合肥一中2017~2018学年第一学期高二年级段一考试数学（文科）试卷参考答案13．216π14． 9 15．22π+16三、解答题 17．（本题满分10分）【证明】在平面ABCD 内，连接AE 并延长交DC 于点M ，则有CM=CD ， 在平面PCD 内，连接GF 并延长交DC 于点M 1． 取GD 中点N ，连接CN ，则由PG=13PD 可知PG=GN=ND ． ∵点F 为PC 的中点，∴在△PCN 中有FG ∥CN ，即GM 1∥CN ， ∴在△GM 1D 中有CM 1=CD ，∴点M 与点M 1重合，即AE 与GF 相交于点M ， ∴A 、E 、F 、G 四点共面． 18．（本题满分12分）【解析】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，圆锥的母线长为l ，高为h 1，根据题意可知（1）224,12r r ππ=∴=（cm ），116h ==（cm ）， 所以“笼具”的体积22111=(1443014416)355233V r h r h ππππ-=⨯-⨯⨯=（3cm ）.（2）圆柱的侧面积212720S rh cm ππ==，圆柱的底面积222144S r cm ππ==，圆锥的侧面积23240S rl cm ππ==，所以“笼具”的表面积21231104S S S S cm π=++=，故造50个“笼具”的总造价：411045081104=1025ππ⨯⨯元.答：这种“笼具”的体积为3552π3cm ；制造50个“笼具”的总造价为110425π元. 19．（本题满分12分） 【证明】 (1)如图，连接AE ，则AE 必过DF 与GN 的交点O ，连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO ，又BE ⊄平面DMF ，MO ⊂平面DMF ，所以BE ∥平面DMF . (2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN ，又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ，所以DE ∥平面MNG .又M 为AB 中点，所以MN 为△ABD 的中位线，所以BD ∥MN ，又BD ⊄平面MNG ，MN ⊂平面MNG ，所以BD ∥平面MNG ，又DE 与BD 为平面BDE 内的两条相交直线，所以平面BDE ∥平面MNG . 20．（本题满分12分）【解析】（Ⅰ）证明：因BD EF //，所以EF 与BD 确定一个平面，连接DE ，因为E EC AE ,=为AC 的中点，所以AC DE ⊥；同理可得AC BD ⊥，又因为D DE BD = ，所以⊥AC 平面BDEF ，因为⊂FB 平面BDEF ，FB AC ⊥.（Ⅱ）设FC 的中点为I ，连HI GI ,，在C E F ∆中，G 是CE 的中点，所以EF GI //，又DB EF //，所以DB GI //；在CFB ∆中，H 是FB 的中点，所以BC HI //，又I HI GI = ，所以平面//GHI 平面ABC ，因为⊂GH 平面GHI ，所以//GH 平面ABC .21．（本题满分12分） 【解析】（Ⅰ）证明：连AG 交PD 于H ，连接CH ． 由梯形ABCD ，AB ∥CD ，且AB=2DC ，知又E 为AD 的中点，且PG ：GE=2：1，G 为△PAD 的重心，∴在△AFC 中，，故GF ∥HC ．又HC ⊆平面PCD ，GF ⊄平面PCD ，∴GF ∥平面PDC ．（Ⅱ）PE ⊥平面ABCD ，且PE=3，又由（Ⅰ）知GF ∥平面PDC ， ∴又由梯形ABCD ，AB ∥CD ，且AD=2DC=2，知又△ABD 为正三角形，得∠CDF=ABD=60°， ∴，得，∴三棱锥G ﹣PCD 的体积为．22. （本题满分12分）【解析】（I ）AD 上存在一点P ，使得平面，此时32AP PD =.理由如下：当32AP PD =时，35AP AD =，过点P 作//MP FD 交AF 于点M ，连结EM ，则有35MP AP FD AD ==， 1BE =，可得FD=5，故MP=3，又EC=3，////MP FD EC ，故有// EC ，故四边形MPEC 为平行四边形，//CP ME ∴,又CP ∴⊄,ME ABEF ⊂平面，故有//CP ABEF ∴平面成立.//CP ABEF（2）设BE x =，(04),6AF x x FD x ∴=<≤=-，故21112(6)(6)323A CDF V x x x x -=⋅⋅⋅-⋅=-+，∴当3x =时，A CDF V -有最大值，且最大值为3，此时133EC AF FD DC ====，，， 在ACD ∆中，由余弦定理得2221cos ,sin222AD DC AC ADC ADC AD DC +-∠===∴∠=⋅， 1sin 2ADC S DC DA ADC ∆=⋅⋅⋅∠=设点F 到平面ADC 的距离为h ，由于=A CDF F ACD V V --，即13,3ADC h S h ∆=⋅⋅∴=F 到平面ADC .。
2019届安徽省合肥一中高三下学期冲刺模拟考试文科数学（A 卷）1．“l g l g x y >”是“1010x y >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．设1z i =+（i 是虚数单位），则在复平面内，22z z+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知集合1|,,11M y y x x R x x ⎧⎫==+∈≠⎨⎬-⎩⎭，集合{}2|230N x x x =--≤，则（ ） A ．MN =∅ B ．R M C N ⊆C ．R M C M ⊆D ．M N R ⋃=4．已知一个空间几何体的三视图如右图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，得这个几何体的表面积是（ ）A ．4πB ．7πC ．6πD ．5π5．下表是某工厂月份用电量（单位：万度）的一组数据：由散点图可知，用电量y 与月份x 间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是ˆ0.7y x a =-+，则a =（ ）A ．10.5B ．5.25C ．5.2D ．5.15 6．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（ ） A ．22cos y x = B ．22sin y x =C ．1sin 24y x π⎛⎫=++⎪⎝⎭D ．cos 2y x =7．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，若{}2log n a 是公差为-1的等差数列，且638S =，则1a 等于（ ）A ．421 B ．631 C ．821D ．12318．已知函数()21log 3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，实数,,a b c 满足()()()()0,0f a f b f c a b c ⋅⋅<<<<若实数0x 为方程()0f x =的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是（ ） A ．0x a < B ．0x b > C ．0x c < D ．0x c > 9．函数ln x x y x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．设第一象限内的点(),x y 满足约束条件26020x y x y --≤⎧⎨-+≥⎩，目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b+的最小值为（ ） A ．256B ．94C ．1D ．411．已知()(),f x g x 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①()()()0,1xf x ag x a a =⋅>≠，②()0g x ≠，③()()()()f x g xf xg x ''⋅>⋅，若()()()()115112f fg g -+=-，则a 等于（ ） A ．12 B ．2 C ．54 D ．2或1212．椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为,B F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A．2⎫⎪⎪⎣⎭ B．,23⎣⎦ C．3⎫⎪⎪⎣⎭ D．,22⎣⎦13．设函数()33,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________. 14．已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C所对的边，若1,2a b A C B ==+=，则sin C = __________.15．向量211,22n nn n a a V a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭为直线y x =的方向向量，11a =，则数列{}n a 前2016项的和为 __________.16．若点P 在直线1:30l x y ++=上，过点P 的直线2l 与曲线()22:516C x y -+=只有一个公共点M ，则PM 的最小值为____________.17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*23n n a S n N =-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n n a b +的前n 项和n T .18．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；（2）由表中统计数据填写下边22⨯列联表，试采用独立性检验进行分析，能否在犯错误的概率不超过0.1.参考数据与公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直底面，01190,AC BC 2ACB AA ∠===，D 是棱1AA 的中点.（1）证明：平面1BDC ⊥平面BDC ；（2）平面1BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积比.20．已知圆()22:11M x y ++=，圆()22:19N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C . （1）求C 的方程；（2）若直线()1y k x =-与曲线C 交于,R S 两点，问是否在x 轴上存在一点T ，使得当k 变动时总有OTS OTR ∠=∠？若存在，请说明理由.21．已知函数()1xf x e ax =--（0,a e >为自然对数的底数）．（1）求函数()f x 的最小值；（2）若()0f x ≥对任意的x R ∈恒成立，求实数a 的值； （3）在（2）的条件下，证明：()()*11111123n n n N n++++>+∈．22．选修4-4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l 的参数方程为1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.（1）求C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长AB . 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x x a =-+-.（1）若1a =-时，解不等式()3f x ≥的解集； （2）如果(),2x R f x ∀∈≥，求a 的取值范围.2019届安徽省合肥一中高三下学期冲刺模拟考试文科数学（A 卷）参考答案1．A 【解析】试题分析：lg lg 01010x y x y x y >⇒>>⇒>，充分性成立；1010x yx y >⇒>≠>lg lg x y >，必要性不成立，选A.考点：充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 2．D 【解析】试题分析：11z i z i =+⇒=-⇒22222111z i i i i z i +=-+=-++=--，对应点在第四象限，选D.考点：复数几何意义【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b(,)a b ，共轭为.-a bi3．D 【解析】试题分析：1111[3,)(,1]11y x x M x x =+=-++∴=+∞-∞---；{}2|230[1,3]N x x x =--≤=-，因此{1,3}MN =-，(3,)(,1)R C N M =+∞-∞-⊂，(1,3)R C M M =-⊂，M N R ⋃=，故选D.考点：集合包含关系【名师点睛】本题重点考查集合间关系，容易出错的地方是审错题意，由求函数值域，易忽视小于零的情况，导致错求集合M.属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合题要关注区间端点开与闭，强化对集合关系正确的理解. 4．D 【解析】试题分析：几何体为一个半球与一个圆柱的组合，球的半径为1，圆柱底面半径为1，高为1，因此表面积体积为22141211152ππππ⨯⋅+⋅⋅+⋅=，选D.考点：三视图【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据． 5．B 【解析】试题分析：因为ˆ0.7y x a =-+过点57(,)(,)22x y =，所以a =5.25，选B. 考点：线性回归方程6．A 【解析】试题分析：由题意得2sin 2()1cos 212cos 4y x x xπ=++=+=，选A.考点：三角函数图像变换7．A 【解析】试题分析：因为{}2log n a 是公差为-1的等差数列，所以{}n a 是公比为12的等比数列，因此16611(1)342182112a S a -==⇒=-，选A.考点：等差与等比数列性质8．D 【解析】试题分析：由题意得,,a b c 分布在0x 两侧，因此0x c>必不成立，选D.考点：函数零点 9．B 【解析】试题分析：函数为奇函数，去掉A,C;当1x >时0y >，因此选B. 考点：函数图像与性质 10．B 【解析】试题分析：可行域为一个四边形OABC 及其内部，不含坐标轴，其中(0,2),(8,10),(3,0)A B C ，直线z ax by =+过B点时取最大值，即81040,4520a b a b +=+=，从而515145151425()(25(252)20204a b a b a b a b a bb b a ++=+=+++⨯=，当且仅当2a 5b =时取等号，因此51a b +的最小值为94，选B.考点：基本不等式求最值 11．A 【解析】试题分析：令()()()x f x h x a g x ==，则()g (x )-f (x )g (x )()0l n 001()xf x h x a a ag x '''=<⇒<⇒<<，又5151(1)(1),(2222h h a aa+-=⇒+=⇒=舍去），选A.考点：导数12．B 【解析】试题分析：设F '为椭圆左焦点，由椭圆对称性知，BFAF '为矩形，则BFF α'∠=,因此12cos,2sin,2cos2sin2)4BF c BF c BF BF c c a eααααπα''==⇒+=+=⇒=+因为,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以,432πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin()42πα⎤+∈⎥⎣⎦，e∈23⎣⎦，选B.考点：椭圆定义【名师点睛】求椭圆的离心率（取值范围）的策略求椭圆离心率是一个热点问题．若求离心率的值，需根据条件转化为关于a，b，c的方程求解，若求离心率的取值范围，需转化为关于a，b，c的不等式求解，正确把握c2＝a2-b2的应用及0<e<1是求解的关键．13．12-【解析】试题分析：1211(3)22f f f-⎛⎫⎛⎫-==-⎪⎪⎝⎭⎝⎭考点：分段函数求值【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.14．1【解析】试题分析：23A CB Bπ+=⇒=;11,sin()326a b A A a b Aππ==⇒==⇒=<∴为锐角，因此sin sin 1.2Cπ==考点：正弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.15．2016【解析】试题分析：由题意得211122n nn n nna aa a aa+++=-⇒=，所以数列{}na前2016项的和为2016考点：常数列16．4【解析】试题分析：由题意得4PM ≥==，即PM 的最小值为4.考点：直线与圆位置关系17．（1）121*111,242n n n a n N --⎛⎫⎛⎫=⋅=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）2*221,334nn n N ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭ 【解析】试题分析：（1）由和项与通项关系得：当2n ≥时，14n n a a -=，当1n =时，112a =，再结合等比数列定义得数列{}n a 是首项为12公比为14的等比数列，最后根据等比数列通项公式得121*111,242n n n a n N --⎛⎫⎛⎫=⋅=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）代入化简得12n b n=-，即数列{}n n a b +为一个等差数列与一个等比数列的组合，因此应用分组求和法得:()()()2*1111124112221,1233414nn n n n n n T a a b b n n N ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-+-⎢⎥⎛⎫⎣⎦=++++=+=--∈ ⎪⎝⎭-试题解析：解：（1）当2n ≥时，由23n na S =- ①，得1123n n a S --=- ②，①—②即得14n n a a -=而当1n =时，1123a a =-，故112a =，因而数列{}n a 是首项为12公比为14的等比数列，其通项公式为121*111,242n n n a n N --⎛⎫⎛⎫=⋅=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由（1）知2112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故12n b n=-数列{}n n a b +的前n 项和()()112211n n n n n T a b a b a b a a b b =+++++=++++()2*11124112221,1233414nn n n n n N ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-+-⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=--∈ ⎪⎝⎭-考点：和项与通项关系，分组求和法【方法点睛】已知S n 求a n 时的三个注意点（1）重视分类讨论思想的应用，分n ＝1和n ≥2两种情况讨论；特别注意a n ＝S n －S n －1中需n ≥2. （2）由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1也适合“a n 式”，则需统一“合写” . （3）由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1不适合“a n 式”，则数列的通项公式应分段表示（“分写”），即a n ＝11,1,2nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩18．（1）35（2）不能【解析】试题分析：（1）先根据分层抽样确定从高一年级男生中抽出人数：45,25500500400m m ==+，从而确定25205,20182x y =-==-=，因此表二的非优秀学生5人，任选2人的所有可能结果为10种，其中恰有1人测评等级为合格包含6种，故概率为35（ 2）列出22⨯列联表，根据卡方公式求得2 1.125 2.706K =<，因此不能试题解析：解：（1）设从高一年级男生中抽出m 人，则45,25500500400m m ==+，∴25205,20182x y =-==-=.表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为,b,c a ，尚待改进的2人为,A B ，则从这5人中任选2人的所有可能结果为：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c b c A B a A a B b A b B c A c B ，共10种.设事件C 表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”. 则C 的结果为：()()()()()(),,,,,,,,,,,a A a B b A b B c A c B ，共6种.∴()63105P C ==，故所求概率为35.（2）∵)210.90.1, 2.7060.10P K -=≥=，而()2222451551510451559 1.125 2.70630152520301525208K ⨯-⨯⨯⨯====<⨯⨯⨯⨯⨯⨯，所以不能在犯错的概率不超过0.1的前提下认为“测评结果优秀与性别有关”.考点：分层抽样，古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 （1）列举法.（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. （4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 19．（1）详见解析（2）1：1. 【解析】试题分析：（1）证明面面垂直，一般利用线面垂直进行证明，关键找出那条面的垂线：1DC ⊥平面BDC ：首先在侧面1ACC A，通过平几条件易得1DC DC⊥，再由线线垂直11,,BC CC BC AC CC AC C⊥⊥⋂=转化为线面垂直BC ⊥平面11ACC A ，从而得到1DC BC ⊥（2）先求规则图形体积：11121V 11322B DACC -+=⨯⨯⨯=，再求三棱柱111ABC A B C -体积为1V =，相减得上面多面体体积12，从而两部分体积的比为1：1.试题解析：解：（1）证明：由题设得11,,BC CC BC AC CC AC C⊥⊥⋂=，所以BC ⊥平面11ACC A ，又1DC ⊂平面1ACC A，所以1DC BC ⊥，由题设知1145A DC ADC ∠=∠=，所以1DC DC⊥，有DC BC C ⋂=，所以1DC ⊥平面BDC ，又1DC ⊂平面1BDC ，平面1BDC ⊥平面BDC .（2）设棱锥1B DACC -的体积为111121,V 11322V +=⨯⨯⨯=，三棱柱111ABC A B C -，体积为1V =，所以()11:=1:1V V V -，所以平面1BDC 分此棱柱为两部分体积的比为1：1.考点：线面垂直性质与判定定理，锥的体积【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. （1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. （3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.（4）证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.20．（1）()221243x y x +=≠-（2）()4,0T【解析】试题分析：（1）利用椭圆定义求轨迹方程：先由动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，得12PM R r PN r R=+=-，，从而124PM PN r r +=+=，再由椭圆的定义可知，曲线C 是以,M N 为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），其方程为()221243x y x +=≠-（2）条件OTS OTR ∠=∠就是0T S T R k k +=，利用坐标化简得：设()()1122,,,R x y S x y ，则()()12122120x x t x x t -+++=，再联立直线方程与椭圆方程，消去y ，利用韦达定理得2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，代入化简得4t =试题解析：（1）得圆M 的圆心为()1,0M -，半径11r =；圆N 的圆心()1,0N ，半径23r =.设圆P 的圆心为(),P x y，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，所以12124PM PN R r r R r r +=++-=+=由椭圆的定义可知，曲线C 是以,M N 为左右焦点，长半轴长为2，其方程为()221243x y x +=≠-（2）假设存在(),0T t 满足OTS OTR ∠=∠.设()()1122,,,R x y S x y联立()22134120y k x x y ⎧=-⎨+-=⎩得()22223484120k x k x k +-+-=，由韦达定理有2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩①，其中0∆>恒成立，由OTS OTR ∠=∠（显然,TS TR 的斜率存在），故0TSTRk k +=，即12120y yx t x t +=-- ②，由,R S 两点在直线()1y k x =-上，故()()11221,1y k x y k x =-=-代入②得：()()()()()()()()()()121212************k x x t x x t k x x t k x x t x t x t x t x t -+++⎡⎤--+--⎣⎦==----即有()()12122120x x t x x t -+++= ③将①代入③即有：()()22222824182346243434k t k t k t k k --+++-==++ ④，要使得④与k 的取值无关，当且仅当“4t =”时成立，综上所述存在()4,0T ，使得当k 变化时，总有OTS OTR ∠=∠考点：利用椭圆定义求轨迹方程，直线与椭圆位置关系【方法点睛】1.求定值问题常见的方法有两种（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点的探索与证明问题（1）探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．（2）从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关． 21．（1）()ln ln 1f a a a a =--（2）1a =（3）详见解析【解析】试题分析：（1）先求导数：()0x f x e a '=-=，再确定导函数在定义区间上零点：ln x a =，最后列表分析，得出最值：()f x 在ln x a =处取得极小值，且为最小值，其最小值为()ln ln 1f a a a a =--.（2）恒成立问题，往往转化为对应函数最值问题：()min 0f x ≥，即()ln 10g a a a a =--≥有解，再转化为最值问题()max 0g a ≥，利用导数可得()g a 在1a =处取得最大值，而()10g =，故1a =（3）利用导数证明不等式，关键是构造恰当函数进行放缩：由（2）得1x e x ≥+，即()l n 1x x +≤，于是()()1l n 1l n 1,2,,k k k n k >+-=试题解析：（1）解：由题意()0,x a f x e a'>=-，由()0x f x e a '=-=得ln x a =.当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '> .∴()f x 在(),ln a -∞单调递减，在()ln ,a +∞单调递增即()f x 在ln x a =处取得极小值，且为最小值，其最小值为()ln ln ln 1ln 1a f a e a a a a a =--=--.（2）()0f x ≥对任意的x R ∈恒成立，即在x R ∈上，()min 0f x ≥，由（1），设()ln 1g a a a a =--，所以()0g a ≥ ，由()1ln 1ln 0g a a a '=--=-=得1a =.易知()g a 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减.∴()g a 在1a =处取得最大值，而()10g =，因此()0g a ≥的解为1a =，∴1a =.（3）由（2）得1x e x ≥+，即()ln 1x x +≤，当且仅当0x =时，等号成立，令()*1x k N k =∈，则11ln 1k k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，即11ln k k k +⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()1ln 1ln 1,2,,k k k n k>+-=累加得()()*1111ln n 123n N n ++++>+∈.考点：利用导数求函数最值，利用导数证明不等式【名师点睛】利用导数解决不等式问题的一般思路．（1）恒成立问题可以转化为最值问题求解，若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解． （2）证明不等式，可构造函数转化为函数的最值问题求解．22．（1）28y x =（2）323 【解析】试题分析：（1）利用sin ,cos x y ρθρθ==将曲线极坐标方程化为直角坐标方程：28y x =（2）利用直线参数方程几何意义得12AB t t =-=，再将直线方程代入曲线方程得2316640,t t --=结合韦达定理12121664,33t t t t +==-得323AB =试题解析：解：（1）由2sin 8cos ρθθ=，得22sin 8cos ρθρθ=，即曲线C 的直角坐标方程为28y x =. （2）将直线l 的方程代入28y x =，并整理得212121664316640,,33t t t t t t --=+==-.所以122323AB t t =-==.考点：极坐标方程化为直角坐标方程，直线参数方程几何意义23．（1）33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭（2）(][),13,-∞-⋃+∞ 【解析】试题分析：（1）利用绝对值定义，去掉绝对值，化为三个不等式组求解，最后求三个不等式组解集的并集（2）不等式恒成立问题，一般转化为最值问题()min ,2x R f x ∀∈≥，再利用含绝对值三角不等式得()11f x x x a a =-+-≥-，从而12a -≥，因此1a ≤-或3a ≥试题解析：解：（1）当1a =-时，()11f x x x =-++， 由()3f x ≥得113x x -++≥.当1x ≤-时，不等式可化为113x x ---≥，即23x -≥，其解集为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.当11x -<<时，不等式化为113x x ---≥，不可能成立，其解集为∅；当1x ≥时，不等式化为113x x -++≥，即23x ≥，其解集为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 综上所述，()3f x ≥的解集为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.（2）∵()11f x x x a a =-+-≥-，∴要(),2x R f x ∀∈≥成立，则12a -≥，∴1a ≤-或3a ≥，即a 的取值范围是(][),13,-∞-⋃+∞.考点：绝对值定义，含绝对值三角不等式【名师点睛】利用绝对值三角不等式求最值时，可借助绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a ±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解，但一定要注意取等号的条件．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
2019年安徽省合肥市瑶海区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）以下每小题都给出了A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确答案的代号填在答题框中.1．﹣3的倒数是（）A．﹣B．3 C．D．±2．下列计算正确的是（）A．23÷26=29B．23﹣24=2﹣1C．23×23=29D．24÷22=223．过度包装既浪费资源又污染环境，据测算，如果全国每年减少十分之一的包装纸用量，那么能减少3120000吨二氧化碳的排放量，把数据3120000用科学记数法表示为（）A．312×104B．0.312×107C．3.12×106D．3.12×1074．如图，从左面观察这个立体图形，能得到的平面图形是（）A．B．C．D．5．如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°6．某校九年级（1）班全体学生2015年初中毕业体育考试的成绩统计如下表：成绩（分）35 39 42 44 45 48 50人数（人） 2 5 6 6 8 7 6根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（）A．该班一共有40名同学B．该班学生这次考试成绩的众数是45分C．该班学生这次考试成绩的中位数是45分D．该班学生这次考试成绩的平均数是45分7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．8．如图，将边长为2cm的菱形ABCD沿边AB所在的直线l翻折得到四边形ABEF，若∠DAB=30°，则四边形CDFE的面积为（）A．2cm2B．3cm2C．4cm2D．6cm29．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF=（）A．B．C．D．10．如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）A．B．C．D．\二、填空题（本大题共4题，每小题5分，满分20分）11．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=58°，则∠3的度数等______．12．化简（1﹣）÷的结果是______．13．二次函数y=x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，A1，A2，A3，…，A2016在y轴的正半轴上，B1，B2，B3，…，B2016在二次函数y=x2第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2015B2016A2016都为等边三角形，则△A2015B2016A2016的边长=______．14．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①DE=BF；②∠BGE=60°；③DG+BG=CG；④S四边形DCBG=CG2；其中正确的结论有______（填写序号）．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：（x+3）（x﹣5）﹣x（x﹣2）．16．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”．如：3=22﹣12，7=42﹣32，8=32﹣12，因此3，7，8都是“智慧数”．（1）18______“智慧数”，2017______“智慧数”（填“是”或“不是”）；（2）除1外的正奇数一定是“智慧数”吗？说明理由．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．某商店购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计商店的其他费用．（1）如果商店在进价的基础上提高10%作为售价，则该商店的盈亏情况是______；（填“盈”、“亏”或“不盈不亏”）（2）若该商店想要至少获得20%的利润，则这种水果的售价在原进价的基础上至少提高多少？18．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，3）、B（﹣1，0）、C （4，0）．（1）经过平移，可使△ABC的顶点A与坐标原点O重合，请直接写出此时点C 的对应点C1坐标；（不必画出平移后的三角形）（2）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A′BC′，画出△A′BC′并写出A′点的坐标；（3）以点A为位似中心放大△ABC，得到△AB2C2，使放大前后的面积之比为1：4，请你在网格内画出△A2B2C2．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）如图，一种拉杆式旅行箱的示意图，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=30cm，（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A，其直径为10cm，⊙A与水平地面切于点D，过A作AE∥DM．当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面（40+5）cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的大小及点B到水平地面的距离．20．（10分）如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点，且点A的坐标为（1，m）．（1）求反比例函数y=的表达式；（2）点C（n，1）在反比例函数y=的图象上，求△AOC的面积．六、（本题满分12分）21．（12分）“立定跳远”是我省初中毕业生体育测试项目之一．体育中考前，某校为了了解学生立定跳远成绩状况，从九年级1000名男生中随机抽取部分男生参加立定跳远测试，并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理，如图是这四名同学提供的部分信息：甲：将全体测试数据分成6组绘成直方图（如图）；乙：立定跳远成绩不少于5分的同学占96%；丙：第①、②两组频率之和为0.12，且第②组与第⑥组频数都是12；丁：第②、③、④组的频数之比为4：17：15．根据这四名同学提供的材料，请解答如下问题：（1）这次立定跳远测试共抽取多少名学生？各组有多少人？（2）如果立定跳远不少于11分为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到立定跳远优秀的人数为多少？（3）以每组的组中值22．（12分）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c 是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE 的周长是6，求△ABC面积．八、（本题满分14分）23．（14分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交直线DC于点F．（1）如图1，当点G在BC边上时，显然=1，此时=______．（2）如图2，当点G在矩形ABCD内部时，①若=时，求的值；②若=k时，求的值．（3）当点G在矩形ABCD外部且=k，则的值为______ （请直接写出结论即可）．2019年安徽省合肥市瑶海区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）以下每小题都给出了A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确答案的代号填在答题框中.1．﹣3的倒数是（）A．﹣B．3 C．D．±【考点】倒数．【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．【解答】解：﹣3的倒数是﹣．故选：A．2．下列计算正确的是（）A．23÷26=29B．23﹣24=2﹣1C．23×23=29D．24÷22=22【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；负整数指数幂．【分析】直接利用同底数幂的除法、同底数幂的乘法以及合并同类项的知识求解，即可求得答案．【解答】解：A、23÷26=2﹣3，故本选项错误；B、23﹣24=8﹣16=﹣8，故本选项错误；C、23×23=26，故本选项错误；D、24÷22=22，故本选项正确．故选D．3．过度包装既浪费资源又污染环境，据测算，如果全国每年减少十分之一的包装纸用量，那么能减少3120000吨二氧化碳的排放量，把数据3120000用科学记数法表示为（）A．312×104B．0.312×107C．3.12×106D．3.12×107【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：3120000=3.12×106，故选C．4．如图，从左面观察这个立体图形，能得到的平面图形是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解；从左面看下面一个正方形，上面一个正方形，故选：A．5．如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°【考点】平行线的性质．【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再求解即可．【解答】解：∵直尺的两边平行，∠1=20°，∴∠3=∠1=20°，∴∠2=45°﹣20°=25°．故选：C．6．某校九年级（1）班全体学生2015年初中毕业体育考试的成绩统计如下表：成绩（分）35 39 42 44 45 48 50人数（人） 2 5 6 6 8 7 6根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（）A．该班一共有40名同学B．该班学生这次考试成绩的众数是45分C．该班学生这次考试成绩的中位数是45分D．该班学生这次考试成绩的平均数是45分【考点】众数；统计表；加权平均数；中位数．【分析】结合表格根据众数、平均数、中位数的概念求解．【解答】解：该班人数为：2+5+6+6+8+7+6=40，得45分的人数最多，众数为45，第20和21名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：=45，平均数为：=44.425．故错误的为D．故选D．7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．【解答】解：，由①得：x≥1，由②得：x＜2，在数轴上表示不等式的解集是：故选：D．8．如图，将边长为2cm的菱形ABCD沿边AB所在的直线l翻折得到四边形ABEF，若∠DAB=30°，则四边形CDFE的面积为（）A．2cm2B．3cm2C．4cm2D．6cm2【考点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】直接利用翻折变换的性质再结合等边三角形的判定方法得出DF的长，进而求出答案．【解答】解：∵将边长为2cm的菱形ABCD沿边AB所在的直线l翻折得到四边形ABEF，∠DAB=30°，∴∠FAB=30°，AD=AF，DF⊥AB，∴∠DAF=60°，则△ADF是等边三角形，∴AD=AF=DF=2cm，同理可得：DF=EF=EC=DC，由AB⊥DF，则∠FDC=90°，故四边形DFEC是正方形，∴四边形CDFE的面积为：4cm2．故选：C．9．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF=（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】借助翻折变换的性质得到DE=CE；设AB=3k，CE=x，则AE=3k﹣x；根据相似三角形的判定与性质即可解决问题．【解答】解：设AD=k，则DB=2k，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=3k，∠A=∠B=∠C=∠EDF=60°，∴∠EDA+∠FDB=120°，又∵∠EDA+∠AED=120°，∴∠FDB=∠AED，∴△AED∽△BDF，∴，设CE=x，则ED=x，AE=3k﹣x，设CF=y，则DF=y，FB=3k﹣y，∴，∴，∴=，∴CE：CF=4：5．故选：B．解法二：解：设AD=k，则DB=2k，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=3k，∠A=∠B=∠C=∠EDF=60°，∴∠EDA+∠FDB=120°，又∵∠EDA+∠AED=120°，∴∠FDB=∠AED，∴△AED∽△BDF，由折叠，得CE=DE，CF=DF∴△AED的周长为4k，△BDF的周长为5k，∴△AED与△BDF的相似比为4：5∴CE：CF=DE：DF=4：5．故选：B．10．如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象；等腰三角形的性质．【分析】分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y=x2；当1＜x ≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y=x2﹣2（x﹣1）2，配方得到y=﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．【解答】解：当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，CD=x，则AD=2﹣x，∵Rt△ABC中，AC=BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2﹣x，∴EM=x﹣（2﹣x）=2x﹣2，∴S△ENM=（2x﹣2）2=2（x﹣1）2，∴y=x2﹣2（x﹣1）2=﹣x2+4x﹣2=﹣（x﹣2）2+2，∴y=，故选：A．二、填空题（本大题共4题，每小题5分，满分20分）11．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=58°，则∠3的度数等28°．【考点】平行线的性质．【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠2的同位角，再根据三角形的外角性质求解即可．【解答】解：如图，∵∠2=58°，并且是直尺，∴∠4=∠2=58°（两直线平行，同位角相等），∵∠1=30°，∴∠3=∠4﹣∠1=58°﹣30°=28°．故答案为：28°．12．化简（1﹣）÷的结果是1．【考点】分式的混合运算．【分析】首先计算括号内的分式，把第二个分式进行约分，然后进行分式的除法运算即可．【解答】解：原式=÷=÷=1．故答案是：1．13．二次函数y=x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，A1，A2，A3，…，A2016在y轴的正半轴上，B1，B2，B3，…，B2016在二次函数y=x2第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2015B2016A2016都为等边三角形，则△A2015B2016A2016的边长=2016．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据等边三角形的性质可得∠A1A0B1=60°，然后表示出A0B1的解析式，与二次函数解析式联立求出点B1的坐标，再根据等边三角形的性质求出A0A1，同理表示出A1B2的解析式，与二次函数解析式联立求出点B2的坐标，再根据等边三角形的性质求出A1A2，同理求出B3的坐标，然后求出A2A3，从而得到等边三角形的边长为从1开始的连续自然数，与三角形所在的序数相等．【解答】解：∵△A0B1A1是等边三角形，∴∠A1A0B1=60°，∴A0B1的解析式为y=x，联立，解得或（为原点舍弃）∴B1（，），∴等边△A0B1A1的边长为×2=1，同理，A1B2的解析式为y=x+1，联立，解得或（在第二象限舍弃）∴B2（，2），∴等边△A1B2A2的边长A1A2=2×（2﹣1）=2，同理可求出B3（，），所以，等边△A2B3A3的边长A2A3=2×（﹣1﹣2）=3，…，以此类推，系列等边三角形的边长为从1开始的连续自然数，△A2015B2016A2016的边长为2016．故答案为：2016．14．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①DE=BF；②∠BGE=60°；③DG+BG=CG；④S四边形DCBG=CG2；其中正确的结论有①②③（填写序号）．【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】①根据等边三角形的三条边都相等，三个内角都为60°的性质，利用全等三角形的判定定理SAS证得结论；②根据全等得出∠ADE=∠DBF，根据三角形外角性质得出即可；③延长FB到点M，使BM=DG，连接CM．构建全等三角形△CDG≌△CBM，然后利用全等三角形的性质来证明CG=DG+BG；④证明∠BGE=60°=∠BCD，从而得点B、C、D、G四点共圆，因此∠BGC=∠DGC=60°，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．证明△CBM≌△CDN，=S四边形CMGN，易求后者的面积．所以S四边形BCDG【解答】解：①∵△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∠A=∠ABD=60°，在△AED与△DFB中，∵，∴△AED≌△DFB（SAS），∴DE=BF，∠ADE=∠DBF，∴①正确；②∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∵AB=BD，∴AD=AB=BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，∴∠BGE=∠BDE+∠DBF=∠BDE+∠ADE=∠ADB=60°，∴②正确；③延长FB到点M，使BM=DG，连接CM，如图1，由（1）知，△AED≌△DFB，∴∠ADE=∠DBF，∵∠CDG=∠ADC﹣∠ADE=120°﹣∠ADE，∠CBM=120°﹣∠DBF．∴∠CBM=∠CDG，∵△DBC是等边三角形，∴CD=CB，在△CDG和△CBM中，，∴△CDG≌△CBM，∴∠DCG=∠BCM，CG=CM，∴∠GCM=∠DCB=60°，∴△CGM是等边三角形，∴CG=GM=BG+BM=BG+DG，∴③正确；④∵∠BGE=60°=∠BCD，即∠BGD+∠BCD=180°，∴点B、C、D、G四点共圆，∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．∴∠BGC=∠DGC=60°过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N，如图2，则CN=CM ，∠CND=∠CMB=90°，在Rt △CBM 和Rt △CDN 中∴Rt △CBM ≌Rt △CDN （HL ），∴S 四边形BCDG =S 四边形CMGN ，∵∠CGM=60°，∴GM=CG ，CM=CG ，∴S 四边形CMGN =2S △CMG =2××CG ×CG=CG 2，∴④错误； 故答案为：①②③．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：（x +3）（x ﹣5）﹣x （x ﹣2）．【考点】多项式乘多项式；单项式乘多项式．【分析】根据多项式与多项式相乘的法则、单项式与多项式相乘的法则以及合并同类项法则计算即可．【解答】解：原式=x 2﹣5x +3x ﹣15﹣x 2+2x=﹣15．16．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”．如：3=22﹣12，7=42﹣32，8=32﹣12，因此3，7，8都是“智慧数”．（1）18 不是 “智慧数”，2017 是 “智慧数”（填“是”或“不是”）； （2）除1外的正奇数一定是“智慧数”吗？说明理由．【考点】平方差公式．【分析】（1）根据“智慧数”的定义判断即可；（2）除1外的所有正奇数一定是“智慧数”，设出这个奇数，利用平方差公式验证即可．【解答】解：（1）18不是“智慧数”；2017是“智慧数”；故答案为：不是，是；（2）除1外的所有正奇数一定是“智慧数”，理由为：设这个奇数为2n+1（n为正整数），可得2n+1=（n+1）2﹣n2，则除1外，所有正奇数一定是“智慧数”．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．某商店购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计商店的其他费用．（1）如果商店在进价的基础上提高10%作为售价，则该商店的盈亏情况是亏；（填“盈”、“亏”或“不盈不亏”）（2）若该商店想要至少获得20%的利润，则这种水果的售价在原进价的基础上至少提高多少？【考点】一元一次不等式的应用．【分析】（1）根据利润=售价﹣进价关系进行解答即可；（2）设水果的售价在原进价的基础上提高x，根据题意列出不等式解答即可．【解答】解：（1）因为设进价为a，可得：（1﹣10%）×（1+10%）a﹣a=﹣0.01a，所以该商店的盈亏情况是亏，故答案为：亏；（2）设水果的售价在原进价的基础上提高x，根据题意得（1﹣10%）•（1+x）≥（1+20%），即1+x≥，∴x≥．答：水果的售价在原进价的基础上至少提高．18．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，3）、B（﹣1，0）、C （4，0）．（1）经过平移，可使△ABC的顶点A与坐标原点O重合，请直接写出此时点C 的对应点C1坐标；（不必画出平移后的三角形）（2）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A′BC′，画出△A′BC′并写出A′点的坐标；（3）以点A为位似中心放大△ABC，得到△AB2C2，使放大前后的面积之比为1：4，请你在网格内画出△A2B2C2．【考点】作图-位似变换；作图-平移变换；作图-旋转变换．【分析】（1）直接利用平移的性质得出A点平移规律，进而得出答案；（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案；（3）直接利用位似图形面积比得出相似比为1：2，即可得出对应点位置．【解答】解：（1）∵经过平移，可使△ABC的顶点A与坐标原点O重合，∴A点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，故C1坐标为：（1，﹣3）；（2）如图所示：△A′BC′即为所求，A′点的坐标为（﹣4，4）；（3）如图所示：△AB2C2，即为所求．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分））如图，一种拉杆式旅行箱的示意图，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=30cm，（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A，其直径为10cm，⊙A与水平地面切于点D，过A作AE∥DM．当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C 处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面（40+5）cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的大小及点B到水平地面的距离．【考点】相似三角形的应用；切线的性质．【分析】先用三角函数求出∠CAF，再用相似三角形得出比例式求出BG，即可．【解答】解：CF=40+5﹣5=40（m）．则sin∠CAF==，则∠CAF=60°，如图，作BH⊥AF于点G，交DM于点H．则BG∥CF，∴△ABG∽△ACF．，即，解得：BG=25，点B到水地面的距离为（25+5 ）cm．20．（10分）（如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点，且点A的坐标为（1，m）．（1）求反比例函数y=的表达式；（2）点C（n，1）在反比例函数y=的图象上，求△AOC的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）先求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数y=的表达式；（2）把C（n，1）代入（1）求得的解析式求得C的坐标，过A作AD⊥x轴于D，过C作CE⊥x轴于E．根据S△AOC=S△AOD+S四边形ADEC﹣S△OCE，代入数值即可求得△AOC的面积．【解答】解：（1）∵点A（1，m）在一次函数y=x+2的图象上，∴m=3．∴点A的坐标为（1，3）．∵点A（1，3）在反比例函数y=的图象上，∴k=3．∴反比例函数y=的表达式为y=．（2）∵点C（n，1）在反比例函数y=的图象上，∴n=3．∴C（3，1）．∵A（1，3）．如图，过A作AD⊥x轴于D，过C作CE⊥x轴于E．则S△AOC=S△AOD+S四边形ADEC﹣S△OCE==×1×3+×（1+3）×（3﹣1）﹣×3×1=4．六、（本题满分12分）21．（12分）“立定跳远”是我省初中毕业生体育测试项目之一．体育中考前，某校为了了解学生立定跳远成绩状况，从九年级1000名男生中随机抽取部分男生参加立定跳远测试，并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理，如图是这四名同学提供的部分信息：甲：将全体测试数据分成6组绘成直方图（如图）；乙：立定跳远成绩不少于5分的同学占96%；丙：第①、②两组频率之和为0.12，且第②组与第⑥组频数都是12；丁：第②、③、④组的频数之比为4：17：15．根据这四名同学提供的材料，请解答如下问题：（1）这次立定跳远测试共抽取多少名学生？各组有多少人？（2）如果立定跳远不少于11分为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到立定跳远优秀的人数为多少？（3）以每组的组中值的同学占96%，即②③④⑤⑥组人数占96%，∴第①组频率为：1﹣96%=0.04．∵第①、②两组频率之和为0.12，∴第②组频率为：0.12﹣0.04=0.08，又∵第②组频数是12，∴这次立定跳远测试共抽取学生人数为：12÷0.08=150（人），∵②、③、④组的频数之比为4：17：15，∴12÷4=3（人），∴可算得第①～⑥组的人数分别为：①150×0.04=6（人）；②4×3=12（人），③17×3=51（人），④15×3=45（人），⑥与②相同，为12人，⑤为150﹣6﹣12﹣51﹣45﹣12=24（人）．答：这次立定跳远测试共抽取150名学生，各组的人数分别为6、12、51、45、24、12；（2）第⑤、⑥两组的频率之和为=0.24，由于样本是随机抽取的，估计全年级有1000×0.24=240人达到立定跳远优秀．答：估计全年级达到立定跳远优秀的有240人；（3）==9.4（分）．答：这批学立定跳远的分数的平均值约为9.4分．七、（本题满分12分）22．（12分）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c 是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE 的周长是6，求△ABC面积．【考点】一元二次方程的应用；勾股定理的证明．【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab的值，从而可求得面积．【解答】（1）解：当a=3，b=4，c=5时勾系一元二次方程为3x2+5x+4=0；（2）证明：根据题意，得△=（c）2﹣4ab=2c2﹣4ab∵a2+b2=c2∴2c2﹣4ab=2（a2+b2）﹣4ab=2（a﹣b）2≥0即△≥0∴勾系一元二次方程必有实数根；（3）解：当x=﹣1时，有a﹣c+b=0，即a+b= c∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6∴3c=6∴c=2∴a2+b2=c2=4，a+b=2∵（a+b）2=a2+b2+2ab∴ab=2∴S△ABC=ab=1．八、（本题满分14分）23．（14分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交直线DC于点F．（1）如图1，当点G在BC边上时，显然=1，此时=2．（2）如图2，当点G在矩形ABCD内部时，①若=时，求的值；②若=k时，求的值．（3）当点G在矩形ABCD外部且=k，则的值为（请直接写出结论即可）．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据折叠的性质和平行线的性质计算即可；（2）①连接EF，证明Rt△EGF≌Rt△EDF，得到FG=DF，AB=DC=a，DF=b，根据勾股定理列出算式，计算即可；②设DF=x，BC=y，根据勾股定理，列式计算；（3）与（2）的解答方法相同，即可得到答案．【解答】解：（1）由折叠的性质可知，∠ABE=∠GBE，∴∠AEB=∠GBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∵E是AD的中点，∴AD=2AE，∴=2，故答案为：2；（2）①连接EF，在矩形ABCD中，∵E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∴AE=DE，AE=EG，EF=EF，∠A=∠BGE=∠D=90°，在Rt△EGF和Rt△EDF中，，∴Rt△EGF≌Rt△EDF，∴FG=DF，设AB=DC=a，DF=b，∵=，∴BC=AD=a，CF=DC﹣DF=a﹣b．∵BG=AB=a，∴BF=BG+GF=a+b．在Rt△BCF中，∵BC2+CF2=BF2，∴（a）2+（a﹣b）2=（a+b）2，∴a=2b，∴==2，②解：∵FG=DF．设DF=x，BC=y，∴GF=x，AD=BC=y．∵=k，∴DC=AB=BG=kx．∵CF=DC﹣DF=kx﹣x，∴CF=（k﹣1）x，BF=BG+GF=（k+1）x．在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，∴y2+[（k﹣1）x]2=[（k+1）x]2．∴y=2x，∴==；（3）由（2）②的结论可知，=．故答案为：．。
安徽省合肥市吴店中学2019年高一数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）若直线x+ay﹣1=0和直线（a+1）x+3y=0垂直，则a等于（）A．B．﹣C．D．﹣参考答案：D考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：对a分类讨论，利用两条直线垂直与斜率的关系即可得出．解答：解：当a=0或﹣1时，不满足两条直线垂直，舍去；当a≠0或﹣1时，两条直线的斜率分别为：，．∵两条直线垂直，∴=﹣1，解得a=﹣．故选：D．点评：本题考查了分类讨论、两条直线垂直与斜率的关系，属于基础题．2. 如图中阴影部分的面积S是h的函数（其中0≤h≤H），则该函数的大致图象为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】利用排除法求解．首先确定当时，阴影部分面积为0，排除A与B，又由当时，阴影部分的面积小于整个半圆面积的一半，排除C，从而得到答案D．【详解】解：∵当时，对应阴影部分的面积为0，∴排除A与B；∵当时，对应阴影部分的面积小于整个区域面积的一半，且随着h的增大，S随之减小，减少的幅度不断变小，∴排除C．从而得到答案D．故选：D．【点睛】此题考查了函数问题的实际应用．注意排除法在解选择题中的应用，还要注意数形结合思想的应用．3. .动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。
已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.和参考答案：D4. 已知函数，求（）A. －2B.C.D.参考答案：C【分析】根据分段函数的定义域以及自变量选择合适的解析式由内到外计算的值。
【详解】由题意可得，因此，，故选：C。
【点睛】本题考查分段函数求值，解题时要根据自变量的取值选择合适的解析式进行计算，另外在求函数值时，遵循由内到外的原则进行，考查计算能力，属于中等题。
