江苏省数学竞赛提优教案：第73讲_不等式证明选讲

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第76讲平几问题选讲第16讲 平几问题选讲平面几何在高中竞赛和国际竞赛中占有重要的地位，本讲将对平几中的一些典型问题的选讲，强化解平几问题的典型思想方法.A 类例题例 1 如图，已知正方形ABCD ，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且BE +DF =EF ，试求∠EAF 的度数.（1989年全国冬令营）分析 注意到BE +DF =EF ，很容易想到“截长补短”的方法．解 延长CB 到F'，使得BF'= DF ，连结AF'显然∆AF'B ≌∆AFD ．∴∠BAF'=∠DAF ，AF'=AF ．又∵EF'=BE +BF'=BE +DF ，AE 为公共边， ∴∆AF'E ≌∆AFE ． ∴∠EAF'=∠EAF ． 又∵∠FAF'=∠BAD =90º，FD CAFD CAPDC .由AB =CD ,可知 △QAB ≌△PCD .有QA ＝PC ，QB ＝PD ，∠AQB ＝∠CPD . 于是,PQ ∥AB ，∠APB ＝∠AQB .则A 、B 、P 、Q 四点共圆，且四边形ABPQ 为等腰梯形.故AP ＝BQ .所以PA ＝PD . 即点P 的轨迹是线段AD 的垂直平分线. 证法二 作△PBC 的外接圆交PA 、PD 分别为E 、F ，连结BE、CF ，∵∠APB =∠CPD ，∴BE =CF ，∠ABE =∠EPC =∠BPF =∠DCF . 又∵AB =CD ， ∴△ABE ≌△DCF . ∴∠PAB ＝∠PDC . ∴PA ＝PD .即点P 的轨迹是线段AD 的垂直平分线. 说明 同样地，也可以作△PAD 的外接圆，目的是建立条件AB =CD 和∠APB =∠CPD 之间的联系.FEDABC证法三 由三角形的面积公式易得PA ·PB =PC ·PD ，PA ·PC =PB ·PD ，两式相乘，化简得PA ＝PD .即点P 的轨迹是线段AD 的垂直平分线. 证法四 由正弦定理得PAsin ∠PBA =AB sin ∠APB ,PD sin ∠PCD =CD sin ∠CPD, 从而PA sin ∠PBA =PD sin ∠PCD ，同理可得PAsin ∠PCB =PD sin ∠PBD，而sin ∠PBA =sin ∠PBD ，sin ∠PCD =sin ∠PCB ，化简得PA ＝PD . 即点P 的轨迹是线段AD 的垂直平分线.例3．AD 是△ABC 的高线，K 为AD 上一点，BK交AC 于E ，CK 交AB 于F .求证：∠FDA ＝∠EDA .分析 为了把已知条件之间建立联系，可以通过作平行线的方法.证明 如图，过点A 作BC 的平行线,分别交直线DE 、DF 、BE 、CF 于Q 、P 、N 、M .显然，AN BD ＝KA KD ＝AMDC. 有BD ·AM ＝DC ·AN .(1)由BD AP ＝FB AF ＝BCAM ，有 AP ＝BCAMBD ·.(2)由DC AQ ＝EC AE ＝BCAN ，有 AQ ＝BCANDC ·.(3)对比(1)、(2)、(3)有 AP ＝AQ .显然AD 为PQ 的中垂线，故AD 平分∠PDQ . 所以，∠FDA ＝∠EDA .说明 这里,原题并未涉及线段比,添加BC 的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使AP 与AQ 的相等关系显现出来.本题证明方法很多，例如可以过点E 、F 作BC 的垂线，也转化为线段的比来研究.情景再现1．点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF ，CE ，设AF ，CE 交于点G ， 则ABCDAGCD SS 矩形四边形 等于（ ）A ．56B ．45 C ．34D ．23（2002年全国初中数学竞赛试题）ABC D EFG2. 在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA ，CB到点E ，F ，使DE =DF ；过E ，F 分别作CA ，CB 的垂线，相交于P ．设线段PA ，PB 的中点分别为M ，N ．求证：∠PAE =∠PBF ． (2003年全国初中数学竞赛)3．如图，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAF ＝∠BCE .求证：∠EBA ＝∠ADE . B 类例题例4 如图，AD 为△ABC 的中线，E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE DF ，求证：BE +CF >EF .E DGA B F CCE分析 由要证的结论，可联想到构造三角形，运用两边之和大于第三边解决问题.要构造三角形，就要移动一些线段，从而可以运用平移、旋转、作对称等方法，于是有如下证法. 证法一 延长FD 到F'，使得DF'=DF ，连结BF'、EF'，由D 为BC 的中点，显然△DBF'≌△DCF .于是BF'=CF ，又因为DE 垂直平分FF'，所以EF =EF'.在三角形BEF'中，BE +BF'>EF'.从而BE +CF >EF .证法二 作点B 关于DE 的对称点B'，连结EB'、DB'、FB'.则EB'=BE ，不难得到DB'=DB =DC ，∠B'DF ＝∠CDF .从而可知B 、C 关于DF 对称，于是B'F =CF ，在三角形B'EF 中，B'E +B'F >EF .从而BE +CF >EF .说明证法一也可以从中心对称角度来理解，F'和F 关于点D 对称.BCCB例5 如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线DE和AB交于点M，DF和AC交于点N．求证：（1）OB⊥DF，OC⊥DE．（2）OH ⊥MN ． （2001年全国高中数学联赛）证法一 （1）显然B ，D ，H ，F 四点共圆，H ，E ，A ，F 四点共圆， ∴∠BDF =∠BHF =180°-∠EHF =∠BAC ．∠OBC =12 (180°-∠BOC )=90°-∠BAC . ∴OB ⊥DF ． 同理OC ⊥DE ．（2）∵CF ⊥MA ，∴MC 2-MH 2=AC 2-AH 2……①∵BE ⊥NA ，∴NB 2-NH 2=AB 2-AH 2……② ∵DA ⊥BC ，∴DB 2-CD 2=BA 2-AC 2……③ ∵OB ⊥DF ，∴BN 2-BD 2=ON 2-OD 2……④ ∵OC ⊥DE ，∴CM 2-CD 2=OM 2-OD 2……⑤ ①-②+③+④-⑤，得O ABC H FE DNMNH2-MH2=ON2-OM2OM2-MH2=ON2-NH2所以OH⊥MN．证法二以BC所在直线为x轴，D为原点建立直角坐标系，设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，则∴直线AC的方程为，直线BE的方程为由得E点坐标为E() 同理可得F()直线AC的垂直平分线方程为直线BC的垂直平分线方程为由得O()∵∴OB⊥D F同理可证OC⊥DE．在直线BE的方程中令x＝0得H(0，) ∴直线DF 的方程为由得N ()同理可得M ()∴∵k OH ·k MN ＝－1，∴OH ⊥MN ．链接 本题证法一中用到了定理：设P 、Q 、A 、B 为任意四点，则PA 2-PB 2=QA 2-QB 2 PQ ⊥AB ．对于这个定理可参见本书高一分册地十八讲《平几中的几个重要定理（一）》.证法二用的解析法.例 6 锐角△ABC 中，AB >AC ,O 点是它的外心,射点.线AO 交BC 边于D已知：cos B +cos C =1，求证：△ABD 与△ACD 的周长相等. 证明 作OE ⊥AC 、OF ⊥AB ，E 、F 是垂足.O ABC DFE由三角形外心性质知：∠AOE =∠B ，∠AOF =∠C .记BC =a 、CA =b 、AB =c .于是OAEOAFAC AB CAD AD AC BAD AD AB S S DC BD ACDABC∠∠⋅=∠⋅⋅∠⋅⋅==∆∆sin sin sin sin 2121CBb c B C b c AOE AOF AC AB cos 1cos 1cos cos cos cos --⋅=⋅=∠∠⋅=由余弦定理得ba c ac b b a c a c b DC BD -++-=----=2222)()(；从而BD =)(21c b a -+. 此时，AB +BD =)(21c b a ++=AC +CD .得证. 说明 本题用到了正余弦定理，以及三角形面积公式，同时运用了代数的方法证了几何题. 情景再现4．△ABC 中，∠B =2∠C ，求证：2AB >AC ．(2002年江苏省数学夏令营试题）5．已知同一平面的两个三角形A 1B 1C 1，A 2B 2C 2，并且A 1到B 2C 2的垂线，B 1到C 2A 2的垂线，C 1到A 2B 2的垂线交于同B B 11一点P .求证：A 2到B 1C 1的垂线，B 2到C 1A 1的垂线，C 2到A 1B 1的垂线也交于同一点.6.在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,点M 在AB 边上,点N 在AC 边上,并且∠MDN ＝90°.如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2,求证：AD 2＝41(AB 2＋AC 2). C 类例题例7．如图，⊙O 是△ABC 的边BC 外的旁切圆,D 、E 、F 分别为⊙O 与BC 、CA 、AB 的切点.若OD与EF 相交于K ,求证：AK 平分BC . 证明 如图，过点K 作BC 的行平线分别交直线AB 、AC 于Q 、P 两点,连OP 、OQ 、OE 、OF .由OD ⊥BC ，可知OK ⊥PQ .O由OF⊥AB，可知O、K、F、Q四点共圆，有∠FOQ＝∠FKQ.由OE⊥AC，可知O、K、P、E四点共圆.有∠EOP＝∠EKP.显然，∠FKQ＝∠EKP，可知∠FOQ＝∠EOP.由OF＝OE，可知Rt△OFQ≌Rt△OEP.则OQ＝OP.于是，OK为PQ的中垂线，故QK＝KP.所以，AK平分BC.例8 如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.证明 将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心，连DE 并延长到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF .(1)a 2，b 2，c 2成等差数列△∽△′.若△ABC 为正三角H形，易证△∽△′.不妨设a ≥b ≥c ，有 CF =2222221c b a -+， BE =2222221b ac -+， AD =2222221a cb -+.将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得CF =a 23，BE =b 23，AD =c 23. ∴CF :BE :AD =a 23:b 23:c 23=a :b :c . 故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列. 当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′，∴∆∆S S '＝(aCF )2. 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有∆∆S S '=43. ∴22a CF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c2⇒a 2+c 2=2b 2.例9 四边形ABCD 内接于圆，△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABC 的内心依次记为I A ，I B ，I C ，I D .试证：I A I B I C I D 是矩形.(第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题)证明 连接AI C ，AI D ，BI C ，BI D 和DI B .易得∠AI C B =90°+21∠ADB =90°+21∠ACB =∠AI D B ⇒A ，B ，I D ，I C 四点 共圆.同理，A ，D ，I B ，I C 四点共圆.此时 ∠AI C I D =180°-∠ABI D =180°-21∠ABC ， ∠AI C I B =180°-∠ADI B =180°-21∠ADC ， ∴∠AI C I D +∠AI C I B=360°-21(∠ABC +∠ADC ) =360°-21×180°=270°. 故∠I B I C I D =90°.同样可证I A I B I C I D 其它三个内角皆为90°.该四边形必为矩形.A B CDI CI DAI I B说明 本题的其他证明可参见《中等数学》1992；4例10 设D 是ABC∆的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分别与线段AB 、PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N .如果DE=DF ，求证：DM=DN.(首届中国东南地区数学奥林匹克) 证明 对AMD∆和直线BEP 用梅涅劳斯定理得：1(1)AP DE MBPD EM BA⋅⋅=，对AFD∆和直线NCP 用梅涅劳斯定理得：1(2)AC FN DPCF ND PA⋅⋅=，对AMF∆和直线BDC 用梅涅劳斯定理得：1(3)AB MD FCBM DF CA⋅⋅=（1）（2）（3）式相乘得：1DE FN MDEM ND DF ⋅⋅=，又DE=DF ， 所以有DM DN DM DE DN DE=--， 所以DM=DN.说明 本题是直线形，当然可以用解析法，请同学们试一试.情景再现7．设点D 为等腰ABC ∆的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ∆内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB交于点E .求证：CD EF DF AE BD AF⋅+⋅=⋅.(首届中国东南地区数学奥林匹克)8. 如图，O 、H 分别是锐角△ABC 的外心和垂心，D 是BC 边的中点，由H向∠A 及其外角平分线作垂线，垂足分别是E 是F .证明：D 、E 、F 三点共线.（2004年全国高中数学联赛四川省初赛）习题161．正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989㎝2.P 为正方形内一点，且∠OPB =45°，PA :PB =5:14.则PB =__________.(1989年全国初中联赛)2.如图,在△ABC 中,AB ＝AC ,D是底边BC 上一点,E 是线段AD 上一点且∠BED ＝2∠CED ＝∠A .求证：BD ＝2CD .3.如图，等腰三角形ABC 中，P 为底边BC 上任意点，过P 作两腰的平行线ABDEPB CPOA BCD分别与AB ，AC 相交于Q ，R 两点，又P '的对称点，证明：P '在△ABC 的外接圆上.(2002年全国初中数学联合竞赛试卷)4.设点M 在正三角形三条高线上的射影分别是M 1，M 2，M 3(互不重合).求证：△M 1M 2M 3也是正三角形.5.在△ABC 中,BD 、CE 为角平分线,P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、BC 的垂线,M 、N 、Q 为垂足.求证：PM ＋PN ＝PQ .6.在Rt △ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，P 是AB 上的点，过A 点作PC 的垂线交过B 所作AB 的垂线于Q 点.求证：PD 丄QD .7.设M 1、M 2是△ABC 的BC 边上的点,且BM 1＝CM 2.任作一直线分别交AB 、AC 、AM 1、AM 2于P 、Q 、N 1、N 2.试证：APAB ＋AQ AC＝11AN AM ＋22ANAM .8.AD ，BE ，CF 是锐角△ABC 的三条高.从A 引EF 的垂线l 1，从B 引FD 的垂线l 2，从C 引DE 的垂线l 3.求证：l 1，l 2，l 3三线共点.9. AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平分线交AD 于M ,交AC 于N .求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN . 10．已知等腰△ABC中，∠BAC =100°，延长线段AB 到D ，使得AD =BC ，连结CD ，试求∠BCD 的度数.11.圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A ，B . 所作割线交圆于C ，D 两点，C 在P ，D 之间.在弦CD 上取一点Q ，使.DAQ PBC ∠=∠求证：.DBQ PAC ∠=∠12.已知两个半径不相等的圆O 1与圆O 2相交于M 、N 两点，且圆O 1、圆O 2分别与圆O 内切于S 、T 两点.求证：OM ⊥MN 的充分必要条件是S 、N 、T 三点共线. （1997年全国高中数学联赛）BDCA本节“情景再现”解答： 1．解一：连结AC ，从而可得G 为△ABC 的重心，于是CG =2GE ，AEC AGCS S ∆∆=∴32．显然ABCD 4121矩形S S SABC AEC==∆∆．ABCD 61矩形S S AGC =∴∆．从而ABCDABCD 326121矩形矩形四边形）（S S S S S AGC ADC AGCD=+=+=∆∆．即ABCDAGCD S S 矩形四边形 =23 ．因此选D． 解二：连结AC 、BD ，AC 与BD 相交于点O ．则△ABC 的面积被分为6等份．同理可把△ADC 的面积等分为6份．显然四边形AGCD 占有8份，即O FEA BC D EFGAB CDEF GABCDAGCD S S 矩形四边形 32128==．因此选D ．2. 解析 分别取PA 、PB 的中点M 、N ，连结EM 、DM 、MN 、DN 、NF ，在Rt △AEP 中，EM =AM =MP ，又DM 为△ABP 的中位线，可得BP DM 21=．同理，FN =BN =NP ，且AP DN 21=，从而EM =DN ，DM =NF ．又∵DE=DF ，∴△EMD ≌△DNF ．∴∠EMD =∠DNF ．又∵∠1=∠3=∠2，∴∠AME =∠BNF ．从而可得∠PAE =∠PBF ．3．证明：如图，分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P ,连△PBAPE .由AB // =CD ,易知≌△ECD .有PA ＝ED ，PB ＝EC .显然,四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有∠BCE ＝∠BPE ，∠APE ＝∠ADE .由∠BAF ＝∠BCE ，可知∠BAF ＝∠BPE .有P 、B 、A 、E 四点共圆.于是,∠EBA ＝∠APE .所以,∠EBA ＝∠ADE .PE DGA B F C4．证明：延长CB 到D ，使BD =AB ，连结AD ，则AB +BD >AD ，即2AB >AD ．∵AB =BD ，∴∠BAD=∠D ．∴∠ABC =2∠D ．而∠ABC =2∠C ，∴∠C =∠D ．∴AC =AD ．∴2AB >AC ．5．解：设B 2到C 1A 1的垂线，C 2到A 1B 1的垂线相交于Q .则2222221221PB PA B C A C -=- （1） 2222221221PC PB C A B A -=- （2） 2222221221PA PC A B C B -=- （3） 2121212212QA QC A B C B -=- （4） 2121212212QB QA B C A C -=- （5）五式相加得2121221221QB QC A B A C -=- 即B B 11ACBDANCDEBM2121212212QB QC B A C A -=- 从而A 2Q ⊥B 1C 1.6.证明：如图，过点B 作AC 的平行线交ND 延长线于E .连ME .由BD ＝DC ，可知ED ＝DN .有△BED ≌△CND .于是，BE ＝NC .显然，MD 为EN 的中垂线.有EM ＝MN .由BM 2＋BE 2＝BM 2＋NC 2＝MD 2＋DN 2＝MN 2＝EM 2，可知△BEM 为直角三角形，∠MBE ＝90°.有∠ABC ＋∠ACB ＝∠ABC ＋∠EBC ＝90°.于是，∠BAC ＝90°.所以，AD 2＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛BC ＝41(AB 2＋AC 2).7．证明：设AF 的延长线交AEF =△BDF 于K ，∵∠∠AKB ，∴∆AEF ≌∆AKB ．因此,EK BK AE AKAF AB AF AB==.于是要证（1），只需证明：(2)CD BK DF AK BD AB ⋅+⋅=⋅ 又注意到KBD KFD C ∠=∠=∠. 我们有1sin 2DCKSCD BK C ∆=⋅⋅∠，进一步有1sin 21sin 2ABD ADKS BD AB C S AK DF C ∆∆=⋅⋅∠=⋅⋅∠，因此要证（2），只需证明ABDDCK ADKS S S ∆∆∆=+（3）而（3）//(4)ABCAKCS S BK AC ∆∆⇔=⇔事实上由BKA FDB KAC ∠=∠=∠知（4）成立，得证. 8.证明：连结OA ，OD ，并延长OD 交△ABC 的外接圆于M ，则OD ⊥BC ，BM︿＝MC ︿，∴A 、E 、M 三点共线.∵AE 、AF 分别是△ABC 的∠A 及其外角平分线，∴AE ⊥AF .又∵HE ⊥AE ，HF ⊥AF ，∴四边形AEHF 为矩形.因此AH 与EF 互相平分，设其交点为G ，于是：AG ＝12 AH ＝12 EF ＝EG .而OA ＝OM ，且OD ∥AH ，∴∠OAM ＝∠OMA ＝∠MAG ＝∠GEA .故EG ∥OA (1) ∵O 、H 分别是△ABC 的外心和垂心，且OD ⊥BC ，∴OD ＝12 AH ＝AG ，因此，若连结DG ，则四边形AODG 为平行四边形 从而DG ∥OA . (2)由(1)和(2)知，D 、E 、G 三点共线，但F 在EG 上，故D 、E 、F 三点共线.“习题16”解答：··P OA BCD1．解：答案是PB =42㎝.连接OA ，OB .易知O ，P ，A ，B 四点共圆，有∠APB =∠AOB =90°.故PA 2+PB 2=AB 2=1989.由于PA :PB =5:14，可求PB .2.证明：如图,延长AD 与△ABC 的外接圆相交于点F ,连结CF 与BF ,则∠BFA ＝∠BCA ＝∠ABC ＝∠AFC ,即∠BFD ＝∠CFD .故BF :CF＝BD :DC .又∠BEF ＝∠BAC ,∠BFE ＝∠BCA ,从而∠FBE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠BFE .故EB ＝EF .作∠BEF 的平分线交BF 于G ,则BG ＝GF .因∠GEF ＝21∠BEF ＝∠CEF ,∠GFE ＝∠CFE ,故△FEG ≌△FEC .从而GF ＝FC .于是,BF ＝2CF .故BD ＝2CD .3.提示：连结BP '、P'R 、P'C 、P'P ，（1）证四边形APPQ 为平行四边形；（2）证点A 、R 、Q 、P'共圆；（3）证△BP'Q 和△P'RC 为等腰三角形；（4）证∠P'BA =∠ACP '，原题得证. 4.略.5.证明：如图,过点P 作AB 的平行线交BDAN E BK G C D M F P AB GCD FE于F ,过点F 作BC 的平行线分别交PQ 、AC 于K 、G ,连PG .由BD 平行∠ABC ,可知点F 到AB 、BC 两边距离相等.有KQ ＝PN .显然,PD EP＝FDEF ＝GD CG ,可知PG ∥EC .由CE 平分∠BCA ,知GP平分∠FGA .有PK ＝PM .于是,PM ＋PN ＝PK ＋KQ ＝PQ .6.提示：证B ，Q ，E ，P 和B ，D ，E ，P 分别共圆。

课时作业73 不等式的证明[基础达标]1．[2018·江苏卷]若x ，y ，z 为实数，且x ＋2y ＋2z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值． 证明：由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋22)≥(x ＋2y ＋2z )2. 因为x ＋2y ＋2z ＝6，所以x 2＋y 2＋z 2≥4， 当且仅当x 1＝y 2＝z2时，等号成立，此时x ＝23，y ＝43，z ＝43，所以x 2＋y 2＋z 2的最小值为4.2．[2019·河北省“五个一名校联盟”高三考试]已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R . (1)解不等式f (x )<|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )<1.解析：(1)∵f (x )<|x |＋1，∴|2x －1|<|x |＋1， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，2x －1<x ＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，1－2x <x ＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x <－x ＋1，得12≤x <2或0<x <12或无解． 故不等式f (x )<|x |＋1的解集为{x |0<x <2}．(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56<1.3．[2019·湖南衡阳八中模考]已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，证明：t 2＋1≥3t＋3t .解析：(1)依题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，2－x ，－1＜x ＜12，3x ，x ≥12.于是f (x )≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1.即不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)g (x )＝f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x －1－2x －2|＝3， 当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时，取等号，∴M ＝[3，＋∞)． 要证t 2＋1≥3t ＋3t ，即证t 2－3t ＋1－3t≥0.而t 2－3t ＋1－3t ＝t 3－3t 2＋t －3t＝t －3t 2＋1t . ∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1＞0，∴t －3t 2＋1t≥0.∴t 2＋1≥3t＋3t .4．[2019·大理模拟]已知函数f (x )＝|x |＋|x －3|. (1)解关于x 的不等式f (x )－5≥x ；(2)设m ，n ∈{y |y ＝f (x )}，试比较mn ＋4与2(m ＋n )的大小． 解析：(1)f (x )＝|x |＋|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ，x <0，3，0≤x ≤3，2x －3，x >3.f (x )－5≥x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x <0，3－2x ≥x ＋5或⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，3≥x ＋5或⎩⎪⎨⎪⎧x >3，2x －3≥x ＋5，解得x ≤－23或x ∈∅或x ≥8，所以不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪[8，＋∞)． (2)由(1)易知f (x )≥3，所以m ≥3，n ≥3.由于2(m ＋n )－(mn ＋4)＝2m －mn ＋2n －4＝(m －2)(2－n )且m ≥3，n ≥3，所以m －2>0,2－n <0， 即(m －2)(2－n )<0， 所以2(m ＋n )<mn ＋4.5．[2020·福州市质量检测]已知不等式|2x ＋1|＋|2x －1|＜4的解集为M . (1)求集合M ；(2)设实数a ∈M ，b ∉M ，证明：|ab |＋1≤|a |＋|b |.解析：(1)当x ＜－12时，不等式化为：－2x －1＋1－2x ＜4，即x ＞－1，所以－1＜x ＜－12；当－12≤x ≤12时，不等式化为：2x ＋1－2x ＋1＜4，即2＜4，所以－12≤x ≤12；当x ＞12时，不等式化为：2x ＋1＋2x －1＜4，即x ＜1，所以12＜x ＜1，综上可知，M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)方法一：因为a ∈M ，b ∉M ，所以|a |＜1，|b |≥1. 而|ab |＋1－(|a |＋|b |) ＝|ab |＋1－|a |－|b | ＝(|a |－1)(|b |－1)≤0， 所以|ab |＋1≤|a |＋|b |.方法二：要证|ab |＋1≤|a |＋|b |， 只需证|a ||b |＋1－|a |－|b |≤0， 只需证(|a |－1)(|b |－1)≤0，因为a ∈M ，b ∉M ，所以|a |＜1，|b |≥1， 所以(|a |－1)(|b |－1)≤0成立． 所以|ab |＋1≤|a |＋|b |成立．6．[2020·开封市定位考试]已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －m |(m ＞1)，若f (x )＞4的解集是{x |x ＜0或x ＞4}．(1)求m 的值；(2)若正实数a ，b ，c 满足1a ＋12b ＋13c ＝m3，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解析：(1)∵m ＞1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋m ＋1，x ＜1m －1，1≤x ≤m2x －m －1，x ＞m .作出函数f (x )的图象如图所示，由f (x )＞4的解集及函数f (x )的图象得⎩⎪⎨⎪⎧－2×0＋m ＋1＝42×4－m －1＝4，得m ＝3.(2)由(1)知m ＝3，从而1a ＋12b ＋13c＝1，a ＋2b ＋3c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c (a ＋2b ＋3c )＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋2b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3c ＋3c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 3c ＋3c 2b ≥9，当且仅当a ＝3，b ＝32，c ＝1时“＝”成立．[能力挑战]7．[2019·全国卷Ⅲ]设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.解析：(1)由于[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)] ≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，故由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立．所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)由于[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]，故由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥2＋a23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a3，z ＝2a－23时等号成立．因此(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值为2＋a2 3.由题设知2＋a23≥13，解得a≤－3或a≥－1.。

§7.3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考情考向分析　以画二元一次不等式(组)表示的平面区域、目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及简单线性规划问题的实际应用，加强转化与化归和数形结合思想的应用意识．本节内容在高考中主要以填空题的形式进行考查，中低档难度．1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax ＋By ＋C >0不包括边界直线Ax ＋By ＋C ≥0直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x ，y 组成的不等式(组)线性约束条件由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x ，y 的函数解析式，如z ＝2x ＋3y 等线性目标函数关于x ，y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x ，y )可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题概念方法微思考1．不等式x≥0表示的平面区域是什么？提示　不等式x≥0表示的区域是y轴的右侧(包括y轴)．2．可行解一定是最优解吗？二者有何关系？提示　不一定．最优解是可行解中的一个或多个．最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　×　)(2)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(　√　)(3)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示．(　√　)(4)线性目标函数的最优解是唯一的．(　×　)(5)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　×　)题组二　教材改编2．[P74T1]点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是________．答案　(－7,24)解析　点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，说明将这两点坐标代入3x－2y＋a后，符号相反，所以(9－2＋a)(－12－12＋a)<0，解得－7<a<24.3．[P77T2]不等式组Error!所表示的平面区域的面积是________．答案　25解析　直线x －y ＋4＝0与直线x ＋y ＝0的交点为A (－2，2)，直线x －y ＋4＝0与直线x ＝3的交点为B (3,7)，直线x ＋y ＝0与直线x ＝3的交点为C (3，－3)，则不等式组表示的平面区域是一个以点A (－2,2)，B (3,7)，C (3，－3)为顶点的三角形及其内部，所以其面积为S △ABC ＝×5×1012＝25.4．[P84T4]设变量x ，y 满足约束条件Error!则z ＝x －3y 的最小值为________．答案　－8解析　画出可行域与目标函数线如图(阴影部分含边界)，由图可知，目标函数在点(－2,2)处取最小值－8.题组三　易错自纠5．(2018·全国Ⅰ)若x ，y 满足约束条件Error!则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．答案　6解析　作出满足约束条件的可行域如图阴影部分(包含边界)所示．由z ＝3x ＋2y ，得y ＝－x ＋.32z 2作直线l 0：y ＝－x ，平移直线l 0，当直线y ＝－x ＋过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×03232z 2＝6.6．已知x ，y 满足Error!若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值为________．答案　－1解析　先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，∴－a ＝k AB ＝1，∴a ＝－1.题型一　二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1　不含参数的平面区域问题例1 在平面直角坐标系中，不等式组Error!表示的平面区域的面积是________．答案　3解析　作出不等式组表示的平面区域是以点O (0,0)，B (－2，0)和A (1，)为顶点的三角形及3内部区域，即如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为×2×＝.1233命题点2　含参数的平面区域问题例2 若不等式组Error!表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是______．答案　(0,1]∪[43，＋∞)解析　作出不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)．思维升华平面区域的形状问题主要有两种题型(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．跟踪训练1 (1)不等式组Error!表示的平面区域的形状为________三角形．答案　等腰直角解析　作出不等式组表示的平面区域，如图所示，易知平面区域的形状为等腰直角三角形(阴影部分，含边界)．(2)已知由不等式组Error!确定的平面区域Ω的面积为7，则k的值为________．答案　－1解析　作出不等式组Error!所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，可知该区域是等腰直角三角形且面积为8.由于直线y ＝kx ＋2恒过点B (0，2)，且原点的坐标恒满足y －kx ≤2，当k ＝0时，y ≤2，此时平面区域Ω的面积为6，由于6<7，由此可得k <0.由Error!可得D ，(2k －1，4k －2k －1)依题意应有×2×＝1，12|2k －1|解得k ＝－1或k ＝3(舍去)．题型二　求目标函数的最值问题命题点1　求线性目标函数的最值例3 (1)(2018·全国Ⅱ)若x，y满足约束条件Error!则z＝x＋y的最大值为________．答案　9解析　由不等式组画出可行域如图阴影部分(含边界)．目标函数x＋y取得最大值⇔斜率为－1的直线x＋y＝z(z看作常数)在y轴上的截距最大，由图可得当直线x＋y＝z过点C时，z取得最大值．由Error!得点C(5,4)，∴z max＝5＋4＝9.(2)(2018·南通模拟)已知实数x，y满足约束条件Error!则z＝|x|＋|y－3|的取值范围是________．答案　[1,7]解析　作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，则0≤x≤4且0≤y≤3，所以z＝|x|＋|y－3|＝x－y＋3，平移目标直线y＝x－z＋3经过点A(4,0)时，z取得最大值7，经过点B(1,3)时，z取得最小值1，所以z的取值范围为[1,7]．命题点2　求非线性目标函数的最值例4 (1)(2018·徐州模拟)已知(x ，y )满足Error!则k ＝的最大值为________．y x ＋1答案　1解析　画出可行域如图阴影部分(含边界)：因为k 的几何意义为可行域内的点P (x ，y )与定点A (－1，0)连线的斜率，则由图象可知AB的斜率最大，其中B (0,1)，此时k ＝＝1.10＋1(2)(2018·扬州模拟)若实数x ，y 满足约束条件Error!则x 2＋y 2的取值范围是______．答案　[14425，25]解析　作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，则x 2＋y 2表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方．由图知(x 2＋y 2)max ＝42＋32＝25，(x 2＋y 2)min ＝2＝，(1232＋42)14425所以x 2＋y 2的取值范围为.[14425，25]命题点3　求参数值或取值范围例5 已知实数x ，y 满足Error!如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝____.答案　5解析　绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，联立直线方程Error!可得交点坐标为A ，(m ＋13，2m －13)由目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，所以－＝－1，解得m ＝5.m ＋132m －13思维升华 常见的三类目标函数(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2.(3)斜率型：形如z ＝.y －b x －a跟踪训练2 (1)若实数x ，y 满足约束条件Error!则z ＝2x －y 的最大值为________．答案　10解析　先根据约束条件画出可行域，如图阴影部分所示(含边界)，将z ＝2x －y 的最大值转化为直线y ＝2x －z 在y 轴上截距的最小值．当直线y ＝2x －z 经过点A 时，在y 轴上的截距最小，z 最大，又A(3，－4)，故z的最大值为10.(2)已知x，y满足Error!且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为________．答案　2解析　由约束条件Error!作出可行域(图略)，z＝3x－y的最大值为2，联立Error!解得A(2,4)，可知直线mx－y＝0必须过点A，可得2m－4＝0，解得m＝2.(3)已知实数x，y满足不等式组Error!则(x－3)2＋(y＋2)2的最小值为________．答案　13解析　画出不等式组Error!表示的平面区域(图略)，易知(x－3)2＋(y＋2)2表示可行域内的点(x，y)与(3，－2)两点间距离的平方，可知当(x，y)为直线x＋y＝2与y＝1的交点(1,1)时，(x－3)2＋(y＋2)2取得最小值，最小值为13.1．设点(x，y)满足约束条件Error!且x∈Z，y∈Z，则这样的点共有________个．答案　12解析　画出Error!表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由图可知，满足x ∈Z ，y ∈Z 的(x ，y )为(－4，－1)，(－3,0)，(－2,1)，(－2,0)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，共12个．2．设不等式Error!表示的平面区域为M .若直线y ＝kx －2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是________．答案　[2,5]解析　由约束条件作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示．因为函数y ＝kx －2的图象为恒过定点A (0，－2)，且斜率为k 的直线l ，由图知，当直线l 过点B (1,3)时，k 取最大值5，当直线l 过点C (2,2)时，k 取最小值2，故实数k 的取值范围是[2,5]．3．在直角坐标平面内，不等式组Error!所表示的平面区域的面积为，则t 的值为______．32答案　1解析　不等式组Error!所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．由Error!解得交点B (t ，t ＋1)．在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)．由平面区域的面积S ＝＝，(1＋t ＋1)×t 232得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)．4．已知变量x ，y 满足约束条件Error!且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________.答案　1解析　作出线性约束条件表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示．若m ＝0，则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意；若m ≠0，则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－的动直线y ＝－x ＋.1m 1m zm若m <0，则－>0，数形结合知使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；1m 若m >0，则－<0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时，有无穷多个点(x ，y )在线段AB1m 上，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－＝－1，则m ＝1.1m 综上可知，m ＝1.5．(2019·如皋调研)已知实数x ，y 满足约束条件Error!则z ＝x ＋2y 的最大值为_______．答案　143解析　约束条件Error!对应的可行域如图阴影部分(含边界)所示：当目标函数所在直线过点A 时，z 取得最大值，解方程组Error!得A ，此时x ＋2y ＝＋＝(43，53)43103.1436．(2018·全国Ⅲ)若变量x ，y 满足约束条件Error!则z ＝x ＋y 的最大值是________．13答案　3解析　画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－3x ＋3z ，作出直线y ＝－3x ，13并平移该直线，当直线y ＝－3x ＋3z 过点A (2,3)时，目标函数z ＝x ＋y 取得最大值为2＋×3＝13133.7．若不等式组Error!表示的平面区域为三角形且其面积等于，则z ＝x －y 的最小值为4312________．答案　－2解析　作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分含边界所示)，由Error!得A (1－m,1＋m )，同理B ，C (2，0)，D (－2m,0)，(23－43m ，23＋23m )S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝·DC ·(|y A |－|y B |)＝＝，12(1＋m )2343解得m ＝1或m ＝－3，由图象，得要使可行域ABC 存在，则－2m <2，即m >－1，即m ＝1，即A (0,2)，B ，C (2,0)；(－23，43)由图象，得当直线z ＝x －y 过点A (0,2)时，z 取得最小值为－2.128．设变量x ，y 满足约束条件Error!则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为________．(12)答案　18解析　绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，要求目标函数z ＝2x ＋y 的最大值，只需求解函数z ′＝2x ＋y 的最小值，(12)结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点C (1,1)处取得最小值z ′min ＝2＋1＝3，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为3＝.(12)(12)189．若x ，y 满足约束条件Error!则的最小值为________．y ＋1x ＋2答案　23解析　画出x ，y 满足约束条件Error!的可行域如图阴影部分所示(含边界)．的几何意义为可行域内的动点P (x ，y )与定点Q (－2，－1)连线的斜率，y ＋1x ＋2当P 位于B (1,1)时，直线PQ 的斜率最小，此时k min ＝＝.1＋11＋22310．(2018·南通模拟)甲、乙两种食物的维生素含量如下表：维生素A(单位/kg)维生素B(单位/kg)甲35乙42分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A ，B 的含量分别不低于100,120单位，则混合物重量的最小值为________ kg.答案　30解析　设甲食物重x kg ，乙食物重y kg ，∵维生素A ，B 的含量分别不低于100,120单位，∴Error!作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，由Error!得Error!即A (20,10)，混合物重z ＝x ＋y ，平移直线z ＝x ＋y ，由图知，当直线过A (20,10)时，z 最小值为20＋10＝30.11．变量x ，y 满足Error!(1)设z ＝，求z 的最小值；yx(2)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的最大值．解　由约束条件Error!作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)．由Error!解得A .(1，225)由Error!解得C (1,1)．由Error!解得B (5,2)．(1)因为z ＝＝，y x y －0x －0所以z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率，观察图形可知z min ＝k OB ＝.25(2)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域内的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域内的点B 到(－3,2)的距离最大，d max ＝＝8，(－3－5)2＋(2－2)2故z 的最大值为64.12．若x ，y 满足约束条件Error!(1)求目标函数z ＝x －y ＋的最值；1212(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解　(1)作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线x －y ＋＝0，当直线过A (3,4)时，z 取最小值－2，过C (1,0)时，z 取最大值1.1212所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，a2解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4,2)．13．(2018·南通模拟)已知实数x ，y 满足Error!且(k －1)x －y ＋k －2≥0恒成立，则实数k 的最小值是________．答案　4解析　画出Error!表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，直线l ：(k －1)x －y ＋k －2＝0过定点(－1，－1)，若(k －1)x －y ＋k －2≥0恒成立，即可行域在直线下方，直线l 的斜率为k －1，当斜率最小时，k 最小．当直线过点(0,2)时，k －1有最小值＝3，k 的最小值为4.2＋1114．设x ，y 满足约束条件Error!则z ＝的最大值为________．|yx ＋3|答案　1解析　由约束条件作出可行域(如图阴影部分含边界)，可知z 恒大于等于0，则目标函数z ＝的几何意义是可行域内(包括边界)的点与点A (－3,0)连线的斜率的绝对值|yx ＋3|的取值范围，由可行域可知直线|k AB |＝＝1，|k AC |＝＝，故最大值为1.|－1－0－2－(－3)||0－1－3－0|1315．记不等式组Error!的解集为D ，若∀(x ，y )∈D ，不等式a ≤3x ＋y 恒成立，则a 的取值范围是________．答案　(－∞，7]解析　若∀(x ，y )∈D ，不等式a ≤3x ＋y 恒成立，即求z ＝3x ＋y 的最小值，作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示：当y＝－3x＋z经过A(1,4)点时，z最小，此时z min＝3×1＋4＝7，∴a≤7.16．已知函数y＝f(x)单调递增，函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，实数x，y满足不等式f(x2－2x)＋f(－2y－y2)≤0，求z＝x2＋y2－6x＋4y＋14的最小值．解　因为函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，所以函数y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，所以函数y＝f(x)是奇函数．因为f(x2－2x)＋f(－2y－y2)≤0，所以f(x2－2x)≤－f(－2y－y2)，所以f(x2－2x)≤f(2y＋y2)，因为函数y＝f(x)是增函数，所以x2－2x≤y2＋2y，所以x2－y2－2(x＋y)≤0，所以(x＋y)(x－y)－2(x＋y)≤0.所以(x＋y)(x－y－2)≤0，所以点(x，y)对应的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，因为z＝x2＋y2－6x＋4y＋14，所以z＝(x－3)2＋(y＋2)2＋1，所以z表示可行域内的点(x，y)到点(3，－2)的距离的平方再加1，观察图形得，当圆和直线x ＋y ＝0相切时，z 最小，因为d ＝＝，|3－2|12＋1222所以d 2＝，所以z min ＝＋1＝.121232。

第四讲 三角不等式含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式．三角不等式首先是不等式，因此，处理不等式的常用方法如配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、反证法、数学归纳法等也是解决三角不等式的常用方法．其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图像特征、三角公式及三角恒等变形的方法等都是处理三角不等式的常用工具．A 类例题例1 已知α、β为锐角，且()02x παβ+->，求证对一切0x ≠，有(cos )(sin )x x αβ<分析 要证的不等式两边均为指数式，且指数相同，可考虑利用函数()f x x α=的单调性，因此首先应比较cos α与sin β的大小，而函数()f x x α=的单调性与α的符号有关，可分情况讨论．证明 （1）若x >0，则2παβ+>，则022ππβα>>->，由正弦函数的单调性，得0sin()sin 12παβ<-<<，即0cos sin 1αβ<<<，又x >0，故有(cos )(sin )x x αβ<． （2）若x <0，则2παβ+<，则022ππβα<<-<，由正弦函数的单调性，得0sin sin()12πβα<<-<，即0sin cos 1βα<<<，又x <0，故有(cos )(sin )x x αβ<．说明 比较不同角的正弦与余弦的大小，可先化同名，再利用正余弦函数的单调性比较，而一组2πα±的诱导公式是实现正、余弦转化的有力工具．例2 已知0απ<<，试比较2sin 2α和cot 2α的大小．分析 两个式子分别含有2α与2α的三角函数，故可考虑都化为α的三角函数，注意到两式均为正，可考虑作商来比较．解法一2sin 21cos 4sin cos tan4sin cos 2sin cot2ααααααααα-== =2214cos 4cos 4(cos )12ααα-=--+，∵0απ<<，所以当1cos 2α=，即3πα=时，上式有最大值1，当0απ<<且3πα≠时，上式总小于1．因此，当3πα=时，2sin 2α=cot2α；当0απ<<且3πα≠时，2sin 2α<cot 2α．解法二 设tan 2t α=，由0απ<<得022απ<<，故tan02t α=>，则1cot2tα=，2224(1)22sin 24sin cos (1)t tt ααα-⋅==+，于是有 cot 2α-2sin 2α=2422222222214(1)2961(31)0(1)(1)(1)t t t t t t t t t t t -⋅-+--==≥+++ 因此，当3πα=时，2sin 2α=cot2α；当0απ<<且3πα≠时，2sin 2α<cot2α．例3 已知[0,]x π∈，求证：cos(sin x )>sin(cos x )分析一 从比较两数大小的角度来看，可考虑找一个中间量，比cos(sin x )小，同时比sin(cos x )大，即可证明原不等式．证法一 （1）当0,,2x ππ=时，显然cos(sin x )>sin(cos x )成立．（2）当2x ππ<<时，0sin 12x π<<<，cos 02x π-<<，则cos(sin x)>0>sin(cos x )．（3）当02x π<<时，有0<sin x <x <2π，而函数y =cos x 在(0,)2π上为减函数，从而有cos(sin x )>cos x ；而0cos 2x π<<，则sin(cos x )<cos x ，因此cos(sin x ) >cos x >sin(cos x )，从而cos(sin x )>sin(cos x )．分析二 cos(sin x )可看作一个角sin x 的余弦，而sin(cos x )可看作一个角cos x 的正弦，因此可考虑先用诱导公式化为同名三角函数，再利用三角函数的单调性来证明．证法二 当02x π<<时，有0<sin x <1，0<cos x <1，且sin x +cos x )4x π+2π≤<，即0<sin x <2π-cos x <2π，而函数y =cos x 在(0,)2π上为减函数，所以cos(sin x )>cos(2π-cos x )=sin(cos x )，即cos(sin x )>sin(cos x )．x 在其他区域时，证明同证法1．说明 （1）本题的证明运用到结论：(0,)2x π∈时，sin tan x x x <<，这是实现角与三角函数值不等关系转化的重要工具，该结论可利用三角函数线知识来证明．（2）证法一通过中间量cos x 来比较，证法二利用有界性得sin x +cos x 2π<，再利用单调性证明，这是比较大小常用的两种方法；（3）本题结论可推广至x R ∈.情景再现1．在锐角△ABC 中，求证： sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++. 2．已知,(0,)2x y π∈，tan 3tan x y =，求证：6x y π-≤.3．当[0,]2x π∈时，求证：cos cos sin sin x x >.B 类例题例4 在ABC ∆中，证明： sin sin sin A B C ++≤分析一 本题中有三个变量A 、B 、C ，且满足A +B +C =180°，先固定其中一个如角C ，由于A +B =180°- C ,故对不等式的左边进行和差化积，将其转化为与A －B 有关的三角函数进行研究．证法一 我们先假定C 是常量，于是A +B =π-C 也是常量. sin sin sin 2sincos sin 22A B A B A B C C +-++=+2cos cos sin 22c A BC -=+， 显然，对于同一个C 值，当A =B 时，上式达到最大值．同样，对同一个A 或B ，有类似结论；因此,只要A 、B 、C 中任意两个不等，表达式sin sin sin A B C ++就没有达到最大值，因而，当A =B =C =3π时，sin sin sin A B C ++有最大值，∴原不等式得证． 说明 不等式中含有多个变量时，我们往往固定其中部分变量，求其他变量变化时，相应表达式的最值，这种方法称为逐步调整法．分析二即证sin sin sin 3A B C ++≤证明．证法二 函数sin y x =是区间（0，π）上的上凸函数，从而对任意的三个自变量123,,(0,)x x x π∈，总有123123sin sin sin sin()33x x x x x x ++++≥，等号当123x x x ==时成立．因此有sin sin sin sin()33A B C A B C++++≥，从而有sin sin sin 180sin 33A B C ++︒≤=，因此原不等式成立．说明 本方法是利用凸函数性质解题，三角函数在一定区间内均为凸函数，因此很多三角不等如均可利用凸函数的性质证明．例5 已知,,x y z R ∈,02x y z π<<<<．求证：2sin cos 2sin cos sin 2sin 2sin 22x y y z x y z π++>++（90年国家集训队测试题）分析 将二倍角均化为单角的正余弦，联想单位圆中的三角函数线，两两正余弦的乘积联想到图形的面积．证明 即证sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 4x y y z x x y y z z π++>++即证明sin (cos cos )sin (cos cos )sin cos 4x x y y y z z z π>-+-+注意到上式右边是如图所示单位圆中三个阴影矩形的面积之和，而4π为此单位圆在第一象限的面积，所以上式成立，综上所述，原不等式成立．例6 63)cos()2sin 24sin cos a πθθθθ+-+-+36a <+对于[0,]2πθ∈恒成立．求a 的取值范围．（2004年首届东南地区数学奥赛试题） 分析 所给不等式中有两个变量，给出其中一个的范围，求另一个的范围，常采用分离变量的方法．注意到与角θ有关的几个三角函数式，cos()cos )4πθθθ-=+，sin 22sin cos θθθ=，因此考虑令sin cos x θθ+=进行变量代换，以化简所给不等式，再寻求解题思路．解 设sin cos x θθ+=，则2cos(),sin 214x πθθ-==-，当[0,]2πθ∈时，x ⎡∈⎣．从而原不等式可化为：26(23)2(1)36a x x a x ++--<+，即26223340x ax x a x---++>， 222()3()0x x a x a x x +--+->，()2(23)0(1)x x a x x ⎛⎫⎡-+->∈ ⎪⎣⎝⎭∴原不等式等价于不等式（1），1,,230x x ⎡∈∴-<⎣（1）不等式恒成立等价于()20x a x x⎡+-<∈⎣恒成立．从而只要max 2()()a x x x ⎡>+∈⎣．又2()f x x x=+在⎡⎣上递减，max 2()3()x x x⎡∴+=∈⎣，所以3a >． 例7 三个数a ,b ,c ∈(0,)2π，且满足cos a a =，sin cos b b =，cossin c c =，按从小到大的顺序排列这三个数．（第16届全苏竞赛题）分析 比较a ,b ,c 三数的大小，cos a a =，sin cos cos b b b =<，cossin cos c c c =>，等式的两边变量均不相同，直接比较不易进行，故考虑分类讨论，先比较a 与b ，由cos sin cos a a b b==，对等号两边分别比较，即先假定一边的不等号方向，再验证另一侧的不等号方向是否一致．解 （1）若a b =，则cos sin cos a a =，但由cos a (0,)2π∈，故有cos sin cos a a >矛盾，即a ≠b ．（2）若a b <，则由单调性可知cos cos a b >，又由a b <及题意可得cos sin cos a b <，而sin cos cos b b <，因此又可得cos cos a b <，从而产生矛盾．综上，a b >．类似地，若c a =，则由题意可得cos cossin a a =，从而可得sin a a =与sin a a >矛盾；若c a <，则sin sin c a a <<，即sin c a <，cossin cos c a ∴>，即c a >矛盾．综上可得：b a c <<．说明 本题的实质是用排除法从两个实数的三种可能的大小关系排除掉两种，从而得第三种，体现了“正难则反”的解题策略．情景再现4．在三角形ABC 中，求证：（1）3sinsin sin 2222A B C ++≤；（2）sin sin sin A B C ≤． 5．设12x y z π≥≥≥，且2x y z π++=，求乘积cos sin cos x y z 的最值．（1997年全国高中数学联赛）6．求证：|sin cos tan cot sec csc |1x x x x x x +++++≥-（2004年福建省数学竞赛题）C 类例题例8 已知当[0,1]x ∈时，不等式22cos (1)(1)sin 0x x x x θθ--+->恒成立，试求θ的取值范围．（1999年全国高中数学联赛题）分析一 不等式左边按一、三两项配方，求出左边式子的最小值，根据最小值应当为正求出θ的取值范围．解法一 设22()cos (1)(1)sin f x x x x x θθ=--+-， 则由[0,1]x ∈时()0f x >恒成立，有(0)sin 0f θ=>，(1)cos 0f θ=>，22()([(12(12(1f x x x x x x ∴=+----(1)x x --21[(12(1)(02x x x =--->，当x =(10x -=，令0x =，则001x <<，0001()2(1)02f x x x =-->12>，即1sin 22θ>，且sin 0,cos 0θθ>>，所求范围是：522,1212k k k Z ππθππ+<<+∈，反之，当522,1212k k k Z ππθππ+<<+∈时，有1sin 22θ>，且sin 0,cos 0θθ>>，于是只要[0,1]x ∈必有()0f x >恒成立． 分析二 不等式左边视为关于x 的二次函数，求出此二次函数的最小值，令其大于0，从而求出θ的取值范围．解法二 由条件知，cos 0,sin 0θθ>>，若对一切[0,1]x ∈时，恒有()f x =22cos (1)(1)sin 0x x x x θθ--+->，即2()(cos 1sin )(12sin )sin 0f x x x θθθθ=++-++>对[0,1]x ∈时恒成立，则必有cos (1)0,sin (0)0f f θθ=>=>，另一方面对称轴为12sin 2(cos sin 1)x θθθ+=++[0,1]∈，故必有24(cos sin 1)sin (12sin )04(cos sin 1)θθθθθθ++-+>++，即4cos sin 10θθ->，1sin 22θ>，又由于cos 0,sin 0θθ>>故522,1212k k k Z πππθπ+<<+∈． 分析三 原不等式看作关于x 与1-x 的二次齐次式，两边同除x (1-x )．解法三 原不等式化为：x 2cos θ+(1-x )2sin θ>x (1-x )，①x =0得sin θ>0，x =1得cos θ>0；②当x ≠0且x ≠1时，上式可化为：1x x -cos θ+1xx-sin θ>1对x ∈(0,1)恒成立，由基本不等式得1x x -cos θ+1x x -sin θ≥，∴1x x -cos θ+1xx-sin θ的最小值为，等号当1x x -cos θ=1xx -sin θ即x =时取到，因此>1．∴1sin 22θ>，又由于cos 0,sin 0θθ>>故522,1212k k k Z πππθπ+<<+∈． 例9已知,,,a b A B 都是实数，若对于一切实数x ，都有()1cos sin cos 2sin 20f x a x b x A x B x =----≥，求证：222a b +≤，221A B +≤．（1977第十九届IMO ）分析 根据函数式的特征及所要证明的式子易知，应首先将不等式化成()1))0f x x x θϕ=++≥，其中x 为任意实数，注意到所要证的结论中不含未知数x ，故考虑用特殊值方法．证明 若220a b +=，220A B +=，则结论显然成立； 故下设220a b +≠，220A B +≠：令sin θθϕϕ====()1))f x x x θϕ=++，即对于一切实数x ，都有()1))0f x x x θϕ=++≥（1）()1))02f x x x πθϕ+=++≥ （2）（1）+（2）得：2)cos()]0x x θθ+++≥，即sin()cos()x x θθ+++≤对于一切实数x≥222a b +≤．()1))0f x x x πθϕ+=++≥ （3）（1）+（3）得：2)0x ϕ-+≥，即sin(2)x ϕ+≤1≥，∴ 221A B +≤．例10 设αβγπ++=，求证：对任意满足0x y z ++=的实数,,x y z 有222sin sin sin 0yz zx xy αβγ++≤分析 由0x y z ++=消去一个未知数z ，再整理成关于y 的二次不等式，对x 恒成立，即可得证．证明 由题意，则将()z x y =-+代入不等式左边得， 不等式左边=2222222[sin sin (sin sin sin )]y x xy αβαβγ-+++- （1）当sin 0α=，易证不等式左边0≤成立．； （2）当sin 0α≠，整理成y 的二次方程，证△≤0． 左边2222(sin sin sin )[sin ]2sin x y αβγαα+-=-+22222222[(sin sin sin )4sin sin ]4sin x αβγαβα+--+，由222222(sin sin sin )4sin sin αβγαβ+--222222(sin sin sin 2sin sin )(sin sin sin 2sin sin )αβγαβαβγαβ=+-++--2sin sin [1cos()]2sin sin [1cos()]αβαβαβαβ=-+⋅--+2224sin sin [1cos ()]0αβαβ=--+≤，∴22222222[(sin sin sin )4sin sin ]4sin x αβγαβα+--0≤，∴不等式左边0≤成立．情景再现7．证明：对于任意△ABC ，不等式a cos A +b cos B +c cos C ≤p 成立，其中a 、b 、c 为三角形的三边，A 、B 、C 分别为它们的对角，p 为半周长．（第十六届全俄数学竞赛题）8．设,,αβγ是一个锐角三角形的三个内角，求证：sin sin sin tan tan tan 2αβγαβγπ+++++>习题1．求证：对所有实数,x y ，均有22cos cos cos 3x y xy +-<． 2．在锐角三角形ABC 中，求证： tan tan tan 1A B C > 3．在锐角三角形ABC 中．求证： sin sin sin 2A B C ++>4．求证：222sin (cos(sin )sin(cos )2sin (44x x ππ≤-≤ 5．已知,(0,)2παβ∈，能否以sin ,sin ,sin()αβαβ+的值为边长，构成一个三角形？6．已知,αβ为锐角，求证：2222119cos sin sin cos ααββ+≥ 7．已知A +B +C =π，求证：222tan tan tan 1222A B C++≥ 8．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，求证：3π≥++++c b a cC bB aA ．9．设A 、B 、C 为锐角三角形之内角，n 为自然数，求证：12tan tan tan 3nnnnA B C +++≥．（93年第三届澳门数学奥林匹克赛题）10．已知02πθ<<，,0a b >，求证：223332()sin cos a b a b θθ+≥+ 11．设P 是三角形ABC 内任一点，求证：∠PAB ，∠PBC ，∠PCA 中至少有一个小于或等于30°．12．解方程cos cos cos cos sin sin sin sin x x =（1995年全俄竞赛题）本节“情景再现”解答：1．证明：锐角三角形可知A+B 2π<，从而A 2π<-B ，从而sin cos A B >，同理sin cos ,sin cos B C C A >>，三式相加得证．2．证明：由已知得tan 3tan tan x y y =>及,(0,)2x y π∈知，x y >，从而(0,)2x y π-∈，要证6x y π-≤，只须证明tan()tan6x y π-≤=2tan tan 2tan tan()1tan tan 13tan x y y x y x y y --==++，于是问题归结为证22tan 13tan y y≤+，即21)0y -≥，而上式显然成立，因此原不等式成立． 3．证法一：当x ∈(0,2π)时，∵0<sin x <x <2π,∴sinsin x <sin x ,再比较sin x 与coscos x的大小，由sin x =cos(2π-x )，即比较(2π-x )与cos x ，而cos x =sin(2π-x ),因此(2π-x )＞cos x ，从而cos(2π-x )<coscos x ，即sin x <coscos x ，从而得证．证法二： sin x +cos x 2π≤<，即0<cos x <2π-sin x <2π，所以cos(cos x )>cos(2π-sin x )=sin(sin x )．4．证明：（1）由琴生不等式即得．（2sin sin sin sin 33A B C A B C ++++≤≤=，从而得证． 5．解：由条件知，312x y z ππ≥≥≥≥，()222123x y z ππππ=-+≤-⨯=，sin()0y z -≥，于是cos sin cos x y z =1cos [sin()sin()]2x y z y z ++-1cos sin()2x y z ≥+22111cos cos 2238x π=≥=，当,312x y z ππ===时取等号，故最小值为18（y 与z 相等，且x 达到最大时，乘积有最小值）． 又cos sin cos x y z =1cos [sin()sin()]2z x y x y +--211cos sin()cos 22z x y z ≤+=21cos 212π≤=，且当5,1224z x y ππ===时等号成立，故cos sin cos x y z 6．证明：设()|sin cos tan cot sec csc |f x x x x x x x =+++++，sin cos t x x =+，则有21sin cos 2t x x -=，2222()||11t f x t t t =++--22|||11|11t t t t =+=-++--当1t >时，2()1111f x t t =-++≥-；当1t <时，2()(1)111f x t t =--+-≥--因此|sin cos tan cot sec csc |1x x x x x x +++++≥．7．证明：因为cos x （x ∈（0，π））递减，所以a -b 与cos A -cos B 异号，从而（a -b ）（cos A -cos B ）≤0．即a cos A +b cos B ≤a cos B +b cos A =C （l ）当且仅当a =b 时等号成立． 同理a cos A +c cos C ≤b （2） b cos B +c cos C ≤a （3）， 1[(1)(2)(3)]2⨯++即得所要证的不等式． 8．证明：2242tan2tan4tan222sin tan 4tan 21tan 1tan 1tan 222ααααααααα+=+=>+--， 0,tan,sin tan 4tan22222πααααααα<<∴>∴+>>，同理得另两个，命题得证．“习题”解答：1．证明：22cos cos cos 3x y xy +-≤显然成立，下面证明等号不能成立．用反证法．若等号成立，则22cos 1,cos 1,cos 1x y xy ===-，则222,2,,*x k y n k n N ππ==∈，则2224,,*x y nk k n N π=∈，则,,*xy k n N =∈，不可能为奇数，因此cos 1xy ≠-，因此等号不成立．2．证明：锐角三角形可知A+B 2π<，从而A 2π<-B ，从而sin cos A B >，同理sin cos ,sin cos B C C A >>，三式相乘得sin sin sin cos cos cos A B C A B C >．从而可得tan tan tan 1A B C >．3．解：22sin sin ,sin sin A A B B >>，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ 22cos cos cos cos cos cos B B A A B A >+=+，三式相加得证．4．证明：cos(sin )sin(cos )cos(sin )cos(cos )2x x x x π-=--cos sin cos sin 2sin()sin()4242x x x xππ+-=--又cos sin 2x x ±≤≤cos sin 4424x x πππ±≤-≤，又04π>，4π+2π<，由正弦函数在[0,]2π上的单调性可知，原不等式成立．5．证法一：sin sin 2sin cos2sincossin()2222αβαβαβαβαβαβ+-+++=>=+|sin sin |2cos|sin|2cossinsin()2222αβαβαβαβαβαβ+-++-=<=+，因此可以构成三角形．证法二：在直径为1的圆内作内接三角形ABC ，使,A B αβ∠=∠=，()C παβ∴∠=-+则sin ,sin ,sin()BC AC AB αβαβ===+，因此可构成三角形．6．解： 左222222214145tan 4cot 9cos sin sin 2cos sin ααααβαα=+≥+=++≥． 7．证：左tan tan tan tan tan tan 222222A B B C C A ≥++ tan tan tan (tan tan )22222A B C B A=++ tantan cot tan (1tan tan )1222222A B A B A B A B ++≥+-=8．分析：注意到π可写成A +B +C ，故即证：3(aA +bB +cC )≥(a +b +c )π,即证3(aA +bB +cC )≥(a +b +c )（A +B +C ），即证(a -b )(A -B )+(b -c )(B -C )+(c -a )(C -A )≥0，由大边对大角得上式成立．9．证明：设tan ,tan ,tan x A y B z C ===，则,,0x y z >，x y z xyz ++=，而x y z ++≥，代入得323xyz ≥，故123n nnnx y z +++≥≥．10．证明：要证原不等式，即证222333()()sin cos a b a b θθ+≥+，即2222222sin cos sin cos a b aba b θθθθ++≥++ 上式中将θ看作变量，,a b 看作常数，考虑从左边向右边转化即证222222sin cos cot tan 2sin cos a b abθθθθθθ+++≥即2222cot tan 2tan 2cot a b ab ab θθθθ+++≥因为2222cot 2tan cot tan tan a ab a ab ab θθθθθ+=++≥，同理可得22tan 2cot b ab θθ+≥11．证明：如图，PA sin 1θ=PB sin θ5，PB sin θ2=PC sin θ6，PC sin θ3=PA sin θ4， 三式相乘得sin 1θsin θ2 sin θ3= sin θ4 sin θ5 sin θ6，因此有(sin 1θsin θ2 sin θ3)2= sin 1θsin θ2 sin θ3 sin θ4 sin θ5 sin θ66123456sin sin sin sin sin sin 6θθθθθθ+++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭661234561sin ()62θθθθθθ+++++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，从而sin 1θsin θ2 sin θ331()2≤，因此sin 1θ、sin θ2 、sin θ3中至少有一个小于或等于12，不妨设sin 1θ12≤，则1θ≤30°或1θ≥150°，此时三个角中至少有一个角小于30°．12．解：考虑周期性，只要先解决[0,2)x π∈的解的情况，而当[,2)x ππ∈时，左边为正，右边非正，因此方程无解．由于[0,]2x π∈时有cos cos sin sin x x >，将x 换成cos cos x 得（换成sinsin x 也可以）：cos cos cos cos sin sin cos cos x x >，又由于sin sin y x =在[0,]2x π∈时为增函数，因此有sin sin cos cos sin sin sin sin x x >，综上可得：cos cos cos cos sin sin sin sin x x >，因此原方程无解． 当(,)2x ππ∈时，令2y x π=-，则(0,)2y π∈，在cos cos sin sin x x >，[0,]2x π∈中，将x 换成cossin y 得，cos cos(cossin )sin sin(cossin )sin sin(sin cos )y y y >>，将2y x π=-代入得，cos cos cos cos sin sin sin sin x x >，原方程也无解．综上所述，对x R ∈，恒有cos cos cos cos sin sin sin sin x x >，原方程无解．C。