全国2008年7月复变函数与积分变换真题
课程代码：02199
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．设z=i +-11，则z 为（ ）
A ．21i
+-
B ．21i --
C ．21i
- D ．21i +
2．下列集合为有界闭区域的是（ ）
A ．0< arg (z+3)≤2π
B ．Re (z-i)<1
C ．1≤Imz ≤2
D ．1≤i z -≤4
3．Ln(-4+3i)的主值是（ ）
A ．ln5+i(-π-arctg 34)
B ．ln5+i(π-arctg 34
)
C ．ln5+i(-π-arctg 43)
D ．ln5+i(π-arctg 43
)
4．正弦函数sinz=（ ）
A ．i e e iz
iz 2--
B ．2iz iz e e --
C ．i e e iz
iz 2-+ D ．2iz iz e e -+
5．复积分?i
iz dz e 0的值是（ ）
A ．-（1-e-1）i
B ．e-1i
C ．（1-e-1）i
D ．-e-1i
6．复积分
?=---21i z z
i z e dz 的值是（ ） A ．ei B ．e-i
C ．2πiei
D ．2πie-i
7．z=0是函数2z cos 1z -的（ ）
A ．本性奇点
B ．可去奇点
C ．一阶极点
D ．二阶极点
8．Res []1,ctg z π=（ ）
A ．-π1
B ．π1
C ．-2i
D ．2i
9．3z =ω把Z 平面上区域0<θ<π映射成W 平面上的区域（ ）
A ．-3π
B ．-3π
C ．0
D ．0
t e -的傅氏变换[])(t f 为（ ）
A ．2ω-e
B ．22ω-e
C ．22
ωe D ．2
ωe 二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.复数1-3i 的三角表达式是_________________.
12.tgz 的所有零点为_________________.
13．?=-13cos i z z zdz e =______________.
14．幂级数∑∞-12n n
n nz 的收敛半径是____________.
15．设n z z f n n n
2)1()(0∑∞=-=，则)0()10(f =___________.
16．分式线性映射i z i
z +---=11ω把上半平面Imz>0映射成___________.
三、计算题（本大题共8小题，共52分）
17．（本题6分）用θcos 与θsin 表示θ5cos ．
18．（本题6分）已知z ≠时
22y x y x +-=υ为调和函数，求解析函数υi u z f +=)(的导数)(z f '，并将它表示成z 的
函数形式． 19．（本题6分）计算积分I=dz ix y x c ?+-)(2，其中C 为从0到1+i 的直线段．
20．（本题6分）将函数f(z)=ln(z2-3z+2)在z=0处展开为泰勒级数．
21．（本题7分）函数f(z)=x2-y2-x+i(2xy-y2)在复平面上何处可导？何处解析？
22．（本题7分）计算积分I=dz z z c ?+-)1()1(122
，其中C 为正向圆周x2+y2-2x=0. 23．（本题7分）利用留数计算积分I=?
-c z dz z e 22)1(，其中C 为正向圆周z =2． 24．（本题7分）将函数)1(1)(2-+=
z z z z f 在圆环域0 四、综合题（下列３个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题，若两题全做，以26题计分。每小题8分，共16分） 25．（1）求 1)(242 ++=z z z z f 在上半平面内的所有孤立奇点． （2）求)(z f 在以上各孤立奇点的留数． （3）利用以上结果计算积分I=dx x x x ?+∞ ∞-++1242 ． 26．设Z 平面上区域D ：z <2且i z ->1．试求以下保角映射: （1）)(11z f =ω把D 映射成W1平面上的带形域D1：41 ; （2） )(122ωωf =把D1映射成W2平面上的带形域D2：0 （4）综合以上三步，求保角映射)(z f =ω把D 映射成Im ω>0. 27.（1）求sint 的拉氏变换（sint ）； （2）设F （p ）=[])(t y ，其中函数)(t y 可导，且1)0(-=y ,求[])(t y '. （3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：? ??-==+'1)0(sin y t y y
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