的水银柱高度会随着温度的改变而连续地上升或下降，这是一种连续变化的情况；再比如邮寄信件的邮费，随邮件质量的增加而作阶梯式的增加(打个比方：20克以内是
第一章 极限与连续 第一节 数列的极限 教学目的：理解数列极限的概念，掌握数列极限的定义 教学重点、难点：数列极限的概念，理解掌握数列极限的定义 教学形式：多媒体教室里的课堂讲授 教学时间：90分钟 教学过程 一、引入新课 半径为R 的圆的面积公式？2A R π=但是得到圆面积这个计算公式却是不容易的.看电视https://www.doczj.com/doc/db19172306.html,/v_show/id_XNDE4NDUyMjA=.html 三国时代我国数学家刘徽（约公无225年—295年）创造了“割圆术”，成功地推算出圆周率和圆的面积。圆周率是对圆形和球体进行数学分析时不可缺少的一个常数，各国古代科学家均将圆周率作为一个重要课题。我国最早采用的圆周率数值为三，即所谓“径一周三”。《九章算术》中就采用了这个数据。 与刘徽类似的是，古希腊的阿基米德也用正多边形法去求圆周率。但是阿基米德是用归谬法证得这一结果的，避开了极限概念，而刘徽却大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法；且阿基米德的方法需另外计算圆外切正多边形面积，刘徽的方法则只需求内接正多边形面积。与阿基米德比，刘徽的割圆术可谓事半功倍。 二、新授课 1、一个实验说明的事实 对于一个半径为R 的圆，先作圆内接正六边形，记其面积为1A ；再作圆内接正十二边形，记其面积为2A ，循此下去，每次边数成倍增加，得到一系列圆内接正多边形的面积 ,,,,,,321 n A A A A 构成一列有次序的数,其中内接正1 2 6-?n 边形的面积记为 )(+ ∈Z n A n 。 练习题1。求半径为R 的圆内接正三角形ABC 的面积S ?；内接正n 边形的面积n s 。 答案： 2 4 s ?= 2 12sin 2 n s nR n π= 练习题2。求半径为R 的圆外切正三角形ABC 的面积；外切正n 边形的而积n s ； 答案： 2 s ?= 2t a n n s n R n π= 如果内接正n 边表的面积为n A ，圆的面积为A ，外接正n 边形的面积为n s ，则有 n n A A s ≤≤
授课时间： 20 年9月 日 使用班级： 授课时间： 20 年9月 日 使用班级： 授课章节名称： 第1章 函数、极限与连续 第1节 函数（二）、第2节 极限 教学目的： 1.理解复合函数的定义及复合过程，分段函数的定义及表示方法，极限的概念，函数左极限与右极限的概念； 2.熟练掌握∞→x 和 x x →时f(x)的极限存在的充要条件； 3.理解无穷大、无穷小的概念； 4.掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质，会用无穷小量的性质求教学重点： 1.函数极限与数列极限的概念，求极限的方法； 2.无穷大量与无穷小量的概念及性质. 教学难点： 1.函数极限的定义； 2.无穷大量与无穷小量的概念和性质及其应用。 教学方法：讲授，启发式、讲练结合 教学手段：传统讲授。 作业： 层次1：书16页1、2（1）（2）、4、6 层次2：书16页5、7 教案实施效果追记： （手书） 第1章 函数、极限与连续 第1节 函数（二）、第2节 极限 复习及课题引入（时间：5分钟）： 1、作业题处理； 2、复习函数的相关性质以及基本初等函数的相关知识点。 讲授新内容 ※※※※ 一、函数的概念（二）（时间：15分钟） 1、复合函数： 【引例】（公司员工问题） 某公司员工的工资占公司利润的若干比例，而公司的利润又取决于所销售的商品的数量，因此，该公司员工的工资由所销售商品的数量决定。 定义7设 ()u f y =,其中()x u ?=,且函数()x u ?=的值域包含在函
数 ()u f y =的定义域内,则称()[]x f y ?=为由()u f y =与()x u ?=复 合而成的复合函数,其中u 称为中间变量. 例如，x u u y sin ,2 ==可复合成x y 2 sin =. 注意： ①、并不是任意两个函数都能构成复合函数. 如，21u y -=和22+=x u 就不能构成复合函数。因为对函数 21u y -=而言，必须要求变量[]11，-∈u ， 而222≥+=x u ，所以对任何x 的值，y 都得不到确定的对应值。 ②、利用复合函数不仅能将若干个简单的函数复合成一个函数，还可以把一个较复杂的函数分解成几个简单的函数，这对于今后掌握微积分的运算时很重要的。 例4、将下列复合函数进行分解. (1)x y cos ln =; (2)3 sin x y =. 解 (1)x y cos ln =是由u y ln =,x u cos =复合而成的. (2)3 sin x y =是由3 u y = ,x u sin =复合而成的. 2、初等函数： 定义8：由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成并用一个式子表示的函数，称为初等函数. 例如：x y cos ln =，1 ) 1(2-++=x x x x y ，2cos 2+=x y 等都是初等函数。 3、分段函数： 定义9：在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子表示的函数，称为分段函数. 注: (1)分段函数仍旧是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段函数定义域的并集. (2)分段函数一般不是初等函数.除? ??-==,,x x x y ,0, 0<≥x x 例如：
函数的极限与连续性 函数的极限和连续性是微积分中非常重要的概念。它们在许多数学 和科学领域中都有广泛的应用。本文将介绍函数的极限和连续性的概念、性质以及其在实际问题中的应用。 一、函数的极限 函数的极限是指函数在某一点无限接近于某个数值。更正式地说， 对于函数 f(x)，当自变量 x 自某一方向趋近于 c 时，如果函数值 f(x) 无 限接近于 L，则表明函数 f(x) 在 x 趋近于 c 时的极限为 L。可以表示为：lim(x→c) f(x) = L 其中 lim 是极限的符号，x→c 表示 x 趋近于 c，f(x) 是函数在 x 处 的取值，L 是极限的值。 函数的极限有以下重要性质： 1. 当 x 趋近于 c 时，如果 f(x) 的极限存在，则该极限唯一； 2. 如果函数 f(x) 在 x=c 处连续，则该函数在 x=c 处的极限等于该点 的函数值； 3. 两个函数的和、差、积的极限等于各自函数的极限之和、差、积； 4. 两个函数的商的极限等于各自函数的极限之商（除数的极限不等 于零）； 5. 常数与函数的乘积的极限等于常数与函数极限之积；
6. 两个函数的复合函数的极限等于内层函数的极限等于外层函数的极限。 二、函数的连续性 函数的连续性是指当自变量 x 在某一点连续趋近于 c 时，函数值 f(x) 也连续趋近于 f(c)。更正式地说，对于函数 f(x)，如果函数 f 在 x=c 处连续，则函数值 f(x) 在 x 趋近于 c 时连续趋近于 f(c)。可以表示为：lim(x→c) f(x) = f(c) 函数的连续性有以下重要性质： 1. 函数在定义域内的每一点都连续，则函数在整个定义域内连续； 2. 两个函数的和、差、积、商的函数在各自定义域的交集内连续； 3. 复合函数的连续函数和内层函数在其定义域内都连续。 三、实际应用 函数的极限和连续性在实际问题中有广泛的应用。以下是几个常见的实际应用场景： 1. 物体的运动：当我们研究物体的运动时，通常会涉及到时间与距离的关系。函数的极限和连续性可以帮助我们了解物体在某一时刻的速度，加速度等关键参数。 2. 经济学模型：经济学中许多模型和方程都涉及到函数和它们的极限。通过分析这些极限可以得出经济领域的重要结论和决策。
第一章 函数 极限 连续 知识点拔 1.1 函数 一、函数的概念 设D 是一个非空数集，若存在一个对应法则f ，使得对D 内的每一个值x 都有唯一的y 值与之对应，则称这个对应法则f 是定义在数集D 上的一个函数，记作：)(x f y =，其中x 叫自变量，y 叫因变量或函数，数集D 称为函数的定义域，而数集}),(|{D x x f y y z ∈==叫函数的值域. 如果D x ∈0，称函数)(x f 在0x 处有定义，函数)(x f 在0x 处的函数值记为0 x x y =或)(0x f . 注释:①函数定义的两个要素：定义域和对应法则； ②两个函数相等条件：定义域和对应法则都相同的两个函数是相同函数，如：2 2 )(2---= x x x x f 与1)(+=x x g 不同，因定义域不同； x x f 2sin )(=与x x g sin )(=不同，因对应法则不同； x x x x f 222cos sin )(++=与1)(2+=t t g 相同，也就是当两上函数的定义域和对应法则都相同 时，即使其自变量所用的字母不同，但两个函数相同. ③若定义域内的每一个x 只对应一个函数值y ，则称该函数为单值函数，若同一个x 值可对应于多于一个的函数值y ，这种函数称为多值函数. 二、函数的基本性质 1、函数的单调性：设函数在区间D 上有定义，如果对2121,x x D x x <∈∀且，恒有)()(21x f x f <（或)()(21x f x f >），则称)(x f 在区间D 上严格单调增加（或严格单调减少）的.如果对于 D x x ∈∀21, 21x x <且，有)()(21x f x f ≤ (或)()(21x f x f ≥)称)(x f 在区间D 上是单调增加（或单调减少）的.
《函数极限的运算法则》教案 【教学目标】：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限 【教学重点】：运用函数极限的运算法则求极限 【教学难点】：函数极限法则的运用 【教学过程】： 一、引入： 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o ==→∞→lim ,01 lim .若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算. 二 、新课讲授 对于函数极限有如下的运算法则： 也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组
成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）. 说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf o o x x x x →→= n x x n x x x f x f o o )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用. 三 典例剖析 例1 求)3(lim 22 x x x +→ 例2 求1 1 2lim 231++-→x x x x 例3 求4 16 lim 24--→x x x 分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.
注意函数4 16 2--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变 成4+x ，由此即可求出函数的极限. 例4 求1 3 3lim 22++-∞→x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。 总结：),(lim ,lim *N k x x C C k o k x x x x o o ∈==→→ )(01lim ,lim * N k x C C k x x ∈==∞→∞ →
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定理1：函数∕α∙)当Λ-→X0时极限存在的充要条件是左极限与右极限同时存在且相等，即 Iim f(x) = Iiin f(x). -V→Λo-V→⅞ 例 8∙P12 例 4、5. 2、自变量•、趋于无穷大时函数的极限 (1)A→+∞ 定义11：设函数/(_¥)在区间(α+oo)(d>0)内有立义.如果当x→+∞时，对应的函数值/(X)能够无限趋近于某个常数A ,则称A是函数/(x)当x→+oo时的极限，记作 Iinl f(x) = A,或者/(x) → A (X → +∞). .V→+M 例 9.P12 例 6. (2) A → -∞ 定义12：设函数/(X)在区间(-oc,α)(α
高中三年级数学学案目录 模块一极限（数学选1-1，高三上；高二新下） 12．1 数学归纳法及其应用 13．2 数列极限 13．3 函数极限 模块二导数（数学选1-1，高三上；高二新下） 13．1 导数的概念、公式及其运算法则 13．2 导数的应用（一） 13．3 导数的应用（二） 模块三复数（数学选1-2，高三上；高二新下） 14．1 复数的相关概念和几何意义 14．2 复数的代数形式及其运算
模块一极限 【知识网络】 1．1 数学归纳法及其应用 【考点透视】 一、考纲指要 1．了解数学归纳法的原理，理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质． 2．能用数学归纳法证明一些简单的问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列的通项与和问题、几何问题、整除性问题等等． 3．掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质． 二、命题落点 1．客观性试题主要考查学生对数学归纳法的实质的理解，掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，如例1． 2．解答题大多以考查数学归纳法内容为主，并涉及到函数、方程、数列、不等式等综合性的知识，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目。和例3，例4．
3．“观察→归纳→猜想→证明”是一种十分重要的思维方法，运用这种思维方法既能发现 结论，又能证明结论的正确性．这是分析问题和解决问题能力的一个重要内容，也是近几年 高考的一个考查重点，如例2 4．数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用数学归纳法的一种主要思想方法. 在由n=k时命题成立，证明n=k+1命题也成立时，要注意设法化去增加的项，通常要用到拆项、组合、添项、减项、分解、化简等技巧。 【典例精析】 例1：（1994·上海）. 某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N+）时该命题成立，那么 可推得当n=k+1时该命题也成立，现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）A．当n=6时该命题不成立B．当n=6时该命题成立 C．当n=4时该命题不成立D．当n=4时该命题成立 解析：原命题与逆否命题等价，若n＝k＋1时命题不成立，则n＝k命题不成立． 因为当n=k时，命题成立可推出n=k+1时成立，所以n=5时命题不成立，则n=4时，命题也一定不成立，故应当选C． 答案：C 例2：（1993·全国理）已知数列 81 13 22 · · ，…， 8 2121 22 · · n n n ()() -+ ，…。S n 为其前n 项和，求S 1、S 2 、S 3 、S 4 ，推测S n 公式，并用数学归纳法证明． 解析：本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳 法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法。但证明方法不唯一，除数学归纳法外，有时还可使用其他方法。 计算得S 1＝ 8 9 ，S 2 ＝ 24 25 ，S 3 ＝ 48 49 ，S 4 ＝ 80 81 ， 猜测S n ＝ () () 211 21 2 2 n n +- + (n∈N+)。 证明：当n＝1时，等式显然成立；
高三数学数列、函数的极限及函数的连续性 【本讲主要内容】 数列、函数的极限及函数的连续性 数列与函数的极限定义、极限的四则运算、函数的连续性 【知识掌握】 【知识点精析】 （一）数列极限 1. 概念 考察以下三个数列当n 无限增大时，项a n 的变化趋势： .,101 ,,101,101,10132 n ① .,1 ,,43,32,21 n n ② .,)1(,,31,21,1 n n ③ （1）随着n 的增大，从数值变化趋势上看，a n 有三种变化方式：数列①是递减的,② 是递增的，③是正负交替地无限趋近于a. （2）随着n 的增大，从数轴上观察项a n 表示的点的变化趋势，也有三种变化方式:① 是从点a 右侧，②是从点a 左侧，③是从点a 两侧交替地无限趋近于a ． （3）随着n 的增大，从差式∣a n －a ∣的变化趋势上看，它们都是无限地接近于0，即a n 无限趋近于a ． 这三个数列的共同特性是：不论这些变化趋势如何，“随着项数n 的无限增大，数列项a n 无限地趋近于常数a （即∣a n －a ∣无限地接近于0）”． 定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列 n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a 时，（即a a n 无限地接近于0），那么就说数列 n a 以a 为极限，或者说a 是数列 n a 的极限。表示为a a lin n n 2. 数列极限的表示方法： ① a a n n lim ②当 n 时，a a n . 3. 几个常用极限：
①C C n lim （C 为常数）②),(01 lim 是常数k N k n k n ③对于任意实常数， 当1|| a 时，0lim n n a 当1 a 时，若a ＝1，则1lim n n a ；若1 a ，则n n n n a )1(lim lim 不存在 当1 a 时，n n a lim 不存在 （二）函数极限 研究函数的极限，首先考虑自变量x 的变化方式有哪些． 1. x →∞时，函数)(x f 的极限 考察函数f(x)＝ 1 ，当x →＋∞和x →－∞时，函数的变化趋势 （1）当x →＋∞时，从图象和表格上看，函数y ＝x 的值无限趋近于0．就是说 函数y ＝ x 1上的极限为0，记作01lim x x （2）当 x 时，类似地可得函数x y 1 的值无限趋近于0，就是说，当 x 时， 函数x y 1 的极限为0，记作01lim x x （3）还可以从差式│y －0│上看，随着x →＋∞ (或x →－∞),差式无限趋近于0，即函数y ＝ x 1无限趋近于0，这说明01lim x x (或01 lim x x ) 函数f(x)的变化趋势与极限的关系见下表：
极 限 的 概 念 教学目的：理解数列和函数极限的概念； 教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限； 教学难点：数列和函数极限的理解 教学过程： 一、实例引入： 例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。（1）求第n 天剩余的木棒长度n a (尺)，并分析变化趋势；（2）求前n 天截下的木棒的总长度n b (尺)，并分析变化趋势。 观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n 无限增大时，数列的项n a 无限趋近于某个常数A （即A a n -无限趋近于0）。n a 无限趋近于常数A ，意指“n a 可以任意地靠近A ，希望它有多近就有多近，只要n 充分大，就能达到我们所希望的那么近。”即“动点n a 到A 的距离A a n -可以任意小。 二、新课讲授 1、数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数A （即A a n -无限趋近于0） ，那么就说数列}{n a 的极限是A ，记作 A a n n =∞ →lim
注：①上式读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”。“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思。A a n n =∞ →lim 有时也记作当n →∞时，n a →A ②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________ ③思考：是否所有的无穷数列都有极限？ 例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由 （1）1，21，31，…，n 1，…；（2）21，32，43，…，1 +n n ，…； （3）－2，－2，－2，…，－2，…，…，n )1.0(-，…； （5）－1,1，－1，…，n )1(-，…； 注：几个重要极限： （1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n q （1 本文共有4535.5字，如对您有帮助，可购买打赏第一篇：函数极限的证明 函数极限的证明(一)时函数的极限： 以时和为例引入. 介绍符号:的意义,的直观意义. 定义(和.) 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义. 例1验证例2验证例3验证证…… (二)时函数的极限： 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例4验证例5验证例6验证证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有 例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义. 例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: th类似有:例10证明:极限不存在. 例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有 =§2函数极限的性质(3学时) 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。 教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 教学方法：讲练结合。 一、组织教学： 我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证. 二、讲授新课： (一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出. 1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性(不等式性质): th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有) 註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明. 5.迫敛性: 6.四则运算性质:(只证“+”和“”) (二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限： (注意无穷。把max{a1,...am}记作a。 不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,m>1; 函数的极限与连续知识点总结 函数的极限与连续性是数学中一个重要的概念，它不仅在数学分析和计算方面有着重大的意义，而且在大多数科学和技术领域都有着重要的应用。因此，了解函数的极限与连续性以及与它们相关的知识，对于我们了解科学和技术，进行算法设计和分析，甚至是进行科学探索都有着重要的意义。 首先，让我们从函数的极限的概念开始讨论。函数的极限的概念指的是当函数的某个参数的值趋向于某个特定的数值或无穷大时，函数值的变化趋势。函数的极限可以用数学公式来表达，比如在实数范围内，函数f(x)的极限lim x→a f(x)=L，表示当x趋近于a时，f(x)的值趋于L。函数的极限也被称为特殊的函数，其特殊的参数是极限点，也就是变量的值趋向某个特定的值时，函数的变化趋势可以用函数的极限来表达。 其次，接下来我们来讨论函数的连续性的概念。函数的连续性可以定义为，当函数的某个参数的值在转变时，函数的值也在变化，但是这种变化是无穷连续的，即它没有跳变，而是逐渐发生变化。函数的连续性可以用数学公式来表达，就像函数f(x)在实数范围内连续，可以用f(x)在[a,b]内连续或者f(x)在(a,b)内连续来表达。 再次，函数的极限与连续性之间也存在着重要的联系，函数的极限可以用来定义函数的连续性，并从而被用于验证函数的连续性。有一个重要的定理，叫做特征赤值定义，其定义函数f(x)在[a,b]间连续的条件是，函数f在该区间内的极限都存在，且该极限的值一定是 函数的赤值。也就是说，如果一个函数的极限存在，并且极限的值就是函数的赤值，那么这个函数就是在[a,b]间连续的。 最后，函数的极限与连续性也被用于其他科学和技术领域，比如信号处理和控制系统设计，以及计算机科学，甚至是人工智能的研究。例如，在信号处理中，函数的极限可以被用来计算信号的平均值，而函数的连续性可以被用来分析信号的峰峰值和稳定性。在计算机科学领域，函数的极限可以用来分析算法的效率，而函数的连续性则可以用来分析计算机程序的流程性和可读性。最后，函数的极限和连续性也被用于人工智能领域，例如在机器学习中，函数的极限可以用来提高算法的准确性，而函数的连续性则可以被用来加快机器的学习速度。 综上所述，函数的极限与连续性是数学中重要的概念，它不仅在数学分析和计算方面有着重大的应用价值，并且在大多数科学和技术领域也有着重要的应用。它们之间也存在着重要的联系，如特征赤值定义，以及函数的极限和连续性可以用来验证函数的连续性。最后，它们也被应用在多个科学技术领域，比如信号处理和控制系统设计，计算机科学，以及人工智能的研究，从而有助于更好的探索现象宇宙的奥秘。 二次函数的极限与连续性 二次函数是一种基本的数学函数，其形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数且a≠0。在本文中，我们将探讨二次函数的极限和连续性的相关概念和特性。 一. 二次函数的极限 极限是描述函数在某一点或无穷远处的趋势和性质的概念。对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们将研究两种极限：当x趋近于某一特定的实数a时的极限，以及当x趋近于无穷大或负无穷大时的极限。 1. 当x趋近于某一特定的实数a时的极限 要计算二次函数在特定点a处的极限，我们可以使用极限的基本运算法则和二次函数的性质。例如，对于函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以通过插入特定值a并计算f(a)的值来找到该点的函数值。此外，我们可以使用导数的概念来计算极限。通过求取函数的导数，我们可以确定函数在某一点处的切线斜率，从而获得函数在该点的极限。 2. 当x趋近于无穷大或负无穷大时的极限 当x趋近于无穷大或负无穷大时，我们需要考虑二次函数的最高次项的系数a的正负性。如果a>0，则函数f(x) = ax^2 + bx + c在x趋近于无穷大时的极限是正无穷大，而在x趋近于负无穷大时的极限是负无穷大。相反，如果a<0，则函数f(x)在x趋近于无穷大时的极限是负无穷大，而在x趋近于负无穷大时的极限是正无穷大。 二. 二次函数的连续性 连续性是指函数在某一定义域内没有断裂或跳跃的性质。对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们将探索三个方面的连续性：函数的定义域、函数的导数连续性以及函数的图像连续性。 1. 函数的定义域 二次函数的定义域是实数集R，因为二次函数对于任何实数x都有定义。 2. 函数的导数连续性 二次函数的导函数为f'(x) = 2ax + b。我们可以使用导数连续性的定义和定理，如极限的定义、导数的连续运算法则等，来确定函数的导数在定义域内的连续性。 3. 函数的图像连续性 二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线，关于二次项的系数a的正负性决定了开口的方向。无论a的正负性如何，二次函数的图像是一个连续的曲线，没有断裂或跳跃。 结论： 二次函数在所有的实数上都是连续的，并且在无穷远处具有特定的极限值。通过研究极限和连续性的概念，我们能够更好地理解二次函数的性质和行为，并在实际问题中应用它们。 高中数学备课教案函数的连续与间断点 高中数学备课教案 函数的连续与间断点 一、引言 函数的连续性和间断点是高中数学中重要的概念，对于理解和应用 函数具有重要作用。本教案将详细介绍函数的连续性和间断点的概念、判定方法以及相关性质。 二、函数的连续性 连续性是函数概念中最基本的性质之一，它表示函数在某个点上的 值与其邻近点上的函数值之间存在接近的关系。 1. 连续的定义 在数学中，若函数 f(x) 在点 x=a 处的极限存在且与 f(a) 的值相等， 则称函数在点 x=a 处连续。 2. 连续的判定 函数在某一点处连续的判定方法有三种：利用定义、利用函数的性质、利用间断点的概念。 3. 连续函数的性质 连续函数具有以下性质： - 连续函数的和、差、积仍然是连续函数。 - 连续函数的复合函数仍然是连续函数。 - 有界闭区间上的连续函数必定有最大值和最小值。 三、函数的间断点 在函数的定义域内，存在使函数值发生突变的点，这些点被称为函数的间断点。 1. 第一类间断点 若函数 f(x) 在点 x=a 处的左、右极限存在，但左、右极限不相等，则称点 x=a 为函数的第一类间断点。 2. 第二类间断点 若函数 f(x) 在点 x=a 处的左、右极限至少有一个不存在，则称点 x=a 为函数的第二类间断点。 3. 可去间断点 若函数 f(x) 在点 x=a 处的极限存在，但与 f(a) 的值不相等，则称点x=a 为函数的可去间断点。 4. 跳跃间断点 若函数 f(x) 在点 x=a 处的左、右极限存在且不相等，则称点 x=a 为函数的跳跃间断点。 四、连续性与间断点的应用 高二数学（II ）（选修）函数的极限与函数的连续性人教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 高三数学（II ）（选修） 函数的极限与函数的连续性 二. 教学目标： 了解函数的极限的概念，会求一些函数的极限，了解函数的连续性。 三. 重点、难点： 重点：会求，及左极限，右极限。x x x →∞→0 难点：对f(x)变形后求极限。 四. 知识点讲解： 1. lim ()x f x A →-∞=且lim ()lim ()x x f x A f x A →+∞→∞ =⇔= 20.lim ()x x f x A →-=且lim ()lim ()x x x x f x A f x A →→+=⇔=00 3. 数列运算法则，同四则的运算法则。 4. x =x 0函数在处连续（）在处有定义（）在处有极限（）⇔=⎧⎨⎪⎪⎩ ⎪⎪→1230000f x x f x x f x f x x x ()()lim ()() 5. 闭区间上的连续函数有最大值和最小值。 6. f(x)(a x b)lim x x 0 对连续函数，≤≤=<<→f x f x a x b ()()()00 【典型例题】 例1. 对下列各题，讨论在自变量x 指定的变化过程中，函数y=f(x)的极限是否存在。 （），当（），当1221f x x f x x x x x ()()=→∞=+→∞ （），当（），当311 14121 12f x x x x f x x x x x x ()()=--→=≤>⎧⎨⎩→ 解： （）当1 x x →-∞ →20 x x →+∞→+∞2 ∴→∞当时，不存在极限。x x 2 （）21111 f x x x x x ()()=+=+→→∞ ∴=→∞ lim ()x f x 1 （）311 112 f x x x x x ()()=--=+≠ ∴=+=→→lim ()lim()x x f x x 11 12 （）4111 lim ()lim x x f x x →→--== lim ()lim x x f x x →→++==11 22 121≠∴→lim ()x f x 不存在。 例2. 求下列极限。 （）1354722lim x x x x x →∞++-+（）212lim x x x x →+∞++ 解： （）13547135417142222lim lim x x x x x x x x x x →∞→∞++-+=+ +-+= （）原式21111122=++=→+∞lim x x 例3. 设f x x x f x x x ()()=+-→→∞3232 0，讨论当及时的极限。 解： （）13232323231230000 lim ()lim lim()lim()x x x x x x x x f x →→→→=+-=+-=-=- （）2301lim lim ()x x x f x →-∞→-∞ =∴=- lim lim ()()x x x x x x →+∞→+∞+-=+⋅-⋅=323212131213 1 ∴→∞ lim ()x f x 不存在。 【教学内容】 § 1.1函数 【教学目的】 理解并掌握函数的概念与性 质 【教学重点】 函数的概念与性质 【教学难点】 函数概念的理解 【教学时数】 【教学过 4学时 一、组织教学，引入新课 极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数 学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限 .因此掌握极限的思想与方法是 学好高等数学的前提条件•本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念 、讲授新课 (一) 、实数概述 1、实数与数轴 (1) 实数系表 (2) 实数与数轴关系 X X > 0 (1) 绝对值的定义：X =e x —0 -x, x c0 (2) 绝对值的几何意义 (3) 绝对值的性质 练习：解下列绝对值不等式：① x-5<3，②x+1A2 3、区间 (1) 区间的定义：区间是实数集的子集 (2) 区间的分类：有限区间、无限区间 ①有限区间：长度有限的区间 设a 与b 均为实数，且a :: b ，则 (3)实数的性质: 2、实数的绝对值 對闭性 』有序性 」稠密性 连续性 数集｛ xa^x^b｝为以a、b为端点的闭区间，记作［a , b］ 数集｛ xa函数极限的证明(精选多篇)
函数的极限与连续知识点总结
二次函数的极限与连续性
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