【全国百强校】四川省成都市树德中学2018-2019学年高二10月月考数学理)试题

3 3
P
A.当增大时，
ADC。当增大时,
e1增大，
e1增大，
1
e1e2为定值B。当增大时,
e1e2为增大D。当增大时,
e1减小，
e1减小，
2
e1e2为定值
e1e2为减小
x2
7.已知双曲线
B C
y21的两个焦点为F,F,P为双曲线上一点，且
FPF的面
二：填空题（20分）
41 2 12
13.椭圆x2my21（m1）的离心率为3,则实数m
10。已知椭圆C：
x2y2
+
1与双曲线C
x2y2
：
1有相同的焦点,则椭圆C的离心率e的取值
③若⊥,∩＝n,m⊥n，则m⊥；④若m∥,n，则m∥n；
A.①②③B.①②C。①②④D.①③
1
范围为（ ）
2
m2n
2
2mn1
1
5.在棱长为2的正方体ABCDABCD中，E为棱CD的中点，则三棱锥ABED体积为（）
C. D。
7 2
6。在菱形ABCD中，AB2，ABC=，PA平面ABCD，PA3,那么二面角的正切值是（）
12.如图，等腰梯形ABCD中,
AB//CD且AB2AD,设DAB，（0，),以A，B为焦点,
2
3且过点D的双曲线的离心率为e;以C,D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e,则（ ）
A。1B。3 C.3D.3
高2016级高二上期10月阶段性测试数学试题（文科）
一：选择题（60分）
积为3，则PF1PF2( ）
A。2 B。3C。2
D。3
x2
1.已知双曲线方程为
y2
1,则该双曲线的渐近线方程为( )2

【详解】M为 的中点，且 ，∴ 为直角三角形， ，
若 、 为切线，则 ，
在 中， ， ， ，∴
∴过 到向圆引的两条切线的夹角不小于 ，满足题意，
则圆心 到点 的距离不大于 ，
即 ，
解得： ， ．
故答案为： ．
16.在平面直角坐标系 中，已知圆 ： ，圆 ： ，动点 在直线 ： 上（ ），过 分别作圆 ， 的切线，切点分别为 ， ，若满足 的点 有且只有一个，则实数 的值为______.
【详解】圆心O到已知直线的距离为 ，
此|AB|＝2 ＝8，
设点C到直线AB的距离为h，则S△ABC＝ ×8×h＝8，h＝2，
由于d＋h＝3＋2＝5＝r（圆的半径），
因此与直线AB距离为2的两条直线中的一条与圆相切，一条与圆相交，
符合条件的点C有三个．
故选：C.
【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，求得弦心距等于3、点C到直线3x+4y-15= 0的距离为2，是解题的关键，属于中等题.
平面为 ．
故答案为：1． 15.在平面直角坐标系 中，圆 ， ，若圆O上存在以M为中点的弦 ，且 ，则实数m的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件把问题转化为圆 上存在 两点，使 ，即过 到向圆引的两条切线的夹角不小于 ，即圆心 到点 的距离不大于 ，进而得到答案．
树德中学高2021级高二上学期10月阶段性测试数学试题
一、选择题（每题5分，共60分）
1.下列各点中，不在 表示的平面区域内的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】若点在平面区域内，则点代入不等式时，不等式成立；反之亦然，由此对选项逐一判断即可.

6．若函数 y a b 1 （ a 0 且 a 1 ）的图象不经过第一象限，则有（ A． a 1 且 b 0 C． 0 a 1 且 b 0 B． a 1 且 b 1 D． 0 a 1 且 b 1
7．已知函数 f ( x 1) 的定义域为 ( 2,0) ，则函数 g ( x ) f ( ) f ( x 1) x 1 的定义域是( A． - 1,0 8．已知函数 f ( x ) x
g(x)为定义在 R 上的奇函数，且当 x<0 时，g(x)＝x2－2x－5，若 f(g(a))≤2，
则实数 a 的取值范围是(
A．(－∞，－1]∪[0,2 2 －1] C．(－∞，－1]∪ห้องสมุดไป่ตู้0,3]
第Ⅱ卷
二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 ． 13．如果函数 f ( x ) = x + 2(a - 1) x + 2 在 ( ,4] 上是减函数，那么实数 a 取值范围是________． 14．函数 f ( x )
B.－4
C.－9
D.－16
3 ( x R) 的值域是 1 3x
B． 0,1 C． 0,1 ，则( ) C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2 ） D． 0,1
1 . 5
5．设 y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝ A．y3>y1>y2
x
1 2
B．y2>y1>y3
1
0
0.5
4
3

2 3

4
1 2 （2） 化简 4

四川省成都市树德中学2018-2019学年上学期期末高二数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．设a ∈R ，则“a=1”是“直线l 1：ax+2y ﹣1=0与直线l 2：x+（a+1）y+4=0平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y=±2x ，则其离心率为（ ）A ．5B ．C ．D ．3．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x ﹣85.71，则下列结论中不正确的是（ ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心（，）C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg4．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若x 2＞1，则x ＞1”的否命题为“若x 2＞1，则x ≤1”B ．命题“若”的否定是“∀x ∈R ，x 2＜1”C ．命题“若x=y ，则c osx=cosy”的逆否命题为假命题D ．命题“若x=y ，则cosx=cosy”的逆命题为假命题5．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A ．B ．C ．D ．6．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=3x ﹣y 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．[﹣1，6]D ．7．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于AC ，CB 的长，则该矩形面积不小于9cm 2的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．8．直线y=kx+3与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4相交于M 、N 两点，若|MN|≥2，则直线倾斜角的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P （x ，y ），则点P 的坐标满足不等式x 2+y 2≤2的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．10．点M 是抛物线y 2=x 上的点，点N 是圆C ：（x ﹣3）2+y 2=1上的点，则|MN|的最小值是（ ）A ．﹣1 B ．﹣1 C ．2 D ．﹣111．已知椭圆C 1： +=1的左焦点为F ，点P 为椭圆上一动点，过点P 向以F 为圆心，1为半径的圆作切线PM 、PN ，其中切点为M 、N ，则四边形PMFN 面积的最大值为（ ）A ．2B ．C ．D ．512．某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S 等于（ ）A ．24B ．26C ．30D ．32二、填空题（每小题5分，共20分）13．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看， 运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）14．已知圆O 1：x 2+y 2=1与圆O 2：（x+4）2+（y ﹣a ）2=25内切，则常数a= ．15．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1、e 2，则= ．16．已知y=a x （a ＞0且a ≠1）是定义在R 上的单调递减函数，记a 的所有可能取值构成集合A ；P （x ，y ）是椭圆+=1上一动点，点P 1（x 1，y 1）与点P 关于直线y=x+1对称，记的所有可能取值构成集合B ．若随机地从集合A ，B 中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是 ． 三、解答题17．设命题p ：点（1，1）在圆x 2+y 2﹣2mx+2my+2m 2﹣4=0的内部；命题q ：直线mx ﹣y+1+2m=0（k ∈R ）不经过第四象限，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求m 的取值范围．18．某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图如图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）（3）用分层抽样（按[60，70）、[70，80）分数段人数比例）的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70，80）的概率．19．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，P（1，m）是抛物线C上的一点．（1）若椭圆与抛物线C有共同的焦点，求椭圆C'的方程；（2）设抛物线C与（1）中所求椭圆C'的交点为A、B，求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程．20．已知圆C：x2+y2﹣4x+3=0，（1）求过M（3，2）点的圆的切线方程；（2）直线l过点且被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；（3）过点（1，0）的直线m与圆C交于不同的两点A、B，线段AB的中点P的轨迹为C1，直线与曲线C1只有一个交点，求k的值．21．已知抛物线x2=2py （p＞0），其焦点F到准线的距离为1．过F作抛物线的两条弦AB和CD，且M，N分别是AB，CD的中点．设直线AB、CD的斜率分别为k1、k2．（1）若AB⊥CD，且k1=1，求△FMN的面积；（2）若，求证：直线MN过定点，并求此定点．22．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，动点P（x，y）与定点F（﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣2的距离之比是．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过F作曲线C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，直线OM与曲线C交于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最小值．四川省成都市树德中学2018-2019学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．【解答】解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A．2．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（）A．5 B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线渐近线的方程，确定a，b的关系，进而利用离心率公式求解．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，∴，即b=2a，∴，∴离心率e=．故选：D ．3．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x ﹣85.71，则下列结论中不正确的是（ ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心（，）C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 【考点】回归分析的初步应用．【分析】根据回归方程为=0.85x ﹣85.71，0.85＞0，可知A ，B ，C 均正确，对于D 回归方程只能进行预测，但不可断定．【解答】解：对于A ，0.85＞0，所以y 与x 具有正的线性相关关系，故正确；对于B ，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C ，∵回归方程为=0.85x ﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ，故正确；对于D ，x=170cm 时， =0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg ，故不正确 故选D ．4．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若x 2＞1，则x ＞1”的否命题为“若x 2＞1，则x ≤1”B ．命题“若”的否定是“∀x ∈R ，x 2＜1”C ．命题“若x=y ，则cosx=cosy”的逆否命题为假命题D ．命题“若x=y ，则cosx=cosy”的逆命题为假命题 【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出原命题的否命题，可判断A；写出原命题的否定命题，可判断B；判断原命题的真假，进而可判断其逆否命题的真假；写出原命题的逆命题，可判断D．【解答】解：命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2≤1，则x≤1”，故A错误；命题“若”的否定是“∀x∈R，x2≤1”，故B错误；命题“若x=y，则cosx=cosy”是真命题，故其逆否命题为真命题，故C错误；命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为命题“若cosx=cosy，则x=y”为假命题，故D正确；故选：D5．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由上程序框图，当运行程序后，写出每次循环x，y，z的值，当z＜20不成立，输出所求结果即可．【解答】解：由上程序框图，当运行程序后，x=1，y=1，z=2＜20，满足条件，执行循环；则x=1，y=2，z=3＜20，满足条件，执行循环；则x=2，y=3，z=5＜20，满足条件，执行循环；则x=3，y=5，z=8＜20，满足条件，执行循环；则x=5，y=8，z=13＜20，满足条件，执行循环；则x=8，y=13，z=21＞20，不满足条件，退出循环，则输出，故选：B．6．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意义可求z的最大值与最小值，进而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z=6max∴故选A7．在长为10cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于AC，CB的长，则该矩形面积不小于9cm2的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式，设AC=x，则BC=10﹣x，由矩形的面积S=x（10﹣x）≥9可求x的范围，利用几何概率的求解公式可求．【解答】解：设AC=x，则BC=10﹣x，矩形的面积S=x（10﹣x）≥9，∴x2﹣10x+9≤0解得1≤x≤9，由几何概率的求解公式可得，矩形面积不小于9cm2的概率为P==．故选：A．8．直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则直线倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】直线的倾斜角．【分析】圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离d=．利用|MN|=2，可得k 的取值范围，由于k=tanθ，解出即可．【解答】解：圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离d==．∴|MN|=2==，解得，∴，设直线的倾斜角为θ，则≤tanθ≤．∴θ∈∪．故选：C．9．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则对应的区域为△AOB，由，解得，即B（4，﹣4），由，解得，即A（，），直线2x+y﹣4=0与x轴的交点坐标为（2，0），则△OAB的面积S==，点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=，则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=，故选：D10．点M是抛物线y2=x上的点，点N是圆C：（x﹣3）2+y2=1上的点，则|MN|的最小值是（）A．﹣1 B．﹣1 C．2 D．﹣1【考点】抛物线的简单性质．【分析】设圆心为C，则|MN|=|CM|﹣|CN|=|CM|﹣1，将|MN|的最小问题，转化为|CM|的最小问题即可．【解答】解：设圆心为C，则|MN|=|CM|﹣|CN|=|CM|﹣1，C点坐标（3，0），由于M在y2=x上，设M的坐标为（y2，y），∴|CM|==≥，∵圆半径为1，所以|MN|最小值为﹣1．故选A．： +=1的左焦点为F，点P为椭圆上一动点，过点P向以F为圆心，1 11．已知椭圆C1为半径的圆作切线PM、PN，其中切点为M、N，则四边形PMFN面积的最大值为（）A．2B．C．D．5【考点】椭圆的简单性质．【分析】由切线的性质可得S==|PM|．因此要使四边形PMFN面积取得四边形PMFN最大值，|PM|必须取得最大值，因此|PF|必须取得最大值，当P点为椭圆的右顶点时，|PF|取得最大值a+c．【解答】解：如图所示，： +=1可得a=4，c==1，由椭圆C1∴F（﹣1，0）．由切线PM、PN，可得PM⊥MF，PN⊥FN．S==|PM|．四边形PMFN因此要使四边形PMFN面积取得最大值，则|PM|必须取得最大值，因此|PF|必须取得最大值，当P点为椭圆的右顶点时，|PF|取得最大值a+c=4+1=5．∴|PM|=2，∴四边形PMFN面积最大值为=2××|PM|×|MF|=2．故选：A．12．某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于（）A．24 B．26 C．30 D．32【考点】椭圆的简单性质；循环结构．【分析】首先分析程序框图，循环体为“直到“循环结构，按照循环结构进行运算，求出满足题意时的S．【解答】解：根据题意，本程序框图为求S的值循环体为“直到“循环结构，其功能是计算椭圆上横坐标分别为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的点到焦点的距离，如图所示．根据椭圆的定义及对称性，得即S=2a+2a+2a+（a﹣c）=7a﹣c，又椭圆的a=5，b=4，c=3，则执行该程序后输出的S等于S=32．故选D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，乙运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）【考点】茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】由茎叶图知甲的得分相对分散，乙的得分相对集中，由此能求出结果．【解答】解：由某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录的茎叶图表知：甲的得分相对分散，乙的得分相对集中，∴从茎叶图的分布情况看，乙运动员的发挥更稳定．故答案为：乙．14．已知圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25内切，则常数a= 0 ．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出两个圆的圆心坐标与半径，利用圆O 1：x 2+y 2=1与圆O 2：（x+4）2+（y ﹣a ）2=25内切，求出圆心距等于半径差，即可得出结论．【解答】解：∵圆O 1：x 2+y 2=1的圆心（0，0），半径为1； 圆O 2：（x+4）2+（y ﹣a ）2=25，圆心坐标（﹣4，a ），半径为：5， ∵圆O 1：x 2+y 2=1与圆O 2：（x+4）2+（y ﹣a ）2=25内切，∴两个圆的圆心距d==4，∴a=0． 故答案为0．15．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1、e 2，则= 2 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的半实轴长a 2，焦距2c ．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找a 1，a 2，c 之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用a 1，a 2表示出|PF 1|，|PF 2|并且，，在△F 1PF 2中根据勾股定理可得到：，该式可变成：=2．【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的半实轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义：得|PF 1|+|PF 2|=2a 1+a 2，∴|PF 1|﹣||PF 2|=2a 2∴|PF 1|=a 1+a 2，|PF 2|=a 1﹣a 2，设|F 1F 2|=2c ，∠F 1PF 2=，在△PF 1F 2中由勾股定理得，4c 2=（a 1+a 2）2+（a 1﹣a 2）2∴化简得：该式可变成：=2．故答案为：216．已知y=a x（a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，记a的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆+=1上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+1对称，记的所有可能取值构成集合B．若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是．【考点】几何概型．【分析】根据指数函数的性质以及直线和圆锥曲线的位置关系求出集合A，B，然后根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：∵y=a x（a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，∴0＜a＜1，∴A={a|0＜a＜1}．P1（x1，y1）关于直线y=x+1的对称点为P（y1﹣1，x1+1），P是椭圆+=l上一动点，∴﹣4≤y1﹣1≤4，即﹣1≤≤1，设b=，则﹣1≤b≤1，∴B={b|﹣1≤b≤1}．∴随机的从集合A ，B 中分别抽取一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2等价为，则对应的图象如图：则λ1＞λ2的概率是，故答案为：三、解答题17．设命题p ：点（1，1）在圆x 2+y 2﹣2mx+2my+2m 2﹣4=0的内部；命题q ：直线mx ﹣y+1+2m=0（k ∈R ）不经过第四象限，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求m 的取值范围． 【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出p ，q 为真时的m 的范围，通过讨论p ，q 的真假，得到关于m 的不等式，取并集即可．【解答】解：点（1，1）在圆x 2+y 2﹣2mx+2my+2m 2﹣4=0的内部， 故1+1﹣2m+2m+2m 2﹣4＜0，解得：﹣1＜m ＜1， 故命题p ⇔﹣1＜m ＜1，直线mx ﹣y+1+2m=0（k ∈R ）不经过第四象限，故，解得：m ≥0，故命题q ⇔m ≥0；如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题， 则p ，q 一真一假，①p真q假时，﹣1＜m＜0；②p假q真时，m≥1．故m的取值范围为﹣1＜m＜0或m≥1．18．某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图如图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）（3）用分层抽样（按[60，70）、[70，80）分数段人数比例）的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70，80）的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）利用频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出分数在[70，80）内的频率．（2）利用频率分布直方图能求出中位数．（3）[60，70）分数段的人数为9人，[70，80）分数段的人数为18人．需在[60，70）分数段内抽取2人，分别记为a，b；在[70，80）分数段内抽取4人，分别记为c，d，e，f．由此利用列举法能求出从中任取2人，恰有1人在分数段[70，80）的概率．【解答】解：（1）分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3…（2）∵数学成绩在[40，70）内的频率为（0.010+0.015+0.015）×10=0.4，数学成绩在[70，80）内的频率为0.3，∴中位数为70+=．…（3）由题意，[60，70）分数段的人数为：0.15×60=9（人），[70，80）分数段的人数为：0.3×60=18（人）．∴需在[60，70）分数段内抽取2人，分别记为a，b；在[70，80）分数段内抽取4人，分别记为c，d，e，f．设“从样本中任取2人，恰有1人在分数段[70，80）内”为事件A，所有基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15个…其中事件A包含（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），共8个．…∴P（A）=．…19．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，P（1，m）是抛物线C上的一点．（1）若椭圆与抛物线C有共同的焦点，求椭圆C'的方程；（2）设抛物线C与（1）中所求椭圆C'的交点为A、B，求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，即可得椭圆C的焦点坐标，结合椭圆的几何性质可得4﹣n=1，解可得n的值，代入椭圆的方程，即可得答案；（2）联立抛物线与椭圆的方程，消去y得到3x2+16x﹣12=0，解可得x的值，即可得A、B的坐标，进而可得双曲线的渐近线方程，由此设双曲线方程为6x2﹣y2=λ（λ≠0），结合抛物线的几何性质可得λ的值，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，抛物线C：y2=4x，其焦点坐标为（1，0），椭圆的焦点为（1，0），则有c=1，对于椭圆，可知4﹣n=1，∴n=3，故所求椭圆的方程为；（2）由，消去y 得到3x 2+16x ﹣12=0，解得（舍去）．所以，则双曲线的渐近线方程为，由渐近线，可设双曲线方程为6x 2﹣y 2=λ（λ≠0）．由点P （1，m ）在抛物线C ：y 2=4x 上，解得m 2=4，P （1，±2）， 因为点P 在双曲线上，∴6﹣4=λ=2，故所求双曲线方程为：．20．已知圆C ：x 2+y 2﹣4x+3=0，（1）求过M （3，2）点的圆的切线方程；（2）直线l 过点且被圆C 截得的弦长最短时，求直线l 的方程；（3）过点（1，0）的直线m 与圆C 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的中点P 的轨迹为C 1，直线与曲线C 1只有一个交点，求k 的值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由圆的方程求出圆心和半径，易得点A 在圆外，当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3．当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k ，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k ，可得切线方程；（2）当直线l ⊥CN 时，弦长最短，可求直线l 的方程；（3）求出轨迹C 1，直利用线与曲线C 1只有一个交点，求k 的值．【解答】解：（1）圆C ：x 2+y 2﹣4x+3=0，即 （x ﹣2）2+y 2=1，表示以（2，0）为圆心，半径等于1的圆．当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3符合题意．当切线的斜率存在时，设切线斜率为k ，则切线方程为 y ﹣2=k （x ﹣3），即kx ﹣y ﹣3k+2=0，所以，圆心到切线的距离等于半径，即=1，解得k=，此时，切线为3x ﹣4y ﹣1=0．综上可得，圆的切线方程为x=3或3x ﹣4y ﹣1=0…（2）当直线l ⊥CN 时，弦长最短，此时直线的方程为x ﹣y ﹣1=0…（3）设点P （x ，y ），∵点P 为线段AB 的中点，曲线C 是圆心为C （2，0），半径r=1的圆，∴CP ⊥AP ，，∴化简得…由于点P 在圆内，去除点（1，0），所以C 1：（x ≠1）…因为直线与曲线C 1只有一个交点，所以圆心到直线的距离d==或k=0，所以…21．已知抛物线x 2=2py （p ＞0），其焦点F 到准线的距离为1．过F 作抛物线的两条弦AB 和CD ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．设直线AB 、CD 的斜率分别为k 1、k 2． （1）若AB ⊥CD ，且k 1=1，求△FMN 的面积； （2）若，求证：直线MN 过定点，并求此定点．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设AB 的方程为，联立，求出M ，N 的坐标，即可求△FMN 的面积；（2）求出直线MN 的方程，即可证明直线MN 过定点，并求此定点．【解答】解：（1）抛物线的方程为x 2=2y ，设AB 的方程为联立，得x 2﹣2x ﹣1=0，，同理∴S △FMN =|FM|•|FN|==1△FMN 的面积为1．…（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），设AB 的方程为联立，得x 2﹣2k 1x ﹣1=0，，同理…kMN=∴MN的方程为，即，…又因为，所以k1+k2=k1k2，∴MN的方程为即∴直线MN恒过定点．…22．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，动点P（x，y）与定点F（﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣2的距离之比是．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过F作曲线C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，直线OM与曲线C交于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最小值．【考点】直线与椭圆的位置关系；轨迹方程．【分析】（1）由题意列关于P的坐标的函数关系式，整理可得动点P的轨迹C的方程；（2）设直线AB的方程为x=my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线系方程和椭圆方程，得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得A、B中点的坐标，得到直线PQ的方程，求出|PQ|．设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，可得2d=．结合题意化简可得2d=．代入得2d=．代入四边形面积公式，换元后利用配方法求得四边形APBQ面积的最大值．【解答】解：（1）由已知，得．两边平方，化简得．故轨迹C的方程是；（2）∵AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为x=my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（m 2+2）y 2﹣2my ﹣1=0．y 1+y 2=，y 1y 2=．x 1+x 2=m （y 1+y 2）﹣2=，于是AB 的中点为M （），故直线PQ 的斜率为﹣，PQ 的方程为y=﹣x ，即mx+2y=0，联立，整理得：x 2=，|PQ|=．设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，∴2d=．∵点A ，B 在直线mx+2y=0的异侧，∴（mx 1+2y 1）（mx 2+2y 2）＜0，于是|mx 1+2y 1|+|mx 2+2y 2|=|mx 1+2y 1﹣mx 2﹣2y 2|，从而2d=．∵|y 1﹣y 2|==，∴2d=．故四边形APBQ 的面积S=|PQ|•2d==2≥2．即m=0时，S min =2．。