高二下学期期中数学试卷 (理科)

2021届高二下学期期中测试数学(理)一.选择题(每题 5分,共40分) . .......... 1 …,一 1 .复数Z 1方对应的点在()3i• -1 x 1_ _ ....2 .集合 A {x|(-)-} , B {x|log 2(x 1) 2},那么 A B 等于(A. (-8, 5)B. (-8, 2)C. (1, 2) D,2,5r r r r3,平面向量a (1,2),b ( 2,m),且a//b,那么m 的值为()B.-1 C. 4 D. 1是两个平面,那么a b 的一个充分条件是()B. a ,b , //A.第一象限B.第二象限 c.第三象限D.第四象限 A. -44 .设a ,b 是两条直线, C. a ,b , //D. a ,b//5 .函数ysin xcosx J3cos 2x 33的图像的一条对称轴是(C. x —126 .某程序框图如下图,该程序运行后,输出的 x 值为31,那么a 等于( ) A. 0 B. 1 C. 2D. 37 .以下命题中是假命题.的是 () A. B...2m R,使f(x)(m 1) x m是募函数,且在(0,)上递减a 0,函数f(x) ln 2 x ln x a 有零点 C., R,使 cos( ) cos sin D.R,函数y sin(2x)都不是偶函数8.对于三次函数 f(x) ax 3 bx 2cx d(a 0),给出定义：设f'(x)是函数y f(x)的导数,f (x)是f '(x)的导数,假设方程f ''(x) 0有实数解x0,那么称点(x0, f (X O))为函数y f (x)的拐点〞.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有拐点〞；任何一个三次函数都有对称中央,且拐点〞就是对称中央.设二.填空题〔每题5分,共30分〕9 .一个几何体是由上下两局部构成的组合体, 其三视图如图,假设图中圆的半径为1,等腰三角形的腰长为石,那么该几何体的体积为 ____________ 八八G G ox 1,iLfli 国 侧现国俯懦国10 .假设变量x, y 满足约束条件 y x, 那么z 2x y 的最小值2x 3y 6,为 _____________________22211 .抛物线y 2 px 〔 p 0〕的推线与圆x y 4x 5 0相切,那么 P 值为.12 .｛a n ｝为等比数列,且 a 2 4,a 11 8,那么log 2 a 1a 2L42.213 .与直线l 1 ： mx m y 1 0垂直于点P 〔2, 1〕的直线^的万程为14 .某单位为了制定节能减排目标,先调查了用电量 y 〔单位：度〕与气温随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表：x 1813 10 1y24343864由表中数据,得线性回归直线方程 $ 2x b,当气温不低于 50时,预测用电量最多为 度.函数 g(x) 1 x 312c 5 ml 1—x 3x —,贝U g ----------- 2 12 20212g 20212021 g --------- =()2021A.2021B.2021C.2021D.2021x 〔单位：°C 〕之间的关系,三.解做题(共80分)15 .(本小题总分值12分)3如图,角A为钝角,且sinA —,点P、Q分别是在角A的两边上不同于点A的动点5(1)假设AP=5, PQ=3卡,求AQ 的长;)的值.(2)设APQ , AQP ,且cos —,求sin(21316 .(本小题总分值12分)实数a>0,函数f(x) ax(x 2)2(x R)有极大值8.(I )求函数f (x)的单调区间；(n )求实数a的值.17 . 在如下图的四棱锥P ABCD 中, PA 平面ABCD,AB//DC, DAB 90 , PA AD DC 1,AB 2,M 为PB 的中点.(1)求证：MC //平面PAD;(2)求证：平面PAC平面PBC ；源、\(3)求直线MC与平面PAC所成角的余弦值. My 2 1Ar 1(a b 0)的离心率为一；直线l 过点A(4,0) b 2 2点P .(I)求椭圆C 的方程;(n)是否存在过点 A(4,0)的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点 M 、N ,使得35 AMi AN| ?假设存在,试求出直线 m 的方程；假设不存在,请说明理由19.(本小题总分值14分)数列｛a n ｝,｛ b n ｝中,阚 6 1 ,且当 n 2时,a n na n 1 0 , b n 2b n 1 2n 1.记 n 的阶乘 n(n 1)(n 2)L 3 2 1 n !(1)求数列｛a n ｝的通项公式；(2)求证：数列｛b n ｝为等差数列； (3)假设 c n -a n- b n 2n ,求｛c n ｝的前 n 项和. a n 220.(此题总分值14分)函数f (-) ln(- 1) mx ,当-0时,函数f(x)取得极大值. (I)求实数m 的值；(n)结论：假设函数f(x) ln(x 1) mx 在区间(a,b)内导数都存在,且a 1 ,那么存在x 0 (a,b), 使得 f (x 0)f (b) f (a). 试用这个结论证实：假设 1 x 1 x 2 ,函数b ag(x) f (x 1)一f (x 2) (x x 1) f(x 1),那么对任意 x (x 1,x 2),都有 f(x) g(x).18.(此题总分值14分)2........ X 椭圆C : -2 a236 AP,B(0, 2),且与椭圆C 相切于参考答案12. 30 13. x y 3 0 14.70“ 4 cos A 一5AP 2 AQ 22AP AQ cosA 解得AQ 2或10 (舍去负值),所以AQ 212 一 5 (2)由 cos—,得 sin 一13 13 在三角形APQ 中, A一.选择题： DCABCDDB 二.填空题：9.—10. 311.23315.解：(1)A 是钝角,sin A 一,5 在 APQ 中,由余弦定理得： PQ 2所以 AQ 2 8AQ 20 0又 sin(cos( sin(2 5 4 13 5)sin( A)、〃 4) cos A 一 5)sin[( 12 3 56 13 5 65sin A -, .................................. 8 分5................... 9 分)]sin cos( ) cos sin( (12)11分3 216. ( I ) .. f (x) ax 4a 4ax2f (x) 3ax 8ax 4a.令 f (x) 0 得 3ax 2 8ax 4a 0__ 2__••• a 0, 3x 8x 4 0.x -或x 21.- a>0,32 …・•・当 x (,一)或x (2,)Btf (x) 0.3・♦・函数f (x)的单调递增区间为(,2]和[2,)32 一.一当 x (一,2)时,f (x) 0,3一 ........... .. ..... .2 ・•・函数f (x)的单调递减区间为[-,2]........... 8分32 、 (n ) x (,—)时f (x) 032 一,一一x (一,2)时,f (x) 0, x (2,)时£ (x) 03 , 217.解：解法一 .〔1〕 M 是PB 的中点,取PA 的中点E, 那么ME 旦1AB ,又CDg 1AB .. 1分2 2,四边形CDEM 为平行四边形,CM // ED , CM 面 PAD, ED 面 PAD ............................................ 2 分 CM 〃平面PAD . (3)分(2)以A 为原点,AD 、AB 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, ...................................................... 4 分那么 D (1, 0, 0), C (1,1, 0), B (0, 2, 0), P (0,0, 1), M (0, 1,工),2 uuu uuurAP = (0,0, 1), AC = (1,1, 0),那么面PAC 的法向量为 ；=(—1,1, 0) ................. 5夕uuu uuuBP = (0, —2,1), BC = (1, — 1,0),那么面PBC 的法向量为 n2 = (1,1, 2) .................. 6分ur uur(3)设直线MC 与平面PAC 所成的角为 CM = (― 1,0,-), , 2ir uumn 一那么 sin = 9 1=, =a ........................................|n 1 |c|CM | 及瑟 5g2cos = -^5. ................................................5解法二：(1)同上.................................... 3 分 (2)证实：.「PAL 平面 ABCD ,•••PAXBC,.......................................................... 4 分又 AC 2+BC 2=2+2=AB 2, • . BC AC, ................................. 5 分 • •• AC PA A • .BC,平面 PAC, (6)分又BC?平面PBC,8解得a2712分而 n 1n 2 = _ 1 + 1 = 0,面 PAC 上面 PBC . (7)分uuuu1所以平面 PAC ,平面 PBC;................................................... 7 分 (3)解：取PC 中点N,那么MN // BC,........................................................ 8 分由(2)知BCL 平面PAC, 那么MN ,平面PAC所以/ MCN 为直线MC 与平面PAC 所成角,设为 ,........ 9分NC=1PC=—3, MC= 1PB =—2 2 2 218.(此题总分值14分)解：(I)由题得过两点 A(4,0) , B(0, 2)直线l 的方程为x 2y 4 0. ....................................... 份由于 C -,所以 a 2c, b J 3c .---2 分a 2 一一、一 x y …设椭圆方程为—1,3分4c 3cx 2y 4 0, 由 x 2y2消去 x 得,4y 2 12y 12 3c 2 0. ----4 分--- 2 -2 1,4c 3c2 2所以椭圆方程为——1.4 3(n)易知直线 m 的斜率存在,设直线m 的方程为y k(x 4),y k(x 4), 由 x 2 ............................................. y 2 消去 y,整理得(3 4k 2)x 2 32k 2x 64k 2 12 0.吩——1, 4 3由题意知 (32k 2)2 4(3 4k 2)(64k 2 12) 0,22又直线l:x 2y 4 0与椭圆C:二—1相切,43又由于直线l 与椭圆C 相切,所以122 4 4(12 3c 2) 0,解得 c 2 1. ---5 分设 M (不,火),N(x 2, y 2),那么 X x 232k 23 4k 2 'x 1x 264k 2 12 3 4k 210分3 3 一,所以 P(1-).2 236 45 81 . 35 4 7..(4 x 2)2 y 22(4 x 1)2 k 2(4 x 1)2 (4 x 2)2 k 2(4 x 2)22 2_(k 1)(4 4)(4 x 2) (k1)(x 1x 2 4(x 1 x 2) 16)36"" 2 3 4 k 2所以〔k 2 1〕T_^ 81,解得kT 经检验成立 3 4k 2 7419.解：(1) a n na n 1 0, n 2, a 1 1a n na n 1 n(n 1同 2 n(n 1)(n 2)a n 3n(n 1)(n 2)L 3 2 a 1 n ! (2)分又 a 1 1 1! , a n n ! .................................................................................. 3 分n 1…b nb n 11 b n b n 11(2)由b n2b n12两边同时除以2得一n—n-y—即一n—nT— 4分/"y 11 1r \ 1 1 r \ 1 1 1数列｛与 是以1为首项,公差为 1的等差数列 ..........................5分2n 2 2b n1 1 n ,, n n …/二(n 1)(二)1 二,故 b n 2 (1 -) (6)分2 2 2 2 2 (3)由于-a-------- 1-------- -^― -^,b n 2n n 2n 1 ......................... 8 分a n 2(n 1)(n 2) n 1n 2记A 产曳生也旦a 3 a 4 a 5 a n 2x 2y 4 0,由 x 2 y 2 解得x 1,y7 T 1,…2 45 一 ............ 那么AP ——.所以AM AN 4又 |AM||AN J(4 x )2 y 12(k 264k 2 1)(3 4k12 32 k 2 中16)(k 2 1)所以直线m 的方程为y —〔x44).记｛4 2n ｝的前n 项和为B n那么 B n 1 20 2 21 3 22n 2n 1①••• 2B n 1 21 2 22 (n 1) 2n 1n 2n ②由②-①得：B n 20 21 22 2n 1 n 2n ^-2- n 2n (1 n) 2n 1 …13分1 2一_ _ ..一n 1 1 •l• S n C 1 C 2 C 3C n = A n B n (1 n) 2 — .......... ......... 14 分2 n 220.(此题总分值14分)1x 斛：(1) f (x) ------------ m .由 f (0) 0 ,得 m 1,此时 f (x)------ . 2 分x 1x 1当x ( 1,0)时,f (x) 0,函数f (x)在区间(1,0)上单调递增； 3分 当x (0,)时,f (x) 0,函数f(x)在区间(0,)上单调递减.4分x 1 x 2f (x 1 ) f (x 2 )那么 h(x) f (x)———. 7 分X x 2Q 函数f (x)在x (x 1,x 2)上可导, 存在x 0 (x 1, x 2),f(x 1) f(x 2)c 八使得f (x 0) ----------------------- .8分x 1 x 21 . . 11 x 0 x …Q f (x) ——1, h(x) f (x) f (x 0) ------------------------------- ---------- ---------- 0--------- 9 分x 1 x 1 x 0 1 (x 1)(x 0 1) Q 当 x(X I ,X 0)时,h (x)0, h(x)单调递增,h(x) h(x 1) 0； 11 分 Q 当 x (X 0,X 2)时,h(x)0, h(x)单调递减,h(x)h(x z ) 0；13 分A n1 1 (2 3) (3 4) (4 5)/ 1 1 、 1 1(T1 n 2) 2 厂2函数f(x)在x 0处取得极大值,故 m 1. ........................... 5 分(2)令 h(x) f (x) g(x) f (x) f (x 1)-f (x 2) (x x 1) f (x 1) , ...................................................... 6 分故对任意x (X I,X2),都有f(x) g(x).。

高二下学期期中考试数学(理科)模拟试题一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共60分)1. 设复数Z i =1—i,Z 2「3・i ，则在复平面内对应的点在Z 2A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60 ”时，反设正确 的是A .假设三内角都不大于于60B.假设三内角都大于60 C .假设三内角至多有一个大于于 60D.假设三内角至多有两个大于60 3. 若复数z =(x 2 -4) • (x • 3)i(x ・R)，贝卩Z 是纯虚数”是x “=2”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件6. 2(x e x )dx 的值为C .充要条件D .既不充分也不必要条件4 .函数y=f(x)的图象如图所示，若 川0 f(x)dx ,贝S 2~f (x)dx 等于A. m B .2m5.复数z 满足|z-3|=|z 3|，且|z| = 5，则z 等于A . -5B ._5i C . -3 5i D . _ 3_4i A . 4 e 2 B . 3 e 2 C . 2 e 2 D . 1 e 27 .函数y = f (x)的图象如图所示，则f (x)的图象最有可能是个区域内坐定，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域颜色不受限制，那么不同着装的方法有几种。

A.80B.84C.108D.729 .用数学归纳法证明(n - 1)(n - 2)…(n n) = 2n 1 3 …(2n -1)(n N*)，从k 到k+1 :左端需要乘的代数式为()A.2k+1B.2(2k+1)C.k+1 k+110 .若f(x) —*x2 bln(x 2)在(一1「：)上是减函数，则b的取值范围是()A. [-1, ：：)B. (-1,二)C . (-：：，-1] D. (-：：，-1)11.对于函数f(x) =3lnx-x2 x，下列说法正确的是：A 既有极大值，又有极小值B只有极小值，没有极大值C只有极大值，没有极小值D没有极值12.定义：若存在常数k ,使得对于定义域D内的任意两个不同的实数X1,X2, 均有f (xj - f(X2)Wkx1-X2成立，则称函数f (x)在定义域D上满足利普希茨条件，对于函数f(x)「x(x_1)满足利普希茨条件，则常数k的最小值应是1 1A 丄B 1C 1D 22 3二、填空题：(本大题共5小题，每小题4分，共20分)13. 曲线y =X2(X—O)与直线y=1及直线x=2所围成的曲边三角形的面积为_14. 函数y = e2x图像上的点到直线2x - y - 4 = 0距离的最小值是_________15. 若复数z =(x2 -1)・(x-1)i为纯虚数，其中R，则z-1二___________________16 . 13 .如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2),如此下去，得图(3)……m紳创试用n表示第n个图形的边数a n= _______________三、解答题：17.证明下列问题(1)求证：、、2 11 ：：：、3 J0⑵设a,b,c,为均大于1的数，且ab = 10 ；求证：log a c log b c _4lgc18 .已知函数 f (x) = x3-ax2• 3x,a • R(I)若x =3是f (x)的极值点，求f(x)在x [1,5]上的最大值；(H)若函数f(x)是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围19 .已知函数f(x) =ax2• bx c(a . 0,b、R),曲线y = f(x)经过点P(0,2a2 8), 且在点Q(-1,f(-1))处的切线垂直于y轴，设g(x) = (f(x) 一16) e」。

高2021级数学 第1 页 共 4 页 高2021级数学 第 2页 共 4 页高2021级高二下学期期中质量检测 2023.04.25理科数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卷规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卷规定的位置上.4．考试结束后，将答题卷交回.第一部分（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数−=+z 1i2i，则=z （ ） A ．1BCD2．数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有一本政治与都是数学B ．至少有一本政治与都是政治C ．至少有一本政治与至少有一本数学D ．恰有1本政治与恰有2本政治 3．已知复数=+∈∈z a b a b i R,R )(，且+=−z 12i 1i )(，则−=a b （ ）A ．52B ．51C ．−52D ．−514．从甲、乙等6名专家中任选2人前往某地进行考察，则甲、乙2人中至少有1人被选中的概率为（ ） A ．54B ．32C ．52D ．535．命题p :“∀∈−+>x x mx R,102”，命题q :“<m 2”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 6．命题“∃∈+∞a 0,)[，>a a sin ”的否定形式是（ ）A ．∈+∞∀a 0,)[，≤a a sinB ．∃∈+∞a 0,)[，≤a a sinC ．∀∈−∞a ,0)(，≤a a sinD ．∃∈−∞a ,0)(，>a a sin7．)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列a n }{称为“斐波那契数列”，则=a 7（ ） A ．8B ．13C ．18D ．23． B ． C ． ．9．地铁让市民不再为公交车的拥挤而烦恼，地下交通的容量大、速度快、准点率高等特点弥补了 单一地面交通的不足.成都地铁9号线每5分钟一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是（ ）A ．0.6B ．0.8C ．0.4D ．0.210．已知命题∀∈p x :R ，>−x sin 1；命题∃∈+=+q x y x y x y :,R,sin sin sin )(，则下列命题是真命题的是（ ） A ．∧p q B ．∧⌝p q )( C ．∨⌝p q )( D ．⌝∧p q )(11．已知−=x a x 012在∈+∞x 0,)(上有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎝⎦⎥ ⎛⎤e 20,1B ．⎝⎭⎪⎛⎫2e 0,1C ．⎝⎦⎥ ⎛⎤1,e 2e 1D ．⎝⎭⎪⎛⎫1,e 2e 112.函数=f x x ln 2)(的图象与函数=−+−−xg x x x x 2e e 1)(的图象交点的横坐标x 0，则e x xln 200＝ （ ） A ．−ln 2B ．－21C ．21D ．ln 2高2021级数学 第3 页 共 4 页 高2021级数学 第4页 共 4 页第二部分（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

……………………… 5 分
两边求导得 n(1 x)n 1
n
kC
k n
xk
1
k1
令 x 1得到 n 2n 1
n
kCnk
k1
又
C
1 n
C
2 n
C
n n
2n 1
2
C
1 n
3C
2 n
4C
3 n
(n
1)C
n n
n 2 n 1 2 n 1 ……………………… 10 分
( 如采用组合恒等式证明相应给分 )
（ 2）（反证法）假设
则
．
而
．
， ①
②
由①②，得 于是
，即 ，这与非零实数
， 成公差不为零的等差数列矛盾，
故假设不成立，原命题结论成立，即
成立．………………… 14 分
17. 解：（ 1） 60 ……………………… 3 分 (2)480 ……………………… 6 分 (3)180 ……………………… 10 分
数列 bn 的前 n 项和为 Tn ，且 Tn
1
1 bn
2
(1) 求数列 an 、 bn 的通项公式；
1 (2) 设数列 an 的前 n 项和为 Sn , 试比较 bn 与 Sn 1 的大小，并用数学归纳法给予证明．
20. （本小题满分 16 分）
已知 fn( x) (1 x)n,( x 0且 x
－1＝
2 3n.
2 所以 an＝ 2n－ 1， bn＝ n.
3
1 (2) 因为 Sn＝
2n－1 2
× n＝n2，
所以
Sn＋1＝( n＋ 1)
2，
1 bn＝
3n .