【精品】山西省太原市小店区2017-2018学年高二《数学》上学期9月月考试题及答案
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2017-2018学年第一学期高二年级9月测试数学试题（考试时间：90分钟 满分：100分 内容：必修四、必修五）一、选择题（每题3分，共36分）1．若0<<b a ，则下列不等式成立的是（ ） A. 2b ab < B. ba 11> C. 2a ab > D. ||||b a < 2．10sin3π的值是（ ）A.1212-3．已知角α的终边与单位圆交于点12P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则cos α的值为（ ）12 C. 12- D. 4．已知向量()()2,1,1,3a b =-=-，则（ ）A. //a bB. a b ⊥C. ()a a b ⊥-D.()//a a b - 5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知263,11a a ==，则7S 等于（ ） A. 13 B. 35 C. 49 D. 636．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”的一个函数是（ ） A. sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B. cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D. cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭7．若不等式210ax bx >＋＋的解集为1|1 3x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b +的值为 ( ) A. 5 B. 5- C. 6 D. 6-8．已知()12tan ,tan 25ααβ=-=-，那么()tan 2αβ-的值为（ ） A. 112 B. 34 C. 98- D. 989．下列各函数中，最小值为4的是 （ ）A. 4y x x =+B. 4sin (0)sin y x x xπ=+<< C. 34log log 3x y x =+ D. 4x x y e e -=+10．在边长为1的正ABC ∆中， D ， E 是边BC 的两个三等分点（D 靠近于点B ），A D A E ⋅等于（ ）A.16 B. 29 C. 1318 D. 1311．在ABC ∆中，若2sin sin cos 2A B C =，则下面等式一定成立的为（ ） A. A B = B. A C = C. B C = D. A B C ==12．已知34a -和4，且1a >，则2211a b +-的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8二、填空题（每题4分，共16分）13．已知{}n a 为等比数列， 472a a +=， 298a a =-，则110a a +=14．在ABC ∆所在平面上有一点P ，满足2PA PB PC AB ++=，则APC ∆与ABC ∆的面积比为15．已知函数()2sin y x ωϕ=+ (0,0)ωϕπ><<的部分图象如图所示，则ϕ=16．某人要利用无人机测量河流的宽度，如图，从无人机A 处测得正前方河流的两岸B ，C 的俯角分别为75︒， 30︒，此时无人机的高是60米，则河流的宽度BC 等于米三、解答题（17、18每题8分，19、20每题10分，21题12分） 17．已知函数)32sin(2sin )(π++=x x x f .（1）求函数)(x f 的单调递增区间； （2）若将函数)(x f y =的图像向右平移6π个单位，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数)(x g 的图像，求函数的解析式并求其图像的对称轴方程.18．已知(4,a b ==-.（1）若//a b，求a的坐标；（2）若a 与b 的夹角为0120，求a b - .19．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，已知2252cos 2cos 222C A a c b +=. (1)求证： ()23a c b +=； (2)若1cos 4B =，S =，求b .20．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且n a 是2与n S 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若21n nn b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .21．已知向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ， cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，函数()1f x a b m a b =⋅-++ ， ,,34x m R ππ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦.（1）若()f x 的最小值为-1，求实数m 的值； （2）是否存在实数m ，使函数()()22449g x f x m =+， ,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.9月数学答案一、选择题（每题3分，共36分）1．若0<<b a ，则下列不等式成立的是（ ）A. 2b ab <2a ab > D. ||||b a < 2．10sin3π的值是（ ）A.1212-3．已知角α的终边与单位圆交于点12P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则cos α的值为（ ）12 C. 12-4．已知向量()()2,1,1,3a b =-=-，则（ ）A. //a bB. a b ⊥C. ()a a b ⊥-D. ()//a a b -5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知263,11a a ==，则7S 等于（ ） A. 13 B. 35 C. 49 D. 636．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”的一个函数是（ ） A. sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B. cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭7．若不等式210ax bx >＋＋的解集为1|1 3x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b +的值为 ( ) A. 5 B. 5- C. 6 D. 6- 8．已知()12tan ,tan 25ααβ=-=-，那么()tan 2αβ-的值为（ ）34 C. 98- D. 989．下列各函数中，最小值为4的是 （ ）A. 4y x x =+B. 4sin (0)sin y x x xπ=+<< C. 34log log 3x y x =+ D. 4x x y e e -=+10．在边长为1的正ABC ∆中， D ， E 是边BC 的两个三等分点（D 靠近于点B ），A D A E ⋅等于（ ）A.16 B. 291311．在ABC ∆中，若2sin sin cos 2A B C =，则下面等式一定成立的为（ ） A. A B = B. A C = C. B C = D. A B C ==12．已知34a -和4，且1a >，则2211a b +-的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8二、填空题（每题4分，共16分）13．已知{}n a 为等比数列， 472a a +=， 298a a =-，则110a a +=7-14．在ABC ∆所在平面上有一点P ，满足2PA PB PC AB ++=，则APC ∆与ABC ∆的面积比为15．已知函数()2sin y x ωϕ=+ (0,0)ωϕπ><<的部分图象如图所示，则ϕ=3π 16．某人要利用无人机测量河流的宽度，如图，从无人机A 处测得正前方河流的两岸B ，C 的俯角分别为75︒， 30︒，此时无人机的高是60米，则河流的宽度BC 等于米三、解答题（17、18每题8分，19、20每题10分，21题12分） 17．已知函数)32sin(2sin )(π++=x x x f .（1）求函数)(x f 的单调递增区间； （2）若将函数)(x f y =的图像向右平移6π个单位，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数)(x g 的图像，求函数的解析式并求其图像的对称轴方程.试题解析：（1）令，解得所以的单调增区间为:.（2）由已知，对称轴方程为：18．已知(4,a b ==- . （1）若//a b，求a 的坐标；（2）若a 与b 的夹角为0120，求a b - .试题解析：（1）∵(b =-，∴2b = ，与b共线的单位向量为1,22b c b ⎛⎫=±=±- ⎪ ⎪⎝⎭. ∵4,//a a b =，∴(2,a a c ==-或(2,-.（2）∵04,2,,120a b a b ===，∴cos ,4a b a b a b ⋅==-，∴()222228a ba ab b -=--⋅+=，∴a b -= .19．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，已知2252cos 2cos 222C A a c b +=. (1)求证： ()23a c b +=； (2)若1cos 4B =，S =，求b . 试题解析：(1)由条件： ()()51cos 1cos 2a C c Ab +++=， 由于： cos cos a Cc A b +=，所以： 32a cb +=， 即： ()23ac b +=.(2) 1cos 4B =，所以：sin B =. 1sin 2S ac B === 8ac =. 又： ()()22222cos 21cos b a c ac B a c ac B =+-=+-+，由()23a c b +=，所以： 25116144b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以： 4b =.20．已知数列{}n a的前n项和n S，且n a是2与n S的等差中项. （1）求数列{}n a的通项公式；（2）若21nnnba-=，求数列{}n b的前n项和n T.试题解析：（1）∵a n是2与S n的等差中项，∴2a n＝2＋S n，①∴2a n－1＝2＋S n－1，(n≥2)②①－②得，2a n－2a n－1＝S n－S n－1＝a n，即＝2(n≥2)．在①式中，令n＝1得，a1＝2．∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n＝2n.（2）b n ＝＝．所以T n ＝＋＋＋…＋＋，①则T n ＝＋＋＋…＋＋，②①－②得，T n ＝＋＋＋＋…＋－＝＋2(＋＋＋…＋)－＝＋2×－＝－．所以T n＝3－．21．已知向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ， cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，函数()1f x a b m a b =⋅-++ ， ,,34x m R ππ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦.（1）若()f x 的最小值为-1，求实数m 的值； （2）是否存在实数m ，使函数()()22449g x f x m =+， ,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.试题解析：（1）∵33cos cos sin sin cos22222x x x x a b x ⎛⎫⋅=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭，33cos cos ,sin sin 2222x x x x a b ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ ，∴a b += =∵,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴2cos a b x +==， ()cos22cos 1f x x m x =-+ 22cos 2cos x m x =-，令1cos ,12t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，∴222y t mt =-∵min 1y =-，对称轴为2mt =， ①当122m <即1m <时，当12t =时， min 112y m =-=-∴32m =舍，②当112m ≤≤即12m ≤≤时，当2mt =时， 2min 12m y =-=-∴m ， ③当12m >即2m >是，当1t =时， min 221y m =-=-∴32m =舍，综上， m .（2）令()()2240 49mg x f x=+=，即22242cos2cos049mx m x-+=，∴3cos7mx=或47m，∵()y g x=，,34xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点，∴方程3cos7mx=和4cos7mx=在,34xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上共有四个不同的实根，∴31274173477mmm m≤<≤<≠∴737{84mmm≤<≤<≠∴764m≤<.。
