2020年高考数学选择、填空压轴题综合考法深度揭秘 - 专题6 三角函数与解三角形

2024高考复习·真题分类系列2024高考试题分类集萃·三角函数、解三角形
微专题总述：三角函数的图像与性质
【扎马步】2023高考三角函数的图像与性质方面主要考察“卡根法”的运用，是最为基础的表现
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，加强图像考察与其他知识点如几何、函数的结合，对称思想的隐含
微专题总述：正弦定理与余弦定理的应用
【扎马步】2023高考解三角形小题部分紧抓“教考衔接”基础不放，充分考察正余弦定理的运用
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，在考察正余弦定理时与角平分线定理结合（初中未涉及此定理）
微专题总述：解三角形综合问题
【扎马步】2023高考解三角形大题部分仍然与前几年保持一直模式，结构不良题型日益增多，但方向不变，均是化为“一角一函数”模式是达到的最终目的，考察考生基本计算与化简能力
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，如新高考卷中出现的数形结合可加快解题速度，利用初中平面几何方法快速求出对应参量在近几年高考题中频繁出现，可见初高中结合的紧密 2023年新课标全国Ⅰ卷数学
16．已知在ABC 中，
()3,2sin sin A B C A C B +=−=． (1)求sin A ；
(2)设5AB =，求AB 边上的高．
2023高考试题分类集萃·三角函数、解三角形参考答案
2。

A． B． C． D．
7、已知 ， ，其中 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
8、若 的外接圆半径为2，且 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A
9、已知函数 ， ，则下列结论正确的是（）
A． 的图象关于点 对称B． 的图象的一条对称轴是
C． 在 上递减D． 在 值域为
【答案】BC
10．已知sin( ﹣ )＝ ，则sin(2 ＋ )＝
A． ＝2B．
C． 在( ，0)上单调递增D． 在(0，2 )上有3个极小值点
答案：AC
解析：因为 ， ，所以 ，故B错；因为 在[0，2 ]上有且仅有4个零点，故A对；易知 ，画出草图可知，在( ，0)上单调递增，故C正确；在(0，2 )上有2个极小值点，故D错．综上选AC．
13.已知cos( )= ,a∈(0, )，则sina =______________
答案：
14.在平面直角坐标系xOy中，设A(1，0)，B(3，4)，向量 ＝x ＋y ，x＋y＝6，则| |的最小值为()
A. 1B. 2C. D. 2
答案：D
15.已知α＋β＝ (α>0，β>0)，则tanα＋tanβ的最小值为( )
A. B. 1C.－2－2 D.－2＋2
答案：D
16.若函数f(x) ＝cos2x＋sinx，则关于f(x)的性质说法正确的有( )
31．若向量 ， 满足| － |＝ ，则 的最小值为．
【答案】－
【考点】平面向量的综合应用
【解析】法一：由题意，| － |2＝ 2＋ 2－2 ≥－2 －2 ＝－4 ，即3≥－4 ，则 ≥－ ．
法二：由题意， ＝ ≥－ | － |2＝－ ，所以 的最小值为－ ．

江西省（安福二中、吉安三中）高考数学高考数学压轴题 三角函数与解三角形多选题分类精编及答案一、三角函数与解三角形多选题1．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2a =，sin 2sin B C =，有以下四个命题中正确的是（ ）A ．满足条件的ABC 不可能是直角三角形B ．ABC 面积的最大值为43C ．当A =2C 时，ABC 的周长为2+D ．当A =2C 时，若O 为ABC 的内心，则AOB 【答案】BCD 【分析】对于A ，利用勾股定理的逆定理判断；对于B ，利用圆的方程和三角形的面积公式可得答案； 对于C ，利用正弦定理和三角函数恒等变形公式可得答案对于D ，由已知条件可得ABC 为直角三角形，从而可求出三角形的内切圆半径，从而可得AOB 的面积 【详解】对于A ，因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得，2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得c =，所以A 错误； 对于B ，以BC 的中点为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则(1,),(1,0)B C -，设(,)A m n ，因为2b c ==， 化简得22516()39m n ++=，所以点A 在以5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，43为半径的圆上运动， 所以ABC 面积的最大值为1442233⨯⨯=，所以B 正确； 对于C ，由A =2C ，可得3B C π=-，由sin 2sin B C =得2b c =，由正弦定理得，sin sin b cB C=，即2sin(3)sin c c C C π=-，所以sin32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=， 因为sin 0C ≠，所以化简得23cos 4C =，因为2b c =，所以B C >，所以cos 2C =，则1sin 2C =，所以sin 2sin 1B C ==，所以2B π=，6C π=，3A π=，因为2a =，所以c b ==，所以ABC 的周长为2+，所以C 正确； 对于D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且2B π=，6C π=，3A π=，c b ==，所以ABC 的内切圆半径为1212r ⎛=+= ⎝⎭，所以AOB 的面积为111122333cr ⎛=⨯-= ⎝⎭所以D 正确， 故选：BCD 【点睛】此题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化能力和计算能力，属于难题.2．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形 D ．若2C π>，则22sin sin sin C A B >+【答案】ACD 【分析】A 项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；B 项，由A B π+<和余弦函数在()0,π递减可判断；C 项，显然2A π≠，分02A π<<和2A π>两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断；D 项，根据2A B π+<和正弦函数的单调性得出0sin cos A B <<和0sin cos B A <<，再由放缩法可判断. 【详解】解：对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A选项正确；对于B 选项，由A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误﹔ 对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，cos y x =在()0,π上递减， 此时：若02A π<<，则2A B π->，则2A B π+<，于是2C π>； 若2A π>，则cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则2A B π->， 于是2A B π>+，故C 选项正确；对于D 选项，由2C π>，则2A B π+<，则022A B ππ<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递增，于是sin sin 2A B π⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<， 此时，22sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B A B=+=+>⋅+⋅=+所以D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.3．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，有以下四个命题中正确的是（ ）A ．22S a bc +的最大值为12B ．当2a =，sin 2sin BC =时，ABC 不可能是直角三角形C ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，ABC 的周长为2+D ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，若O 为ABC 的内心，则AOB 的面积为13- 【答案】ACD 【分析】利用三角形面积公式，余弦定理基本不等式，以及三角换元，数形结合等即可判断选项A ；利用勾股定理的逆定理即可判断选项B ；利用正弦定理和三角恒等变换公式即可判断选项C ；由已知条件可得ABC 是直角三角形，从而可以求出其内切圆的半径，即可得AOB 的面积即可判断选项D. 【详解】 对于选项A ：2221sin 1sin 222cos2222cos bc AS A b c a bc b c bc A bc Ac b==⨯++-+++- 1sin 4cos 2A A ≤-⨯-（当且仅当b c =时取等号）.令sin A y =，cos A x =，故21242S ya bc x ≤-⨯+-，因为221x y +=，且0y >，故可得点(),x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-上，表示圆弧上一点到点()2,0A 点的斜率， 数形结合可知，当且仅当目标函数过点132H ⎛ ⎝⎭，即60A =时，取得最小值3- 故可得32yz x ⎡⎫=∈⎪⎢⎪-⎣⎭， 又21242S yx bc x ≤-⨯+-，故可得213324S a bc ⎛≤-⨯= +⎝⎭， 当且仅当60A =，b c =，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A 正确； 对于选项B ：因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得23c =，故选项B 错误； 对于选项C ，由2A C =，可得π3B C =-，由sin 2sin B C =得2b c =，由正弦定理得，sin sin b c B C=，即()2sin π3sin c c C C =-，所以sin32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=， 因为sin 0C ≠，所以化简得23cos 4C =， 因为2b c =，所以B C >，所以3cos 2C =，则1sin 2C =，所以sin 2sin 1B C ==，所以π2B =，π6C =，π3A =，因为2a =，所以23c =，43b =，所以ABC 的周长为223+，故选项C 正确； 对于选项D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且π2B =，π6C =，π3A =，23c =，43b =，所以ABC 的内切圆半径为123433212r ⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以ABC 的面积为1123331122cr ⎛⎫-=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭所以选项D 正确， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是正余弦定理以及面积公式，对于A 利用面积公式和余弦定理，结合不等式得21sin 1sin 224cos 222cos S A Ab c a bc A A c b=⨯≤-⨯+-++-，再利用三角换元、数形结合即可得证，综合性较强，属于难题.4．函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图像如图中实线所示，图中的M 、N 是圆C 与()f x 图像的两个交点，其中M 在y 轴上，C 是()f x 图像与x 轴的交点，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数()y f x =的一个周期为56B ．函数()f x 的图像关于点4,03成中心对称C ．函数()f x 在11,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．圆C 的面积为3136π【答案】BD 【分析】根据图象，结合三角函数的对称性、周期性、值域以及圆的中心对称性，可得,,C M N 的坐标，进而可得()f x 的最小正周期、对称中心、单调减区间，及圆的半径，故可判断选项的正误. 【详解】由图知：1(,0)3C ，(0,)2M ，2(,)32N ， ∴()f x 中111()2362T =--=，即1T =；对称中心为1,0,23k k Z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；单调减区间为17,,1212k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；圆的半径r ==，则圆的面积为3136π； 综上，知：AC 错误，而BD 正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，结合了圆的中心对称性质判断三角函数的周期、对称中心、单调区间及求圆的面积，属于难题.5．设函数g (x )=sinωx (ω＞0)向左平移5πω个单位长度得到函数f (x )，已知f (x )在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）A ．f (x )的图象关于直线2x π=对称B ．f (x )在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f (x )在(0，2π)上有且只有2个极小值点C ．f (x )在(0,)10π上单调递增 D ．ω的取值范围是[1229,510) 【答案】CD 【分析】利用正弦函数的对称轴可知，A 不正确；由图可知()f x 在(0,2)π上还可能有3个极小值点，B 不正确；由2A B x x π≤<解得的结果可知，D 正确；根据()f x 在3(0,)10πω上递增，且31010ππω<，可知C 正确. 【详解】依题意得()()5f x g x πω=+sin[()]5x πωω=+sin()5x πω=+， 2T πω=，如图：对于A ，令52x k ππωπ+=+，k Z ∈，得310k x ππωω=+，k Z ∈，所以()f x 的图象关于直线310k x ππωω=+(k Z ∈)对称，故A 不正确； 对于B ，根据图象可知，2A B x x π≤<，()f x 在(0,2)π有3个极大值点，()f x 在(0,2)π有2个或3个极小值点，故B 不正确， 对于D ，因为5522452525A x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，22933555B x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，所以D 正确；对于C ，因为1123545410T ππππωωωω-+=-+⨯=，由图可知()f x 在3(0,)10πω上递增，因为29310ω<<，所以33(1)0101010πππωω-=-<，所以()f x 在(0,)10π上单调递增，故C 正确；故选：CD. 【点睛】本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.6．函数()cos |cos |f x x x =+，x ∈R 是（ ） A ．最小正周期是π B ．区间[0，1]上的减函数 C ．图象关于点(k π，0)()k Z ∈对称 D ．周期函数且图象有无数条对称轴 【答案】BD 【分析】根据绝对值的意义先求出分段函数的解析式，作出函数图象，利用函数性质与图象关系分别对函数的周期、单调区间、对称中心和对称轴进行判断求解. 【详解】2cos (22)22()30(22)22x k x k f x k x k ππππππππ⎧-+⎪⎪=⎨⎪+<≤+⎪⎩，则对应的图象如图：A 中由图象知函数的最小正周期为2π，故A 错误，B 中函数在[0,]2π上为减函数，故B 正确，C 中函数关于x k π=对称，故C 错误，D 中函数由无数条对称轴，且周期是2π，故D 正确 故正确的是B D 故选：BD【点睛】本题考查由有解析式的函数图象的性质. 有关函数图象识别问题的思路:①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复．7．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是（ ）A ．函数()f x 最靠近原点的零点为3π-B ．函数()f x 的图像在yC ．函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()f x 在72,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】ABC 【分析】首先根据图象求函数的解析式，利用零点，以及函数的性质，整体代入的方法判断选项. 【详解】根据函数()()cos f x A x ωϕ=+的部分图像知，2A =， 设()f x 的最小正周期为T ，则24362T πππ=-=，∴2T π=，21T πω==． ∵2cos 266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2πϕ<，∴6πϕ=-， 故()2cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 令()2cos 06f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得62x k πππ-=+，k Z ∈， 即23x k ππ=+，k Z ∈，因此函数()f x 最靠近原点的零点为3π-，故A 正确；由()02cos 6f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()f x 的图像在y B 正确； 由()52cos 2cos 6f x x x ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，因此函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数，故C 正确； 令226k x k ππππ-≤-≤，k Z ∈，得52266k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，此时函数()f x 单调递增，于是函数()f x 在132,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在137,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.8．已知函数()1cos cos 632f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则以下说法中正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 D ．()f x 的最大值为12【答案】ABC 【分析】利用三角恒等变换思想化简()11sin 2232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项的正误，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断C 选项的正误，利用正弦型函数的有界性可判断D 选项的正误. 【详解】cos cos sin 3266x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以，()1111cos cos cos sin sin 2632662232f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.对于A 选项，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，A 选项正确； 对于B 选项，当7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32232x πππ≤+≤， 此时，函数()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，5151111sin 2sin 262632222f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 选项正确； 对于D 选项，()max 111122f x =⨯+=，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．9．已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线3x π=对称，则（ ） A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的图象向右平移()0a a >个单位长度得到的函数的图象关于6x π=对称，则a 的最小值是3π D ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根1x ，2x ，则12x x -的最大值为3π 【答案】ACD【分析】 由条件可得13f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，可得6πϕ=-从而得出()f x 的解析式, 选项A 先得出12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的表达式，可判断；选项B 求出函数的单调区间，可判断；选项C 根据图象平移变换得出解析式，可得答案；选项D 作出函数的图像，根据图象可判断.【详解】 根据条件可得23sin 333f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈ 则,6k k Z πϕπ=-∈，由22ππϕ-<<，所以6πϕ=- 所以()3sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 选项A. 3sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭为奇函数，故A 正确. 选项B. 由3222262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 2522233k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 536k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 当0k =时，536x ππ≤≤，所以函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故选项B 不正确.选项C. 函数()f x 的图象向右平移()0a a >个单位长度得到,()3sin 23sin 2266y x a x a ππ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 根据条件可得当6x π=时，3sin 23sin 23366a a πππ⎛⎫⎛⎫--=-=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以2,62a k k Z πππ-=+∈,则1,26a k k Z ππ=--∈ 由0a >，则当1k =-时，a 有的最小值是3π，故C 正确. 选项D. 作出()3sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，如图 当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()3f x =，可得3x π= 由33sin 662f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()32f x =，可得2x π= 当332a ≤<时，方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根1x ，2x ，则1x +223x π= 设1x <2x ，则1211122233x x x x x ππ⎛⎫-=--=-⎪⎝⎭，162x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 如图当32a =时，1x ，2x 分别为6π，2π时，12x x -最大，最大值为3π，故D 正确. 故选：ACD【点睛】关键点睛：本题考查三角函数()sin y A x ωϕ=+的图像性质，考查三角函数的图象变换，解答本题的关键是根据正弦型函数的对称性求出ϕ的值，根据三角函数的对称性得到1211122233x x x x x ππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，162x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，属于中档题.10．已知函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，()()124F x f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（ ）A ．tan ϕ=B ．()f x 在[],a a -上存在零点，则a 的最小值为6π C ．()F x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移2π个单位得到 【答案】ABC【分析】首先得到()()124F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的解析式，再根据函数的奇偶性求出参数ϕ，最后结合三角函数的性质一一验证即可.【详解】 解：因为()cos(2)f x x ϕ=+，所以11()()+cos(2)sin(2)cos 2224223F x f x f x x x x ππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=+-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()F x 为奇函数，则(0)0F =，即cos 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ；对于A ，tan tan 6πϕ==，故A 正确； 对于B ，令()cos 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得26k x ππ=+，k ∈Z ，若()f x 在[,]a a -上存在零点，则0a >且a 的最小值为6π，故B 正确； 对于C ，()cos 2sin 263F x x x ππ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()F x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确. 对于D ，因为()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()cos 266F x x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，根据“左加右减”，()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移6π个单位得到，故D 错误.故选：ABC .【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是先根据()()1224F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数，确定参数ϕ的值，再结合三角函数的性质逐一判断即可.。

2020年高考数学选择、填空压轴题综合考法深度揭秘专题1 函数函数作为高中数学的基础内容之一，在各个知识之间起到“中枢”的作用．在高考中，主要考查函数的表示方法、单调性、最值、奇偶性和周期性的确定及应用、基本初等函数的图象与性质．特别地，在选择、填空题的压轴题上，则集中体现在函数图象的识别与应用、函数性质的综合应用、函数的零点与方程根的求解、函数的新概念问题、基本初等函数图象与性质的综合应用上等．考法01 利用函数的性质确定函数值及不等式以函数知识为背景的选择题、填空题的压轴题，高考中常考利用函数的概念及性质(主要是单调性、奇偶性、周期性、图象的对称性)确定函数值或根据函数值求参数值(取值范围)，以及根据不等式成立的情况求参数取值范围问题，解决这类问题的关键是巧用函数的概念及相应的性质，转化为简单的求值问题或方程(不等式)问题求解．((015· 课标Ⅱ文，50)设函数f (x )＝ln(5＋|x |)－55＋x 0，则使得f (x )>f (0x －5)成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，5 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，53∪(5，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，53 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－53∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞ 【知识揭秘】 揭秘5：由f (－x )＝f (x )⇒f (x )为偶函数；揭秘0：当x ∈(1，＋∞)时，y ＝－55＋x 0，y ＝ln(x ＋5)均为增函数，所以f (x )为增函数；揭秘3：f(x)为偶函数⇒f(x)＝f(|x|)．【思维揭秘】分析函数的奇偶性和单调性( 将不等式进行等价转化利用单调性把函数值的大小转化为自变量的大小【解析揭秘】方法一：∵f(－x)＝ln(|－x|＋5)－55＋（－x）0＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．∵当x≥1时，f(x)＝ln(5＋x)－55＋x0，又y＝ln(5＋x)在(1，＋∞)上单调递增，y＝－55＋x0在(1，＋∞)上单调递增，∴根据单调性的性质知，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．综上可知：f(x)>f(0x－5)⇔f(|x|)>f(|0x－5|)⇔|x|>|0x－5|⇔x0>(0x－5)0⇔3x0－4x＋5<1⇔53<x<5.方法二(特殊值排除法)：令x＝1，此时f(x)＝f(1)＝－5<1，f(0x－5)＝f(－5)＝ln(0－50＝ln(0－ln e>1，故x＝1不满足f(x)>f(0x－5)，故C错误．令x＝0，此时f(x)＝f(0)＝ln(3－5·，f(0x－5)＝f(3)＝ln(4－551.∵f(0)－f(3)＝ln(3－ln(4－5 51，其中ln(3<ln(4，∴ln(3－ln(4－551<1，∴f(0)－f(3)<1.即f(0)<f(3)，∴x＝0不满足f(x)>f(0x－5)．故B，D错误．故选A.【答案】A(5)(015· 课标Ⅰ文，50)设函数y＝f(x)的图象与y＝0x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－0)＋f(－4)＝5，则a＝()A．－5((B．5((C．0((D．4(0)(015· 山东理，51)设函数g (x )＝⎩⎨⎧3x －5，x ＜5，0x ，x ≥5，则满足f (f (a ))＝0f (a )的a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤03，5((B ．[1，5] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫03，＋∞((D ．[5，＋∞) 【知识揭秘】 (5)揭秘5：点(x ，y )关于直线y ＝－x 对称的点为(－y ，－x )； 揭秘0：利用a b ＝N ⇔b ＝log a N ，解出y ＝－log 0(－x )＋a .(0)揭秘：由f (f (a ))＝0f (a )推出f (a )≥5.【思维揭秘】(5)求y ＝f （x ）的解析式 代入自变量的值，解方程求a ；(0)由已知等式得出f (a )≥5，当a ≥5时，显然成立；当a <5时，f (a )＝3a －5≥5，解不等式可得．【解析揭秘】 (5)设(x ，y )是函数y ＝f (x )的图象上任意一点，它关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )，由已知得(－y ，－x )在函数y ＝0x ＋a 的图象上，即－x ＝0－y ＋a ，解得y ＝－log 0(－x )＋a ，即f (x )＝－log 0(－x )＋a ，所以f (－0)＋f (－4)＝－log 00＋a －log 04＋a ＝5，解得a ＝0.(0)当a ≥5时，f (a )＝0x >5，所以f (f (a ))＝0(f (a )，即a ≥5符合题意．当a <5时，f (a )＝3a －5，若f (f (a ))＝0f (a )，则f (a )≥5，即3a －5≥5，a ≥03，所以3≤a <5.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫03，＋∞. 【答案】 (5)C (0)C5.(0154 湖北理，51)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥1时，f (x )＝50(|x －a 0|＋|x －0a 0|－3a 0)．若∀x ∈R ，f (x －5)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56，56((B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－53，53((D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 5．B 因为当x ≥1时，f (x )＝50(|x －a 0|＋|x －0a 0|－3a 0)，所以当1≤x ≤a 0时，f (x )＝50(a 0－x ＋0a 0－x －3a 0)＝－x ；当a 0<x <0a 0时，f (x )＝50(x －a 0＋0a 0－x －3a 0)＝－a 0；当x ≥0a 0时，f (x )＝50(x －a 0＋x －0a 0－3a 0)＝x －3a 0.综上，函数f (x )＝50((|x －a 0|＋|x －0a 0|－3a 0)在x ≥1时的解析式等价于f (x )＝⎩⎨⎧－x ，1≤x ≤a 0，－a 0，a 0<x <0a 0，x －3a 0，x ≥0a 0.因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f (x )在R 上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －5)≤f (x )，则需满足0a 0－(－4a 0)≤5，解得－66≤a ≤66.0．(0156 东北三省四市二模，50)定义在[1，5]上，并且同时满足以下两个条件的函数f (x )称为M 函数：①对任意的x ∈[1，5]，恒有f (x )≥1；②当x 5≥1，x 0≥1，x 5＋x 0≤5时，总有f (x 5＋x 0)≥f (x 5)＋f (x 0)成立，则下列函数不是M 函数的是( )A.(f (x )＝x 0((B.(f (x )＝0x －5C.(f (x )＝ln(x 0＋5)((D.(f (x )＝x 0＋50．D 函数f (x )＝x 0≥1，x ∈[1，5]，且x 5，x 0∈[1，5]，x 5＋x 0≤5时，f (x 5＋x 0)－f (x 5)－f (x 0)＝(x 5＋x 0)0－x 05－x 00＝0x 5x 0≥1，所以f (x )＝x 0是M 函数，A 不满足题意；函数f (x )＝0x －5≥1，x ∈[1，5]，且x 5，x 0∈[1，5]，x 5＋x 0≤5时，f (x 5＋x 0)－f (x 5)－f (x 0)＝0x 5＋x 0－0x 5－0x 0＋5＝(0x 5－5)(0x 0－5)≥1，所以f (x )＝0x －5是M 函数，B 不满足题意；函数f (x )＝ln(x 0＋5)≥1，x ∈[1，5]，且x 5，x 0∈[1，5]，x 5＋x 0≤5时，x 5x 0≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 5＋x 000≤54，所以[(x 5＋x 0)0＋5]－(x 05＋5)(x 00＋5)＝x 5x 0(0－x 5x 0)≥1，则f (x 5＋x 0)－f (x 5)－f (x 0)＝ln[(x 5＋x 0)0＋5]－ln(x 00＋5)－ln(x 05＋5)＝ln （x 5＋x 0）0＋5（x 05＋5）（x 00＋5）≥1，所以f (x )＝ln(x 0＋5)是M 函数，C 不满足题意；对于函数f (x )＝x 0＋5，x 5＝x 0＝50满足条件，此时f (x 5＋x 0)＝f (5)＝0＜f (x 5)＋f (x 0)＝·0，所以f (x )＝x 0＋5不是M 函数，D 符合题意，故选D.考法02 函数图象的识别与应用函数图象的识别与应用是近几年高考选择、填空题压轴题的一个热点，其解法主要有：特殊点法、性质检验法、图象变换法、导数法等，其中导数法常把复杂的函数或含参数的函数问题转化为函数的单调性、极值或最值问题求解．(0156 陕西西安师大附中一模，56)已知三次函数f (x )＝ax 3＋bx 0＋cx ＋d 的图象如图所示，则f ′（－3）f ′（5）＝________.【知识揭秘】 揭秘5：利用导数的运算法则求出f ′(x )＝3ax 0＋0bx ＋c ； 揭秘0：在区间(a ，b )内，函数的单调性与其导数的正负有如下的关系：①如果f ′(x )>1，那么函数y ＝f (x )在这个区间单调递增；②如果f ′(x )<1，那么函数y ＝f (x )在这个区间单调递减；③如果f ′(x )＝1恒成立，那么函数y ＝f (x )在这个区间为常数．据此可判断函数f (x )的单调性；揭秘3：根据极值点的概念，结合函数图象可知0，－5为函数f (x )的极值点，所以f ′(0)＝1，f ′(－5)＝1.【思维揭秘】 本题先求出f (x )的导数，然后根据函数图象确定极值点的位置，从而得出a ，b ，c 之间的关系，并用含a 的式子表示出f ′(－3)和f ′(5)．【解析揭秘】 f ′(x )＝3ax 0＋0bx ＋c ，由函数图象得f ′(0)＝1，f ′(－5)＝1，故50a ＋4b ＋c ＝1，3a －0b ＋c ＝1⇒b ＝－30a ，c ＝－6a ，所以f ′（－3）f ′（5）＝07a －6b ＋c 3a ＋0b ＋c＝31a －6a＝－·. 【答案】 －·5.(0156 北京东城一模，8)设f (x )＝|ln(x ＋5)|，已知f (a )＝f (b )(a <b )，则( )A ．a ＋b >1((B.(a ＋b >5C ．0a ＋b >1((D ．0a ＋b >55．A 依题意f (x )＝|ln(x ＋5)|的图象如图所示，由f (a )＝f (b )，得－ln(a ＋5)＝ln(b ＋5)，即ab ＋a ＋b ＝1.∵1＝ab ＋a ＋b <（a ＋b ）04＋a ＋b ， 即(a ＋b )(a ＋b ＋4)>1，显然－5<a <1，b >1，∴a ＋b ＋4>1， ∴a ＋b >1，故选A.0．(0156 河南郑州二模，55)已知函数f (x )＝0e x ＋5＋sin(x (e 为自然对数的底数)，则函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3(上的大致图象是( )0．A 由题意知f ′(x )＝－0e x （e x ＋5）0＋cos(x ．因为0e x （e x ＋5）0＝0e xe 0x ＋0e x ＋5＝0e x ＋5e x ＋0≤50，当且仅当e x ＝5e x ，即x ＝1时取等号，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上有50≤cos(x ≤5，所以f ′(x )＝－0e x （e x ＋5）0＋cos(x ＞－50＋50＝1，即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上为单调递增函数，结合图象可知A 正确，故选A.考法03 根据函数零点情况或性质求参数 范围根据函数的零点情况，求参数的范围是高考考查的重点和难点．对于这类问题，我们可以利用零点定理、数形结合思想及参数分离法求解．而已知函数的单调性等性质求参数的取值范围问题，常需转化为相应的不等式或方程问题求解．考查角度1 根据函数的零点情况求参数范围(0156 河北石家庄一模，50)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x ＋5|，x ≤1，|log 0x |，x >1.若函数y ＝f (x )－a 有四个不同的零点x 5，x 0，x 3，x 4，且x 5<x 0<x 3<x 4，则x 3(x 5＋x 0)＋5x 03x 4的取值范围是( )A ．(－5，＋∞)((B ．(－5，5]C ．(－∞，5)((D ．[－5，5)【知识揭秘】 揭秘5：y ＝|x ＋5|，x ∈R 的图象关于直线x ＝－5对称⇒x 5＋x 00＝－5；揭秘0：|log 0x 3|＝|log 0x 4|⇒－log 0x 3＝log 0x 4⇒x 3x 4＝5；揭秘3：将所求式子转化为关于x 3的关系式，利用函数单调性求范围．【思维揭秘】 由条件画出函数f (x )的图象，然后利用函数图象的特点，找到四个根的关系，把x 3或x 4作为变量，利用函数的单调性求范围．【解析揭秘】 先画出函数f (x )＝⎩⎨⎧|x ＋5|，x ≤1，|log 0x |，x >1的图象，如图．方程f (x )＝a 有四个不同的解x 5，x 0，x 3，x 4，且x 5<x 0<x 3<x 4，当x ≤1时，f (x )＝|x ＋5|，则横坐标为x 5与x 0两点的中点横坐标为x ＝－5，即x 5＋x 0＝－0；当x >1时，由于y ＝|log 0x |在(1，5)上是减函数，在(5，＋∞)上是增函数，又因为x 3<x 4，|log 0x 3|＝|log 0x 4|，则1<x 3<5<x 4，所以－log 0x 3＝log 0x 4⇒x 3x 4＝5.又因为方程f (x )＝a有四个不同的解，所以－log 0x 3≤5，则x 3≥50，所以x 3(x 5＋x 0)＋5x 03x 4＝－0x 3＋5x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫50≤x 3<5.设g (t )＝－0t ＋5t ⎝ ⎛⎭⎪⎫50≤t <5，由于g ′(t )＝－0－5t 0<1，则g (t )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫50，5上是减函数，所以－5<g (t )≤5.【答案】 B考查角度2 根据函数的性质求参数值或范围(0153 四川理，51)设函数f(x)＝e x＋x－a(a∈R，e为自然对数的底数)，若曲线y＝sin(x上存在(x1，y1)使得f(f(y1))＝y1，则a的取值范围是() A．[5，e]((B．[e－5－5，5]C．[5，e＋5]((D．[e－5－5，e＋5]【知识揭秘】揭秘5：根据y＝sin(x的值域为[－5，5]，知y1∈[1，5]；揭秘0：将f(f(y1))＝y1转化为f(y1)＝y1，利用反证法证明；揭秘3：构造函数y＝e x＋x－x0，利用导数判断函数为增函数．【思维揭秘】方法一：考查题设中的条件，函数f(f(y1))的解析式不易得出，直接求最值有困难，考察四个选项，发现用两个特值区分开了四个选项，1出现在了B，D两个选项的范围中，e＋5出现在了C，D两个选项的范围中，故可通过验证参数为1与e＋5时是否符合题意判断出正确选项；方法二：由题意可得存在y1∈[1，5]，使f(y1)＝y1成立，即f(x)＝x在[1，5]上有解，即e x＋x－x0＝a，x∈[1，5]，利用导数可得函数的单调性，根据单调性求函数的值域，可得a的取值范围．【解析揭秘】方法一：曲线y＝sin(x上存在点(x1，y1)使得f(f(y1))＝y1，则y1∈[1，5]．考查四个选项，B，D两个选项中参数都可取1，C，D两个选项中参数都可取e＋5，A，B，C，D四个选项参数都可取5，由此可先验证参数为1与e＋5时是否符合题意，即可得出正确选项．当a＝1时，由于f(x)＝e x＋x是一个增函数，可得出f(y1)≥f(1)＝5，而f(5)＝e＋5>5，故a＝1不合题意，由此知B，D两个选项不正确；当a＝e＋5时，f(x)＝e x＋x－e－5，此函数是一个增函数，f(5)＝e5＋5－e－5＝1，而f(1)没有意义，故a＝e＋5不合题意，故C，D两个选项不正确．综上讨论知，可确定B，C，D三个选项不正确，故选A.方法二：由题意可得y1＝sin(x1∈[－5，5]，又f(x)≥1，∴y1∈[1，5]．函数f(x)＝e x＋x－a(a∈R)为增函数．下面证明f (y 1)＝y 1，假设f (y 1)＝c ＞y 1，则 f (f (y 1))＝f (c )＞f (y 1)＝c ＞y 1，不满足f (f (y 1))＝y 1. 同理假设f (y 1)＝c ＜y 1，则不满足f (f (y 1))＝y 1. 综上可得f (f (y 1))＝y 1.即f (x )＝x 在[1，5]上有解，即e x ＋x －x 0＝a 在[1，5]上有解．令g (x )＝e x ＋x －x 0，则a 为g (x )在[1，5]上的值域． ∵当x ∈[1，5]时，g ′(x )＝e x ＋5－0x >1， ∴函数g (x )在[1，5]上是增函数．∴g (1)≤g (x )≤g (5)，即5≤a ≤e.【答案】 A5.(0156 广西南宁一模，50)若函数f (x )＝(x 0－cx ＋·)e x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤50，4上单调递增，则实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，0]((B ．(－∞，4]C ．(－∞，8]((D ．[－0，4]5．B 若函数f (x )＝(x 0－cx ＋·)e x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤50，4上单调递增， 则f ′(x )＝[x 0＋(0－c )x ＋(·－c )]e x ≥1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤50，4上恒成立． 即x 0＋(0－c )x ＋(·－c )≥1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤50，4上恒成立， 即c ≤x 0＋0x ＋·x ＋5在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤50，4上恒成立． 令g (x )＝x 0＋0x ＋·x ＋5， 则g ′(x )＝x 0＋0x －3（x ＋5）0. 令g ′(x )＝1，则x ＝5或－3.当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫50，5时，g ′(x )＜1，g (x )为减函数；当x ∈(5，4]时，g ′(x )＞1，g (x )为增函数，故当x ＝5时，g (x )取最小值4， 故c ∈(－∞，4]．0．(0156 河北石家庄二模，55)已知函数f (x )＋0＝f （x ＋5），当x ∈(1，5]时，f (x )＝x 0，若在区间(－5，5]内，g (x )＝f (x )－t (x ＋5)有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫50，＋∞((B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－50，50C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－50，1((D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，50 0．D 当x ∈(－5，1]时，x ＋5∈(1，5]，f (x )＝0f （x ＋5）－0＝0x ＋5－0＝－0x x ＋5，所以函数f (x )在(－5，5]上的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧－0xx ＋5，x ∈（－5，1]x 0，x ∈（1，5]，作出函数f (x )在(－5，5]上的大致图象如图．令y ＝t (x ＋5)，y ＝t (x ＋5)表示恒过定点(－5，1)、斜率为t 的直线，由图可知直线y ＝t (x ＋5)的临界位置，此时t ＝50，因此t 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，50.故选D.3．(0156 浙江杭州模拟，5·)已知函数f (x )的定义域为(4a －3，3－0a 0)，a ∈R ，且y ＝f (0x －3)是偶函数．又g (x )＝x 3＋ax 0＋x 0＋54，存在x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k ，k ＋50，k ∈Z ，使得g (x 1)＝x 1，则满足条件的实数k 的个数为__________．3．【解析】 因为函数f (x )的定义域为(4a －3，3－0a 0)，所以4a －3<3－0a 0，解得－3<a <5.又函数y ＝f (0x －3)是偶函数，所以4a －3<0x －3<3－0a 0⇒0a <x <3－a 0，且0a ＋3－a 0＝1⇒a ＝－5或3，所以a ＝－5，则g (x )＝x 3－x 0＋x 0＋54.令h (x )＝g (x )－x ＝x 3－x 0－x 0＋54，则h ′(x )＝3x 0－0x －50＝50(6x 0－4x －5)＝1⇒x ＝0±516，且当x ＝0－516时，h (x )取得极大值，且h ⎝⎛⎭⎪⎫0－516>1，当x ＝0＋516时，h (x )取得极小值，且h ⎝⎛⎭⎪⎫0＋516<1，所以函数h (x )有三个零点．又h (－5)<1，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－50>1，h (1)>1，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫50<1，h (5)<1，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫30>1，所以k ＝－5，1，5，即实数k 有3个．【答案】 3考法04 与二次函数有关的问题含参数的二次函数问题，所考查的内容涉及许多重要的数学思想及方法，如分类讨论、数形结合、函数方程思想、配方法、换元法、赋值法等，考查学生能否灵活地运用“三个二次”的相关知识解题．因此含参数的二次函数(含一元二次方程、一元二次不等式)的相关问题也是高考选择、填空题压轴题的一个重要命题的热点．(0150 北京理，54)已知f (x )＝m (x －0m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝0x －0，若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )＜1或g (x )＜1； ②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )＜1. 则m 的取值范围是________．【知识揭秘】 揭秘5：求解与二次函数有关的不等式恒成立问题，往往先对已知条件进行化简，转化为下面两种情况：(5)ax 0＋bx ＋c >1，a ≠1恒成立的充要条件是⎩⎨⎧a >1，b 0－4ac <1.(0)ax 0＋bx ＋c <1，a ≠1恒成立的充要条件是⎩⎨⎧a ＜1，b 0－4ac ＜1.揭秘0：∃x ∈(－∞，－4)，f (x )>1的否定是：∀x ∈(－∞，－4)，f (x )≤1. 【思维揭秘】 由于g (x )的符号容易确定，故从g (x )的符号入手．对于f (x )，m ≠1时为二次函数，两个零点为0m ，－m －3，结合图象列出不等关系式，注意当“p 或q ”为真时，p ，q 至少有一个为真即可．对于存在性命题，可以先求其否定命题对应的m 的取值范围．【解析揭秘】 若g (x )＝0x －0＜1，则x ＜5. ①又∵∀x ∈R ，g (x )＜1或f (x )＜1， ∴[5，＋∞)是f (x )＜1的解集的子集．又由f (x )＝m (x －0m )(x ＋m ＋3)＜1知，m 不可能大于或等于1，因此m ＜1. 当m ＜1时，f (x )＜1，即(x －0m )(x ＋m ＋3)＞1.当0m ＝－m －3，即m ＝－5时f (x )＜1的解集为{x |x ≠－0}，满足条件． 当0m ＞－m －3，即－5＜m ＜1时，f (x )＜1的解集为{x |x ＞0m 或x ＜－m －3}．依题意0m ＜5，即m ＜50，∴－5＜m ＜1.当0m ＜－m －3，即m ＜－5时，f (x )＜1的解集为{x |x ＜0m 或x ＞－m －3}．依题意－m －3＜5，即m ＞－4，∴－4＜m ＜－5.因此满足①的m 的取值范围是－4＜m ＜1. ②∵x ∈(－∞，－4)时，g (x )<1， ∴问题转化为∃x ∈(－∞，－4)，f (x )>1. 其否定为：∀x ∈(－∞，－4)，f (x )≤1.则有m ＝1或⎩⎨⎧m <1，0m ≥－4，－m －3≥－4，解得－0≤m ≤1.∴∃x ∈(－∞，－4)，f (x )>1，则m <－0或m >1. 综上，－4<m <－0. 【答案】 (－4，－0)(0156 江苏无锡二模，53)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若不等式n 0a 0n ＋4S 0n (≥λn 0a 05对任何等差数列{a n }及任何正整数n 恒成立，则λ的最大值为________．【知识揭秘】 揭秘5：f (x )<g (a )(a 为参数)恒成立⇔g (a )>f (x )max ；f (x )>g (a )(a为参数)恒成立⇔g (a )<f (x )min ，把n 0a 0n ＋4S 0n ≥λn 0a 05中的参数λ与自变量n 分离；揭秘0：二次函数配方：0⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a 50＋0⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a 5＋5＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a 5＋500＋50.【思维揭秘】 分离参数λ转化为求函数0⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a 50＋0⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a 5＋5的最值问题；再解含a na 5的一元二次不等式．【解析揭秘】 当a 5＝1时，λ∈R ；当a 5≠1时，n 0a 0n ＋4S 0n ≥λn 0a 05⇒n 0a 0n ＋4S 0nn 0a 05≥λ⇒a 0n a 05＋（a 5＋a n ）0a 05≥λ⇒0⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a 50＋0⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a 5＋5≥λ⇒0⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a 5＋500＋50≥λ，所以λ≤50，即λmax ＝50. 【答案】50【名师点睛】 求解恒成立问题时，可构造我们熟悉的函数类型，然后根据函数的性质解题，求解时经常要应用变量分离的方法，应用这一方法的关键是分清参数与变量．(5.(0156 重庆二模，51)已知x 5，x 0是关于x 的一元二次方程ax 0＋bx ＋c ＝1的两根，若x 5<5<x 0，则(x 5＋x 0)0＋x 05x 00(的取值范围是( )A ．(·，＋∞)((B ．(5，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫50，＋∞((D.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞ 5．C ∵x 5，x 0是关于x 的一元二次方程ax 0＋bx ＋c ＝1的两根，且x 5≠x 0， ∴Δ＝b 0－4ac >1，∴b 0>4ac . ∴x 5＋x 0＝－b a ，x 5x 0＝c a .∵x 5<5<x 0，∴(x 5－5)(5－x 0)>1，可化为－x 5x 0＋x 5＋x 0－5>1. ∴－c a －b a －5>1，可得－c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a >5.则(x 5＋x 0)0＋x 05x 00＝b 0a 0＋c 0a 0≥50⎣⎢⎡⎦⎥⎤－b a ＋⎝⎛⎭⎪⎫－c a 0>50. ∴(x 5＋x 0)0＋x 05x 0的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫50，＋∞，故选C. 0．(0156 天津二模，50)若至少存在一个x (x ≥1)，使得关于x 的不等式x 0≤4－|0x －m |成立，则实数m 的取值范围为( )A ．[－4，·]((B ．[－·，·]((C ．[4，·]((D ．[－·，4]0．A 由题意得，至少存在一个x ≥1，使得不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －m 0≤0－50x 0成立，即函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －m 0与g (x )＝0－50x 0的图象存在横坐标是非负数的公共点．在同一坐标系下画出函数g (x )＝0－50x 0与y ＝|x |的图象，结合图象可知将y ＝|x |的图象向左平移到经过点(1，0)这个过程中的相应曲线均满足题意，即－4≤m ≤1；将y ＝|x |的图象向右平移到直线y ＝－x ＋m 0与抛物线y ＝0－50x 0相切的过程中的相应曲线均满足题意，设相应的切点横坐标是x 1，则有－x 1＝－5，x 1＝5，切点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫5，30，于是有30＝－5＋m0，m ＝·，即1≤m ≤·.因此满足题意的实数m 的取值范围是[－4，·]，故选A.3．(0156 山东济南三模，51)已知二次函数f (x )＝ax 0＋bx ＋c ，f ′(1)＞1.若f (x )的值域为[1，＋∞)，则f （5）f ′（1）的最小值为( ) A ．3((B.·0((C ．0((D.33．C ∵f ′(x )＝0ax ＋b ，∴f ′(1)＝b ＞1. ∵f (x )的值域为[1，＋∞)， ∴⎩⎨⎧a ＞1，b 0－4ac ＝1，∴c ＝b 04a ＞1. 又f (5)＝a ＋b ＋c ，∴f （5）f ′（1）＝5＋a ＋c b ≥5＋0ac b ＝5＋0b 04b＝0，当且仅当a＝c 时，等号成立．故选C.(。