圆中的分类讨论题------之两解情况
一、根据点与圆的位置分类
例１、点P 是圆O 所在平面上一定点，点P 到圆上的最大距离和最短距离分别为８和２，则该圆的半径为 。
解：过点P 和圆心O 作直线分别与圆O 相交于A 、B 两点。PA 、PB 分别表示圆上各点到点P 的最长距离和最短距离。
（1）当点P 在圆内时，如图1所示，直径
；
（2）当点P 在圆外时，如图2所示，直径；
所以，圆O 的直径为2或6。
练习1：若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b ，则此圆的半径为（ ）
2：P 在⊙O 内，距圆心O 的距离为4，⊙O 半径长为5，经过P 点，交于⊙O 的弦为整数的有多少条？
解：过P 点的弦长为整数的最短弦长是6cm （该弦垂直于OP ，等于5与4的平方和的平方根的2倍）；最长的是10cm （过O 、P 的直径）；其间弦长为整数的长度还有7、8、9cm ，所以共有8条(其中的7、8、9各有两条，以OP 为对称轴） 。
3：⊙O 的半径为2.5，动点P 到定点O 的距离为2，动点Q 到P 的点的距离为1，则点P 、Q 与⊙O 有何位置关系？
二、弦与弦的位置关系不唯一，需要分类讨论
例1、圆O 的直径为10cm ，弦AB//CD ，AB=6cm ，CD cm =8，求AB 和CD 的距离。
解：（1）当AB 、CD 在圆心的同侧时，如图，过点O 作OM AB ⊥交AB 于点M ，交CD 于N ，连结OB 、OD ，得Rt OMB ∆，Rt OND ∆，然后由勾股定理求得：OM cm ON cm ==43，，故AB 和CD 的距离为1cm 。
（2）当AB CD 、在圆心的异侧时，如图9，仍可求得OM cm ON cm ==43，。故AB 和CD 的距离为7cm 。
所以AB 和CD 的距离为1cm 和7cm 。
例2、 已知弓形的弦长为8cm ，所在圆的半径为5cm ，则弓形的高为多少？（2或8cm ） 例3、 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，AB=2，∠BAC=30°．在图中作弦AD ，使AD=1，
并求∠CAD 的度数．
解：连接BC ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BAC=30°， ∴BC=1/2AB=1， ∠B=60°
以A 圆心BC 长为半径画弧可得点D ，再连接AD 即可；
P
O
B
A
P
O
B
N
M D
O
B A N
M
C
O
B A
∵AD=BC ， 所以弧BCE=弧ADC ∴∠DAB=∠B=60°， ∴∠DAC=60°-30°=30°； 同理可得：∠D ′AC=60°+30°=90°；综上所述：∠CAD 的度数为30°或90°
例4、油桶问题：一个横截面为圆的圆柱形油桶，放倒后油面为60cm ，其半径为50cm ，求油面的最大深度？ 两个答案：要考虑油面是否高于半圆，一个是低于半圆，一个是高于半圆。 例5、拱桥问题：某地有一座圆弧形拱桥圆心为O ，桥下水面宽度为7.2m ，过O 作OC ⊥AB 于D ，交圆弧于C ，CD=2.4m ，现有一艘宽3m ，船舱顶部为方形并高出水面AB=2m 的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？ 三、点在直径上的位置不唯一，需要分类讨论
例1、已知⊙O 的直径AB=10cm ，弦CD ⊥AB 于点于点M 。若OM ：OA=3：5，则弦AC 的长为多少？
四、点与弦的相对位置时，需要分类讨论
例1：⊙O 是△ABC 的外接圆，OD ⊥BC 于D ，且∠BOD ＝48°，则∠BAC ＝_________。 例2：在⊙O 中，AB 为直径，CD 为弦，AB ⊥CD ，P 为圆周上与C 、D 不重合的任意一点。判断COB
与CPD
的数量关系，并尝试证明你的结论。
五、三角形与圆心的位置关系
例1：已知∆ABC 内接于圆O ，∠=︒OBC 35，则∠A 的度数为________。
分析：因点A 的位置不确定。所以点A 和圆心O 可能在BC 的同侧，也可能在BC 的异侧。也可分析为圆心在∆ABC 的内部和外部两种情况。
解：（1）当点A 和圆心O 在BC 的同侧时，如图3，
O
B
C
A
O
B
C
A
P
︒。
练习：1、已知圆内接∆ABC 中，AB=AC ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，圆的半径为6cm,求腰长AB 。（两种情况如图5、图6）
D
O
B
C
D O
B
图5 图6
例2、△ABC 内接于⊙O ，AOC =1000，则ACB =
例 3、△ABC 是半径为2cm 的园内接三角形，若BC=23cm ，则∠A 的度数为
例4、已知△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长。
六、角与圆心的位置关系
在圆周角定理的证明中，根据圆心与圆周角的位置关系分为三类加以讨论：（1）圆心在角的一边上；（2）圆心在角的内部；（3）圆心在角的外部。其中，第一种情况是最特殊最容易证明的情况，而其余两种都是转化为第一种情况加以证明的。通过这三种情况的证明概括得出一般性结论。
例1、在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 的度数是____。
分析：角与圆心的位置关系为圆心在角内部和外部两种情况。 解：如图7，当圆心在∠BAC 内部时，连接AO 并延长交⊙O 于E 在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE AE ==11
2
,所以∠BAE ＝30° 同理，在Rt △CAE 中，EC ＝AC ， 所以∠EAC ＝45°，∠BAC =︒+︒=︒304575
当圆心O 在∠BAC 的外部时（∠BAC'），由轴对称性可知：∠BAC '=︒-︒=︒453015 所以∠BAC 为75°或15° 七、弦所对的圆周角有两种情况 例1：半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为3，那么这条弦所对的圆周角的度数等于____。 分析：弦所对的圆周角有两种情况： （1）弦所对的圆周角的顶点在优弧上； （2）弦所对的圆周角的顶点在劣弧上。 解：故应填60°或120°。
例2、圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（ ）。 A.30°或60° B.60° C.150° D.30°或150°
练习：一条弦分圆周为3：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为 。 八、 点在弧上的位置，需要分类讨论
例1：如下图，在平面直角坐标系中，P 是经过O （0，0），A （0，2），B （2，0）的圆上的一个动点（P 与O 、B 不重合），则∠OPB ＝_________度。（分p 在x 轴的两侧） 九、圆与圆的位置关系
例1、已知圆O 1和圆O 2相内切，圆心距为1cm ，圆O 2半径为4cm ，求圆O 1的半径。
解：（1）当圆O 2是大圆时，则圆O 1的半径等于大圆半径4cm 减去圆心距1cm ，求得圆O 1的半径为3cm 。
（2）当圆O 2是小圆时，则圆O 1的半径等于小圆半径4cm 加上圆心距1cm ，求得圆O 1的半径为5cm 。
所以圆O 1的半径是3cm 或5cm 。
例2、两圆相切，半径分别为4cm 和6cm ，求两圆的圆心距 。
解：（1）当两圆内切时，两圆心的距离等于大圆半径减去小圆半径，即642-=cm 。 （2）当两圆外切时，两圆心的距离等于大圆半径加上小圆半径，即6410+=cm 。
C'
E C
O B
A
