高考数学总复习填空题专项练习(三)

填空题练习跟踪练习1．设等差数列{a n }共有3n 项，它的前2n 项之和是100，后2n 项之和是200，则该等差数列的中间n 项之和等于 。

2．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n+1)a n+12-na n 2+a n+1a n =0(n=1,2,3，…)，则它的通项公式是a n = 。

3．从7盆不同的盆花中选出5盆摆放在主席台前，其中有两盆花不宜摆放在正中间，则一共有 种不同的摆放方法（用数字作答）4．将正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角后，异面直线AB 与CD 所成角的大小是 。

5．抛物线x 2-8x-4y+c=0 焦点在x 轴上，则常数c= 。

6．将1，2，3，4，5，6，7，8，9，这九个数排成三横三纵的方阵，要求每一列的三个数从前到后都是由小到大排列，则不同的排法种数是 （用数字作答）。

7．已知三棱锥的一条棱长为1，其余各棱长皆为2，则此三棱锥的体积为 。

8．已知三个不等式：①ab>0,②-a c <-bd,③bc>ad 以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成 个正确的命题。

9．设函数f(x)的反函数为h(x)，函数g(x)的反函数为h(x+1)，已知f(2)=5,f(5)= -2,f(-2)=8，那么g(2),g(5),g(8),g(-2)中，一定能求出具体数值的是 。

10．A 点是圆C ：x 2+y 2+ax+4y-5=0上任意一点，A 点关于直线x+2y-1=0的对称点也在圆C 上，则实数a= 。

11．已知向量a 与向量b 的夹角为60°，且|a|=3,|b|=2,c=3a+5b,d=ma-3b ，若c 与d 垂直，则m 的值为 。

12．某桥的桥洞呈抛物线形（如图14-7）桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度为 米。

（精确到0.1米）13．以椭圆92x +42y =1的中心O 为顶点，以椭圆的左准线l 1为准线的抛物线与椭圆的右准线l 2交于A 、B 两点，则|AB|的值为。

2023 届高考数学复习：精选好题专项（三角函数与解三角形填空题）练习单空题1、（2022ꞏ江苏通州ꞏ高三期末）若11tan 80sin α+= ，则α的一个可能角度值为__________. 2、（2022ꞏ江苏如东ꞏ高三期末）写出一个满足tan20°＋4cos θθ＝_________.3、【2022ꞏ广东省汕头市澄海中学10月月考】已知1tan =2α，则cos 2sin 2αα=_______.. 4、（2022ꞏ江苏常州ꞏ高三期末）已知α为第四象限角，且πtan 32α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin α=________． 5、【2022ꞏ广东省深圳实验学校10月月考】已知πsin 1223α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_________ 6、（2022ꞏ江苏宿迁ꞏ高三期末）已知π3sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则πtan 12α⎛⎫-= ⎪⎝⎭____________. 7、（2022ꞏ广东清远ꞏ高三期末）已知tan 2α=，则sin cos 44sin 2⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααα________． 8、（2022年福建永泰县高三模拟试卷）已知tan θ＝3，则cos 3(2)2πθ+＝________. 9、（2022年江门市高三模拟试卷）已知1cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_________. 10、（2022ꞏ湖南郴州ꞏ高三期末）已知3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1tan 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos α=___________． 11、（2022ꞏ山东泰安ꞏ高三期末）已知tan 2α=，则()cos 1sin22sin cos αααα--的值为___________. 12、（2022ꞏ山东烟台ꞏ高三期末）已知π(0,)2α∈，cos()4πα+=cos α的值为______． 13、（2022ꞏ山东济南ꞏ高三期末）已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且sin cos αα+=tan α的值为________. 14、（2022年重庆市巴蜀中学高三模拟试卷） 重庆奉节小寨天坑景区拥有世界上深度和容积最大的岩溶漏斗，吸引橙子辅导来此参观留影.为了测量天坑边上如图1所示的A ，B 两点间的距离，现在旁边取两点C ，D 测得300CD =米，34ADB π∠=，12BDC DCA π∠∠==，23ACB π∠=（假设A ，B C ，D 四点在同一平面上，则AB 两点的距离为______米..15、（2022年河北省承德市高三模拟试卷） 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且B 为锐角，若sin sin A B ＝52c b ，sin B ＝4，S △ABC ＝4，则b 的值为________． 16、（2022年江苏省扬州市高三模拟试卷）在ABC 中(角A 为最大内角，a ，b ，c 为A ∠、B ∠、C ∠所对的边)和111A B C △中，若1sin cos A A =，1sin cos B B =，1sin cos C C =，则222ABC a b c=--△__________. 17、（2022年江苏省盐城市高三模拟试卷） 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()12p a b c =++，则三角形的面积S =，这个公式最早出现在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中，故称该公式为海伦公式．将海伦公式推广到凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧）中，即“设凸四边形的四条边长分别为a ，b ，c ，d ，()12p a b c d =+++，凸四边形的一对对角和的一半为θ，则凸四边形的面积S =”．如图，在凸四边形ABCD 中，若2AB =，4BC =，5CD =，3DA =，则凸四边形ABCD 面积的最大值为________．18、（汕头市高三期末试题）剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中华汉族最古老的民间艺术之一．如图，一圆形纸片直径20cm AB =，需要剪去四边形1CEC D ，可以经过对折，沿,DC EC 裁剪，展开就可以得到．已知点C 在圆上且10cm AC =，30ECD ∠=︒．则镂空四边形1CEC D 的面积的最小值为______2cm ． 19、（2022年汕头市高三模拟试卷）已知函数()()sin 0,0f x A x A ωω=>>，若至少存在两个不相等的实数[]12,,2x x ππ∈，使得()()122f x f x A +=，则实数ω的取值范围是________．20、（2022ꞏ广东佛山ꞏ高三期末）已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<在一个周期内的图象如图所示，图中()102f =，5012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则512f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________.21、（2022ꞏ河北张家口ꞏ高三期末）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，()0f 且函数()f x 在区间,168ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则ω的最大值为___________. 22、（2022ꞏ广东ꞏ铁一中学高三期末）已知数列{}n a 满足()sin1cos cos 1n a n n =-，{}n a 的前n 项的和记为n S ，则6030S S =______. 23、（2022∙江苏南通∙模拟预测）已知()2sin()f x x ωϕ=+，试写出一个满足条件①②③的ω=__________．①1ω>： ②26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭： ③()0f π= 24、（2022∙新疆乌鲁木齐∙二模）已知函数()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在[]0,2π上的单调递减区间为___________；25、（2022ꞏ山东枣庄ꞏ高三期末）若()sin (0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则φω的值为________．26、（2022ꞏ山东莱西ꞏ高三期末）在ABC 中，CA a = ，CB b = ，0a b ⋅< ，5a = ，3b =r ，若ABC 的外接圆的半径为3，则角C =___________.27、（2022ꞏ江苏扬州ꞏ高三期末）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且23a A π==．若mb nc +（0,0m n >>）有最大值，则n m的取值范围是__________．28、（2022∙江苏江苏∙一模）已知函数()()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，其中点P ，Q 分别是图象的最高点和最低点，点M 是图象与x 轴的交点，且MP MQ ⊥.若12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭则tan ϕ=__________.29、【2022ꞏ广东省深圳市六校上学期第二次联考中学10月月考】 函数π()sin()(0,0,||2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，已知,A B 分别是最高点、最低点，且满足OA OB ⊥ （O 为坐标原点），则()f x =__________．30、（2022年福建上杭县高三模拟试卷）写出一个同时满足下列三个性质的函数：()f x =______. ①()2f x 为奇函数；②()31f x +为偶函数；③()f x 在R 上的最大值为2. 31、（2022年江苏省连云港市高三模拟试卷） 已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且关于x 的方程()()R f x a a =∈在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，则a 的取值范围是______． 32、（2022年河北省衡水中学高三模拟试卷）已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，()()33ππ+=-f x f x ，03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且()f x 在区间,102ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个极大值点，则ω的最大值为___________.二、双空题1、（2022ꞏ广东揭阳ꞏ高三期末）如图所示，在等腰直角ABC 中，2,AB AC O ==为BC 的中点，E ，F 分别为线段,AB AC 上的动点，且120EOF ∠= .（1）当OE AB ⊥时，则2EF 的值为__________.（2）2211OE OF +的最大值为__________.2、（2022ꞏ山东青岛ꞏ高三期末）已知ABC 的三个内角分别为,,A B C ，且sin ,sin ,sin A B C 成等差数列，则角B 的取值范围是_______；2sin 2B B 最小值为______.3、（2022∙浙江浙江∙三模）已知函数()sin (cos )(0)f x x x x ωωωω=⋅>的最小正周期为π，则ω=___________，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围是___________. 4、【2022ꞏ广东省深圳市宝安区第一次调研10月】 函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ=__；将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移(0)2b b π<<个单位后，得到一个偶函数的图象，则b =____.参考答案一、单空题1、（2022ꞏ江苏通州ꞏ高三期末）若11tan 80sin α+= ，则α的一个可能角度值为__________. 【答案】50,130,410,490 等答案较多【要点分析】先把1tan 80+ 化简成1sin 50 ，解得sin sin 50α= 后，解三角方程即可解决. 【过程详解】2sin(8060)2sin1401sin 802sin 40cos 40+=== 2sin 401112sin 40cos 40cos 40sin 50sin α==== 则sin sin 50α= ，故36050,Z k k α=⋅+∈ ，或360130,Z k k α=⋅+∈ 故答案为：50,130,410,490 等均符合题意.2、（2022ꞏ江苏如东ꞏ高三期末）写出一个满足tan20°＋4cos θθ＝_________.【答案】70︒（答案不唯一）．【要点分析】tan 60=︒，然后变形tan 60tan 20︒-︒可得．【过程详解】由题意sin 60sin 20sin 60cos 20cos 60sin 204cos tan 20tan 60tan 20cos 60cos 20cos 60cos 20θ︒︒︒︒-︒︒=︒=︒-︒=-=︒︒︒︒sin 402sin 20cos 204sin 204cos 701cos 60cos 20cos 202︒︒︒===︒=︒︒︒︒， 因此70θ=︒（实际上36070,k k Z θ=⋅︒±︒∈）．故答案为：70︒（答案不唯一）．3、【2022ꞏ广东省汕头市澄海中学10月月考】已知1tan =2α，则cos 2sin 2αα=_______. 【答案】34 【解析】7、（2022ꞏ广东清远ꞏ高三期末）已知tan 2α=，则sin cos 44sin 2⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααα________． 【答案】18- 【要点分析】 首先利用两角和差公式及二倍角公式化简原式得到22sin cos 2sin cos 4sin cos αααααα--+=，再利用同角三角函数商数关系求解即可.【过程详解】1sin cos (sin cos )(cos sin )442sin 22sin cos ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααααααααα 222sin cos 2sin cos tan 12tan 14sin cos 4tan 8--+--+===-ααααααααα． 故答案为：18- 8、（2022年福建永泰县高三模拟试卷）已知tan θ＝3，则cos 3(2)2πθ+＝________. 【答案】35 【解析】【要点分析】根据诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角公式可得结果.【过程详解】因为tan θ＝3，所以cos 3(2)2πθ+＝sin2θ＝222sin cos sin cos θθθθ+22tan tan 1θθ=+2233315⨯==+. 故答案为：35. 9、（2022年江门市高三模拟试卷）已知1cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_________. 【答案】79-【解析】 【要点分析】利用二倍角公式和诱导公式求解即可.【过程详解】由题意得：27sin 2sin 2cos 22cos 1632369πππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：79-. 10、（2022ꞏ湖南郴州ꞏ高三期末）已知3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1tan 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos α=___________．【答案】10- 【要点分析】利用两角差的正切公式，可以求出tan α，根据同角三角函数的关系，结合3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可以求出cos α的值. 【过程详解】 ∵1tan 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴tan 111tan 2αα-=+， 解得tan 3α=， ∵3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∵22sin cos 1αα+=…①sin tan 3cos ααα== ，…②解①②得cos 10α=.故答案为：10-．11、（2022ꞏ山东泰安ꞏ高三期末）已知tan 2α=，则()cos 1sin22sin cos αααα--的值为___________. 【答案】115【要点分析】 根据tan 2α=，利用“1的代换，先求出1sin 2α- 的值，再将()cos 1sin22sin cos αααα--进行弦化切，计算可得答案.【过程详解】 2222(sin cos )1-sin 2(sin cos )sin cos ααααααα-=-=+ =()()2222tan 1211tan 1215α--==++ ， 故()1cos 1sin21sin2152sin cos 2tan 1315αααααα--===--， 故答案为：11512、（2022ꞏ山东烟台ꞏ高三期末）已知π(0,)2α∈，cos()4πα+=cos α的值为______．【要点分析】 根据给定条件结合同角公式求出sin(4πα+，再用差角的余弦公式计算作答. 【过程详解】因π(0,)2α∈，即3444πππα<+<，又cos()410πα+=，则sin()4πα+==所以cos cos[()]cos(sin((44444421010ππππππαααα=+-=+++=+5=.13、（2022ꞏ山东济南ꞏ高三期末）已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且sin cos αα+=tan α的值为________. 【答案】12- 【要点分析】利用正余弦和差积的三角关系求解即可.【过程详解】sin cos 5αα+=221sin cos 2sin cos 5αααα∴++=2sin cos 05αα∴=-<，2229sin cos 2sin cos (sin cos )5αααααα∴+-==-，又,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以sin 0,cos 0αα<>，所以cos sin 5αα-=，sin α∴=cos α=1tan 2α∴=- 故答案为：12- 14、（2022年重庆市巴蜀中学高三模拟试卷） 重庆奉节小寨天坑景区拥有世界上深度和容积最大的岩溶漏斗，吸引橙子辅导来此参观留影.为了测量天坑边上如图1所示的A ，B 两点间的距离，现在旁边取两点C ，D 测得300CD =米，34ADB π∠=，12BDC DCA π∠∠==，23ACB π∠=（假设A ，B C ，D 四点在同一平面上，则AB 两点的距离为______米.利用正弦定理将角化边，可得,a c 等量关系；再利用面积公式，再得,a c 的另一个等量关系，据此求得,a c 由sin B 求得cos B ，利用余弦定理即可求得b . 【过程详解】由sin sin A B ＝52c b ，可得a b ＝52c b，故a ＝5 2c ，①由S △ABC ＝12ac sin B ＝4且sin B ＝4得12ac ＝5，② 联立①，②得a ＝5，且c ＝2.由sin B ＝4且B 为锐角知cos B ＝34，由余弦定理知b 2＝25＋4－2×5×2×34＝14，b .. 16、（2022年江苏省扬州市高三模拟试卷）在ABC 中(角A 为最大内角，a ，b ，c 为A ∠、B ∠、C ∠所对的边)和111A B C △中，若1sin cos A A =，1sin cos B B =，1sin cos C C =，则222ABC a b c=--△__________.【解析】【要点分析】根据1sin cos B B =，1sin cos C C =可知B 和1B 互余，C 和1C 互余，于是根据三角形内角和为180°，可得到1B C A +=，再根据1sin cos A A =可求出1tan A ，从而求出1A 和A .根据余弦定理和三角形面积公式可将要求的式子化简为A ，根据A 的大小即可求解．【过程详解】∵A 是最大内角，∴,B C 均为锐角，∵1sin cos B B =，1sin cos C C =，∴190B B =︒-，190C C =︒-，∴()111180B C B C A +=︒-+=，∴()11cos sin sin sin A A B C A ==+=，即1tan 1A =，∵1A 是三角形内角，∴145A =，∴45B C += ，∴18045135A =-= ． 在△ABC 中，由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，故2222cos a b c bc A --=-，所以175(24CED S ab =≥ ， 所以四边形1CEC D的面积的最小值为2150(2，故答案为：150(219、（2022年汕头市高三模拟试卷）已知函数()()sin 0,0f x A x A ωω=>>，若至少存在两个不相等的实数[]12,,2x x ππ∈，使得()()122f x f x A +=，则实数ω的取值范围是________． 【答案】9513,,424⎡⎤⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【解析】【要点分析】当2T π>时，易知必满足题意；当2T π<时，根据[],2x ππ∈可得[],2x ωπωπω∈，由最大值点的个数可构造不等式组，结合0>ω确定具体范围.【过程详解】 至少存在两个不相等的实数[]12,,2x x ππ∈，使得()()122f x f x A +=， ∴当42T ππω>=，即4ω>时，必存在两个不相等的实数[]12,,2x x ππ∈满足题意；当2T π<，即04ω<<时，[],2x ωπωπω∈，()225222k k Z k ππωπππωπ⎧≤+⎪⎪∴∈⎨⎪≥+⎪⎩，()12254k k Z k ωω⎧≤+⎪⎪∴∈⎨⎪≥+⎪⎩； 当0k ≤时，解集为∅，不合题意；令1k =，则9542ω≤≤；令2k =，则1344ω≤<； 综上所述：实数ω的取值范围为9513,,424⎡⎤⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭. 故答案为：9513,,424⎡⎤⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭. 20、（2022ꞏ广东佛山ꞏ高三期末）已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<在一个周期内的图象如图所示，图中()102f =，5012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则512f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________.即()2164232842k k k πωππππωπππ⎧+≥+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩Z ，即()4321016Z k k k ω+≤≤+∈， 因为0>ω，则03241610k k k ≥⎧⎨+≤+⎩，则308k ≤≤且Z k ∈，故0k =，从而410ω≤≤， 因此，ω的最大值为10.故答案为：10.22、（2022ꞏ广东ꞏ铁一中学高三期末）已知数列{}n a 满足()sin1cos cos 1n a n n =-，{}n a 的前n 项的和记为n S ，则6030S S =______. 【答案】3【要点分析】利用两角差的正弦公式化简得出()tan 1tan n a n n =--+ ，可求得n S ，进而可计算得出6030S S 的值. 【过程详解】()()()()()()sin 1sin cos 1cos sin 1sin1cos cos 1cos cos 1cos cos 1n n n n n n n a n n n n n n ⎡⎤-----⎣⎦===---()()tan tan 1tan 1tan n n n n =--=--+， ()()()()tan 0tan1tan1tan 2tan 2tan 3tan 1tan n S n n ⎡⎤∴=-++-++-+++--+⎣⎦ tan n = ，因此，6030tan 603tan 30S S ===. 故答案为：3. 23、（2022∙江苏南通∙模拟预测）已知()2sin()f x x ωϕ=+，试写出一个满足条件①②③的ω=__________．①1ω>： ②26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭： ③()0f π= 【答案】95ω=（答案不唯一：()*321,5k k N ω=+∈） 【解析】由②③得2sin()262sin()0ωπϕωπϕ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，所以11222,62,k k Z k k Zωππϕπωπϕπ⎧+=+∈⎪⎨⎪+=∈⎩， 相减得215262k k πωπππ=--，()()213322121,*55k k k k N ω⎡⎤=--=+∈⎣⎦，∴22Tπω==，所以()()2sin 2f x x ϕ=+， 又 图象经过,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴2sin 221212ππϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦f ， 所以sin 16πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，又 0ϕπ<<， ∴23ϕπ=，所以3232ππϕω==⨯. 故答案为：3π.26、（2022ꞏ山东莱西ꞏ高三期末）在ABC 中，CA a = ，CB b = ，0a b ⋅< ，5a = ，3b =r ，若ABC 的外接C =___________. 【答案】23π 【要点分析】先根据正弦定理求出sin sin A B ，，再由条件确定C ∠为钝角，,A B ∠∠为锐角，然后求出cos cos A B ，，再利用()sin sin C A B =+即可求得角C .【过程详解】设角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，由正弦定理2sin sin a b R A B === sinB A ∴==， cos 0a b a bC ⋅=⋅< ，cos 0C ∴<， 即C ∠为钝角，,A B ∠∠为锐角，1113cos ,cos 1414B A ∴====，()sin sin sin cos cos si 13111414n C A B A B A B ∴=+=+=+= 23C π∴∠=. 故答案为：23π.27、（2022ꞏ江苏扬州ꞏ高三期末）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c，且23a A π==．若mb nc +（0,0m n >>）有最大值，则n m的取值范围是__________． 【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【要点分析】 方法一：由已知结正弦定理可得2sin ,2sin b B c C ==，从而可得mb nc +＝2m[2cos C ＋（n m －12）sin C ]，构造函数f （C）＝2cos C ＋（n m －12）sin C ，利用导数求其最大值，从而结合三角函数的性质可得结果， 方法二：由已知结正弦定理可得2sin ,2sin b B c C ==，从而可得mb ＋nc ＝2m2cos C ＋（n m －12）sin C ]，构造函数f （Ccos C ＋（n m －12）sin C ，然后利用辅助角公式结合三角函数的性质可求得 【过程详解】 法一：由题意可知，在ABC 中，由正弦定理可得，sin a A ＝sin b B ＝sin c C＝2sin 3π＝2， 所以2sin ,2sin b B c C ==，又B ＋C ＝3π，则mb ＋nc ＝m ⋅2sin B ＋n ⋅2sin C ＝2m [sin （3π－C ）＋n m sin C ] ＝2mC －12sin C ＋n m sin C ] ＝2m2cos C ＋（12n m -）sin C ]， 设f （C）＝2cos C ＋（12n m -）sin C ，则f ′（C）＝－2sin C ＋（12n m -）cos C ， 令f ′（C ）＝0sin C ＋（12n m -）cos C ＝0， 即tan C1n -∈（0， 所以12n m -∈2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则n m ∈（12，2）． 法二：由题意可知，在ABC 中，由正弦定理可得，sin a A ＝sin b B ＝sin c C＝2sin 3π＝2，根据图象，当112a ≤<时，满足条件 故答案为：112a ≤<. 32、（2022年河北省衡水中学高三模拟试卷）已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，()()33ππ+=-f x f x ，03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且()f x 在区间,102ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个极大值点，则ω的最大值为___________. 【答案】334##8.25 【解析】【要点分析】根据题意列出方程组，求出,ωϕ 的表达式，求出符合条件||2πϕ≤的ϕ，再根据()f x 在区间,102ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个极大值点，分类讨论确定,ωϕ的值是否适合题意，可得答案. 【过程详解】由题意知，12332k k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩,1k ，2k Z ∈，则3(21)424k k ωππϕ+⎧=⎪'⎪⎨⎪=+⎪⎩,k ，k '∈Z ， 其中21k k k =-，2122k k k k k '=+=-,当1k '=-时，4πϕ=-，221k k =+，2k Z ∈；当0k '=时，4πϕ=，22k k =，2k Z ∈.又()f x 在区间,102ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个极大值点，所以2422105T ππππω-=≤=， 得010ω<≤，即3(21)0104k +<≤，所以13726k -<≤ 当6k =时，394ω=，4πϕ=，此时394941,44408x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时有2个极大值点，舍去； 当5k =时，334ω=，334ω=，此时332331,44408x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，此时有1个极大值点，成立， 所以ω的最大值为334， 故答案为：334 .当且仅当a c c a=，即a b c ==时，等号成立， 又因为在ABC 中，0B π<<， 所以03B π<≤，即角B 的取值范围是0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦.令()2sin 2f B B B =，03B π<≤，则())222cos 22cos 2cos 12cos f B B B B B B B '=+=+-=+-令()22cos 0f B B B '=+-=，得cos B =或cos B = 又因为03B π<≤， 所以1cos 12B ≤<，则1cos 123B <=<，所以当1cos 2B <<时，()f B cos 1B <<时，()f B 单调递增.所以当cos 3B =，即sin 3B =时，()f B 取得最小值，所以()min 2sin 22sin cos 3333f B B B B B B ==+=+=.故答案为：0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦3、（2022∙浙江浙江∙三模）已知函数()sin (cos )(0)f x x x x ωωωω=⋅>的最小正周期为π，则ω=___________，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围是___________.【答案】 1 2⎡-⎢⎣⎦【解析】21()sin (cos )sin cos sin 222f x x x x x x x x x ωωωωωωωω=⋅==sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=，所以1ω=所以()sin 232f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是242b k πππ-=+，k Z ∈，所以28k b ππ=--，k Z ∈，因02b π<<，所以1k =-，38b π=. 故答案为：4π；38π. 为。

三基小题训练一一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数y =2x +1的图象是 （ ）2.△ABC 中，cos A =，sin B =,则cos C 的值为 （ ）13553A.B.－C.－D.65566556651665163.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ）A.1B.2C.3D.多于34.函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 （ ）A.f (x ·y )=f (x )·f (y ) B.f (x ·y )=f (x )+f (y )C.f (x +y )=f (x )·f (y ) D.f (x +y )=f (x )+f (y )5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（ ）A.b ∥α,c ∥βB.b ∥α,c ⊥βC.b ⊥α,c ⊥βD.b ⊥α,c ∥β6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ）A.14B.16C.18D.207.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 （ ）A.8种B.10种C.12种D.32种8.若a ,b 是异面直线，a α,b β,α∩β=l ，则下列命题中是真⊂⊂命题的为（ ）A.l 与a 、b 分别相交B.l 与a 、b 都不相交C.l 至多与a 、b 中的一条相交D.l 至少与a 、b 中的一条相交9.设F 1，F 2是双曲线－y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且·=0，则||·|42x 1PF 2PF 1PF |的值等于（ ）2PF A.2B.2C.4D.8210.f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n (m ,n ∈N *)的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为（）A.31B.40C.31或40D.71或8011.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ ）A.小B.大C.相等D.大小不能确定12.如右图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 是公路，图中所标线段为道路，ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形.已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（ ）A.P 点B.Q 点C.R 点D.S 点二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.抛物线y 2=2x 上到直线x －y +3=0距离最短的点的坐标为_________.14.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，，，这个长方体对角线的236长是_________.15.设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)+f (x )=1,且当x ∈［1,2］时，f (x )=2－x ,则f (8.5)=_________.16.某校要从甲、乙两名优秀短跑选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下：第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次甲成绩（秒）12.112.21312.513.112.512.412.2乙成绩（秒）1212.412.81312.212.812.312.5根据测试成绩，派_________（填甲或乙）选手参赛更好，理由是____________________.答案：一、1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C 11.B 12.B二、13.（，1） 14. 15. 21621三基小题训练二一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA 外，与向量OA 共线的向量共有（ ）A ．2个B ． 3个C ．6个D ． 7个2．已知曲线C ：y 2=2px 上一点P 的横坐标为4,P 到焦点的距离为5,则曲线C 的焦点到准线的距离为 ( )A ． 21B ． 1C ． 2D ． 43．若(3a 2 －) n 展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是 （ ）312a A ．4 B ．5 C ． 6 D ． 84． 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 （）A ． 203B ． 103C ． 201D ． 1015．抛物线y 2=a(x+1)的准线方程是x=－3，则这条抛物线的焦点坐标是（ ）A.（3，0）B.（2，0）C.（1，0）D.（-1，0）6．已知向量ｍ＝（a ，b ），向量ｎ⊥ｍ，且｜ｎ｜＝｜ｍ｜，则ｎ的坐标可以为（ ）A.（a ，－b ） B.（－a ，b ） C.（b ，－a ） D.（－b ，－a ）7. 如果S =｛x ｜x =2n +1,n ∈Z ｝,T =｛x ｜x =4n ±1,n ∈Z ｝,那么A.S TB.T SC.S=TD.S ≠T8．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种9．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α,m β.给出四个命题：（1）若α∥β,则l ⊥m ; (2)若l ⊥m ,则α∥β;(3)若α⊥β,则l ∥m ;(4)若l ∥m ,则α⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.2EF DOC B A10．已知函数f(x)＝log 2(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是（ ）A.(－∞，4) B.(－4，4] C.(－∞，－4)∪[2，＋∞) D.[－4，2)11．4只笔与5本书的价格之和小于22元，而6只笔与3本书的价格之和大于24元，则2只笔与3本书的价格比较（ ）A ．2只笔贵 B ．3本书贵 C ．二者相同 D ．无法确定12．若α是锐角，sin(α－)=,则cos α的值等于6π31A.B.C.D.6162-6162+4132+3132-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上．13．在等差数列｛a n ｝中，a 1=,第10项开始比1大，则公差d 的取值范围是___________.25114．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面边长与侧棱长的比为2∶1，则直线AB 1与CA 1所成的角为 。

三基小题训练一一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数y =2x +1的图象是 （ ）2.△ABC 中，cos A =135，sin B =53,则cos C 的值为 （ ）A.6556B.－6556C.－6516D. 65163.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ）A.1B.2C.3D.多于34.函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 （ ）A.f (x ·y )=f (x )·f (y )B.f (x ·y )=f (x )+f (y )C.f (x +y )=f (x )·f (y )D.f (x +y )=f (x )+f (y )5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（ ）A.b ∥α,c ∥βB.b ∥α,c ⊥βC.b ⊥α,c ⊥βD.b ⊥α,c ∥β6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ）A.14B.16C.18D.207.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 （ ）A.8种B.10种C.12种D.32种8.若a ,b 是异面直线，a ⊂α,b ⊂β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（ ）A.l 与a 、b 分别相交B.l 与a 、b 都不相交C.l 至多与a 、b 中的一条相交D.l 至少与a 、b 中的一条相交9.设F 1，F 2是双曲线42x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0，则|1PF |·|2PF |的值等于（ ） A.2B.22C.4D.810.f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n (m ,n ∈N *)的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为（ ）A.31B.40C.31或40D.71或8011.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ ）A.小B.大C.相等D.大小不能确定12.如右图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 是公路，图中所标线段为道路，ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形.已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（ ）A.P 点B.Q 点C.R 点D.S 点二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.抛物线y 2=2x 上到直线x －y +3=0距离最短的点的坐标为_________.14.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是_________.15.设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)+f (x )=1,且当x ∈［1,2］时，f (x )=2－x ,则f (8.5)=_________.16.某校要从甲、乙两名优秀短跑选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下：第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 甲成绩（秒） 12.1 12.2 13 12.5 13.1 12.5 12.4 12.2 乙成绩（秒）1212.412.81312.212.812.312.5根据测试成绩，派_________（填甲或乙）选手参赛更好，理由是____________________. 答案：一、1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C 11.B 12.B二、13.（21，1） 14.6 15. 21三基小题训练二一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点 A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不 同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA 外，与向量OA 共线的向量共有（ ）A ．2个B ． 3个C ．6个D ． 7个2．已知曲线C ：y 2=2px 上一点P 的横坐标为4,P 到焦点的距离为5,则曲线C 的焦点到准线的距离为 ( )A ． 21B ． 1C ． 2D ． 43．若(3a 2 －312a ) n 展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ． 6D ． 84． 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 （ ）A ． 203B ． 103C ． 201D ． 1015．抛物线y 2=a(x+1)的准线方程是x=－3，则这条抛物线的焦点坐标是（ ） A.（3，0） B.（2，0） C.（1，0） D.（-1，0）6．已知向量ｍ＝（a ，b ），向量ｎ⊥ｍ，且｜ｎ｜＝｜ｍ｜，则ｎ的坐标可以为（ ） A.（a ，－b ） B.（－a ，b ） C.（b ，－a ） D.（－b ，－a ）7. 如果S =｛x ｜x =2n +1,n ∈Z ｝,T =｛x ｜x =4n ±1,n ∈Z ｝,那么A.S TB.T SC.S=TD.S ≠T8．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种9．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α,m β.给出四个命题：（1）若α∥β,则l ⊥m ; (2)若l ⊥m ,则α∥β;(3)若α⊥β,则l ∥m ;(4)若l ∥m ,则α⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.2EF DOC BA10．已知函数f(x)＝log 2(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是（ ）A.(－∞，4)B.(－4，4]C.(－∞，－4)∪[2，＋∞)D.[－4，2)11．4只笔与5本书的价格之和小于22元，而6只笔与3本书的价格之和大于24元，则2只笔与3本书的价格比较（ ）A ．2只笔贵B ．3本书贵C ．二者相同D ．无法确定12．若α是锐角，sin(α－6π)=31,则cos α的值等于 A.6162- B. 6162+ C. 4132+ D. 3132-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上． 13．在等差数列｛a n ｝中，a 1=251,第10项开始比1大，则公差d 的取值范围是___________.14．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面边长与侧棱长的比为2∶1，则直线AB 1与CA 1所成的角为 。