备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）
专题29动点综合问题
一、单选题
1．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，在▱ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）
A．B．
C．D．
2．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，定直线MN∥PQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC=12，BC 在两直线间运动过程中始终有∠BCQ=60°．点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AE∥BC∥DF，AE=4，DF=8，AD=24√3，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最小值为（）
A．24√13B．24√15C．12√13D．12√15
3．（2022·四川乐山·中考真题）如图，等腰△ABC的面积为2√3，AB=AC，BC=2．作AE∠BC且AE=1
BC．点
2
P是线段AB上一动点，连接PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，
当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（）
A．√3B．3C．2√3D．4
4．（2022·湖北恩施·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D 出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（）
A．当t=4s时，四边形ABMP为矩形
B．当t=5s时，四边形CDPM为平行四边形
C．当CD=PM时，t=4s
D．当CD=PM时，t=4s或6s
5．（2022·黑龙江·中考真题）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF 交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：∠AE⊥BF；∠∠OPA=45°；∠AP−BP=√2OP；
∠若BE:CE=2:3，则tan∠CAE=4
7；∠四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的1
4
．其中正确的结论是（）
A．∠∠∠∠B．∠∠∠∠C．∠∠∠∠D．∠∠∠∠
6．（2022·广西玉林·中考真题）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF 的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是()
A．4B．2√3C．2D．0
7．（2022·广西·中考真题）如图，在△ABC中，CA=CB=4,∠BAC=α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，BB′
⌢的长是（）
A．2√3
3πB．4√3
3π
C．8√3
9π
D．10√3
9π
8．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，点A的坐标为(0,2)，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A 按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为(m,3)，则m的值为（）
A．4√3
3B．2√21
3
C．5√3
3
D．4√21
3
9．（2022·辽宁·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°,AB=2BC=4，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段AB匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作PQ⊥AB交AC于点Q，将△APQ沿直线PQ折叠得到△A′PQ，设动点P的运动时间为t秒，△A′PQ与△ABC重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）
A．B．
C．D．
10．（2022·贵州遵义·中考真题）遵义市某天的气温y1（单位：∠）随时间t（单位：h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时气温的值的极差（即0时到t时范围气温的最大值与最小值的差），则y2与t的函数图象大致是（）
A．B．C．
D．
11．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图∠所示（图中各角均为直角)，动点Р从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，∠AFP的面积y随点Р运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图∠所示，下列说法正确的是（）
A．AF=5B．AB=4C．DE=3D．EF=8
12．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形的面积为S1，小正方形与大正方形重叠部分的面积为S2，若S=S1−S2，则S随t变化的函数图象大致为（）
A．B．
C．D．
13．（2022·甘肃武威·中考真题）如图1，在菱形ABCD中，∠A=60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB 方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（）
A．√3B．2√3C．3√3D．4√3
二、填空题
14．（2022·山东烟台·中考真题）如图1，∠ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C 重合），DE∥AB，交AC于点E，EF∥BC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x 的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为_____．
15．（2022·湖北黄冈·中考真题）如图1，在∠ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t 的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，t的值为________．
16．（2022·广西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=4√2，对角线AC,BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD,BD于点F、G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是_________．
17．（2022·四川广元·中考真题）如图，直尺AB垂直竖立在水平面上，将一个含45°角的直角三角板CDE 的斜边DE靠在直尺的一边AB上，使点E与点A重合，DE＝12cm．当点D沿DA方向滑动时，点E同时从点A出发沿射线AF方向滑动．当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为_____cm．
18．（2022·湖北随州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，E，F分别为AB，AD的中点，连接EF．如图2，将∠AEF绕点A逆时针旋转角θ(0<θ<90°)，使EF⊥AD，连接BE并延长交DF于点H，则∠BHD的度数为______，DH的长为______．
19．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在矩形ABCD中AB
BC =2
3
．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速
运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1 则v1 v2 的值为______． 20．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动；若EF=1，则GE+CF的最小值为____________． 21．（2022·内蒙古通辽·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，若AB=2√3，BC=3，点P从B点出发，在△ABC内运动且始终保持∠CBP=∠BAP，当C，P两点距离最小时，动点P的运动路径长为______． 22．（2022·河南·中考真题）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为______． 三、解答题 23．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，等边△ABC、等边△DEF的边长分别为3和2．开始时点A与点D 重合，DE在AB上，DF在AC上，△DEF沿AB向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，设△ABC、△DEF重合部分的面积为y，△DEF移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为（） A．B． C．D． 24．（2022·山东临沂·中考真题）已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD． (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)在线段AC上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点Р在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？说明理由．(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明． 25．（2022·山东潍坊·中考真题）【情境再现】 甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图∠放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图∠位置．小莹用作图软件Geogebra按图∠作出示意图，并连接AG,BH，如图∠所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE=OF． 请你证明：AG=BH． 【迁移应用】 延长GA分别交HO,HB所在直线于点P，D，如图∠，猜想并证明DG与BH的位置 ．．关系． 【拓展延伸】 小亮将图∠中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图∠，按图∠作出示意图，并连接HB,AG，如图∠所示， 其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量 ．．关系． x−4分别与x，y轴交于点A，B，26．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−4 3 x2+bx+c恰好经过这两点． 抛物线y=5 18 (1)求此抛物线的解析式； (2)若点C的坐标是(0,6)，将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，点A的对应点是点E． ∠写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上； BP+EP取最小值时，点P的坐标． ∠若点P是y轴上的任一点，求3 5 27．（2022·山东青岛·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm，将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接CP,EQ．设运动时间为t(s)(0< t<5)．解答下列问题： (1)当EQ⊥AD时，求t的值； (2)设四边形PCDQ的面积为S(cm2)，求S与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 28．（2022·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC 交于点M，N，猜想证明： （1）如图∠，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；问题解决： （2）如图∠，在三角板旋转过程中，当∠B=∠MDB时，求线段CN的长； （3）如图∠，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长． 29．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=BD=√13，点M为边AB的中点，动点P从点A出发，沿折线AD−DB以每秒√13个单位长度的速度向终点B运动，连结PM．作点A关于直线 PM的对称点A′，连结A′P、A′M．设点P的运动时间为t秒． (1)点D到边AB的距离为__________； (2)用含t的代数式表示线段DP的长； (3)连结A′D，当线段A′D最短时，求△DPA′的面积； (4)当M、A′、C三点共线时，直接写出t的值． 30．（2022·山东潍坊·中考真题）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线AD方向泻至水渠DE，水渠DE所在直线与水面PQ平行；设筒车为⊙O，⊙O与直线PQ交于P，Q两点，与直线DE交于B，C两点，恰有AD2=BD⋅CD，连接AB,AC． (1)求证：AD为⊙O的切线； (2)筒车的半径为3m，AC=BC,∠C=30°．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度（精确到0.1m，参考值：√2≈1.4,√3≈1.7）． 31．（2022·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0,3)，对称轴为直线x=−1，顶点为点D． (1)求二次函数的表达式； (2)连接DA，DC，CB，CA，如图∠所示，求证：∠DAC=∠BCO； (3)如图∠，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y=−x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1=2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标． 32．（2022·山东烟台·中考真题） (1)【问题呈现】如图1，∠ABC和∠ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． (2)【类比探究】如图2，∠ABC和∠ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直 接写出BD CE 的值． (3)【拓展提升】如图3，∠ABC和∠ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且AB BC ＝AD DE ＝3 4 ．连接BD， CE． ∠求BD CE 的值； ∠延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 33．（2022·湖南湘潭·中考真题）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E． (1)特例体验： 如图∠，若直线l∥BC，AB=AC=√2，分别求出线段BD、CE和DE的长； (2)规律探究： ∠如图∠，若直线l从图∠状态开始绕点A旋转α(0<α<45°)，请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由； ∠如图∠，若直线l从图∠状态开始绕点A顺时针旋转α(45°<α<90°)，与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由； (3)尝试应用： 在图∠中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE=3，DE=1，求S△BFC． x2+bx+c与x轴交于O(0，0)，A(4，0)两点，顶点34．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，二次函数y=1 2 为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合． (1)求二次函数的表达式； (2)∠求证：△OCD∽△A′BD； ∠求DB 的最小值； BA (3)当S△OCD=8S△A′BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标． 35．（2022·湖北恩施·中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=−x2+c与y轴交于点P(0,4)． (1)直接写出抛物线的解析式． (2)如图，将抛物线y=−x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x 轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由． (3)直线BC与抛物线y=−x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．(4)若将抛物线y=−x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出拋物线y=−x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标． 36．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D(2,1)，抛物线的对称轴交直线BC于点E． (1)求抛物线y=−x2+bx+c的表达式； (2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为ℎ(ℎ>0)，在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值； (3)M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 37．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2−2x−3的顶点为A，与y 轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B． (1)求点B的坐标及直线AC的解析式： (2)当二次函数y=x2−2x−3的自变量x满足m⩽x⩽m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p−q=2．求m的值： (3)平移抛物线y=x2−2x−3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围． 38．（2022·湖南岳阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y=x2+bx+c经过点A(−3,0)和点B(1,0)． (1)求抛物线F1的解析式； (2)如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式； (3)如图3，将（2）中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点（点C在点D的左侧）． ∠求点C和点D的坐标； ∠若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边形CMDN 面积的最大值． 39．（2022·河北·中考真题）如图，点P(a,3)在抛物线C：y=4−(6−x)2上，且在C的对称轴右侧． (1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值； (2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y=−x2+6x−9．求点P′移动的最短路程． 40．（2022·江苏连云港·中考真题）已知二次函数y=x2+(m−2)x+m−4，其中m>2． (1)当该函数的图像经过原点O(0,0)，求此时函数图像的顶点A的坐标； (2)求证：二次函数y=x2+(m−2)x+m−4的顶点在第三象限； (3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线y=−x−2上运动，平移后所得函数的图像与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值． 备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用） 专题33四边形压轴综合问题 一、解答题 1．（2022·甘肃兰州·中考真题）综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角△DCG的平分线交于P点．试猜想AE 与EP的数量关系，并加以证明； (1)【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题． (2)【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD 中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题． (3)【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB=4时，请你求出△ADP周长的最小值． 2．（2022·广东广州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD． (1)求BD的长； (2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE=√3DF， ∠当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积； ∠当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+√3CF的值是否也最小？如果是，求CE+√3CF的最小值；如果不是，请说明理由． 3．（2022·上海·中考真题）平行四边形ABCD，若P为BC中点，AP交BD于点E，连接CE． (1)若AE=CE， ∠证明ABCD为菱形； ∠若AB=5，AE=3，求BD的长． (2)以A为圆心，AE为半径，B为圆心，BE为半径作圆，两圆另一交点记为点F，且CE=√2AE．若F在直线CE上，求AB 的值． BC 4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践 数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣． 如图∠，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点， 专题15 动点综合问题 【典例分析】 【考点1】动点之全等三角形问题 【例1】如图，直线 4 4 3 y x =-+ 与x轴和 y轴分别交于,A B两点，另一条直线过点A和 点 (7,3) C. (1)求直线AC的函数表达式; (2)求证: AB AC ⊥; (3)若点P是直线AC上的一个动点，点Q是x轴上的一个动点，且以,, P Q A为顶点的三角形与AOB ?全等，求点Q的坐标. 【变式1-1】）如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C 点出发以1cm/s 的速度沿射线CQ 运动,点N 为射线BM 上一动点,满足PN=AB,随着P 点运动而运动,当点P 运动_______秒时，△BCA 与点P 、N 、B 为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合 ) 【考点2】动点之直角三角形问题 【例2】（模型建立） （1）如图1，等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=o ，CB CA =，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ⊥于点D ，过B 作BE ED ⊥于点E .求证：BEC CDA ???； （模型应用） （2）已知直线1l ： 4 43y x = +与坐标轴交于点A 、B ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转45o 至直线2l ，如图2，求直线2l 的函数表达式； （3）如图3，长方形ABCO ，O 为坐标原点，点B 的坐标为 ()8,6-，点A 、C 分别在坐 标轴上，点P 是线段BC 上的动点，点D 是直线26y x =-+上的动点且在第四象限.若 APD ?是以点D 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D 的坐标. 【变式2-1】（2019·辽宁中考模拟）如图，已知二次函数y ＝ax2+bx+4的图象与x 轴交于点A(4，0)和点D(﹣1，0)，与y 轴交于点C ，过点C 作BC 平行于x 轴交抛物线于点B ，连接AC (1)求这个二次函数的表达式； (2)点M 从点O 出发以每秒2个单位长度的速度向点A 运动；点N 从点B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点N 作NQ 垂直于BC 交AC 于点Q ，连结MQ. 2023人教版数学中考复习考点专练——二次函数与不等式（组）的 综合应用 一、单选题 1．如图，一次函数y1=mx＋n（m≠0）与二次函数y2=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象相交于两点A（－1，5）、B（9，3），请你根据图象写出使y1≥y2成立的x的取值范围( ) A．－1≤x≤9B．－1≤x＜9 C．－1＜x≤9D．x≤－1或x≥9 2．已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是（） A．x＜-1B．-1＜x＜3C．x＜-1或x＞3D．x＜-1或x＞4 3．一次函数y1=mx+n(m≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c>mx+n的解集为() A．-4 4．二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，对称轴为直线x ＝-2，图象经过（1， 0），下列结论中，正确的一项（ ) A ．0c > B ．240ac b -> C ．93a c b +> D ．5a b > 5．根据二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3的图像，判断下列说法中，错误的是（ ） A ．二次函数图象的对称轴是直线x ＝1 B ．当x ＞0时，y ＜4 C ．当x≤1时，函数值y 是随着x 的增大而增大 D ．当y≥0时，x 的取值范围是－1≤x≤3时 6．如图，已知抛物线 2y ax c =+ 与直线 y kx m =+ 交于 1(3)A y -， ， 2(1)B y ， 两点，则关于 x 的不等式 2ax c kx m +≥-+ 的解集是（ ） A ．3x ≤- 或 1x ≥ B ．1x ≤- 或 3x ≥ C ．31x -≤≤ D ．13x -≤≤ 7．若二次函数y=ax 2+bx+c （a ＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，则 使函数值y ＞0成立的x 的取值范围是（ ） A ．x ＜﹣4或x ＞2 B ．﹣4≤x≤2 C ．x≤﹣4或x≥2 D ．﹣4＜x ＜2 8．如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴两交点的横坐标分别为x 1，x 2，且x 1＜0 ＜x 2，则当ax 2+bx+c≤0时，x 的取值范围是（ ） 2023年中考数学高频考点专题训练--二次函数与动态几何问题 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−1 2x 2+bx+c与x轴交于B，C 两点，与y轴交于点A，直线y=−1 2x+2 经过A，C两点，抛物线的顶点为 D，对称轴与x轴交于点E． （1）求此抛物线的解析式； （2）求ΔDAC的面积； （3）在抛物线上是否存在一点P，使它到x轴的距离为4，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，则说明理由． 2．如图，抛物线y=x2−bx+c交x轴于点A(1，0)，交y轴交于点B，对称轴是直线x=2． （1）求抛物线的解析式 （2）若在抛物线上存在一点D，使△ACD的面积为8，请求出点D的坐标．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点 A(−1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，顶点为D． （1）求该抛物线的表达式的顶点D的坐标； （2）将抛物线沿y轴上下平移，平移后所得新拋物线顶点为M，点C的对应点为E． ①如果点M落在线段BC上，求∠DBE的度数； ②设直线ME与x轴正半轴交于点P，与线段BC交于点Q，当PE=2PQ时，求平移后新抛物线的表达式． 4．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点随之停止移动．设P，Q两点移动的时间为t 秒，△PBQ的面积为Scm2． （1）BP=cm； （2）求S与t的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值． 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4 5x+c与直线y＝ 2 5x+ 2 5交 于A、B两点，已知点B的横坐标是4，直线y＝2 5 x+ 2 5与 x、y轴的交点分别为 A、C，点P是抛物线上一动点． 2023年中考数学高频考点突破-三角形动点问题 1．如图，长方形ABCD中，AB=10cm，AD=12cm，∠A=90°．点P从点A出发，沿射线AB的方向以5cm/秒的速度移动；同时，点Q也从点A出发，以l2cm/秒的速度沿射线AD的方向移动．设两点的运动时间为t秒． （1）当点P到达点B时，t=． （2）用含t的式子表示PQ，可以表示为． （3）试求出使△APQ的周长等于长方形ABCD周长的三分之一的t值． （4）若Q点到达D点后立刻按照原路原速返回，试求出何时△APQ为等腰三角形． 2．如图，△ABC 中，△C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P 从点C开始，按C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t 秒． （1）出发2 秒后，求△ABP 的周长． （2）当t 为几秒时，BP 平分△ABC？ （3）另有一点Q，从点C 开始，按C→B→A→C 的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q 两点同时出发，当P、Q 中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t 为何值时，直线PQ 把 △ABC 的周长分成相等的两部分？ 3．在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=BC=3 √2，点D是斜边AB上一动点（点D与点A、B不重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接AE，DE． （1）求△ADE的周长的最小值； （2）若CD=4，求AE的长度． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=20cm，AC=16cm，点P从点A出发，以每秒1cm 的速度向点C运动，连接PB，设运动时间为t秒（t>0） （1）求BC的长． （2）当PA=PB时，求t的值． 5．如图，在Rt△ABC中，△ABC=90°，AB=20，BC=15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度。 （1）当t=2秒时，求AD的长； （2）在D运动过程中，△CBD能否为直角三角形，若不能，说明理由，若能，请求出t的值。6．如图，在Rt△ABC中，△B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以 1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后PQ的长度等于2 √10cm？ （2）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由． 7．在△ABC中，△BAC=45°，CD△AB于点D，AE△BC于点E，连接DE． 2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--圆的动点问题 1．如图AB为⊙O的直径，C为⊙O上半圆的一个动点，CE⊙AB于点E，⊙OCE的角平分线交⊙O 于D点． （1）当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置会变吗？请说明理由； （2）若⊙O的半径为5，弦AC的长为6，连接AD，求线段AD、CD的长． 2．如图．在Rt△ABC中，BC=4，∠BAC=30°，点E，F为边AB上的动点，点D是EF的中点，以点D为圆心，DE长为半径在△ABC内作半圆D． （1）若EF=2，P为半圆D的中点，在半圆D移动的过程中，求CP的最小值． （2）当半圆D同时与Rt△ABC的两直角边相切时，请求出EF的长． 3．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABO的顶点A，B，O均落在格点上，OB为⊙O的半径． （1）∠AOB的大小等于（度）； （2）将△ABO绕点O顺时针旋转，得△A′B′O，点A，B旋转后的对应点为A′，B′．连接AB′，设线段AB′的中点为M，连接A′M．当A′M取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无 刻度的直尺画出点B′，并简要说明点B′的位置是如何找到的（不要求证明）． 4．一块含有30°角的三角板ABC如图所示，其中∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm.将此三角板在平面内绕顶点A旋转一周. （1）画出边BC旋转一周所形成的图形； （2）求出该图形的面积. 5．如图，已知AB是⊙O中一条固定的弦,点C是优弧AB上一个动点(点C不与A,B重合). （1）设⊙ACB的角平分线与劣弧AB交于点P,试猜想点P在AB⊙上的位置是否会随点C的运动而发生变化?请说明理由; （2）如图②,设A′B′=8,⊙O的半径为5,在(1)的条件下,四边形ACBP的面积是否为定值?若是定值,请求出这个定值;若不是定值,试确定四边形A′C′B′P′的面积的取值范围. 6．如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm，半圆O的直径DE=12cm．点E 与点C重合，半圆O以2cm/s的速度从左向右移动，在运动过程中，点D、E始终在BC所在的直线上．设运动时间为x(s)，半圆O与ΔABC的重叠部分的面积为S(cm2)． （1）当x=0时，设点M是半圆O上一点，点N是线段AB上一点，则MN的最大值 为；MN的最小值为． （2）在平移过程中，当点O与BC的中点重合时，求半圆O与ΔABC重叠部分的面积S； （3）当x为何值时，半圆O与ΔABC的边所在的直线相切？ 2023年中考九年级数学高频考点拔高练习--三角形动点问题 1．已知：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=8cm．点P从点A 开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以1cm/s的速度移动． （1）求几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？ （2）求几秒后，PQ的长度等于5√2cm （3）求几秒后，PQ的长度能取得最小值，其最小值为多少cm？ 2．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点随之停止移动．设P，Q两点移动的时间为t 秒，△PBQ的面积为Scm2． （1）BP=cm； （2）求S与t的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值． 3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在x轴上（点B在点C的左侧），点B，C的坐标分别为B（﹣8，0），C（5，0），点A在y轴正半轴上， 且OA＝1 2OB．点P是射线BO上一动点． （1）填空：点A的坐标是； （2）连接AP，若△ABP的面积为10，求点P的坐标； （3）当点P在线段BO上运动时，在y轴负半轴上是否存在点Q使△POQ与 △AOC全等？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （4）当点P在射线BO上运动时，若△APC是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 4．如图，△ABC中，△C＝90°，AC＝8cm，BC＝12cm，动点P从点B出发以2cm/s 速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t秒. （1）根据题意知：CQ＝cm，CP＝cm；（用含t的代数式表示） （2）t为何值时，△CPQ与△ABC相似. 5．如图，已知直线y=−4 3x+8 与x轴交于点A，与y轴交于点B，动点C从点B出 发，以每秒1个单位的速度沿BA方向匀速运动，同时动点D从点A出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t>0）． 2023年中考数学高频考点--三角形动点问题 1．如图（1）在△ABC中，△C=90°，AB=25cm，BC=15cm，若动点P从点C开始沿着C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒5cm，设点P运动的时间为t秒． （1）点P运动2秒后，求△ABP的面积； （2）如图（2），当t为何值时，BP平分△ABC； （3）当△BCP为等腰三角形时，直接写出所有满足条件t的值． 2．如图，ΔABC中，∠C=90°，AC=3 cm，BC=4 cm，动点P从点B出发以2 cm/s的速度向点C移动，同时动点Q从点C出发以1 cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t s. （1）t为何值时，ΔCPQ的面积等于ΔABC面积的1 8； （2）运动几秒时，ΔCPQ与ΔABC相似? （3）在运动过程中，PQ的长度能否为1 cm?试说明理由 3．如图，AE与BD交于点C，AC=EC，BC=DC，AB=6cm，点P从A出发，沿 A→B→A的方向以3cm/s的速度运动；点Q从D出发，沿D→E的方向以1cm/s的速度运动．点P，Q同时出发，当点P到达A时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）． （1）直接写出线段BP的长；（用含t的式子表示） （2）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值． 4．如图，在△ABC中，△C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿边CB向点B以2cm/s的速度移动. （1）如果点P、Q同时出发，几秒后，可使△PCQ的面积为8cm2？ （2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形APQB的面积等于△ABC的面积的14？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由. 5．如图，△ABC为等边三角形，四边形BCDE为正方形，AB=6，点M以每秒1个单位的速度从点A沿AC向点C运动，同时点N以同样的速度从点D沿DE向点E运动，当点M达到点C时，M，N同时停止运动，设点M的运动时间为t． （1）当t=0时，求∠CMN的度数； （2）若∠CMN=60°，求线段MN的长； （3）当点M，N在运动时，求MN的最小值． 6．在平面直角坐标系中，O为原点，点A(−2，0)，B(6，0)，点C在y轴的正半轴上，∠ACB=90°． 2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--三角形的综合题 一、综合题 1．如图①，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点． （1）求证：∠PMN=∠PNM． （2）（结论应用） 如图②，在上边题目的条件下，延长上图中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC 交NM的延长线于点F.求证：∠AEN=∠F． （3）若（1）中的∠A+∠ABC=122°，则∠F的大小为． 2．如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，连接DE、DC，DE交AC于点G，且DE=DC． （1）找出一个与∠BDE相等的角； （2）若AB=mAD，求DG GE的值（用含m的式子表示）； （3）如图2，将△ABC沿BC翻折，若点A的对应点A′恰好落在DE的延长线上，求BE EC的 值． 3．如图1，在Rt△ACB中，△ACB＝90°，△ABC＝30°，AC＝2，CD△AB于点D，将△BCD绕点B 顺时针旋转α得到△BFE （1）如图2，当α＝60°时，求点C、E之间的距离. （2）在旋转过程中，当点A、E、F三点共线时，求AF的长. （3）连结AF，记AF的中点为点P，请直接写出线段CP长度的最小值． 4．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，延长CB，并将射线CB绕点C逆时针旋转90°得到射线l，D为射线l上一动点，点E在线段CB的延长线上，且BE=CD，连接DE，过点A 作AM⊥DE于M． （1）依题意补全图1，并用等式表示线段DM与ME之间的数量关系，并证明； （2）取BE的中点N，连接AN，添加一个条件：CD的长 为 ，使得AN=12DE成立，并证明． 5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，连接AE，∠AED=∠CED，延长ED交AB于点F，过点C作CP//AE交AB于点P． 2023年中考数学高频考点专题训练--四边形的综合题 一、综合题 1．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C 点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动. （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）求CP+PQ+QB的最小值； （3）过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标. 2．阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值范围内任取x＝a与x＝−a时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”.例如，y＝x2，在实数范围内任取x＝a时，y＝a2；当x＝−a时，y ＝(−a)2＝a2，所以y＝x2是“对称函数”. （1）函数y=2|x|+1对称函数（填“是”或“不是”）.当x≥0时，y=2|x|+1的图象如图1所示，请在图1中画出x＜0时，y=2|x|+1的图象. （2）函数y=x2−2|x|+1的图象如图2所示，当它与直线y＝－x+n恰有3个交点时，求n的值. （3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（－3，0），B（2，0），C （2，－3），D（－3，－3），当二次函数y=x2−b|x|+1（b>0）的图象与矩形的边恰有4个交点 时，求b的取值范围. 3．如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y=kx+15(k≠0)经过点C(3，6)，与x轴交于 点A，与y轴交于点B．线段CD平行于x轴，交直线y=3 4x 于点D，连接OC，AD． （1）填空：k=．点A的坐标是（，）； （2）求证：四边形OADC是平行四边形； （3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒． ①当t=1时，△CPQ的面积是▲ ． ②当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，请直接写出此时t的值． 4．如图1，⊥ABC为等腰三角形，AB=AC=a，P点是底边BC上的一个动点，PD⊥AC，PE⊥AB. （1）用a表示四边形ADPE的周长为； （2）点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，请说明理由； （3）如果⊥ABC不是等腰三角形(图2)，其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形ADPE 是菱形(不必说明理由). 5．（1）问题提出 如图①，在Rt⊥ABC中，⊥A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一点D，使得AD将⊥ABC分成 专题30动点综合问题（共37题） 一、单选题 1．（2021·广西贵港市·中考真题）如图，在ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8，BC ＝12，D 为AC 边上的一个 动点，连接BD ，E 为BD 上的一个动点，连接AE ，CE ，当∠ABD ＝∠BCE 时，线段AE 的最小值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．（2021·内蒙古中考真题）如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将边BC 沿CN 折叠，使点B 落在AB 上的点B ′处，再将边AC 沿CM 折叠，使点A 落在CB '的延长线上的点A '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点N 、M ，则线段A M '的长为（ ） A ．95 B ．85 C ．75 D ．65 3．（2021·内蒙古中考真题）如图①，在矩形ABCD 中，H 为CD 边上的一点，点M 从点A 出发沿折线AH HC CB --运动到点B 停止，点N 从点A 出发沿AB 运动到点B 停止，它们的运动速度都是1cm/s ，若点M 、N 同时开始运动，设运动时间为()s t ，AMN 的面积为()2cm S ，已知S 与t 之间函数图象如图 ②所示，则下列结论正确的是（ ） ①当06t <≤时，AMN 是等边三角形． ②在运动过程中，使得ADM △为等腰三角形的点M 一共有3个． ③当06t <≤时，2S =． ④当9t =+ADH ABM ∽． ⑤当99t <<+39S t =-++ A ．①③④ B ．①③⑤ C ．①②④ D ．③④⑤ 4．（2021·湖南中考真题）如图，点,E F 在矩形ABCD 的对角线BD 所在的直线上，BE DF =，则四边形AECF 是（ ） A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形 5．（2021·山东枣庄市·中考真题）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，=AC 6BD =，点P 是AC 上一动点，点E 是AB 的中点，则PD PE +的最小值为（ ）专题33四边形压轴综合问题-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练(全国通用)【原卷版】
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