2020届安徽省马鞍山市高三二模数学（理）试题一、单选题1．已知{|21}x A x =>，2{20}B x x x =+-，则A B =（ ）A ．{|2}x x >-B ．{|2}x x -C ．{|01}x x <D ．{|01}x x【答案】B【分析】求出集合A ，B ，由此能求出A B .【详解】解：{}{}210x A x x x =>=>，2{|20}{|21}B x x x x x =+-≤=-≤≤， {|2}A B x x ∴⋃=≥-．故选：B ．【点睛】本题主要考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2．已知复数12z =-，则复数2z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】先求解2z 根据复数的几何意义分析即可.【详解】221122z ⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭,故复数2z 在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C【点睛】本题主要考查了复数的基本运算以及几何意义运用,属于基础题.3．已知函数()f x 与它的导函数()f x '的定义域均为R ，则下列命题中，正确的是（ ）A ．若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=B ．若()f x 是偶函数，则()f x '一定是偶函数C ．若()22log f x x =，则()14f '=D ．若()f x 的图象在区间(),a b 连续不断，则()f x 在(),a b 上一定有最大值 【答案】A【分析】对A,根据极值点的性质辨析即可. 对B,举出反例判定即可.对C,先求解()f x 的解析式,再求导代入1x =即可. 对D,根据函数的图像性质辨析即可.【详解】对A,根据极值点的性质可知, 若0x 是()f x 的极值点,则()00f x '=.故A 正确.对B, 若()2f x x =,则满足()f x 是偶函数,但()2f x x '=是奇函数.故B 错误.对C ,令2log t x =则2t x =,则()()224tt f t ==,故()4xf x =,故()'4ln 4x f x =,()'14ln 4f =,故C 错误.对D,如()f x x =在区间()0,1上连续不断,但不存在最大值,故D 错误. 故选：A【点睛】本题主要考查了函数性质的综合辨析,属于基础题.4．为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资.爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格的医用外科口罩，现需将这6箱口罩分配给4家医院，每家医院至少1箱，则不同的分法共有（ ） A ．10种 B ．40种 C ．80种 D ．240种【答案】A【分析】分四家医院分配到的口罩箱数分别为1,1,2,2与1,1,1,3两种情况,分别计算再求和即可.【详解】由题意, 因为6箱医用外科口罩的规格相同,故四家医院分配到的口罩箱数有1,1,2,2与1,1,1,3两种情况,则分配的方法有：①1,1,2,2：从4家医院中选择两家,分别分配1箱,共246C =种. ②1,1,1,3：从4家医院选出1家,分配给3箱,共14C 4=种.共6410+=种. 故选：A【点睛】本题考查了分类求解组合的问题,需要注意6箱医用外科口罩的规格相同,故只需考虑每家医院所得的箱数.属于基础题.5．已知非零向量a ，b 满足||3||3||a b a b a -=+=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C【分析】根据||3||3||a b a b a -=+=,分别平方再化简,利用数量积的公式求解即可. 【详解】因为||3||3||a b a b a -=+=,平方可得()222222323a a b b a a b b a -⋅+=+⋅+=,由()22223232a a b b a a b b+⋅+=⇒⋅=-,代入22223a a b b a -⋅+=可得a b =.设a 与b 的夹角为θ,代入22a b b ⋅=-有2212cos cos 2b b θθ⋅=-⇒=-. 又[]0,θπ∈,故23πθ=. 故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量的模长与数量积公式等的运用,需要根据题意化简得出模长与夹角等的关系.属于中档题.6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】D【分析】根据程序框图的循环结构,依次计算输出结果即可. 【详解】开始：0,0,1S T i ===1. 53T ≤判断为“是”,011S =+=, 1011T =+=,112i =+=；2. 53T ≤判断为“是”,123S =+=, 14133T =+=,213i =+=； 3. 53T ≤判断为“是”,336S =+=, 413362T =+=,314i =+=； 4. 53T ≤判断为“是”,6410S =+=, 3182105T =+=,415i =+=； 5. 53T ≤判断为“是”,10515S =+=, 8155153T =+=,516i =+=； 6. 53T ≤判断为“是”,15621S =+=, 51123217T =+=,617i =+=； 7. 53T≤判断为“否”,输出7i =. 故选：D【点睛】本题主要考查了根据程序框图写出输出结果的问题,属于基础题.7．关于函数21()cos cos 2f x x x x =+-有下述四个结论： ①()f x 在区间[,]42ππ上是减函数；②()f x 的图象关于直线3x π=-对称；③()f x 的图象关于点()3,0π对称；④()f x 在区间[,]4ππ上的值域为[-.其中所有正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】先将21()cos cos 2f x x x x =-利用降幂与辅助角公式化简,再根据三角函数的图像与性质分别判断即可.【详解】211()cos cos cos 22sin 22226f x x x x x x x π⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭. ①当[,]42x ππ∈时,272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,因为sin y x =在区间27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数.故①正确. ②当3x π=-时, 262x ππ+=-.因为2x π=-是sin y x =的对称轴,故②正确. ③当3x π=时, 5266x ππ+=,因为5,06π⎛⎫⎪⎝⎭不是sin y x =的对称中心,故③错误. ④当[,]4x ππ∈时, 2132,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,故()sin 2[1,]26f x x π⎛⎫∈⎭-=+ ⎪⎝.故④正确. 综上,①②④正确. 故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的降幂与辅助角公式,同时考查了根据三角函数的性质,代入所给条件判断对称轴,对称中心以及单调性和值域等是否成立的问题.属于中档题.8．已知ABC 外接圆面积为π，1cos 2A =-，则ABC 周长的最大值为（ ）A ．2B ．1+C ．3D ．【答案】A【分析】利用正弦定理可得a ,再利用余弦定理结合基本不等式求解b c +的最大值,进而求得周长的最大值即可.【详解】设ABC 外接圆半径为R ,则21R R ππ=⇒=.又sin 0A >,故sin 2A ==.由正弦定理得22sin a R a A =⇒==. 又由余弦定理可得()222222cos 332b c a b c bc A b c bc +⎛⎫=+-⇒+=+≤+ ⎪⎝⎭.即()242b c b c +≤⇒+≤.故ABC 周长2a b c ++≤+,当且仅当1b c ==时取等号. 故选：A【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理的应用以及基本不等式求边长之和的最大值问题,属于中档题.9．已知F 为椭圆22:12516x y C +=的左焦点，O 为坐标原点，点P 在椭圆C 上且位于x轴上方，点(3,4)A -，若直线OA 平分线段PF ，则PAF ∠的大小为（ ） A ．60︒ B ．90︒C ．120︒D ．无法确定【答案】B【分析】设椭圆的上顶点为()0,4B ,注意到(3,4)A -横坐标与()3,0F -相等,纵坐标与()0,4B 相等.故分析可得P 在上顶点()0,4B 处,即可得PAF ∠大小.【详解】设椭圆的上顶点为()0,4B ,则因为(3,4)A -,()3,0F -.故AF x ⊥轴,AB y ⊥轴.则四边形ABOF 为矩形,故当P 在点B 时满足直线OA 平分线段PF .又设右焦点为N ,因为OA 平分线段FB 与FN ,故BNAO .故当直线OA 平分线段PF 时,P 只能在直线PN 上.又点P 在椭圆C 上且位于x 轴上方,故当且仅当P 在B 时满足直线OA 平分线段PF . 故90PAF BAF ∠=∠=︒.故选：B【点睛】本题主要考查了的性质运用,需要根据题意画图,分析可得四边形ABOF 为矩形,进而猜测P 为上顶点,再证明求解即可.属于中档题.10．如图是某三棱柱的正视图，其上下底面为正三角形，则下列结论成立的是（ ）A ．该三棱柱的侧视图一定为矩形B ．该三棱柱的侧视图可能为菱形C ．该三棱柱的表面积一定为123+D ．该三棱柱的体积一定为23【答案】D【分析】根据正视图可知底面正三角形的边长定为2,但不一定是正三棱柱,再分析即可. 【详解】注意到该三棱柱不一定为正三棱柱,也可能是斜三棱柱,故仅有体积为定值. 体积为2322234⨯=故选：D【点睛】本题主要考查了根据正视图分析几何图形性质的问题,注意该几何体不一定是正三棱柱.属于基础题.11．设,,,0a b m m ∈>Z ，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 模m 同余，记为(mod )a b m ≡，已知1223320202020202012222,(mod10)a C C C C b a =+⨯+⨯+⨯++⨯≡，则b 的值可能是（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021【答案】D【分析】根据二项展开式可知203a =,再分析203a =的个位数即可.【详解】由题,()20122332020202020202012222123a C C C C =+⨯+⨯+⨯++⨯=+=,又(mod10)b a ≡,故,a b 的个位数字相同.又201053981a ===个位数字明显为1.故选：D【点睛】本题主要考查了二项式定理的展开式的运用,需要观察题中所给的形式判断出展开式的原式,再利用指数函数的计算分析末尾数即可.属于中档题.12．梯形ABCD 中，//AD BC ，120DAB ∠=︒，AC BC ⊥，22BC AD ==，现将ABC 沿AC 折起，使得二面角B AC D --的大小为120︒，若,,,A B C D 四点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．316πB ．340πC ．364πD ．376π【答案】C【分析】根据梯形中的关系可得ABC ,ACD △均为直角三角形.再分析翻折后球心到平面ABC 的距离,进而求得球的半径与表面积即可.【详解】因为//AD BC ,120DAB ∠=︒,AC BC ⊥,故90CAD ∠=︒,30CAB ∠=︒,且2224,1,23AB BC AD AC AB BC ====-=.设AB 中点M 与CD 中点N ,因为ABC ,ACD △均为直角三角形,故,M N 分别为ABC ,ACD △的外接圆圆心.连接MN 交AC 于Q ,易得11,2MQ QN ==.又翻折后二面角B AC D --的大小为120︒,此时设球心为O ,则易得OM ABC ⊥,ON ADC ⊥.且,,,O M Q N 共面.画出四边形OMQN 平面图,延长,MQ ON 交于P .易得二面角B AC D --即120MQN∠=︒,故30P ∠=︒.故21QP QN ==,所以2MP MQ QP =+=,33OM ==. 故球O 的半径22163R OM AM =+=,故球O 的表面积26443S R ππ==.故选：C【点睛】本题主要考查了平面图形中的计算以及外接球的问题,需要根据题意找到翻折后两个三角形ABC ,ACD △的外接球半径及其交线长,再画图分析球心到ABC 所在的截面的距离求解球的半径.属于难题.二、填空题13．若变量x ，y 满足约束条件102800x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最大值为______．【答案】9. 【解析】分析：画出可行域，然后结合目标函数求最值即可.详解：作出如图所示可行域：可知当目标函数经过点A （2,3）时取得最大值，故最大值为9.点睛：考查简单的线性规划的最值问题，准确画出图形，画出可行域确定最优解是解题关键，属于基础题.14．百鸟蛋，又称九巧板，是类似于七巧板的益智拼图.相传是纪念哥伦布所制作的蛋形拼图，故又有哥伦布蛋形拼图一称.如图，九巧板由2个不规则四边形、2个大三角形、1个小三角形、2个不规则三角形和两个小扇形组成.在拼图时必须使用所有组件，角与边可相连接，但组件不能重叠.九巧板能拼摆出一百多种飞禽图形，可说是变化无穷、极富趣味，因此也被称为“百鸟朝凤”拼板.已知拼图中两个大三角形（图中阴影部分）为直角边长为2的等腰直角三角形，现用随机模拟的方法来估算此九巧板的总面积，随机在九巧板内选取100个点，发现有34个点落在两个大三角形内，则此九巧板的总面积约为______.【答案】10017【分析】根据两个大三角形占总面积的比例约等于34100,再计算两个大三角形的面积进而求得总面积即可.【详解】由题可得两个大三角形的面积为21222⨯=,设九巧板的总面积为S ,则23410010017S S =⇒=. 故答案为：10017【点睛】本题主要考查了几何概型的面积型问题,需要根据题意确定阴影部分面积占总面积的比值即为选取的点中落在阴影部分的比值.属于基础题.15．已知函数()e ,0ln ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()21e g xf x x b =--（e 为自然对数的底数），若函数()g x 有且只有三个零点，则实数b 的值为______.【答案】23e或1 【分析】由题可得()y f x =与21e y x b =+的图像有三个交点,再求导分析当()y f x =与21e y x b =+的图像相切时的情况,从而得出b 的值.【详解】画出()e ,0ln ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩的图像,当21e y x b =+为()f x 的切线时,设切点为()00,P x y .1.当00x ≤时,()x f x e =,故()'x f x e =,故00212xe x e =⇒=-,此时212,P e ⎛⎫- ⎪⎝⎭,代入21e y x b =+可得()2221132b b e e e =⋅-+⇒=. 2.当00x >时, ()ln f x x =,()1'f x x=,故202011x e x e =⇒=.此时()2,2P e ,代入21e y x b =+可得22121e b b e=⋅+⇒=. 根据图像可知当23b e =或1b =时均满足()y f x =与21e y x b =+的图像有三个交点.故答案为：23e 或1 【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点问题中参数的值.需要根据题意分析临界条件,利用导数的几何意义求解.属于中档题.16．已知双曲线2222:1x y E a b-=5，过E 的左焦点(5,0)F -作直线l ，直线l 与双曲线E 分别交于点,A B ，与E 的两渐近线分别交于点,C D ，若FA AC =，则||BD =______.【答案】558【分析】根据双曲线的离心率与左焦点(5,0)F -可得双曲线22:1205x yE -=,再根据FA AC =可得A 为,F C 的中点,再设(),A A Ax y ,根据FA AC =可得C 坐标,代入渐近线方程可求得(),A A Ax y 关于A x的表达式,再代入双曲线求得(),A A A x y ,进而求出直线AF 的方程,再联立双曲线与其渐近线的方程即可得BD .【详解】因为双曲线2222:1x y E a b-=,左焦点(5,0)F -,故5,c =又c a =,故a b ===故22:1205x y E -=.因为FA AC =,故A 为,F C 的中点.设()(),,,A A C C A x y C x y ,因为FA AC =,故()()5,,A A c A c A x y x x y y +=--,解得()25,2A A C x y +.不妨设C 在渐近线12y x =-上,则522A A x y =--,即52,2A A A y y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.代入22:14x E y -=则252220A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭--215A y -=,解得118A y =,即2111,48A ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故直线l 的斜率11011821254k -==--+,故l 的方程：()1152y x =-+. 联立双曲线方程：()2212051152x y y x ⎧-=⎪⎪⇒⎨⎪=-+⎪⎩2242426090x x ++=即()()4216290x x ++=.设(),B B Bx y ,(),y D D D x 则296Bx=-. 再联立渐近线12y x =,即()121152y x y x ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=-+⎪⎩5512D x =-.故2955612||1BD =+=-+.55【点睛】本题主要考查了双曲线中的坐标计算以及联立直线与双曲线的以及渐近线的方程求解坐标与弦长的问题,需要根据题意设点的坐标,并根据点在双曲线或渐近线上进行计算求解.主要是计算难度较大,需要用到韦达定理以及弦长公式等进行简化,属于难题.三、解答题17．已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c 中，11a =，1121n n n a a +=+-，1n n b n a =+，11n n nc a b =-． （1）求证：数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n c 的前n 项和n S ． 【答案】（1）证明见解析，12n n a n =-，2nnb =；（2）222n nn S +=-． 【分析】（1）先令1n =，由题设条件求得12b =，再由1121n n n a a +=+-，1n nb n a =+得到12n n b b +=，从而证明数列{}n b 是等比数列，求出n a 与n b ； （2）由（1）求出的结果求出nc ，再利用错位相减法求出n S ． 【详解】解：（1）证明：11a =，1n nb n a =+，12b ∴=， 1n n b n a =+，1121n n n a a +=+-，11121122()2n n n n nb n n n b a a a ++∴=++=+=+=， ∴数列{}n b 是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴12n n n b n a =+=，12n n a n=-； （2）解：由（1）知112n n n n nc a b =-=， 2112()222n n nS ∴=+⨯+⋯+①，21111()2222n n n n nS +-=+⋯++②， ∴由①-②得2311111[1()]111111122()()()1()1(1)()12222222222212n n n n n n n n n n n n S +++-=+++⋯+-=-=--=-+-，222n n n S +∴=-． 【点睛】本题主要考查等比数列的证明、通项公式的求法及错位相减法求和，属于中档题．18．如图，多面体ABCED 中，面ABD ⊥面ABC ，面BCE ⊥面ABC ，//DE 面ABC ，23AB =，BE CE =，2AD BD BC ===.（1）求BEC ∠的大小；（2）若2DE =，求二面角B DE C --的余弦值. 【答案】(1) 90BEC ∠=︒；(2)17【分析】(1)取,AB BC 中点,M N ,连接,MD EN ,再证明矩形DMNE ,进而得到1EN =,从而得到BEC △为等腰直角三角形即可.(2) 作BQ AC ⊥于Q ,作BP DE ⊥于P .连接PQ ,即可证明BPQ ∠为二面角B DEC --的平面角,再分别计算BPQ 三边的长度,利用余弦定理求解cos BPQ∠即可.【详解】(1) 取,AB BC 中点,M N ,连接,MD EN .因为AD BD =,故DM AB ⊥.又面ABD ⊥面ABC ,且交于AB .DM ⊂面ABD ,故DM ⊥面ABC .同理EN ⊥面ABC .故DMEN .故,,,D M N E 共面.又//DE 面ABC ,面DMEN ⋂面ABC 于MN .故DE MN .故四边形DMEN 为平行四边形.故 221EN DM DB MB ==-=.又BE CE =,2BC =.112BN NC BC ===,故BCE 为等腰直角三角形.故90BEC ∠=︒(2)作BQ AC ⊥于Q ,作BP DE ⊥于P .连接PQ . 因为,M N 分别为,AB AC 中点,故MNAC ,又MN DE ,故AC DE .故BQ DE ⊥.又BP BQ B ⋂=,故DE ⊥面BPQ . 故BPQ ∠为二面角B DE C --的平面角.又由(1),122AC MN DE ===,故4AC =.又222AC AB BC =+,故90ABC ∠=︒. 故3AB BCBQ AC⋅==. 在DBE 中,利用等面积法有22111222DE BP BE DE BE ⎛⎫⋅=⋅- ⎪⎝⎭,解得7BP =. 故2212EP BE BP =-=.221CQ BC BQ =-=.故()227PQ EC QC PE =--=. 故2221cos 27PB PQ BQ BPQ PB PQ +-∠==⋅. 即二面角B DE C --的余弦值为17. 【点睛】本题主要考查了线面与线线平行和垂直的性质与判定,同时也考查了立体几何中的线段长度角度等的计算.计算二面角时需要根据题意找到线面垂直从而得到二面角的平面角,再根据平面几何的计算求解对应的长度进行求解.属于难题.19．已知F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，以F 为圆心作半径为R 的圆Γ，圆Γ与x 轴的负半轴交于点A ，与抛物线E 分别交于点,B C .（1）若ABC 为直角三角形，求半径R 的值；（2）判断直线AB 与抛物线E 的位置关系，并给出证明. 【答案】(1) R p =；(2) 直线AB 与抛物线E 相切. 【分析】(1)由对称性可知, ABC 为等腰直角三角形,且BC x ⊥轴, BC 为直径,再根据B 的横坐标为2p,代入抛物线2:2(0)E y px p =>的方程求解纵坐标即可得半径R. (2)画图观察可知AB 与抛物线E 相切,再设2,,02a B a a p ⎛⎫>⎪⎝⎭,根据圆的半径相等求得点A 坐标.再根据导数的几何意义求解抛物线E 在B 处的切线斜率k ,进而证明k 与直线AB 的斜率相等即可.【详解】(1)由抛物线与圆的对称性可知, 点,B C 关于x 轴对称,故BAC ∠为直角.故ABC 为等腰直角三角形, 且BC x ⊥轴,BC 为直径.故B 的横坐标为2p,代入22y px =可得y p =±.故R p =.(2)不妨设2,,02a B a a p ⎛⎫>⎪⎝⎭.则根据抛物线的定义以及圆的半径相等有2+22a pFA FB p ==,故A 的横坐标为22+2222p a p a p p ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.即2,02a A p ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故直线AB 的斜率为22022a pa aa p p -=⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 又抛物线2:2(0)E y px p =>的上半部分为函数2y px =,故'2py x=,故在B 处切线的斜率为222pk a p a p==⨯.故直线AB 为在B 处切线. 故直线AB 与抛物线E 相切.【点睛】本题主要考查了抛物线的性质运用以及直线与抛物线的位置关系,需要先画出图像分析位置关系为相切,再利用导数的几何意义求解即可.属于中档题.20．随着生活水平的提高和人们对健康生活的重视，越来越多的人加入到健身运动中.国家统计局数据显示，2019年有4亿国人经常参加体育锻炼.某健身房从参与健身的会员中随机抽取100人，对其每周参与健身的天数和2019年在该健身房所有消费金额（单位：元）进行统计，得到以下统计表及统计图：平均每周健身天数不大于23或4不少于5人数（男）20359人数（女）10206若某人平均每周进行健身天数不少于5，则称其为“健身达人”.该健身房规定消费金额不多于1600元的为普通会员，超过1600元但不超过3200元的为银牌会员，超过3200元的为金牌会员.（1）已知金牌会员都是健身达人，现从健身达人中随机抽取2人，求他们均是金牌会员的概率；（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别和是否为“健身达人”有关系？（3）该健身机构在2019年年底针对这100位消费者举办一次消费返利活动，现有以下两种方案：方案一：按分层抽样从普通会员、银牌会员和金牌会员中共抽取25位“幸运之星”，分别给予188元，288元，888元的幸运奖励；方案二：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：摸奖箱中装有5张形状大小完全一样的卡片，其中3张印跑步机图案、2张印动感单车图案，有放回地摸三次卡片，每次只能摸一张，若摸到动感单车的总数为2，则获得100元奖励，若摸到动感单车的总数为3，则获得200元奖励，其他情况不给予奖励.规定每个普通会员只能参加1次摸奖游戏，每个银牌会员可参加2次摸奖游戏，每个金牌会员可参加3次摸奖游戏（每次摸奖结果相互独立）.请你比较该健身房采用哪一种方案时，在此次消费返利活动中的支出较少，并说明理由.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++为样本容量.【答案】(1)2235；(2) 不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别和是否为“健身达人”有关系;(3) 采用方案二时,在此次消费返利活动中的支出较少.【分析】(1)根据统计图与统计表分别求得金牌会员与健身达人的人数,再根据组合的方法求解从健身达人中随机抽取2人,他们均是金牌会员的概率即可.(2)根据图表分别求得非健身达人与健身达人中男女的人数,再计算2K 分析即可. (3)先求得普通会员、银牌会员与金牌会员的人数,再分别计算方案一和方案二中的支出.方案一计算分层抽样的各层次人数计算总支出,方案二中先计算一次摸奖的奖励数学期望,再分析所有的总奖励数学期望,再比较方案一、二的支出即可.【详解】(1)由题意得,健身达人共9615+=人,金牌会员人数有8412+=人.又金牌会员都是健身达人,故从健身达人中随机抽取2人,他们均是金牌会员的概率为2122152235C C =. (2)由图表可知,非健身达人男性有：203555+=人,健身达人男性有：9人； 非健身达人女性有：102030+=人,健身达人女性有：6人. 列出列联表有：故()221005563090.123 3.84185156436K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯. 故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别和是否为“健身达人”有关系. (3)由图,普通会员有62228+=人,银牌会员有253560+=人,金牌会员有8412+=人.方案一：抽取的普通会员、银牌会员与金牌会员分别有28257100⨯=,602515100⨯=,12253100⨯=人.故共支出71881528838888300⨯+⨯+⨯=元.方案二：摸一次奖获得奖励的数学期望为21323332322081002005555C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故总支出的数学期望为208208208286021237654.48300555⨯+⨯⨯+⨯⨯=<. 故采用方案二时,在此次消费返利活动中的支出较少.【点睛】本题主要考查了利用组合求解概率以及独立性检验的问题,同时也考查了计算数学期望分析实际应用的问题,属于中档题. 21．已知函数()(0)x x f x ae e x a -=-+>． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：1212()()01f x f x x x -<<-．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）求导可得2111()[()]24xx f x e a e '=--+-，再分14a 及104a <<讨论导函数与0的关系，即可得出单调性情况； （2）由（1）知，104a <<，且12121,x x x xe e e e a +=⋅=，通过化简可得所证不等式等价于2121102x x e e x x -<<-，不等式的左边显然成立，而右边等价于证明1122lna ln-<-，构造函数111()ln ln224a a a ϕ-=+<<，通过求导后研究其最值，即可得出结论．【详解】解：（1）函数定义域为R ，2111()[()]24xx f x e a e '=--+-， 当104a -，即14a 时，()0f x '，则函数()f x 在R 上单调递减， 当104a -<，即14a <时，由()0f x '=，得x e =x e =，又0a >0>，从而()0f x '=的解为34x x ==， 且(x ∈-∞，34)(x x ⋃，)+∞时，()0f x '<，当3(x x ∈，4)x 时，()0f x '>； 综上，当104a <<时，函数()f x 在3(,)x -∞，4(x ，)+∞上单调递减，在3(x ，4)x 上单调递增； 当14a时，函数()f x 在R 上单调递减； （2）证明：由（1）可知，104a <<，且12121,x x x xe e e e a +=⋅=， ∴211122211212121212121221(1)()()()()()()·12x x x x x x x x x x a e e x x f x f x aee x aee x e e e e x x x x x x x x --+-+---+--+-===-----，∴要证1212()()01f x f x x x -<<-，即证2121102x x e e x x -<<-，不妨设12x x <，则12x x e e <，所以21210x x e ex x ->-； 又由（1）知，1x e =，所以212112x x e e x x -<-，即为11121ln 22x e a x -<-，即为11112ln 2x e a x -<-11ln ln 22a <-，令111()ln ln 224a a a ϕ=+<<，则11()(022 aaϕ'=-+=+>，ϕ∴（a）在1(0,)4上单调递增，∴1()()04aϕϕ<=11ln ln22a<-，∴212112x xe ex x-<<-成立，从而1212()()01f x f xx x-<<-得证．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查转化思想及降元思想，考查推理能力及运算运算求解能力，属于较难题目．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2244(42x tt ty tt⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数，且0)t>，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos3sin10ρθρθ--=．（1）写出曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与x轴交点记为M，与曲线C交于P，Q两点，求11PM QM+．【答案】（1）:C24y x=,:l310--=x y；（2）1．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.【详解】解：（1）曲线C的参数方程为2244(42x tt ty tt⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数，且0)t>，转换为直角坐标方程为24y x=．直线l的极坐标方程为cos3sin10ρθρθ--=，转换为直角坐标方程为310--=x y．（2）直线l与x轴交点记为M，即(1,0)，转换为参数方程为1(xty⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）与曲线C交于P，Q两点，第 21 页 共 21 页 把直线的参数方程代入方程24y x =．得到24010t -=，所以12t t +=，1240t t =-，则：1212111t t PM QM t t -+===． 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23．已知a b ，为实数，且满足223412a b +≤.证明：（1）ab ≤（2）24a b +≤.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】(1)利用基本不等式证明即可.(2)利用三角换元证明即可.【详解】(1)因为221234a b ≥+≥=,故12ab ≤⇒≤(2)由题,当223412a b +=,即22143a b +=时,设2cos ,a b θθ==.故22cos 4sin 46a b πθθθ⎛⎫+≤+=+≤ ⎪⎝⎭. 即24a b +≤,当且仅当3πθ=即31,2a b ==时取等号. 【点睛】本题主要考查了基本不等式以及三角换元证明不等式的问题,属于中档题.。
